Thông tin tài liệu
CHUN ĐỀ: KHAI THÁC CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG VNG GĨC CỦA HÌNH CHĨP ĐẾN MẶT BÊN Người viết: Trần Mạnh Tường THPT Chu Văn An – Thanh Hố I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: Nếu hình chóp S ABC có SA ABC d A; SBC SAd A; BC 1 d A ; SBC hay SA2 d A; BC SA2 d A; BC Chứng minh: Trong tam giác ABC , dựng đường cao AK S Trong tam giác SAK , dựng đường cao AH Khi H BC SA BC SAK BC AH BC AK AH SBC d A; SBC AH C A K B Trong tam giác vng SAK có 1 1 1 2 2 2 AH SA AK SA d A; BC d A; SBC Đặc biệt: Nếu hình chóp S ABC có SA ABC AB AC ( A đỉnh tam diện vuông) d A; SBC 1 2 AS AB AC Bình luận: +) Sử dụng cơng thức khoảng cách phía giúp khơng phải suy nghĩ dựng hình chiếu điểm lên mặt phẳng +) Khi gặp tốn tính khoảng cách mà xuất chân đường vng góc ta xử lí để đưa tốn tính khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt phẳng cần tính II VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B , AB a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A 5a 5a B C 2a D 5a Lời giải Chọn A S Ta có d A; SBC SAd A; BC 2a SA2 d A; BC SA.AB a.2a 2a 2 2 SA AB a 4a C A a B Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD 2a , SA a Khoảng cách từ B đến SCD bằng: A 3a B 3a 2 C 2a 5 D 2a 3 Lời giải Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc toán điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để a chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng A D cách từ A đến SCD Ta thấy d B; SCD d A; SCD SA.AD SA2 AD SAd A;CD SA2 d A;CD a.2a a 4a 2a 5 B 2a C Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a , SA SB SC SD a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a B a C 2a D a Lời giải Chọn C S a A D M O B C 2a Nhận xét: Chân đường vuông góc tốn điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ O đến SCD Gọi O AC BD Do SA SB SC SD SO AC nên tam giác SAC , SBD cân S SO ABCD SO BD Ta có d B; SCD 2d O; SCD Và d O; SCD SO.d O;CD SO d O;CD 2 SA2 AO OM SA AO OM d B; SCD 2d O; SCD 2a SO.OM SO OM a 3.a 3a a 2 a Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có ABC cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với ABC Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A a B a 15 C a D a Lời giải S Chọn B Ta có d A; SBC SAd A; BC a SA2 d A; BC a A a a 15 15 3a 3a a C a a B Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ABCD , SA a Gọi G trọng tâm tam giác ABD , khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC A a B a C a a D Lời giải Chọn B S Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ G đến SBC thành khoảng a cách từ A đến SBC A d G ; SBC d A; SBC SAd A; BC Ta có SA2 d A; BC a.a a 2 a a D G a B O a C Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD 60o , SA a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD bằng? A 21a B 15a 21a Lời giải C 15a D Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ A đến SCD a A Ta có: d B; SCD d A; SCD a SAd A;CD a SA d A;CD D 60 O B C a a a 21 2 3a SA d B;CD a SAd B;CD a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB BC a, AD 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH a Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD A d 6a C d B d a Lời giải 6a Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc toán điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ a khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ H đến SCD Ta có d B; SCD d H ; SCD a a 2 a 2 6a 2a SH d H ;CD 4 SH d H ;CD 15a D d A H a a a B a M a C D Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a SCA 900 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính khoảng cách SBA từ điểm B đến mặt phẳng SAC A 15 a B 15 a C 15 a D 51 a Lời giải Chọn B Nhận xét: +) Trong tốn chưa có chân đường vng góc, nên ta cần tìm chứng minh chân đường vng góc trọng tâm H tam giác đáy +) Chân đường vng góc tốn điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SAC thành khoảng cách từ H đến SAC Gọi I trung điểm SA Tam giác SAB SAC tam giác vuông B,C IS IA IB IC I S tâm mặt cầu I ngoại tiếp tứ diện S ABC Gọi H trọng tâm tam giác ABC IH ABC M C Ta có H d B; SAC 3.d H ; SAC HA.HM HA2 HM HI HM HI HM 2a 2a B 2a 2a 2 2a 15 45 A Ví dụ 9: (Mã 102-2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a AA 2a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC A a B 5a C 57a 19 D 57a 19 Lời giải Chọn D Nhận xét: Nhận thấy điểm A với A’, B, C tạo thành hình chóp có A chân đường vng góc nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ M đến A ' BC thành khoảng cách từ A đến A ' BC Ta có : d M ; A ' BC d C '; A ' BC d A; A ' BC AA '.d A; BC AA '2 d A; BC a a 57 19 3a 4a 2a Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A B C D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC 600 , AA 2a , hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng A B C D trọng tâm tam giác A B C Gọi M điểm di động cạnh BB Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CDD C A 165a 30 B 165a 15 C 165a 15 D 165a Lời giải Chọn C Gọi G G trọng tâm tam giác ADC A B C Từ giả thiết suy ra: AG ' A B C D C G ABCD Do đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC 600 nên tam giác A B C ADC tam giác Ta có ABB A CDD C d M , CDD C d A, CDD C 3d G, CDD C GC '.GH GC '2 GH a a a 11 với GH ; C 'G AG AA2 A G 2 4a Thay vào (*), ta có d M , CDD C a 165 15 * Ví dụ 11: (Đề tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , AB 2a , AC 4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a (hình minh họa) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC A 2a B 6a 3a C D a Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại Gọi N trung điểm AC , ta có: MN //BC nên ta BC // SMN Do d BC , SM d BC , SMN d B, SMN d A, SMN Tứ diện ASMN vng A nên ta có: 1 1 1 2a h 2 2 h AS AM AN a a 4a 4a Vậy d BC , SM 2a Ví dụ 12: (Đề Minh Hoạ 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB 2a , AD DC CB a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 3a (minh họa hình bên) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB DM 3a A B 3a C 13a 13 D 13a 13 Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại S Ta có : 3a d DM , SB d DM , SBC d M , SBC d A, SBC A; BC SAd SA.2d M ; BC SA2 d A; BC SA2 4d M ; BC a 3a 9a 3a 3a a A M a B a a a D a C Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A với AC a Biết BC hợp với mặt phẳng AA C C góc 30o hợp với mặt phẳng đáy góc cho sin Gọi M , N trung điểm cạnh BB A C Khoảng cách MN AC là: A a a B C a D a Lời giải Chọn A Ta có MNP / / ABC ' A' d MN ; AC ' d MN ; ABC ' d M ;ABC ' 1 CC '.CA d C ; ABC ' 2 CC '2 CA2 A 30o +) Ta có: BC , AAC C BC P 3a x M A CC BC tan a α B AC AB.cot 30o 3x +) Mặt khác ta có: AC CC 2 AC 2 x a CC a 3; AB a 30 B' * BC +) Mặt khác BC , ABC C +) Gọi AB x BC 3a x C' N a 3.a a Thay vào (*), ta có: d MN ; ABC ' 3a 3a C Ví dụ 14: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA SB SC a , SAB 30 , 60 , SCA 45 Tính khoảng cách d đường thẳng AB SD ? SBC A 4a 11 11 B a 22 22 C a 22 11 D 2a 22 11 Lời giải Chọn C S a a a A D a a H B C a 60 nên SBC đều, BC a Do SB SC a SBC Lại có SA SC a SCA 45 nên SAC vuông cân S , suy AC a 30 nên AB 2.SA.cos 30 a SA SB a SAB Do AB BC AC , suy ABC vuông C Gọi H trung điểm AB Khi đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SA SB SC nên SH ABC Lại có CH 3a a AB nên SH SC CH a Ta có d AB, SD d AB, SCD d H , SCD SH d H ;CD SH d H ;CD Trong d C ; AB Vậy d AB, SD CACB CA2 CB a 22 11 a 2.a 2a a a SH d C ; AB SH d C ; AB * BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , biết SA ABC AB 2a , AC 3a , SA 4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A d 2a 11 B d 6a 29 29 C d 12a 61 61 D a 43 12 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a A d 2a B d a C d a D d a Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi H trọng tâm tam giác ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC , d2 khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC Khi d1 d2 có giá trị A 2a 11 B 2a 33 C 22a 33 D 2a 11 Bài 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AC a, I trung điểm SC Hình chiếu vng góc S lên ABC trung điểm H BC Mặt phẳng SAB tạo với ABC góc 60 Tính khoảng cách từ I A 3a B 3a đến mặt phẳng SAB C 5a D 2a Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AB 2a Tam giác SAB vng S , mặt phẳng SAB vng góc với ABCD Biết góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng SBC , với sin A 2a B a Tính khoảng cách từ C đến SBD theo a C 2a D a Bài 6: Cho hình chớp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , ABC 60 , mặt bên SAB tam giác Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm AO Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD A a 560 112 B a 560 10 C a 560 D a 560 28 Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , SA ABCD ; AB 2a , AD CD a Gọi N trung điểm SA Tính khoảng cách đường thẳng SC DN , biết thể tích khối chóp S ABCD A a B a C a3 a D a 10 Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vng cân A Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A A h a B h a C h a D h a Bài 9: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB a Gọi M trung điểm AC Biết hình chiếu vng góc S lên mp ABC điểm N thỏa mãn BM 3MN góc hai mặt phẳng SAB SBC 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a A 17a 68 B 17a 51 C 17a 34 D 17a 17 Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh bên a , đáy ABC tam giác vuông A , AB a, AC a Biết hình chiếu vng góc A mặt phẳng ABC trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AA B C bằng: A a Bài C B Bài D 3a C a Bài Bài Bài Bài Bài C A A D A D Bài D a Bài Bài 10 D D ... chân đường vng góc, nên ta cần tìm chứng minh chân đường vng góc trọng tâm H tam giác đáy +) Chân đường vng góc toán điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến. .. Lời giải 6a Chọn C S Nhận xét: Chân đường vuông góc tốn điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ a khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ H đến SCD Ta có d B; SCD ... C S a A D M O B C 2a Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ O đến SCD Gọi O AC BD Do SA
Ngày đăng: 11/06/2021, 20:32
Xem thêm:
