LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi dạy bài “ Phương trình đường thẳng” trong chương trình hình học lớp 10 cơ bản, tôi thấy cách chứng minh “Công thức tính khoảng từ một điểm đến một đường thẳng” ớ sá
Trang 1I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi dạy bài “ Phương trình đường thẳng” trong chương trình hình học lớp
10 cơ bản, tôi thấy cách chứng minh “Công thức tính khoảng từ một điểm đến một đường thẳng” ớ sách cơ bản hay hơn sách nâng cao.Trong quá trình chứng minh công thức sách giáo khoa đã đưa ra một số kết quả quan trọng không kém gì công thức tính khoảng cách, nhưng rất ít người nghĩ đến việc
sử dụng các kết quả này.Tôi đã và xem các kết quả đó như các công thức để giải toán, khai thác các công thức, nhờ đó giúp cho học sinh có thêm các phương pháp giải toán đơn giản và dễ hiểu
II NỘI DUNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình
ax + by + c = 0 và điểm M0(x0;y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường ,
kí hiệu là d(M0,), được tính bởi công thức d(M0,) = 0 0
2 2
a b
A/ Tóm tắt chứng minh công thức của SGK:
Sách giáo khoa đã viết rất đầy đủ theo lược đồ sau:
1 Ký hiệu d(M0,)
2 Chỉ ra d(M0,) = M0H, với H là hình chiếu của điểm M0 trên
3 Cách tìm hình chiếu H = d,với d là đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với
+ Viết ptts của đường thằng d: 0
0
x x at
y y bt
, với n a b( ; ) là vtpt của + Tọa độ giao điểm H ứng với giá trị tH của pt:
a x 0 at Hb y( 0 bt H) c 0
2 2
ax
H
by c t
a b
+ Điểm H =x0 at y H; 0 bt H
4 d(M0,) = M0H = (a2 b t2 )H2 = 0 0
2 2
a b
5 Kết luận: d(M0,) = 0 0
2 2
a b
B/ Các kết quả cần được chốt lại thành công thức
Dựa trên các kết quả đã đưa ra, tôi chốt lại bốn công thức để áp dụng: 0 0
2 2
ax
H
by c t
a b
(1) H =x0 at y H; 0 bt H (2)
M H t n 0 H
(3)
Trang 2d(M0,) = 0 0
2 2
a b
(4) Các công thức trên sẽ giúp cho học sinh giái quyết một loạt các bài toán phức tạp trở thành rất đơn giản và dễ hiểu
C/ Cách áp dụng các công thức trên trong việc giải toán
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng cách
áp dụng công thức
VD 1: Trong mp tọa độ Oxy,cho đường thẳng: x y35 4t t
1) Tính d(M,)? Tính d(O,)?
2) Tính d(M,Ox)? Tính d(M,Oy)?
3) Chứng tỏ rằng đường thẳng // ’: 8x – 6y + 2 = 0 Tính d( , ')? Giải: PTTQ của đường thẳng : 4x 3y 15 0
1) Áp dụng công thức (4) ta có:d(M,) = 4.1 3 22 215 1
Và d(O,) = 4.0 3.2 152 15 3
5
o
Vậy d(M,) = 1 và d(MO,) = 3
2) Ta có PTTQ của trục Ox là : y = 0.Áp dụng công thức (4) ta có:
d(M,Ox) = 2 2
Ta có PTTQ của trục Oy là: x = 0 Áp dụng công thức (4) ta có: d(M,Oy) =1 1
Vậy d(M,Ox) = 2 và d(M,Oy) = 1
3) Nhận thấy / / ' vì 4 3 15
Và điểm A(0;5)
Do đó d( , ')= d(A, ')= 8.0 6.5 22 2 1028 1028
Nhận xét:
a) Các trường hợp đặc biệt của công thức (4):
* d(O,) = 2c 2
a b
* d(M0,Ox) = y0
* d(M0,Oy) = x0
b) Nếu / / ' thì d( , ')= d(A, ')= d(B,), với A và B '.
Trang 3Bài toán 2: Xét vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.
Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm A(x1;y1) Nếu A’ là hình chiếu của A trên , áp dụng công thức (3) ta có: AA ' t n A'
Áp dụng công thức (1) lại có: 1 1
ax
A
by c t
a b
Tương tự nếu có điểm B(x2;y2) với B’ là hình chiếu của B trên, ta cũng có:
2 2
ax
B
by c
t
a b
Nhận thấy: - Nếu t t A' B' 0 thì A và B nằm khác phía nhau đối với
- Nếu t t A' B' 0 thì A và B nằm cùng phía đối với
Suy ra: - Nếu(ax 1 by1 c) (ax2by2c)< 0 thì A và B nằm khác phía nhau đối với
- Nếu(ax 1 by1 c) (ax2by2c)> 0 thì A và B nằm cùng phía đối với
Nhận xét: Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm A(x1;y1), B(x2;y2) -Nếu(ax 1 by1 c) (ax2by2c)< 0 thì A và B nằm khác phía nhau đối với -Nếu(ax 1 by1 c) (ax2by2c)> 0 thì A và B nằm cùng phía đối với.
VD 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 3x 4y 5 0 và hai điểm A(-1;5), B(1;-3)
a) Chứng tỏ rằng 2 điểm A,B nằm về hai phía của đường thẳng
b) Chứng tỏ rằng 2 điểm O, B nằm về cùng một phía của đường thẳng Giải: a) Nhận thấy 3 1 4.5 5 3.1 4 3 5 0, do đó A và B nằm về hai phía của đường thẳng
b) Nhận thấy 3.0 4.0 5 3.1 4 3 5 0, do đó O và B nằm về cùng một phía của đường thẳng
Bài toán 3: Tìm hình chiếu của một điểm M(x0;y0) trên một đường thẳng
và tìm điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng
1/ Cách tìm hình chiếu:
Ngoài cách tìm như SGK đã trình bày còn cách tìm khác bằng cách áp dụng các công thức (1) và (2) ở trên
Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Áp dụng công thức (2) ta có tọa độ điểm H =x0 at y H; 0 bt H.
Áp dụng công thức (1) ta có 0 0
2 2
ax
H
by c t
a b
Cách 1: - Tìm hình chiếu H.
- H là trung điểm MM’.
, với n a b( ; )
Trang 4Áp dụng công thức (1) ta có 0 0
2 2
ax
H
by c t
a b
VD 3:Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(-2;1) và đường thẳng
a) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng
b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Áp dụng công (2)
ta có tọa độ điểm H = 2 3 ;1 4t H t H.
Mặt khác theo công thức (1) ta có 2 2
H
Do đó tọa độ điểm H = 2 3 ;1 4.3 3 1; 7
b)Cách 1: Theo trên ta có H là trung điểm của MM’, suy ra tọa độ điểm M’:
'
'
8 2
5 19 2
5
M
Cách 2: Theo công thức (3) ta có MM' 2 MH 2t n H
, với n (3; 4)
Và theo công thức (1) ta có 2 2
H
Do đó ta có ' 18; 24
MM
Suy ra tọa độ điểm M’:
'
'
2
1
Vậy điểm '( ;8 19)
Bài toán 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cho trước
1/ Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường song song
và ' : ax by c ' 0 , ( c c ')
Phương pháp giải:
Gọi điểm M(x;y) cách đều hai đường thẳng Áp dụng công thức (4) ta có: d(M,)= d(M, ')
2 2
ax by c
a b
a b
2
c c
Trang 5Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đường song song : ax by c 0
thẳng cho trước có phương trình là: ax ' 0
2
c c
by
2/ Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau
Ta có tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau là đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi hai đường thằng đó
Bài toán: Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau : ax by c 0 và ' : a'x b y c' ' 0
Phương pháp giải: Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi
hai đường thẳngvà’ d(M,)= d(M, ')
2 2
ax by c
a b
b y c
ax 2 2 ' 2 ' 2 '
by c a x b y c
Vậy phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là:
by c a x b y c
Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng cắt nhau
giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là: ax 2 2 ' 2 ' 2 '
by c a x b y c
VD 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
; ' : 4x 3 y 5 0 và ": 8 x 6y 4 0
1) Chứng tỏ '/ / " Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ', " 2) Chứng tỏ cắt '.Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng , '
Giải: 1) Ta có phương trình của ": 4x 3y 2 0 Nhận thấy '/ / " vì
Do đó tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ', "là đường thẳng (d): 4x + 3y 7 0
2
2) Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
và’ d(M,)= d(M, ')
2 2
y
y
3x + 4y -1 =(4x + 3y - 5) 7x y x7y4 04 0
Trang 6Vậy có hai đường phân giác cần tìm: x – y - 4 = 0 và 7x – 7y – 4 = 0.
C/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trên cơ sở các bài toán cơ bản, học sinh giải các bài toán lớn phức tạp hơn
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) vả B(0; -1) và
đường thẳng (d):x t y2 1t
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên dường thẳng (d)
b) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d)
c) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho: MA + MB nhỏ nhất
Hướng dẫn giải: PTTQ của (d): 2x – y + 1 = 0.
a) Áp dụng công thức (1) và (2) tìm được hình chiếu H 3 11;
5 5
b)Theo kết quả câu a): H 3 11;
5 5
là trung điểm của AA’ Suy ra A’ 1 12;
5 5
c)+ Nhận xét vị trí của A và B đối với (d)
Nhận thấy A và B nằm cùng phía đối với (d)
+ Theo trên ta có điểm A’ 1 12;
5 5
đối xứng với A qua (d)
Với điểm M (d) ta có MA = MA’.Do đó MA + MB = MA’+MBA B' Dấu đẳng thức xảy ra khi A’,M, B thẳng hàng Min (MA + MB) =AB’
M A B d
+ Viết phương trình đường thẳng A’B:
Ta có ' 1; 17
A B
Đường thẳng A’B có một véc tơ chỉ phương
A B
Do đó ptts của A’B là: x t y 1 17t
+ Tìm giao điểm M: Giải hệ pt:
2
15
x
x y
y
Vậy điểm 2 19;
15 15
M
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình đường thẳng
(d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (d”):
a) (d): 4x – y + 3 = 0 và (d”): x – y = 0
b) (d): 6x – 3y + 4 = 0 và (d”): 4x – 2y +3 = 0
Giải:
a) Nhận thấy hai đường thẳng (d) (d”) = M(-1;-1)
Trang 7+Lấy điểm A(0;3)(d).Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d”), được A’(3;0)
+ Viết pt đường thẳng (d’) đi qua hai điểm M, A’:
(d’): x – 4y – 3 = 0
b) Ta có pt của hai đường thẳng (d):2x – y + 4
3 = 0 và (d”): 2x – y +3
Nhận thấy hai đường thẳng (d) // (d”) Do đó đường thẳng (d’)cần tìm song song với hai đường thẳng (d) và (d”), và (d”) cách đều (d) và(d’) Suy ra pt (d’): 2x – y +5
3= 0
Nhận xét: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (d1).
Trường hợp 1: (d) (d1)= M.
+ Tìm tọa độ điểm M.
+ Lấy điểm A(d) Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (d1).
+ Viết pt đường thẳng (d’) đi qua hai điểm M và A’.
Trường hợp 2: (d) // (d1).
+ Viết pt (d) và (d1) về dạng: (d): ax + by + c = 0; (d1): ax + by + c1= 0 + Pt (d’) : ax + by + c’ = 0, với c’ = 2c1- c
Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d’) đối
xứng với đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 qua điểm M(1;1)
Giải: Đường thẳng (d’)//(d) Suy ra phương trình của (d’): x – 2y + c = 0,
2
c Và d(M,(d)) = d(M,(d’)) 1 1 2
0
c c
c
Loại c = 2, nhận c = 0 Vậy phương trình (d’): x – 2y = 0
Nhận xét: viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d)
qua điểm M(x0;y0) có rất nhiều cách viết, ở ví dụ này tôi hướng dẫn học sinh cách giải sử dụng công thức tính khoảng cách
Bài 4: Viết phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc
A của tam giác ABC, có ba cạnh có phương trình là:
AB: 3x – 4y = 0; AC: 4x – 3y = 0; BC: 5x + 12y – 101 = 0
Hướng dẫn giải: - Viết pt các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng AB và AC
- Tìm tọa độ hai điểm B và C; B = ABBC, CACBC
- Lấy một đường phân giác và xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng đó
- KL:+ nếu B,C nằm cùng phía đối với đường thẳng thì đó là phân giác ngoài, suy ra đường còn lại là đường phân giác trong
Trang 8+ nếu B,C nằm khác phía nhau đối với đường thẳng thì đó là phân giác trong, suy ra đường còn lại là đường phân giác ngoài
III KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10C1 trường PTTH Tô Hiến Thành thành phố Thanh Hóa,tôi đã dạy và sử dụng các công thức (1),(2), (3),(4) vào việc giải toán như trên.Kết quả là học sinh thấy dễ hiểu và làm rất tốt
Ví dụ để tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng thì học sinh chỉ cần nhớ hai công thức (1),(2),nó dễ hơn cách mà SGK đã trình bày rất nhiều Khi đã có bốn công thức trong tay thì việc giải các dạng toán như đã đưa ra
ở trên đối với học sinh lớp 10C1 trở thành đơn giản
Và theo tôi bằng phép tương tự khi chứng minh “công thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng” trong hình học không gian lớp 12 ta có bốn công thức tương tự:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình
Ax + By +Cz + D= 0 và điểm M0(x0;y0).Gọi H là hình chiếu của điểm M0 trên mp( ) , ta có:
0 0
Ax
H
By Cz D t
(1)
H =x0 At y H; 0 Bt z H; 0 Ct H (2)
M H t n0 H
(3) , với n A B C( ; ; )
d(M0,( ) ) = 0 0 0
(4)
Từ các công thức này ta cũng giải quyết một loạt các bài toán tương tự trong không gian rất đơn giản và dễ hiểu
Đó là suy nghĩ và cách dạy của tôi khi dạy phần “công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong chương trình hình học lớp 10
cơ bản Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp
Tôi chân thành cảm ơn
Thanh hóa, tháng 5 năm 2011