Chuyên đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Tốn tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: M Khoảng cách điểm mặt phẳng Khoảng cách điểm mặt phẳng khoảng cách từ điểm tới H hình chiếu vng góc lên mặt phẳng P d  M ,  P    MH (với H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng   ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song N M Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng tới mặt phẳng K H Nếu  / /( P ) d  ,  P    d  M ;( P)  với M   P Khoảng cách hai mặt phẳng song song K Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M P mặt phẳng tới mặt phẳng Nếu  P  / /(Q) d   P  ,  Q    d  M ;(Q)   d  N ;( P)  với N H Q M   P  , N   Q  Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng a Dùng định nghĩa b Phương pháp đổi điểm (dùng tỉ số khoảng cách) * Kiến thức cần nhớ: A B H K - Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng  P  d  A; P   d  B; P  - Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng  P  I d  A;  P   d  B;  P    AI BI P B Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, ta nên cố gắng đưa việc tính A khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp lăng trụ đến mặt phẳng I P H K c Phương pháp thể tích M 3V * d  M ; P  với V thể tích khối chóp có đỉnh M , S diện S D tích đáy nằm mặt phẳng  P  khối chóp A H * d  M ;  P   V với V thể tích khối lăng trụ có đỉnh M , S S B C M diện tích đáy nằm mặt phẳng  P  khối lăng trụ A D H B d Một cơng thức thường dùng tốn tính khoảng cách Nếu SI   IAB  d  I ;  SAB    SI d  I ; AB  SI  d  I ; AB  H B II BÀI TẬP VẬN DỤNG I Ví dụ minh họa Câu C S K A P (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  AA  Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC BC Khoảng cách từ A đến  MNP  A 17 65 B 13 65 C 13 65 D 12 Lời giải Chọn D  MN  AD - Gọi D trung điểm BC     MN   ADPA   MN  DP   MNP    ADPA  N A' C' E M B' D H - Gọi E  MN  AD  EP giao tuyến  MNP   ADPA  - Dựng AH  EP  AH   MNP   AH  d  A;  MNP   C A F P B - Gọi F trung điểm AP  EF  AP EF  AA  , AP FP   2  EP  EF  FP  Vậy d  A;  MNP    EF AP 2.3 12  AH    EP 12 Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB  AD  2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD  Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  A a B a C a D a Lời giải Chọn B Phân tích: Gọi I trung điểm AB , ta có I chân đường cao hình chóp nên ta có ý tưởng đổi việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  thành khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SBD  * Kẻ SI  AB S Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD   I trung điểm AB SI   ABCD  A 2a  a SAB cạnh 2a  SI  I * Kẻ IK  BD  K  BD  , AH  BD  H  BD   IK  AH K C Kẻ IJ  SK ,  J  SK  (1)  IK  BD  BD   SIK   BD  IJ (2) Ta có   SI   ABCD   SI  BD * Từ (1) (2) suy IJ   SBD   d  I , ( SBD)   IJ Ta có: 2a a 1 1  IK       AH  2 2 AH AB AD AH 4a 5 1 1 16 a a      IJ   d  I , ( SBD)   IJ SI IK IJ 3a 4 I trung điểm AB  d  A, ( SBD)   2d  I , (SBD)   Chọn B H J B a D Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình lăng trụ  đứng ABC ABC 1 có AB  a , AC  2a , AA1  2a BAC 120 Gọi K , I trung điểm CC1, BB1 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  A1 BK  A a 15 B a C a 15 D a Lời giải Chọn B Diện tích ABC là:   a.2a.sin1200  a SABC  AB AC.sin BAC 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A1BC 1 là: a2 VABC A1B1C1  SABC AA1  2a  a3 15 Dễ thấy VABC A1B1C1  VK A1B1C1 VK ABC VK ABB1 A1 Mà VK A1B1C1  VK ABC  VABC A1B1C1 nên VK ABB1 A1  VABC A1B1C1 4 Ta lại có, S A1BI  S ABB1 A1  VK A1BI  VK ABB1 A1  VABC A1B1C1  a 15  BC  AB  AC  AB AC cos A  a   a   2.a.2 a.cos120  a BK  BC  CK  a   a  2  A1 K  A1C12  C1 K  2a  a A1 B  A1 A2  AB  2a 5   2a  3a  a  a 21 2 2 Xét thấy BK  A1 A  A1B  21a 1 Do đó, A1BK vng K  S A1BK  A1 K BK  3a a  3a 2 Khoảng cách từ I đến mặt phằng  A1 BK  là: d  I ,  A1 BK   3VI A1 BK S A1 BK  3VK A1BI S A1BK a 15 a  3a 3 a3 15 Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA  2a , M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng  ACM  A d  3a B d  a C d  2a D d  a Lời giải Chọn C Cách d( SB,( ACM ))  d( B,( ACM )) 3 3VM ABC VS ABCD     S ACM S ACM  VS ABCD  SA.S ABCD  ( a  1) 3  5  AC  2, AM   22  , MC       S ACM  2   Cách Theo ta có SB / /  ACM  Qua B ta kẻ đường thẳng x song song với AC, qua A dựng AE  Bx ta có  SBx  / /  ACM  Kẻ AH  SE  EB  AE Lại có   EB  AH  EB  SA Do AH   SBx  Khi d  SB, ACM    d   SBx  , ACM    d  A, SBx    AH AE  BO   AH  a ; SA  2a (O tâm hình vng ABCD) AE.SA AE  SA 2  2a 2a Vậy d  3 Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng  ACM  A d  3a C d  B d  a 2a D d  a Lời giải Chọn D S + Gọi O giao điểm AC , BD  MO  SB  SB   ACM   d SB, ACM   d  B, ACM   d  D , ACM  M + Gọi I trung điểm AD  MI  SA  MI   ABCD     d  D, ACM   2d  I , ACM   H A K O + Trong  ABCD  : IK  AC (với K  AC ) B + Trong  MIK  : IH  MK (với H  MK ) 1 + Ta có: AC  MI , AC  IK  AC   MIK   AC  IH 2  Từ 1 2  suy IH   ACM   d  I ,  ACM   IH + Tính IH ? - Trong tam giác vng MIK : IH  IM IK IM  IK a a SA a OD BD a  a , IK   IH   - Mặt khác: MI    2 4 a a2    Vậy d SB, ACM   2a D I C Câu (Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Khoảng cách  ABC   ADC   : A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chọn D Ta có d   ABC  ,  ADC     d  B ,  ADC     d  D ,  ADC    Gọi O tâm hình vng ABC D Gọi I hình Chiếu D OD , suy I hình chiếu D  ADC   DO.D D d  ABC  ,  ADC     d  D,  ADC     DI  DO  D D 2  a a 2 a 2   a    a BÀI TẬP TỰ LUYỆN  có số đo 60 Hình Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trọng tâm tam giác ABC Góc (ABCD)  SAB  60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A Câu 3a 17 14 3a 14 C 3a 17 D 3a   60 , hình chiếu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAC đỉnh S mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc tạo bới hai mặt phẳng  SAC  A Câu B  ABCD  60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a 3a B 9a C a D 3a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a; AD  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng  SAC  A d  a 1315 89 B d  2a 1315 89 C d  2a 1513 89 D d  a 1513 89 Câu 10.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  SMD  bằng: A a B a 30 12 C a 13 26 D 14 a 28 Câu 11.Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi I , J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng  AIA   CJC   A d  2a B d  2a C d  a D d  3a Câu 12.Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích a Gọi M , N trung điểm AB , CC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BMN  biết BMN tam giác cạnh 2a a a a B a C D 3 Câu 13.Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Trên AA , BB lấy điểm M , N A cho AM  A 2a 21 21 3a a , BN  Khoảng cách từ điểm B  đến mặt phẳng ( MNC ) B 2a 21 63 C a 21 21 D a 41  Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  60 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng  SAB   ABCD 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A 21a 14 B 21a C 7a 14 D 7a Câu 15.Cho tứ diện ABCD có AB  CD  , AC  BD  , AD  BC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A B C 42 D ĐÁP ÁN BÀI TẬP LUYỆN TẬP  có số đo 60 Hình Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trọng tâm tam giác ABC Góc (ABCD)  SAB  60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A 3a 17 14 B 3a 14 C 3a 17 D 3a Lời giải Chọn B Gọi H trọng tâm ABC Dựng HK  AB, HE  CD, HF  SE   60 Ta có AB   SHK   SKH Do SH  HK tan 60  Mặc khác HK  HB sin 60  ( Do ABD tam giác nên a a a  ABD  60 ) suy HK  sin 60   SH  Lại HE  HD tan 60  Do Câu 8: có a a  HF   d  H ;  SCD   BD 3 3a 17   dB  dH  HD 2 14   60 , hình chiếu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAC đỉnh S mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc tạo bới hai mặt phẳng  SAC  A  ABCD  60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a 3a B 9a a C D 3a Lời giải Chọn A • d  B;  SCD    S d  G;  SCD   K a a a ; SG  ; GK  • Tính được: GH  Vậy d  B;  SCD    3 a 3a d  G;  SCD     2 7 C B G A a H O D Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a; AD  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng  SAC  A d  a 1315 89 B d  2a 1315 2a 1513 C d  89 89 Lời giải D d  a 1513 89 Chọn D Phương pháp: Đưa khoảng cách từ M đến  SAC  khoảng cách từ H đến  SAC  Gọi H trung điểm AB  SH   ABCD    45 SC ,  ABCD     SC , HC   SCH Ta có   SHC vng cân H  SH  HC  BC  BH  a 17 1 d  D;  SAC    d  B;  SAC    d  H ;  SAC   2 Trong  ABCD  kẻ HI  AC  d  M ;  SAC    Trong  SHI  kẻ HK  SI  HK   SAC   HK  d  H ;  SAC   Ta có a 2a HI AH 2a AHI  ACB    HI  BC AC a HK  SH HI SH  HI 2  A 1513 89 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB vng cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  SMD  bằng: A a a 30 12 Lời giải B C a 13 26 D 14a 28 S Chọn D   SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB   SI   ABCD   SI  AB, SI   SAB   Kẻ IK  MD  K  MD  , IH  SK  H  SK  H I B D A K M C Ta có: SI   ABCD  , MD   ABCD   SI  MD Vậy MD   SIK  mà IH   SIK   MD  IH Vậy IH   SMD   d  I ,  SMD    IH 1 SIMD  S ABCD  SBIM  SAID  SCMD  a  a  a  a  a 4 MD  CD  MD  a  a2 a  2S IK MD  IK  IMD  a MD 10 1 Tam giác SAB vuông cân S nên SI  AB  a 2 Xét tam giác SIK vuông I có: Mà SIMD  1 20 56 14 14       IH  a Vậy d  I ,  SMD    a IH SI IK 9a a 9a 28 28 Câu 11: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi I , J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng  AIA   CJC  A d  2a B d  2a C d  a D d  3a Lời giải Chọn C Gọi O giao điểm AB AC Ta có:  AIA //  CJC   d   AIA ,  CJC    d  I ,  CJC     IH , với H hình chiếu vng góc I lên JC Thật vậy, ta có:  JCC     ABCD    JCC     ABCD   JC  IH   JCC     IH   ABCD  , IH  JC Xét tam giác JIC vng I , có: 1 5a       IH  IH IC IJ a a a Câu 12: Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích a Gọi M , N trung điểm AB, CC ' ,.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BMN  biết BMN tam giác cạnh 2a A a B a C a D a Lời giải Chọn C A' C' M B' N C A B Ta có: VC AABB  VC ABC   V ABC ABC   VC AABB  VABC ABC   VABC ABC   VC AABB  VABC ABC 1 Ta có: VN ABM  d  N ;  ABM   S ABM  d  C ;  AABB   S AABB 3 a3 1 1  d  C ;  AABB   S AABB  VC AABB  VABC ABC   2 3 Ta có: 1  2a   a d A; BMN  d  A;  BMN   S BMN  d  A;  BMN      3 VA.BMN Suy a2 3 d  A;  BMN    a3  d  A;  BMN    a 3 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh cho AM  A a Trên AA , BB lấy điểm M , N 3a a , BN  Khoảng cách từ điểm B  đến mặt phẳng (MNC ) 2a 21 21 B 2a 21 63 C a 21 21 D a 41 Lời giải B/ Chọn A Cách 1: M Mặt phẳng ( MNC ) cắt cặp mặt đối hình hộp theo cặp giao tuyến song song Nên thiết diện tạo bình hành MNCQ D/ A/ +Tính d  B,  MNC   C/ N B C Q mp( MNC ) hình hộp hình A D VB '.MNCQ  VQ.MNB '  VQ B ' NC 1 a a3 Có VQ.MNB '  d  Q,  ABBA   S MNB   a a  2 12 1 a a3   d Q, CNB  SCNB  a a  Có V Q.B ' NC 3 2 12    VB '.MNCQ a3   d  B,  MNCQ   S MNPQ Có MN  a  a2 a 17 , NC   16 a2  a 41 a2 a a  2a  , MC   16 4  S MNCQ  S MNC  p  p  MN  p  NC  p  MC  , p  Suy S MNCQ  2a 21 a 21   d  B,  MNCQ    3V S MNCQ Vậy d  B,  MNCQ    3 2a 21 21 a3 2a 21  a 21 21 MN  NC  MC Cách A/ Có d  B,  CMN    d  B, CMN  D/ M B/ C/ Gọi K  MN  AB   ABCD    CMN   CK N Kẻ BL  CK , L  CK , A Kẻ BH  NL , H  NL  d  B,  CMN    BH D H B C Có BN KB     KB  BA  2a AM KA L K 2a 1 1  BH  Có    2 2 BH BK BC BN 21  Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  60 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng  SAB   ABCD 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD 21a 14 A 21a B C 7a 14 D 7a Lời giải Chọn C Gọi H trọng tâm tam giác ABC , M trung điểm AB Ta có tam giác ABD tam giác  DM  a BD  a Kẻ HK  AB  HK // DM  HK BH  HK  DM BH  DM  a  BD DM BD  SAB   ABCD  AB ,  AB  HK , AB  SK (định lí ba đường vng góc)     SAB  ,  ABCD   SKH a Tam giác SHK vng H có SH  HK tan 60   Gọi N giao điểm HK CD  HN  CD Ta có   CD   SHN  ; CD   SCD   SCD   SHN   SHN    SCD  SN  SH  CD  Trong mặt phẳng  SHN  kẻ HI  SN HI   SCD  HI  d H ,  SCD  a 1 Tam giác SHN vuông H có , với HN  DM    2 HI  HI  SH HN a BD 3    d  B ,  SCD    d  H ,  SCD   HD 2 Vậy d  B,  SCD    a 14 Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  , AC  BD  , AD  BC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A B 42 Lời giải C D Chọn C N Xây dựng toán tổng quát Từ giả thiết ta có: MNDC hình thoi; tam giác CAN, DAM tam giác cân, suy ra: AI  NC , AI  DM  AI  (CDMN )  VABCD   p  4  a a c  b  c  a  b  c  a  b  c   52  62  42  52   42  52  62   BC  CD  DB   15    S BCD  2 15 p  p   p   p    15 3VA BCD  42 Ta có d  A,  BCD     S BCD 15 15 I b D B M m h 1 1 VABCD  VA.MNDC  4VA.IMN  2VA.IMN  IA.IM IN  h.m.n 2 3  a  b  c m  h  m  c  2  a  b  c2  Từ h  n  b  n   m2  n  a 2   a  b2  c h   n A C ... việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  thành khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SBD  * Kẻ SI  AB S Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD   I trung điểm AB... mặt phẳng  SAB   ABCD 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A 21a 14 B 21a C 7a 14 D 7a Câu 15.Cho tứ diện ABCD có AB  CD  , AC  BD  , AD  BC  Tính khoảng cách từ A đến mặt. ..  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng  SAC  A d  a 1315