skkn suy nghĩ khi dạy ‘’công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong chương hình học lớp 10 cơ bản

Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi dạy “ Phương trình đường thẳng” chương trình hình học lớp 10 bản, tơi thấy cách chứng minh “Cơng thức tính khoảng từ điểm đến đường thẳng” sách hay sách nâng cao.Trong q trình chứng minh cơng thức sách giáo khoa đưa số kết quan trọng khơng cơng thức tính khoảng cách, người nghĩ đến việc sử dụng kết này.Tơi xem kết cơng thức để giải tốn, khai thác cơng thức, nhờ giúp cho học sinh có thêm phương pháp giải toán đơn giản dễ hiểu II NỘI DUNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = điểm M0(x0;y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường  , kí hiệu d(M0,  ), tính cơng thức d(M0,  ) = ax  by0  c a  b2 A/ Tóm tắt chứng minh cơng thức SGK: Sách giáo khoa viết đầy đủ theo lược đồ sau: Ký hiệu d(M0,  ) Chỉ d(M0,  ) = M0H, với H hình chiếu điểm M0  Cách tìm hình chiếu H =  �d ,với d đường thẳng qua M0 vng góc với  r �x  x0  at , với n(a; b) vtpt  �y  y0  bt + Viết ptts đường thằng d: � + Tọa độ giao điểm H ứng với giá trị tH pt: a  x0  at H   b( y0  bt H )  c  + Được t H   ax  by0  c a2  b2 Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tơ Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 + Điểm H =  x0  at H ; y0  bt H  d(M0,  ) = M0H = (a  b2 )tH2 = Kết luận: d(M0,  ) = ax  by0  c a  b2 ax  by0  c a  b2 B/ Các kết cần chốt lại thành công thức Dựa kết đưa ra, chốt lại bốn công thức để áp dụng: tH   ax  by0  c a2  b2 (1) H =  x0  atH ; y0  bt H  uuuuur r M H  tH n d(M0,  ) = (3) (2) ax  by0  c a b 2 (4) Các công thức giúp cho học sinh giái loạt toán phức tạp trở thành đơn giản dễ hiểu C/ Cách áp dụng công thức việc giải tốn Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cách áp dụng công thức �x  3t ,và điểm M(1;-2) �y   4t VD 1: Trong mp tọa độ Oxy,cho đường thẳng  : � 1) Tính d(M,  )? Tính d(O,  )? 2) Tính d(M,Ox)? Tính d(M,Oy)? 3) Chứng tỏ đường thẳng  //  ’: 8x – 6y + = Tính d( ,  ' )? Giải: PTTQ đường thẳng  : x  y  15  1) Áp dụng cơng thức (4) ta có:d(M,  ) = 4.1   2   15 42  ( 3)  Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tơ Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 4.0  3.o  15 Và d(O,  ) =  (3) 2  15 3 Vậy d(M,  ) = d(MO,  ) = 2) Ta có PTTQ trục Ox : y = 0.Áp dụng công thức (4) ta có: d(M,Ox) = 2  Ta có PTTQ trục Oy là: x = Áp dụng cơng thức (4) ta có: d(M,Oy) =  Vậy d(M,Ox) = d(M,Oy) = 3) Nhận thấy  / /  ' 3 15  � Và điểm A(0;5) � 6 8.0  6.5  Do d( ,  ' )= d(A,  ' )= 82  (6)  28 28  10 10 Nhận xét: a) Các trường hợp đặc biệt công thức (4): * d(O,  ) = c a  b2 * d(M0,Ox) = y0 * d(M0,Oy) = x0 b) Nếu  / /  ' d( ,  ' )= d(A,  ' )= d(B,  ), với A � B � ' Bài tốn 2: Xét vị trí hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng  : ax  by  c  điểm A(x1;y1) Nếu A’ hình chiếu uuuur r A  , áp dụng cơng thức (3) ta có: AA '  t A ' n Áp dụng cơng thức (1) lại có: t A '   ax1  by1  c a  b2 Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Tương tự có điểm B(x2;y2) với B’ hình chiếu B  , ta có: tB '   ax  by2  c a  b2 Nhận thấy: - Nếu t A ' t B ' p A B nằm khác phía  - Nếu t A ' t B ' f A B nằm phía  Suy ra: - Nếu (ax1  by1  c ) (ax  by2  c) < A B nằm khác phía  - Nếu (ax1  by1  c ) (ax  by2  c) > A B nằm phía  Nhận xét: Cho đường thẳng  : ax  by  c  hai điểm A(x1;y1), B(x2;y2) -Nếu (ax1  by1  c) (ax  by2  c) < A B nằm khác phía  -Nếu (ax1  by1  c) (ax  by2  c) > A B nằm phía  VD 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  : 3x  y   hai điểm A(-1;5), B(1;-3) a) Chứng tỏ điểm A,B nằm hai phía đường thẳng  b) Chứng tỏ điểm O, B nằm phía đường thẳng   1  4.5  5� 3.1   3  5� Giải: a) Nhận thấy � � �� � � , A B nằm hai phía đường thẳng  3.1   3  � b) Nhận thấy  3.0  4.0   � � � , O B nằm phía đường thẳng  Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm M(x0;y0) đường thẳng  : ax  by  c  tìm điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng  1/ Cách tìm hình chiếu: Ngồi cách tìm SGK trình bày cách tìm khác cách áp dụng cơng thức (1) (2) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tơ Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Gọi H hình chiếu điểm M đường thẳng  Áp dụng công thức (2) ta có tọa độ điểm H =  x0  atH ; y0  bt H  Áp dụng cơng thức (1) ta có t H   ax  by0  c a2  b2 2/ Cách tìm điểm đối xứng: Gọi M’là điểm đối xứng M qua  Cách 1: - Tìm hình chiếu H - H trung điểm MM’ uuuuur uuuur r r Cách 2: Áp dụng công thức (3) ta có: MM '  MH  2tH n , với n(a; b) Áp dụng công thức (1) ta có t H   ax  by0  c a2  b2 VD 3:Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(-2;1) đường thẳng  : 3x - 4y   a) Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng  b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng  Giải: a) Gọi H hình chiếu điểm M đường thẳng  Áp dụng cơng (2) ta có tọa độ điểm H =  2  3t H ;1  4tH  3(-2) - 4.1- Mặt khác theo công thức (1) ta có t H   32  (4)2  3� � �1 7� Do tọa độ điểm H = �2  ;1  �� H � ;  � 5� � �5 5� b)Cách 1: Theo ta có H trung điểm MM’, suy tọa độ điểm M’: � xM '  xH  xM  � 19 � � M '( ;  ) � 5 �y  x  y   19 M' H M � uuuuur uuuur r r Cách 2: Theo cơng thức (3) ta có MM '  2MH  2tH n , với n  (3; 4) Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 3(-2) - 4.1- Và theo công thức (1) ta có t H   32  (4)2  uuuuur 18 �5 � Do ta có MM '  � ;  24 � � Suy tọa độ điểm M’: � 18 18 � xM '   xM    � � 5 � �y   24  y   24    19 M �M ' 5 Vậy điểm M '( ;  19 ) Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng cho trước 1/ Tìm tập hợp điểm cách hai đường song song  : ax  by  c   ' : ax  by  c '  , ( c �c ' ) Phương pháp giải: Gọi điểm M(x;y) cách hai đường thẳng Áp dụng cơng thức (4) ta có: d(M,  )= d(M,  ' ) � ax  by  c a  b2 = ax  by  c ' a  b2 � ax  by  c  �(ax  by  c ') � ax  by  c c' 0 Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai đường song song  : ax  by  c   ' : ax  by  c '  ( c �c ' ) đường thẳng song song với hai đường thẳng cho trước có phương trình là: ax  by  c c' 0 2/ Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng cắt Ta có tập hợp điểm cách hai đường thẳng cắt đường thẳng phân giác góc tạo hai đường thằng Bài tốn: Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt  : ax  by  c   ' : a'x  b ' y  c '  Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Phương pháp giải: Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác góc tạo hai đường thẳng   ’ � d(M,  )= d(M,  ' ) � ax  by  c � a b 2 ax  by  c a  b2 = a'x  b ' y  c ' a '2  b '2 a'x b' y  c' � a '2  b '2 Vậy phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: ax  by  c a2  b2 a'x b' y c' � a '2  b '2 Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng cắt  : ax  by  c   ' : a'x  b ' y  c '  Vậy phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: ax  by  c a  b2 a'x b' y  c' � a '2  b '2 VD 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng:  : 3x  y   ;  ' : 4x  y    ": 8 x  y   1) Chứng tỏ  '/ /  " Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng  ',  " 2) Chứng tỏ  cắt  ' Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ,  ' Giải: 1) Ta có phương trình  ": x  y   Nhận thấy  '/ /  " 5  � Do tập hợp điểm cách hai đường thẳng  ',  " đường 2 thẳng (d): 4x + 3y   2) Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác góc tạo hai đường thẳng   ’ � d(M,  )= d(M,  ' ) � 3x  y  32  42 = 4x  y  42  Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 x y40 � � 3x + 4y -1 = �(4x + 3y - 5) � � 7x  y   � Vậy có hai đường phân giác cần tìm: x – y - = 7x – 7y – = C/ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trên sở toán bản, học sinh giải toán lớn phức tạp Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) vả B(0; -1) �x  t �y  2t  đường thẳng (d): � a) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm A dường thẳng (d) b) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d) c) Tìm điểm M đường thẳng (d) cho: MA + MB nhỏ Hướng dẫn giải: PTTQ (d): 2x – y + = �3 11 � � �5 � a) Áp dụng cơng thức (1) (2) tìm hình chiếu H � ; �3 11 � �1 12 � �là trung điểm AA’ Suy A’ � ; � �5 � �5 � b)Theo kết câu a): H � ; c)+ Nhận xét vị trí A B (d) Nhận thấy A B nằm phía (d) �1 12 � �đối xứng với A qua (d) �5 � + Theo ta có điểm A’ � ; Với  điểm M � (d) ta có MA = MA’.Do MA + MB = MA’+MB �A ' B Dấu đẳng thức xảy A’,M, B thẳng hàng � Min (MA + MB) =AB’ � M  A ' B �(d ) + Viết phương trình đường thẳng A’B: Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 uuuur �5 � Ta có A ' B  � ;  17 � �� Đường thẳng A’B có véc tơ phương 5� uuur �x  t u A ' B  (1;17) Do ptts A’B là: � �y  1  17t � x � x  t ; y    17 t � � 15 �� + Tìm giao điểm M: Giải hệ pt: � 2x  y 1  � �y  19 � 15 19 � � Vậy điểm M � ; � 15 15 � � Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (d”): a) (d): 4x – y + = (d”): x – y = b) (d): 6x – 3y + = (d”): 4x – 2y +3 = Giải: a) Nhận thấy hai đường thẳng (d) � (d”) = M(-1;-1) +Lấy điểm A(0;3) �(d).Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d”), A’(3;0) + Viết pt đường thẳng (d’) qua hai điểm M, A’: (d’): x – 4y – = b) Ta có pt hai đường thẳng (d):2x – y + = (d”): 2x – y + = Nhận thấy hai đường thẳng (d) // (d”) Do đường thẳng (d’)cần tìm song song với hai đường thẳng (d) (d”), (d”) cách (d) và(d’) Suy pt (d’): 2x – y + = Nhận xét: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (d1) Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Trường hợp 1: (d) � (d1)= M + Tìm tọa độ điểm M + Lấy điểm A �(d) Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (d1) + Viết pt đường thẳng (d’) qua hai điểm M A’ Trường hợp 2: (d) // (d1) + Viết pt (d) (d1) dạng: (d): ax + by + c = 0; (d1): ax + by + c1= + Pt (d’) : ax + by + c’ = 0, với c’ = 2c1- c Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d): x – 2y + = qua điểm M(1;1) Giải: Đường thẳng (d’)//(d) Suy phương trình (d’): x – 2y + c = 0, c2 � c �2 Và d(M,(d)) = d(M,(d’)) � c   � � c0 � Loại c = 2, nhận c = Vậy phương trình (d’): x – 2y = Nhận xét: viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua điểm M(x0;y0) có nhiều cách viết, ví dụ tơi hướng dẫn học sinh cách giải sử dụng cơng thức tính khoảng cách Bài 4: Viết phương trình đường phân giác phân giác ngồi góc A tam giác ABC, có ba cạnh có phương trình là: AB: 3x – 4y = 0; AC: 4x – 3y = 0; BC: 5x + 12y – 101 = Hướng dẫn giải: - Viết pt đường phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC - Tìm tọa độ hai điểm B C; B = AB �BC , C  AC �BC - Lấy đường phân giác xét vị trí hai điểm B C đường thẳng - KL:+ B,C nằm phía đường thẳng phân giác ngồi, suy đường lại đường phân giác Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tơ Hiến Thành thành phố Thanh hóa 10 Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 + B,C nằm khác phía đường thẳng phân giác trong, suy đường lại đường phân giác ngồi III KẾT QUẢ THỰC HIỆN Trong trình giảng dạy lớp 10C1 trường PTTH Tô Hiến Thành thành phố Thanh Hóa,tơi dạy sử dụng cơng thức (1),(2), (3),(4) vào việc giải toán trên.Kết học sinh thấy dễ hiểu làm tốt Ví dụ để tìm hình chiếu điểm đường thẳng học sinh cần nhớ hai cơng thức (1),(2),nó dễ cách mà SGK trình bày nhiều Khi có bốn cơng thức tay việc giải dạng toán đưa học sinh lớp 10C1 trở thành đơn giản Và theo phép tương tự chứng minh “cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng” hình học khơng gian lớp 12 ta có bốn cơng thức tương tự: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By +Cz + D= điểm M0(x0;y0).Gọi H hình chiếu điểm M0 mp ( ) , ta có: tH   Ax  By0  Cz  D A2  B  C (1) H =  x0  At H ; y0  Bt H ; z0  Ct H  uuuuur r M H  tH n (3) d(M0, ( ) ) = (2) r , với n( A; B; C ) Ax  By0  Cz0  D A  B C 2 (4) Từ công thức ta giải loạt tốn tương tự khơng gian đơn giản dễ hiểu Đó suy nghĩ cách dạy tơi dạy phần “cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương trình hình học lớp 10 Tơi mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa 11 Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Tơi chân thành cảm ơn Thanh hóa, tháng năm 2011 Sáng kiến kinh nghiệm mơn tốn năm học 2010-2011 Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa 12 ... phố Thanh hóa Suy nghĩ dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 Gọi H hình chiếu điểm M đường thẳng  Áp dụng công thức (2) ta có tọa độ điểm H =  x0... (4) Từ công thức ta giải loạt tốn tương tự khơng gian đơn giản dễ hiểu Đó suy nghĩ cách dạy tơi dạy phần “cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương trình hình học lớp 10 Tơi... dạy ‘’Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng” chương hình học lớp 10 + B,C nằm khác phía đường thẳng phân giác trong, suy đường lại đường phân giác ngồi III KẾT QUẢ THỰC HIỆN Trong