Bài báo trình bày về một phương án dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thông qua khái quát hoá. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol 59, No 2A, pp 36-42 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DẠY HỌC KIẾN TẠO CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG THÔNG QUA VIỆC KHÁI QUÁT HOÁ TỪ MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Bùi Văn Nghị1 , Hoàng Ngọc Anh2 , Nguyễn Tiến Trung3 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán, Trường Đại học Tây Bắc Nhà xuất Đại học Sư phạm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Bài báo trình bày phương án dạy học theo hướng tổ chức hoạt động giúp học sinh kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian thông qua khái quát hoá Ban đầu, học sinh giải toán tổng qt thơng qua việc cụ thể hố phần: điểm cụ thể, phương trình mặt phẳng có hệ số dạng tổng quát; điểm có toạ độ dạng tổng quát, phương trình mặt phẳng hệ số cụ thể Tiếp đó, học sinh khái qt hố, đề xuất chứng minh công thức khoảng cách trường hợp tổng quát Từ khóa: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khơng gian; khái qt hố; dạy học kiến tạo Mở đầu Theo quan niệm dạy học kiến tạo, học sinh (HS) học cách đặt vào mơi trường tích cực, phát vấn đề, giải vấn đề cách đồng hoá hay điều ứng kiến thức kinh nghiệm có cho tương thích với tình mới, từ xây dựng nên kiến thức cho thân Khái quát hoá hoạt động tư nhằm tóm lược, quy vào điểm chung cho nhiều vật, việc, tượng Trong dạy học cơng thức tính tốn, định lí, giáo viên (GV) dùng phương pháp đặc biệt hố: cho HS tìm cơng thức số trường hợp riêng Sau đó, sở thống kê kết quả, GV hướng dẫn HS tìm cơng thức tính tổng qt - định lí Ở đây, khái qt hố hoạt động tư giúp HS kiến tạo tri thức Dạy học theo hướng này, mặt phát huy tính tích cực học tập HS mặt rèn luyện cho HS sinh khả thói quen giải vấn đề mơn Tốn sống: Khi đứng trước vấn đề cần giải quyết, chia nhỏ, cụ thể hố vấn đề thành vấn đề đơn giản hơn, cụ thể Khái quát phương thức giải vấn đề cụ thể có phương án giải chung vấn đề lớn hơn, ban đầu Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: trungnt@hnue.edu.vn 36 Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong dạy học mơn Tốn nói chung, dạy học hình học nói riêng, “Người giáo viên cần tạo tình huống, học sinh gặp trở ngại nhận thức, học sinh phải hoạt động, giải vấn đề, phải điều chỉnh nhận thức, phải tìm kiếm để có tri thức mới” [3;93] Theo [2;184], trình dạy học hình học, ta “cần trọng phương pháp tiên đề phương pháp toạ độ” Khi đó, hai phương pháp bổ khuyết cho nhau, góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học Trong báo chúng tơi trình bày phương án thiết kế tình dạy học kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khơng gian (Hình học + (6t)2 = 49t2 = |t| 49 Thay giá trị vừa tìm vào công thức ta 2x0 − 3y0 + 6z0 − √ |2x0 − 3y0 + 6z0 − 5| √ d (M ; (α)) = − 49 = 49 49 a) b) Hình 38 Dạy học kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhóm 2: Ta có n(α) = (5, −4, 0) nên phương trình đường thẳng (M M ′ ) có dạng x = x0 + 5t y = y0 − 4t z = z0 Thế vào phương trình mặt phẳng (α) ta phương trình: 5x0 − 4y0 − (x0 + 5t) − (y0 − 4t) − = ⇔ t = − 41 −−−→′ Khi ta có: M M = (x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) = (5t; −4t; 0) −−−→ d (M ; (α)) = M M ′ = √ (5t)2 + (−4t)2 + 02 = |t| 41 Thay giá trị t vừa tìm vào công thức ta d (M ; (α)) = − |5x0 − 4y0 − 1| 5x0 − 4y0 − √ √ 41 = 41 41 Nhóm 3: Ta có n(α) = (A; B; C) nên phương trình đường thẳng (M M ′ ) có dạng: x = + At y = −2 + Bt z = + Cz Thế vào phương trình mặt phẳng (α) ta được: A(2 + At) + B(−2 + Bt) + C(3 + Cz) + D = ⇔ t = − Ta có: 2A − 2B + 3C + D A2 + B + C −−−→′ M M = (x − 2; y + 2; z − 3) = (At; Bt; Ct) d (M ; (α)) −−−→ = MM′ = = |t| (At)2 + (Bt)2 + (Ct)2 A2 + B + C Thay giá trị t vừa tìm vào công thức ta 2A − 2B + 3C + D A2 + B + C A2 + B + C |2A − 2B + 3C + D| = √ A2 + B + C d (M ; (α)) = − 39 Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung Nhóm 4: Một cách tương tự, kết thu nhóm là: |−3A + 4C + D| d (M ; (α)) = √ A2 + B + C Hoạt động 3: Thảo luận chung lớp, dự đốn, đề xuất cơng thức tổng qt Giáo viên: u cầu nhóm thơng báo kết tổng hợp thành phiếu học tập có sẵn (hoặc trình bày bảng) PHIẾU HỌC TẬP Thống kê cơng thức tìm nhóm: Nhóm Công thức Điểm; mặt phẳng |2x0 − 3y0 + 6z0 − 5| M (x0 ; y0 ; z0 ); √ d (M ; (α)) = (α) : 2x − 3y + 6z − = 49 |5x0 − 4y0 − 1| M (x0 ; y0 ; z0 ); √ d (M ; (α)) = (α) : 5x − 4y − = 41 |2A − 2B + 3C + D| M (2; −2; 3); d (M ; (α)) = √ (α) : Ax + By + Cz + D = A2 + B + C |−3A + 4C + D| M (−3; 0; 4); d (M ; (α)) = √ (α) : Ax + By + Cz + D = A2 + B + C Như vậy, trường hợp tổng quát: M (x0 ; y0 ; z0 ); (α) : Ax + By + Cz + D = d (M ; (α)) = Học sinh: Đề xuất công thức d (M, (α)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Hoạt động 4: Xét tính sai kết khái quát hoá Giáo viên: Phán đoán HS sở đánh giá, nhận xét khái quát hoá từ kết số trường hợp kiểu tư nhiên lúc cho ta kết Kết phán đốn cho ta hướng đi, cịn để xác định tính đắn ta phải bác bỏ chứng minh Từ đó, GV hướng dẫn học sinh chứng minh cách làm tương tự cách mà nhóm làm (gộp hai dạng tập dành cho nhóm 1, nhóm 3, lại) Đương nhiên, hướng dẫn học sinh chứng minh cơng thức tổng quát trình bày sách giáo khoa sau: Gọi M ′ (x1 ; y1 ; z1 ) hình chiếu M (α) Xét hai vectơ −−−→′ −−−→ M M = (x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 ) n(α) = (A, B, C), ta thấy M M ′ n(α) giá chúng vng góc với mặt phẳng (α) Suy −−−→′ −−−→ M M n(α) = M M ′ n(α) = |A (x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 )| = |Ax0 + By0 + Cz0 + (−Ax − By − Cz)| Mặt khác, M ′ thuộc (α) nên ta có 40 (1) Dạy học kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ax1 + By1 + Cz1 + D = ⇔ D = − (Ax1 + By1 + Cz1 ) −−−→ Thay vào (1) ta được: M M ′ n(α) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| Gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α) d (M, (α)) Vậy: −−−→ d (M, (α)) = M M ′ |Ax0 + By0 + Cz0 + D| n(α) |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ = A2 + B + C = Từ đó, giáo viên hướng dẫn học sinh kết luận: “Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = là: d (M, (α)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Hoạt động 5: Kiểm nghiệm, vận dụng cơng thức vừa tìm để tính tốn (tình hoạt động; tình xác nhận) Giáo viên: Yêu cầu học sinh giải tập sau: Bài tập Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trường hợp sau: a) M (1; −2; 13) , (α) : 2x − 2y − z + = b) M (1; −2; 3) , (α) : x − 5y − 2z + = c) M (1; 2; 2) , (α) : 3x − y − z + = d) M (0; 1; 5) , (α) : x − z + = Bài tập Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: (P ) : 3x − 4y − z + = (Q) : 3x − 4y − z − = Bài tập a) Viết phương trình mặt phẳng song song cách mặt phẳng (α) : x − 4y + 2z − 12 = khoảng b) Tìm điểm thuộc trục Oz cách hai mặt phẳng x + 2y − z + = x − y + z + = Với tập 1, học sinh vận dụng cơng thức vừa kiến tạo vào tốn cụ thể Với tập 2, 3, học sinh vận dụng kiến thức học vào tình mới, cần phải có liên hệ khái niệm, yêu cầu toán khái niệm học, để sử dụng cơng thức vừa có 41 Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung Kết luận Qua việc tổ chức hoạt động học trên, học sinh đóng vai trị người khám phá, kiến tạo tri thức cách tích cực tự nhiên Giáo viên chia hoạt động kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian thành hoạt động thành phần Theo đó, học sinh thực nhiệm vụ học tập đơn giản hơn, thành nhóm, sau gộp lại kết nhóm để hoàn thành nhiệm vụ hoạt động DH theo hướng này, mặt phát huy tính tích cực HS mặt rèn luyện cho HS sinh kĩ giải vấn đề mơn Tốn sống: Khi đứng trước vấn đề cần giải quyết, chia nhỏ, cụ thể hố thành vấn đề đơn giản hơn, cụ thể Từ việc giải vấn đề cụ thể, khái quát phương thức giải vấn đề lớn hơn, ban đầu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Châu, 2005 Những vấn đề chương trình trình dạy học Nxb Giáo dục [2] Bùi Văn Nghị, 2008 Giáo trình Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học sư phạm [3] Bùi Văn Nghị, 2009 Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng Nxb Đại học sư phạm [4] Bui Van Nghi and Nguyen Tien Trung, 2013 Designing a teaching situation: Developing formula to caculate the distance from a point to a plane in space (Geometry for 12th grade, Chapter 3, Lesson 2) Journal of Science of HNUE, Interdisciplinary Science, Vol 58, No 5, pp 47-52 [5] Sách giáo khoa, Sách tập Sách giáo viên Hình học 12 ban bản, ban nâng cao ABSTRACT Teaching students how to determine distance from a point to a plane by the use of a generalized situation This article presents activities that teachers can use to help students construct the formula for calculating the distance from a point to a plane in space through generalized activity Initially, students solve the problem by the way of determining each part of the problem: specific point coordinates, the plane equation coefficients in the general form; point coordinates in general form and the specific plane equation coefficients From there, students conceptualize, propose, construct and prove the distance formula in the general case 42 .. .Dạy học kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong dạy học mơn Tốn nói chung, dạy học hình học nói riêng, “Người giáo viên cần tạo tình huống, học sinh gặp... nâng cao chất lượng dạy học hình học Trong báo chúng tơi trình bày phương án thiết kế tình dạy học kiến tạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian (Hình học +... cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ax1 + By1 + Cz1 + D = ⇔ D = − (Ax1 + By1 + Cz1 ) −−−→ Thay vào (1) ta được: M M ′ n(α) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| Gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng