Chuyên đề 1 tính đơn điệu của hàm số

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Chun đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu khoảng xác định Xét hàm số bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d – Bước Tập xác định: D = ¡ – Bước Tính đạo hàm y′ = f ′( x) = 3ax + 2bx + c  a f ′( x ) = 3a > y′ = f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇒m ? ∆ = b − 12 ac ≤ ′ f ( x )  f ( x )  + Để đồng biến ¡ ⇔  a f ′ ( x ) = 3a < ¡ ⇔ y′ = f ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇒m ? ∆ f ′ ( x ) = 4b − 12ac ≤ f ( x )   + Đề nghịch biến Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c a > a < f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  × f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  × ∆ ≤ • ∆ ≤ • Để Câu (Đề Tham Khảo Lần 2020)Có giá trị nguyên của tham số m cho hàm số f ( x) = x3 + mx + x + 3 đồng biến ¡ A B C D Câu (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y = − x3 − mx2 + ( 4m+ 9) x + giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến khoảng A B C Câu Câu Câu Câu , với m là tham số Hỏi có ( −∞; +∞ ) D y = − x + mx + ( 3m + ) x + Cho hàm số Tìm tất giá trị của m để hàm số nghịch biến ¡  m ≥ −1  m > −1  m ≤ −2  A  B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m < −1 D  m < −2 y = x − 3mx + ( 2m − 1) + Tìm m để hàm số đờng biến ¡ A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m ≠ C m = D Luôn thỏa mãn với m y = x − x + ( m + 1) x + m Tìm điều kiện của tham số thực để hàm số đồng biến ¡ A m ≥ B m < C m < D m ≥ y = x3 + mx + x − m Tìm tập hợp tất các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến ( −∞; +∞ ) khoảng ( −∞; ) ( −∞; −2] [ −2; 2] [ 2; +∞ ) A B C D Trang Câu y = x3 – 2mx + ( m + 3) x – + m Giá trị của m để hàm số đồng biến ¡ là 3 − ≤ m ≤1 m≤− − < m 0, ∀x ∈ D ⇔ a.d − b.c > ⇒ m ? + Để f ( x ) nghịch biến D ⇔ y′ = f ′( x ) < 0, ∀x ∈ D ⇔ a.d − b.c < ⇒ m ?  Lưu ý: Đối với hàm phân thức khơng có dấu " = " xảy tại vị trí y ′ mx − 2m− x− m Câu 18 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên của m để hàm số đờng biến các khoảng xác định Tìm số phần tử của S A Vô số B C D y= mx + 4m x + m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị Câu 19 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số nguyên của m để hàm số nghịch biến các khoảng xác định Tìm số phần tử của S A B Vô số C D y= y= ( m + 1) x − x−m Câu 20 (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất số nguyên m để hàm số biến khoảng xác định của nó? A B C D Câu 21 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + m2 y= x + đồng biến khoảng xác định của nó? A B C D Câu 22 y= (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất giá trị thực của tham số m để hàm số biến các khoảng mà xác định? A m ≤ B m ≤ −3 C m < −3 D m < đồng x+2−m x + nghịch y= mx − x−m Câu 23 (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến khoảng xác định của  m ≤ −2  m < −2  m≥2  A  B −2 < m < C  m > D −2 ≤ m ≤ Câu 24 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất các giá trị thực của m để mx − y= x − m đồng biến khoảng xác định hàm số  m < −2  m ≤ −2   A  m ≥ B −2 < m < C  m > D −2 ≤ m ≤ Trang Dạng Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu khoảng cho trước ax + b y= cx + d đơn điệu khoảng ( α ; β ) Tìm Tìm tham số m để hàm số d x≠− c Tính đạo hàm y′ g Tìm tập xác định, chẳng hạn g Hàm số đồng biến ⇒ y ′ > (hàm số nghịch biến ⇒ y′ < ) Giải tìm m ( 1) d d x≠− − x ∈ α ; β ( ) nên c ∉ ( α ; β ) Giải tìm m ( ) c và có g Vì g Lấy giao của ( 1) và ( ) các giá trị m cần tìm  Các trường hợp đặc biệt: ax + b y= ( ad − bc ≠ ) cx + d  Hàm số đồng biến khoảng xác định khi: ad − bc > ax + b y= ( ad − bc ≠ ) cx + d  Hàm số nghịch biến khoảng xác định khi: ad − bc <  Hàm số  Hàm số  Hàm số  Hàm số Câu Câu Trang y= ax + b cx + d y= ax + b cx + d y= ax + b cx + d y= ax + b cx + d ad − bc >   −d ( ad − bc ≠ )  c ≤ α α ; +∞ ) ( đồng biến khoảng khi: ad − bc <   −d ( ad − bc ≠ ) ( α ; +∞ ) khi:  c ≤ α nghịch biến khoảng ad − bc >    −d ≤ α  c   −d  ≥β ( ad − bc ≠ )  c α;β ) (  đồng biến khoảng khi: ad − bc <    −d ≤ α  c   −d  ≥β ( ad − bc ≠ )  c α;β ) (  nghịch biến khoảng khi: (Đề Tham Khảo Lần 2020) Cho hàm số f ( x) = mx − x − m ( m là tham số thực) Có ( 0; + ∞ ) ? giá trị nguyên của m để hàm số cho đồng biến khoảng A B C D (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số ( −∞ ; − ) là đồng biến khoảng ( 4;7] ( 4;7 ) ( 4; + ∞ ) [ 4; ) A B C D y= x+4 x+m TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu Câu (Mã 102 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số ( −∞; −8) là đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) ( 5;8] ( 5;8 ) [ 5;8) A B C D (Mã 103 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −5) A (2;5] Câu Câu Câu Câu Câu B [2;5) C (2; +∞) x+5 x+m y= x+2 x+m y= x+3 x+m D (2;5) (Mã 104- 2020 – Lần 1) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số −∞; −6 ) đồng biến khoảng ( là 3; 3; 3; +∞ ) 3; ) ) ] A ( B ( C ( D [ y= x+2 x + 3m đồng biến (Mã 104-2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số −∞; −6 ) khoảng ( A B C Vô số D y= x +1 x + 3m nghịch biến (Mã 103-2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( 6; +∞ ) ? khoảng A B C D Vô số y= (Mã 101- 2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( −∞; −10 ) ? khoảng A B Vô số C D y= (Mã 102 - 2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( 10; +∞ ) ? khoảng A Vô số B C D x+2 x + 5m đồng biến x+6 x + 5m nghịch biến y= Câu 10 (Chuyên KHTN - 2020) Tập hợp tất các giá trị của tham số m để hàm số −1; +∞ ) biến khoảng ( là −2;1] −2; ) −2; −1] −2; −1) A ( B ( C ( D ( Câu 11 y= mx − x − m đồng (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tìm tất các giá trị thực của tham số m 1  mx − y=  − ∞; ÷ 4 m − x nghịch biến khoảng  để hàm số A m > B ≤ m < C −2 < m < D − ≤ m ≤ Trang mx − 2m + x+m Câu 12 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số với m là tham số Gọi S là tập hợp ( 2; + ∞ ) Tìm số phần tử của tất các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến khoảng S A B C D y= Câu 13 Câu 14 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( 2; +∞ ) ? nghịch biến khoảng A Vô số B C D (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( 0; ) ? biến khoảng A B 11 C D y= x + 18 x + 4m y= mx + x + m nghịch y= −mx + 3m + x−m Câu 15 (Sở Yên Bái - 2020) Tìm tất các giá trị thực của tham số m cho hàm số ( 1; +∞ ) nghịch biến khoảng  m < −1  A −1 < m < B −1 < m ≤ C  m > D ≤ m < Câu 16 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có giá trị nguyên của tham số 3x + 18 y= m ∈ ( −2020; 2020 ) x − m nghịch biến khoảng ( −∞; −3) ? cho hàm số A 2020 B 2026 C 2018 D 2023 Câu 17 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số x+4 x − m nghịch biến khoảng ( −3;4 ) A Vô số B C y= Câu 18 D (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx + y= x + m nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A B C D Dạng Tìm m để hàm số bậc đơn điệu khoảng cho trước y = f ( x ; m) (α ;β ) Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng y = f ( x ; m) ( α ; β ) Chẳng hạn: Bước 1: Ghi điều kiện để đơn điệu g Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến ( α ; β ) ⇒ y′ = f ′ ( x ; m ) ≥ g Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến ( α ; β ) ⇒ y′ = f ′ ( x ; m ) ≤ g ( x) Bước 2: Độc lập m khỏi biến số và đặt vế cịn lại là , có hai trường hợp thường gặp : g ( x) g m ≥ g ( x ) ∀x ∈ ( α ; β ) ⇒ m ≥ max ( α ;β ) , ⇒ m ≤ g x ( ) g m ≤ g ( x ) ∀x ∈ ( α ; β ) ( α ;β ) , Trang Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số giá trị nhỏ nhất Từ suy m Câu Câu Câu Câu Câu Câu y = x3 − x2 + ( − m ) x ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) là −∞; −2] C ( D ( −∞;1] Cho hàm số y = x + 3x − mx − Tập hợp tất các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến ( −∞;0 ) là khoảng ( −1;5) ( −∞; − 3] ( −∞; − 4] ( −1; + ∞ ) A B C D Tìm tất các giá trị thực của tham số m cho hàm số giảm nửa khoảng [1; +∞) ? 14    −2; − 15  B y = f ( x) =  14   − 15 ; +∞ ÷  C mx + mx + 14 x − m + 14    −∞; − ÷ 15  D  ( 0;1) ? Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 3mx − m nghịch biến khoảng A m ≥ Câu đồng biến khoảng −∞;1) B ( (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x3 − x + ( 4m − ) x + −∞; −1) nghịch biến khoảng ( là 3    − ; +∞ ÷  −∞; −   0; +∞ ) −∞;0] 4  A  B [ C ( D  14    −∞; −  15  A  Câu D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn nhất và (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x + ( − m ) x 2; +∞ ) đồng biến khoảng ( là −∞;1] −∞; 4] −∞;1) −∞; ) A ( B ( C ( D ( (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3x + ( − m ) x ( 2; +∞ ) là đồng biến khoảng ( −∞; ) ( −∞;5 ) ( −∞;5] ( −∞; 2] A B C D (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x + ( − m ) x 2; +∞ ) đồng biến khoảng ( là −∞; −1] −∞; ) −∞; −1) −∞; 2] A ( B ( C ( D ( (Mã 104 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số A Câu g ( x) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG B m< C m ≤ D m≥ Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số y = x + x − mx + đồng biến khoảng ( −∞ ;0 ) A m ≤ B m ≥ −2 C m ≤ −3 D m ≤ −1 2 Câu 10 Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − 3mx − 9m x nghịch biến ( 0;1) khoảng 1 −1 < m < m> 3 A B Trang C m < −1 D m≥ m ≤ −1 y = x − mx + ( 2m − 1) x − m + Câu 11 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến ( −2;0 ) khoảng 1 m≤− m C D ( 1; + ∞ ) Câu 12 Tìm tất các giá trị m để hàm số y = x − x + mx + tăng khoảng A m < B m ≥ C m ≠ D m ≤ y = x3 − mx − ( m − ) x + Câu 13 Tập hợp tất các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến ( 0; ) là: khoảng ( −∞;3) ( −∞;3] ( −∞;6] [ 3;6] A B C D Câu 14 Tìm tất các giá thực của tham số m cho hàm số y = x − x − 6mx + m nghịch biến ( −1;1) khoảng 1 m≤− m≥ 4 A B C m ≥ D m ≥ Câu 15 Tìm tất các giá trị thực của tham số m cho hàm số y = x − x + mx + đồng biến 0; +∞ ) khoảng ( ? A m ≥ 12 B m ≤ 12 C m ≥ D m ≤ ( 0; +∞ ) Câu 16 Tìm m để hàm số y = − x + x + 3mx + m − nghịch biến A m ≤ −1 B m ≤ C m < D m > −1 (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x + ( 12m + ) x + 2; + ∞ ) đồng biến khoảng ( Số phần tử của S A B C D Câu 18 (Chuyên KHTN - 2018) Tập hợp tất các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx − ( m − ) x + 0; ) đồng biến khoảng ( là: −∞;6] −∞;3) −∞;3] 3; A ( B ( C ( D [ ] Câu 19 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có số nguyên m để hàm số f ( x ) = x − mx + ( m + ) x + 3 đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A B 10 C D Câu 20 (Chuyên Sơn La - 2020) Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số Câu 17 y = − x3 − x + ( 4m − ) x + 3   −∞; −  4 A  Trang ( −∞; −1) là nghịch biến khoảng    − ; +∞ ÷ [ 0; +∞ ) B C D ( −∞;0] TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu 21 Câu 22 Câu 23 y= (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số m để hàm số đồng biến ( 1; +∞ ) là A B Câu 25 Câu 26 x − ( m − 1) x + ( m − 1) x + Số các giá trị nguyên của C (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Số giá trị nguyên thuộc khoảng ( 0; +∞ ) là hàm số y = x − 3x − mx + 2019 đồng biến A 2018 B 2019 C 2020 D ( −2020; 2020 ) của tham số m để D 2017 [ −2020; 2020] để hàm số (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có giá trị nguyên của m thuộc y = x3 − x + mx + đồng biến ( 0; +∞ ) A 2004 Câu 24 B 2017 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số C 2020 D 2009 ( ) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x − 2m − 3m + x + ( 2; +∞ ) ? nhiêu giá trị nguyên của tham số m cho hàm số cho đồng biến khoảng A B C D Có bao (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên của tham số m thuộc ( −2020; 2020 ) cho hàm số y = x3 + mx + x đồng biến khoảng ( −2;0 ) Tính số phần tử của tập hợp S A 2025 B 2016 C 2024 D 2023 ( a , b ∈ ¢ ) hàm số (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Với giá trị m ≥ a b , y = x − mx + x + đồng biến khoảng ( −2;0 ) Khi a − b A B −2 C D −5 Dạng Tìm m để hàm số khác đơn điệu khoảng cho trước y= tan x − tan x − m Câu (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất các giá trị thực của tham số m cho hàm số  π  0; ÷ đờng biến khoảng   A m ≤ ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m ≥ Câu (Đề Tham Khảo 2018) Có giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x3 + mx − 5 x đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) A B C  5 D Câu (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị của tham số m để 1 f ( x ) = m x − mx + 10 x − ( m2 − m − 20 ) x hàm số đồng biến ¡ Tổng giá trị của tất các phần tử thuộc S A B −2 C D Câu (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số m y = x +1+ x − đồng biến khoảng xác định của là Trang A Câu Câu Câu Câu Câu Câu 10 [ 0;1) B ( −∞; 0] C [ 0; + ∞ ) \ { 1} D ( −∞; ) (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất các giá trị thực của tham số để hàm số π  cos x − y=  ;π ÷ cos x − m nghịch biến khoảng   0 ≤ m < 0 < m <  m ≤ −1  A  B  m < −1 C m ≤ D m < y= (4 − m) − x + 6− x +m Có giá trị nguyên của m (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số −10;10 ) −8;5) khoảng ( cho hàm số đồng biến ( ? 14 B 13 C 12 A D 15 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Có giá trị nguyên âm của tham số m để hàm y = x + mx − x đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) số A B C D ln x − ln x − 2m với m là tham số Gọi S là tập hợp các (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số ( 1; e ) Tìm số phần tử của S giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến khoảng A B C D y=  π cos x −  0; ÷ cos x − m đồng biến khoảng   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm m để hàm số m ≥ m ≤  m ≤ −2  A  B m > C 1 ≤ m < D −1 < m < y= (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Có giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x − x + ( 2m + 15) x − 3m + 0; +∞ ) đồng biến khoảng ( ? A B C D Câu 11 Có tất giá trị nguyên của tham số m để hàm số khoảng xác định của nó? A B C Câu 12 Tìm m để hàm số A m> y= y = 3x +  π cos x −  0; ÷ cos x − m nghịch biến khoảng    m≤  B 1≤ m< C m< m + 3m x +1 đồng biến D D m≤ Câu 13 (Toán Học Tuổi Trẻ Số 2018) Tìm tất các giá trị của m để hàm số π  cot x cot x  ; π ÷ y = + ( m − 3) + 3m −  (1) đồng biến A −9 ≤ m < B m ≤ C m ≤ −9 D m < −9 Trang 10  x =1 ⇒  x = −1 (l ) g′ ( x ) = Bảng biến thiên: Từ BBT ta có: −2 m ≤ ⇔ m ≥ − Vậy m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} 11 Có tất giá trị nguyên của tham số m để hàm số khoảng xác định của nó? A B C Lời giải D = ¡ \ { - 1} Tập xác định y = 3x + m + 3m x +1 đồng biến D 3( x +1) - ( m + 3m) 2 y = 3x + m + 3m y Â= x +1 ị ( x +1) ¢ Hàm số đờng biến khoảng xác định y ³ , " x ¹ - Û m + 3m £ Û - 3£ m£ m Ỵ { - 3; - 2; - 1; 0} Do m ẻ Â ị Vậy có giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán 12 Tìm m để hàm số y= cos x − cos x − m nghịch biến khoảng  m≤  B 1≤ m< A m>  π  0; ÷   C m< D m≤ Lời giải Đặt t = cos x  π t ′ = − sin x < 0, ∀x ∈  0; ÷   Ta có:  π  0; ÷ ⇒ hàm số t = cos x nghịch biến khoảng   Do hàm số khoảng Trang 48 ( 0;1) y= cos x − cos x − m nghịch biến khoảng  π t −2 y=  0; ÷   ⇔ hàm số t − m đồng biến Tập xác định D = ¡ \ { m} TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2−m t −2 ⇔ y′ = > 0, ∀t ∈ ( 0;1) y= 0;1 t − m ( ) ( ) t − m đồng biến khoảng Hàm số 2 − m>  m< 1≤ m<   ⇔  1≤ m ⇔  1≤ m ⇔    m≤   m≤  m≤   m ≤   π cos x − y= 1≤ m<  0; ÷ cos x − m nghịch biến khoảng   Vậy với  hàm số 13 (Tốn Học Tuổi Trẻ Số 2018) Tìm tất các giá trị của π   ; π ÷  (1) đờng biến B m ≤ C m ≤ −9 m để hàm số y = 8cot x + ( m − 3) 2cot x + 3m − A −9 ≤ m < D m < −9 Lời giải π  x ∈  ; π ÷ cot x y = t + ( m − 3) t + 3m − 2 = t Đặt nên < t ≤ Khi ta có hàm số: (2) ⇒ y′ = 3t + m − π   ;π ÷ Để hàm số (1) đờng biến   hàm số (2) phải nghịch biến ( 0; 2] hay 3t + m − ≤ 0, ∀t ∈ ( 0; 2] ⇔ m ≤ − 3t , ∀t ∈ ( 0; 2] f ( t ) = − 3t , ∀t ∈ ( 0; 2] ⇒ f ′ ( t ) = −6t Xét hàm số: f ′( t ) = ⇔ t = Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −9 ≤ f ( t ) < 3, ∀t ∈ ( 0; 2] π   ;π ÷ Vậy hàm số (1) đồng biến   m ≤ −9 14 (Toán Học Tuổi Trẻ Số 2018)Cho hàm số y= ln x − ln x − 2m với m là tham số Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến khoảng A B C ( 1; e ) Tìm số phần tử của S D Lời giải Trang 49 ⇔ m ≠ ln x Điều kiện ln x − 2m ≠ Do x ∈ ( 1;e ) Ta có nên ln x ∈ ( 0;1) ( − 2m ) x ′ y = ( ln x − 2m ) 1  ⇒ m ∈ ( −∞; 0] ∪  ; +∞ ÷ 2  0;1 x ∈ ( 0;1) Để hàm số đờng biến khoảng ( ) y′ > với ( − 2m ) x ⇔ >0 ( ln x − 2m ) − 2m > ⇔ m < Do m là số nguyên dương nên m = 15 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số m ln x − 2 ln x − m − nghịch biến ( e ; +∞ ) A m ≤ −2 m = B m < −2 m = C m < −2 D m < −2 m > y= Tập xác định y′ = Cách 1: D = ( 0; +∞ ) \ { e m +1 Lời giải } −m2 − m + x ( ln x − m − 1) m > − m − m + <  ⇔   m < −2 ⇔ m < −2  m +1 e ∉ e ; +∞ ( ) m + ≤   Vậy yêu cầu bài toán tương đương f x = ln x ( e2 ; +∞ ) Cách 2: Đặt t = ln x , ta biết hàm số ( ) đồng biến −m2 − m + mt − ′ g ( t) = g ( t) = t − m − 1) t ∈ ( 2; +∞ ) ( t − m − Xét hàm số với , ta có ( e ; +∞ ) Vậy hàm số ban đầu nghịch biến 16 ⇔ hàm số g nghịch biến ( 2; +∞ ) ⇔ m > m > −m − m + <    g ′ ( t ) < ⇔ ⇔   m < −2 ⇔   m < −2  m + ≤ m + ≤ m ≤ m + ∉ ( 2; +∞ )   ⇔ m < −2 (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018) Có số nguyên âm m để hàm số y = cos3 x − cot x − ( m + 1) cos x 0; π ) đồng biến khoảng ( ? A B C vô số D Lời giải 4 y′ = − cos x.sin x + + ( m + 1) sin x = sin x + + m.sin x sin x sin x - Ta có: Trang 50 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 0; π ) ∀x ∈ ( 0; π ) - Hàm số đồng biến ( và y′ ≥ , ⇔ sin x + + m.sin x ≥ ∀x ∈ 0; π ( ) sin x , ≥ − m ∀x ∈ 0; π ( ) ( ) sin x , g ( x ) = sin x + sin x , ( 0; π ) - Xét hàm số: 12 cos x = cos x  sin x −  sin x − g ′ ( x ) = 2sin x.cos x − = cos x  ÷ sin x   sin x sin x Có ⇔ sin x + ⇒ g′ ( x) = ⇔ x = π ∈ ( 0; π ) Bảng biến thiên: - Do đó: g ( x) ( 1) ⇔ −m ≤ xmin ∈( 0;π ) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ −5 m ∈ { −5; −4; −3; −2; −1} Lại m nguyên âm nên Vậy có số nguyên âm 17 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Có giá trị nguyên âm của m để hàm số y = x +5+ A 10 1− m x − đồng biến [ 5; + ∞ ) ? B C Lời giải y′ = + m −1 D 11 = x2 − x + m + D = ¡ \ { 2} ( x − 2) ( x − 2) Tập xác định: Đạo hàm: f x = x − 4x + 5; + ∞ ) Xét hàm số ( ) [ f ′ x = 2x − f ′ x = ⇔ x = ⇒ y = −1 f =8 Đạo hàm: ( ) Xét ( ) Ta có: ( ) Bảng biến thiên: Do ( x − 2) >0 với x ∈ [ 5; + ∞ ) 2 ∀x ∈ [ 5; + ∞ ) f x ≥ −m nên y′ ≥ , và ( ) , ∀x ∈ [ 5; + ∞ ) Dựa vào bảng biến thiên ta có: −m ≤ ⇔ m ≥ −8 m ∈ { −8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1} Mà m nguyên âm nên ta có: Trang 51 Vậy có giá trị nguyên âm của m để hàm số 18 y = x +5+ 1− m x − đồng biến [ 5; + ∞ ) (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Có giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số x − ( m − 1) x − 4 x đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) A B C Lời giải y′ = x3 − ( m − 1) x + x Ta có y= Hàm số đờng biến khoảng y′ ≥ ⇔ ( m − 1) ≤ x + x g ( x ) = 3x + Xét Bảng biến thiên: ( 0; + ∞ ) D ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) và y′ ≥ với ′ g x = x − ( ) x với ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) Ta có x7 ; g ′ ( x ) = ⇔ x = ( m − 1) ≤ g ( x ) ⇔ ( m − 1) ≤ ⇔ m ≤ m ∈ { 1, 2, 3} Vì m ngun dương nên Vậy có giá trị m nguyên dương thỏa mãn bài toán 19 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Có giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số x2 − mx + ln ( x − 1) 1; +∞ ) đồng biến khoảng ( ? A B C y= D Lời giải y′ = x − m + Ta có Để hàm số y= x −1 x2 − mx + ln ( x − 1) 1; +∞ ) ∀x ∈ ( 1; +∞ ) đờng biến khoảng ( y′ ≥ với ≥m f ( x) ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ m ≤ ( 1; +∞ ) x −1 với f ( x) = x + x − khoảng ( 1; +∞ ) ta có Xét hàm số ⇔ x+ f ( x ) = x −1+ 20 +1 ≥ x −1 + ≥ ⇒ f ( x ) = ( x − 1) ( 1;+∞ ) + m ∈ { 1; 2;3} Do m ∈ ¢ nên (Chun Vinh - 2018) Có giá trị nguyên y = m x − ( 4m − 1) x + Trang 52 ( x − 1) đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) ? m ∈ ( −10;10 ) để hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG A 15 B C Lời giải D 16 0; +∞ ) + Với m = , hàm số trở thành y = x + đồng biến ( nên hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) , m = thỏa mãn + Với m ≠ , hàm số cho làm hàm số trùng phương với hệ số a = m > x = ′ y = ⇔  4m − x = 2 y′ = 4m x − ( 4m − 1) x = x m x − 4m + m2  , 4m − x = 1; +∞ ) m vơ nghiệm có hai Để hàm số đờng biến khoảng ( phương trình nghiệm phân biệt x1 , x2 cho −1 ≤ x1 < x2 ≤ ( )   m ≤ m ≤  4m − ≤     4m − > ⇔   ⇔  1  < m < 2− ⇔  m>     4m −     ≤1   m > +   m  −m + 4m − ≤ ( ) ( ) m ∈ −∞; − ∪ + 3; +∞ 1; +∞ ) Vậy điều kiện để hàm số đồng biến ( là m ∈ ( −10;10 ) m ∈ { −9; −8; ; 0; 4;5; ;9} Vì m nguyên, nên , có 16 giá trị 21 (Chuyên Thái Bình - 2018) Có giá trị ngun của tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm −∞; + ∞ ) số y = x + − mx − đồng biến ( A 2017 B 2019 C 2020 D 2018 Lời giải TXĐ : D = ¡ x y′ = −m x2 + x ⇔m≤ x + , ∀x ∈ ¡ ( 1) Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ′ ≥ , ∀x ∈ ¡ x f ( x) = x + ¡ Xét lim f ( x ) = −1 lim f ( x ) = x →−∞ ; x →+∞ f ′( x) = ( x + 1) x + > , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ Trang 53 x m≤ x + , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ −1 m ∈ [ −2018; 2018] ⇒ m ∈ [ −2018; − 1] Ta có: Mặt khác Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện 22 (Lê Q Đơn - Quảng Trị- 2018) Tìm tất các giá trị của m để hàm số y = mx +1 x+m nghịch biến 1   ; +∞ ÷   A m ∈ ( −1;1) Hàm số y = 1  m ∈  ;1 ÷ 2  B mx +1 x+m 1  m ∈  ;1 2  C Lời giải   m ∈  − ;1÷   D 1  mx + y=  ; +∞ ÷  và hàm số x + m nghịch biến nghịch biến  1   ; +∞ ÷ 2  m2 − mx + ′= y y= x + m) ( x + m Xét hàm số , ta có: m − <  −1 < m <   ⇔ ⇔  1  1 mx + 1 m≥− y= ⇔ − ≤ m 0, ∀x ∈  ;1÷  ;1÷ e  Hàm số cho đờng biến khoảng  e  và 1− m>  m<   ⇔  ⇔ 1   1− ln x + m≠ 0,∀x∈  e3 ;1÷  1− ln x + m≠ 0,∀x∈  e3 ;1÷      (*)  −1 1  1  g ( x) = − ln x , x ∈  ;1÷ g ′( x) = < 0, ∀x ∈  ;1÷ x − ln x  e  , ta có  e  ta có Xét hàm số bảng biến thiên của hàm số g ( x ) sau m < (*) ⇔  m ∉ (−2; −1) , kết hợp với m ∈ [ −5;5] ta có giá trị nguyên của Qua bảng biến thiên ta có m là m ∈ { −5; −4; −3; −2; −1; 0} Trang 55 25 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có giá trị nguyên dương của m để hàm số ln x − ln x − 2m đồng biến khoảng ( 1;e ) ? A B y= C Lời giải D Chọn A 1;e t ∈ ( 0;1) Đặt t = ln x t = ln x đờng biến khoảng ( ) và − 2m t −6 f ′( t ) = f ( t) = ( t − 2m ) t − 2m Điều kiện t ≠ 2m và Ta hàm số ln x − t −6 y= f t = ( ) ln x − 2m đồng biến khoảng ( 1;e ) và hàm số t − 2m đồng Hàm số    2m ≥ m≥ 1   ≤m 6 − 2m >  m ≤  m < 0;1) ( biến khoảng m ∈ { 1; 2} Vì m nguyên dương nên ln x − y= ln x − 2m đồng biến khoảng ( 1;e ) Vậy có giá trị nguyên dương của m để hàm số 26 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có số nguyên m để hàm số f ( x ) = m ( 2020 + x − 2co s x ) + sin x − x A Vô số B nghịch biến ¡ ? C Lời giải D Chọn C Ta có: f ( x ) = m ( 2020 + x − 2cosx ) + sin x − x Hàm số nghịch biến ¡ và f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ ¡ ⇔ m ( 2sin x + 1) + cosx −1≤ ∀x ∈ ¡ ⇔ 2m sin x + cosx ≤1 − m ( 1) ; ∀x ∈¡ Ta lại có: 2m sin x + co s x ≤ ( 4m + 1) ( sin x + co s x ) = 4m + ⇒ 2m sin x + co s x ≤ 4m + Dấu xảy 2m cosx = sin x Do ( 1) ⇔ 27 1 − m ≥ m ≤ −2 4m + ≤ − m ⇔  ⇔ ⇔ ≤m≤0  2 m + ≤ − m + m m + m ≤   (Chuyên Quang Trung - 2020) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln( x + 4) + mx + 12 đồng biến ¡ là 1   1 − ; ÷  ; +∞ ÷ A B  2  Chọn A Trang 56 1 (−∞; −  2 C Lời giải 1   ; +∞ ÷  D  TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG + TXĐ: ¡ + Ta có ⇔ m≥ y, = 2x 2x +m + m ≥ 0, ∀x ∈ ¡ x +4 Hàm số đồng biến ¡ ⇔ x + −2 x , ∀x ∈ ¡ x2 + 2( x − 4) , −2 x f ( x ) = = ⇔ x = ±2 f ( x) = 2 ( x + 4) x + Xét Ta có: Bảng biến thiên Vậy giá trị m cần tìm là 28 m≥ (Chuyên Thái Bình - 2020) Có tất giá trị nguyên của m để hàm số y = x − mx + 12 x + 2m A 18 ( 1; +∞ ) ? đồng biến khoảng B 19 C 21 D 20 Lời giải Chọn D Xét f ( x ) = x − mx + 12 x + 2m Ta có f ′ ( x ) = x − 2mx + 12 và f ( 1) = 13 + m ( 1; + ∞ ) có hai trường hợp sau đờng biến khoảng f ( x) ( 1; + ∞ ) và f ( 1) ≤ Trường hợp 1: Hàm số nghịch biến Để hàm số y = x − mx + 12 x + 2m Điều này không xảy lim ( x − mx + 12 x + 2m ) = +∞ x →+∞ ( 1; + ∞ ) và f ( 1) ≥ đồng biến  3 x − 2mx + 12 ≥ 0, ∀x >  m ≤ x + , ∀x > x ⇔ ⇔ 13 + m ≥   m ≥ −13 ( *)  6 ′( x ) = − g′( x ) = ⇔ − = ⇒ x = g ( x) = x + g 1; +∞ ): x khoảng ( x ; x Xét Trường hợp 2: Hàm số f ( x) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy m≤ x + , ∀x > ⇔m≤6 x Trang 57 29 ( *) suy −13 ≤ m ≤ Vì m nguyên nên m ∈ { −13; −12; −11; ;5;6} Vậy có 20 giá trị Kết hợp nguyên của m ( −8;8) (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng cho hàm số A 10 y = −2 x3 + 3mx − B đồng biến khoảng C ( 1; +∞ ) ? D 11 Lời giải Chọn B f ( x) = −2 x + 3mx − f '( x ) = −6 x + 3m Nếu m ≤ : f '( x) ≤ 0, ∀x ⇒ hàm số f ( x ) nghịch biến ℝ 1; +∞ ⇔ f ≤ ⇔ m ≤ ⇒ m ≤ ( ) ( ) y = f ( x) Hàm số đồng biến Nếu m > : f '( x) = ⇔ x = ± m  m >1    m   m  >1    f =0 ÷   ÷        m = ( L)    m m = ( L)  =    ⇒0 0, ∀x ∈  0; ÷   ⇔ − sin x + 2m sin x − ≤ ,   ,   ( 1)  1 sin x = t , t ∈  0; ÷  2 Đặt t2 +1  1  1 −t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈  0; ÷ ⇔ m ≤ , ∀t ∈  0; ÷ ( 1) ⇔ 2t  2   ( 2) Khi t2 +1  1 f ( t) = , ∀t ∈  0; ÷ 2t  2 Ta xét hàm Ta có f ′( t ) = ( t − 1) 4t  1 < 0, ∀t ∈  0; ÷  2 Bảng biến thiên Trang 59 Từ bảng biến thiên suy 32 ( 2) ⇔ m ≤ (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ( −2020;2020 ) Có tất giá trị nguyên thuộc f ′ ( x ) = 3x + x + 4, ∀x ∈ ¡ của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( 2m + ) x − ( 0; ) ? nghịch biến B 2007 C 2018 Lời giải A 2008 D 2019 Chọn A Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( 2m + ) Hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( 2m + ) x − nghịch biến ( 0; ) g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ f ′ ( x ) − ( 2m + ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x + x + ≤ 2m + 4, ∀x ∈ ( 0; ) Xét hàm số 33 h ( x ) = x + x + ⇒ h′ ( x ) = x + Ta có BBT: Vậy 2m + ≥ 28 ⇔ m ≥ 12 Vì m nguyên thuộc ( −2020; 2020 ) thỏa mãn nên có 2008 giá trị (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Có giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn x mx3 x − − + mx + 2020 ( 0;1) ? [ −10;10] cho hàm số nghịch biến khoảng A 12 B 11 C D 10 Lời giải Chọn B ( 0;1) và Ta có y′ = x − mx − x + m Hàm số cho nghịch biến khoảng y= y′ ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) hay x3 − x ≤ m ( x − 1) , ∀x ∈ ( 0;1) x − x ≤ m ( x − 1) , ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ≤ x, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ≤ nên m ∈ [ −10;10] ∩ ¢ − ( −10 ) = 11 Mặt khác nên có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán ∀x ∈ ( 0;1) : x − < Vì Trang 60 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 34 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có số nguyên m để hàm số f ( x ) = m ( 2020 + x − cos x ) + sin x − x B A Vô số nghịch biến ¡ ? C Lời giải D Chọn C f ( x ) = sin x − 2m cos x + ( m − 1) x + 2020m Ta có có đạo hàm liên tục ¡ f / ( x ) = cos x + 2m sin x + m − ≤ 0, ∀x Cần tìm m nguyên để ⇔ max [ cos x + 2m sin x + m − 1] ≤ ⇔ + m + m − ≤ ⇔ + m ≤ − m x∈¡ m ≤ 1 − m ≥  ⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤0 2 1 + 4m ≤ − 2m + m − ≤ m ≤ Kết hợp m nguyên có m = 35 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần - 2020) Tập hợp tất các giá trị thực của tham ( ) y = ln x + + mx + 12 số thực m để hàm số đồng biến ¡ là 1   1 1   1  −∞; −   ; +∞ ÷ − ; ÷  ; +∞ ÷ 2   A  B  2  C  D  Lời giải Chọn A 2x y' = + m, ∀x ∈ ¡ x +4 Ta có Hàm số cho đờng biến ¡ ⇔ y ' ≥ 0∀x ∈ ¡ (vì y ' = có hữu hạn nghiệm) 2x 2x + m ≥ 0∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ − ∀x ∈ ¡ x +4 x +4 2x ( x + 2) 2x − − =− ≤ 0∀x ∈ ¡ ⇒ − ≤ ∀x ∈ ¡ 2( x + 4) x +4 Ta có x + ¡ 2x m≥− ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ x +4 Do đó, ⇔ 36 x −x (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Tìm tất các giá trị thực của m để hàm số y = đồng biến A m > −8 +mx +1 ( 1; ) B m ≥ −1 C m ≤ −8 Lời giải D m < −1 Chọn B y′ = ( 3x − x + m ) x − x Ta có: + mx +1 ln ( 1; ) ⇔ y′ ≥ , ∀x ∈ ( 1; ) Hàm số đồng biến ⇔ ( x − x + m ) x − x ln ≥ ∀x ∈ ( 1;2 ) , ⇔ 3x − x + m ≥ , ∀x ∈ ( 1; ) ⇔ m ≥ −3 x + x , ∀x ∈ ( 1; ) + mx+1 ⇔ m ≥ max ( −3x + x ) ( 1;2) Trang 61 f x = −3x + x x ∈ ( 1;2 ) Xét hàm số ( ) , với f ′ x = −6 x + Ta có: ( ) f ′ ( x ) = ⇔ −6 x + = ⇔ x = Cho Bảng biến thiên: Vậy m ≥ −1 thỏa yêu cầu bài toán Trang 62 ... − 1) − m ( x − 1) + 20 ( x + 1) = m ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) − m ( x − 1) ( x + 1) + 20 ( x + 1) = ( x + 1)  m ( x − 1) ( x + 1) − m ( x − 1) + 20   x = ? ?1 f ′( x) = ⇔  2  m ( x − 1) ... m − 1) x + ( m − 1) = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 ≤ ( x1 − 1) + ( x2 − 1) < ( x1 + x2 ) − < 2 ( m − 1) − < ⇔ ⇔ ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ≥ ( x1 − 1) ( x2 − 1) ≥ 3 ( m − 1) −... 36 Chuyên đề x −x (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Tìm tất các giá trị thực của m để hàm số y = 1; đồng biến ( ) A m > −8 B m ≥ ? ?1 C m ≤ −8 D m < ? ?1 +mx +1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ