chuyên đề 1 tính đơn điệu hàm số câu hỏi

LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA a Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y f x là hàm số xác định trên K.. Việc tìm các khoảng đồn

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

PHẦN A LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y f x( ) là hàm số xác định trên K

- Hàm số y f x( ) được gọi là đồng biến trên K nếu x x1, 2K x, 1x2  f x 1  f x 2

- Hàm số y f x( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2

Chú ý

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đị lên từ trái sang phải (H.a)

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.b)

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f x( )0 với mọi xK thì hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng K

b) Nếu f x( )0 với mọi xK thì hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng K

Chú ý

- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f x( ) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K

- Người ta chứng minh được rằng, nếu f x( )0 với mọi xK thì hàm số f x( ) không đổi trên khoảng

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2;), nghịch biến trên khoảng (; 2)

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn đlệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) :

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Tính đạo hàm f x( )

Tìm các điểm x i  i( 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại

3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số

4 Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và (3;)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1;1) và (1;3)

Ví dụ 4 Xét chiều biến thiên của hàm số 2

1

x y x

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và ( 1; )

Ví dụ 5 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 1 3 2

53

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên 

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1 Xét tính đơn điệu của hàm số cho trước

Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

Bước 2 Tính đạo hàm f x( ) của hàm số Tìm các điểm x x1; 2;;x n thuộc D mà tại đó đạo hàm f x( )

bằng 0 hoặc không tồn tại

Bước 3 Sắp xếp các điểm x x1; 2;;x n theo thứ tự tăng dần, xét dấu f x( ) và lập bảng biến thiên

Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y f x( ) có đồ thị cho ở Hình

Câu 2 Xét dấu y rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x24x3

1

x

g x x



 nghịch biến trên khoảng (1;)

Câu 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yx33x29x1

53

 Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y.

Câu 10 (Đề Tham Khảo Lần 2 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

y m  x  m x   nghịch biến trên khoảng x  ; 

Câu 14 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số

x m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Câu 16 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 2

1

y x

 



 nghịch

biến trên các khoảng mà nó xác định?

Dạng 3 Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

x m





 (m là tham số thực) Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;  ?

d

– Bước 1 Tập xác định: \

– Bước 2 Tính đạo hàm 2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

3

x y

x m





 nghịch

biến trên khoảng 10; ?

4

mx y

x m





 nghịch

biến trên khoảng 0; 4?

Dạng 4 Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 21 (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

yx  x  m x đồng biến trên khoảng 2;  

Câu 22 (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 2

yx  x  m x đồng biến trên khoảng 2; 

Câu 23 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

giảm trên nửa khoảng [1;)?

Câu 24 Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y2x33x26mx m nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 25 (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm

yx  m x  m x đồng biến trên khoảng 2;   Tìm số phần tử của S 

Dạng 5 Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 26 (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2

tan

x y

y x mx

x

   đồng biến trên khoảng  0; 

Câu 28 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để

 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

Câu 30 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

Câu 31 (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số (4 ) 6 3

x m Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m trong khoảng 10;10 sao cho hàm số đồng biến trên 8;5?

ln 2

x y





 với m là tham số Gọi S là tập hợp các

giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e Tìm số phần tử của  S

Câu 33 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số

Câu 37 (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a  [ 10;10]

để hàm số y 3x44(a2)x312ax230a nghịch biến trên khoảng ( ; 2) ?

Câu 38 (Cụm trường Ninh Thuận - Ninh Thuận 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

( 2022; 2023)

m   đề hàm số y 2x3(m3)x16m2 đồng biến trên khoảng (0; 2) ?

Dạng 6 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)

Cách 1:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x .fu x 

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x 

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x .fu x 

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến g x 0; (Hàm số g x  nghịch biến g x 0) (*)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 39 (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y f 5 2 x

Câu 40 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị hàm số y f' x như hình bên

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

Xác định tính đơn điệu của hàm số g x  f3 2 x

Câu 41 (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn y f x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số y f ' x

như hình vẽ Xác định tính đơn điệu của hàm số  2 

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x .fu x v x 

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x 

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x .fu x v x 

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến g x 0; (Hàm số g x  nghịch biến g x 0) (*)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách 3: (Trắc nghiệm)

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x .fu x v x 

Bước 3: Hàm số g x  đồng biến trên K g x 0, x K; (Hàm số g x  nghịch biến trên K g x 0, x K) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x  để loại các phương án sai

Câu 43 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x Hàm số   y f ' x có đồ thị như hình bên

Hàm số     2

1 2

g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 44 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên Hàm số

2

g x  f x   x  x đồng biến trên khoảng nào?

Câu 45 Cho hàm số y f x  có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu thức f x như bảng dưới đây

  nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 46 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình

– 2

4 1

x y

O

-4

3

3 -4

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

Câu 47 (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  có đồ thị hàm số

( )

y f x cho như hình vẽ

g x  f x x  x đồng biến trên khoảng nào?

Câu 48 (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y 2f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 49 (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên  và có đạo hàm f x thỏa mãn f  x  1xx2  g x 2019 với g x   0, x   Hàm số

1  2019 2020

y f x  x nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 50 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho các hàm số y f x ;

 

yg x liên tục trên  và có đồ thị các đạo hàm f x ; g x  (đồ thị hàm số yg x  là đường đậm hơn) như hình vẽ

Hàm số h x  f x 1g x 1 nghịch biến trên khoảng nào?

Dạng 8 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác

Câu 51 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

 Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m  5;5 để hàm

số g x  f x m   nghịch biến trên khoảng 1;2 Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Câu 52 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên

 và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số  3 

4

y f x  xm nghịch biến trên khoảng 1;1?

Câu 53 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị y f x như hình vẽ Đặt     1 12 2019

2

g x  f x m  x m   , với m là tham số thực Gọi S

là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số yg x  đồng biến trên khoảng 5; 6 Tính tổng 

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

Câu 60 Cho hàm số ( )f x có f x΄( )x3ax2bx  3, x R Biết hàm số g x( ) f x( ) 3( x1)2

đồng biến trên khoảng (0; và hàm số ) 1 4

Câu 61 (Liên trường Nghệ An -Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Thái Hòa 2023) Cho hàm số y f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng (0) 1; (2)f  f   Hỏi có bao nhiêu số nguyên 2 m thuộc đoạn   10;10  để hàm số

( )

m f x y

Câu 62 (Sở Phú Thọ 2023) Cho hàm số bậc ba y f x( ) Biết hàm số y f΄(5 2 ) x có đồ thị là một Parabol ( )P như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  2 

y f x΄ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây

Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y| 4 (sin )f x cos 2xm| nghịch biến trên

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 NHÓM CÂU HỎI CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH

Câu 1 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  ; 1 B 0;1  C 1;1 D 1; 0

Câu 2 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 3 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2 B Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 0

C Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 D Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Câu 4 (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 5 (Mã 101 - 2018) Cho hàm sốy f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 6 (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 7 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 3

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; 

D Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 1

Câu 8 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A 1;1 B 0;1  C 4;   D ; 2

Câu 9 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

A  1 B 1;1 C 1; 0 D 0;1

Câu 10 (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x  có đồ thị là đường cong trong hình bên Hàm

số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

Câu 11 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1; 

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1; 2

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1

Câu 12 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

y

x

A 1;1 B 2; 1  C 1; 2 D 1;  

Câu 15 (Mã 101-2023) Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ;0  B  2;  C  0;  D   1;2 

Câu 16 (Mã 104-2023) Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A y 2x21 B x 2

y x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  B Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1

Câu 19 (Đề Tham Khảo - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ; ?

A yx43x2 B 2

1

x y x

Câu 20 (Mã 110 - 2017) Cho hàm số yx33x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 

Câu 21 (Dề Minh Họa - 2017) Hỏi hàm số y2x41 đồng biến trên khoảng nào?



3

2 1 1

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 22 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x 42x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2 B Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1  D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 

Câu 23 (Mã 123 - 2017) Hàm số 

2

21

y

x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 24 (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x 33x2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng  0;

B Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng  0;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 

Câu 25 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  2x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0;    B Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;    D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 26 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đạo

hàm f  x  1x 2 x1 3 3x Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 28 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Hàm số y 2018xx2 nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau đây?

A 1010; 2018  B 2018;   C 0;1009  D 1; 2018 

Câu 29 (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2019) Hàm số y x33x24 đồng biến trên tập hợp

nào trong các tập hợp được cho dưới đây?

A 2;    B 0 ; 2  C ; 0  2;  D  ; 0

Câu 30 (Mã 103 - 2022) Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  x1 với mọi x   Hàm số đã

cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  1;  B 1;  C  ; 1 D ;1

Câu 31 (Đề Minh Họa 2023) Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  x2 2 1x với mọi

x   Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

x y

Câu 44 Cho hàm số yx33x2mx4 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng

biến trên khoảng ; 0 là

Câu 45 Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y  x3 3 mx2  m nghịch biến trên

 0;1 ? 

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025

x m đồng biến trên khoảng 0;2

x m





 với m là tham số Gọi S là tập

hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e Tìm số phần tử 

của S

Câu 56 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị- 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

12