Tập luyện cho học sinh khai thác các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát hiện mối quan hệ chung - riêng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông là việc cần thiết và có thể thực hiện được. Bài báo nêu một số ví dụ và khái quát hóa được sơ đồ dạy học theo hướng khai thác mối quan hệ giữa các hoạt động, thông qua đó góp phần phát triển cho học sinh khả năng hệ thống hóa.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol 57, No 10, pp 19-25 RÈN LUYỆN KHÁI QUÁT HÓA CÙNG VỚI ĐẶC BIỆT HÓA VÀ HỆ THỐNG HÓA CHO HỌC SINH TRONG KHI DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Thái Thị Hồng Lam∗, Nguyễn Thị Mỹ Hằng ∗ Trường Đại học Vinh Email: hlamdhv@gmail.com Tóm tắt Tập luyện cho học sinh khai thác hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát mối quan hệ chung - riêng q trình dạy học tốn trường phổ thơng việc cần thiết thực Bài báo nêu số ví dụ khái quát hóa sơ đồ dạy học theo hướng khai thác mối quan hệ hoạt động, thơng qua góp phần phát triển cho học sinh khả hệ thống hóa Từ khóa: Khái quát hóa, đặc biệt hóa, hoạt động trí tuệ Mở đầu Việc rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh mục đích cần đạt dạy học Tốn trường phổ thơng Khái qt hóa hoạt động trí tuệ có vai trị quan trọng hoạt động nhận thức nói chung học tập mơn Tốn nói riêng Vì vậy, giáo viên cần khai thác triệt để tình để tập luyện hoạt động cho học sinh trình dạy học Tuy nhiên, việc tập luyện hoạt động tiến hành cách độc lập, riêng biệt, mà phải kết hợp với số hoạt động khác liên quan đạt hiệu cao Tập luyện cho học sinh khai thác hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát mối quan hệ chung - riêng q trình dạy học Tốn trường phổ thơng việc cần thiết thực Trong báo quan tâm việc rèn luyện hoạt động phát mối quan hệ chung - riêng, khái quát hóa đặc biệt hóa, qua góp phần phát triển cho học sinh khả hệ thống hóa Nội dung nghiên cứu 2.1 Một số khái niệm Hệ thống hóa xếp tư đối tượng tượng theo nhóm nhóm nhỏ, tùy theo mặt giống khác chúng [4;55] Một phương diện hệ thống hóa làm rõ mối quan hệ kiến thức khác liên quan đến khái quát hóa Trên sở q trình khái qt hóa hệ thống hóa học sinh lĩnh hội hệ thống tri thức - hệ thống biểu tượng khái niệm Thiếu khái qt hóa hệ thống hóa học sinh khơng thể lĩnh hội tốt tri thức 19 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng K.Đ.Usinxki khẳng định rằng: Tri thức mà khơng có hệ thống tựa kho thứ quăng ném vào lộn xộn thân ông chủ kho khơng tìm thấy [4;55] Khái qt hóa (KQH) chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập xuất phát (tức từ riêng đến chung) Đặc biệt hóa (ĐBH) chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho (tức từ chung đến riêng) [1;51] Thông thường, tiến hành đặc biệt hóa chuyển từ lớp đối tượng đến đối tượng lớp Theo chúng tơi, hoạt động phát mối quan hệ chung - riêng (PHCR) nghiên cứu hai tập hợp đối tượng, quan hệ cho trước có mối quan hệ với (Tập nằm tập dựa theo dấu hiệu gì?) Mối quan hệ ba hoạt động thể bảng sau [2;12]: Bảng Quan hệ ba hoạt động: KQH, ĐBH, PHCR Hoạt động Phát mối quan hệ chung - riêng Khái quát hóa Đặc biệt hóa Cho trước -A -B -A - Mối quan hệ chung - riêng: B tổng quát A -B - Mối quan hệ chung - riêng: B tổng quát A Tìm - Mối quan hệ chung - riêng A B -B -A Trong A, B khơng phải tập hợp đối tượng, quan hệ bất kỳ, mà số phần tử A B thỏa mãn điều kiện Khai thác mối quan hệ ba hoạt động việc tập luyện cho học sinh khái qt hóa, khơng u cầu họ từ riêng đến chung (khái qt hóa) mà cịn địi hỏi họ từ chung đến riêng (đặc biệt hóa) làm rõ mối quan hệ chung - riêng đạt xuất phát Tập luyện hoạt động theo hướng phù hợp với quy luật chung hoạt động nhận thức mà V I Lênin tổng kết: “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ tư trừu tượng đến thực tiễn, đường biện chứng nhận thức chân lý, nhận thức thực tại, khách quan” Chúng đề xuất phương thức để bồi dưỡng cho học sinh hoạt động bao gồm bước sau đây: Bước 1: Tổ chức quan sát vật, tượng riêng lẻ (xét trường hợp riêng dựa ví dụ cụ thể) Bước 2: Xác định dấu hiệu, đặc điểm, thuộc tính, mối liên hệ đối tượng riêng lẻ 20 Rèn luyện khái quát hóa với đặc biệt hóa hệ thống hóa cho học sinh Bước 3: So sánh dấu hiệu, đặc điểm, thuộc tính, mối liên hệ để tìm dấu hiệu chung chất Bước 4: Tùy theo mục đích, tách dấu hiệu, đặc điểm, thuộc tính chung chất khỏi đối tượng riêng lẻ Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu tập lớn chứa đối tượng riêng lẻ Kết q trình ta thu tổng quát (một khái niệm, định lí, qui tắc hay toán tổng quát, ) Bước 6: Đặc biệt hóa để có xuất phát, làm rõ mối quan hệ chung - riêng đạt xuất phát Tiếp tục đặc biệt hóa để có trường hợp riêng khác 2.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Dạy học quy tắc tìm tập giá trị hàm số Mặc dù khái niệm tập giá trị không dạy tường minh sách giáo khoa hành, có nhiều ứng dụng nên cần thiết dạy cho học sinh từ lớp 10 Chúng ta định nghĩa khái niệm tập giá trị hàm số y = f (x) sau: “Cho hàm số y = f (x) xác định D, tập hợp tất số thực y cho tồn x ∈ D để f (x) = y gọi tập giá trị hàm số y = f (x)” Quá trình dạy học quy tắc tìm tập giá trị hàm số ứng dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cần quan tâm khai thác mối quan hệ ba hoạt động nhằm nâng cao kỹ giải tập dạng cho học sinh Xét số tốn cụ thể sau: Bài tốn 1.1: Tìm tập giá trị hàm số sau: 1 a) y = x(1 − x); b) y = x + ; c) y = x − x x Chúng ta hướng dẫn học sinh làm tập trên, chẳng hạn câu a) với câu hỏi gợi ý sau: - Nếu y0 giá trị hàm số y = x(1 − x) mối quan hệ x0 thuộc tập xác định hàm số y0 nào? Dựa vào định nghĩa tập giá trị em trả lời được: tồn x0 ∈ [0; 1] cho y0 = x0 (1 − x0 ) - Việc tồn x0 ∈ [0; 1] cho x0 (1 − x0 ) = y0 cụ thể nào? Nghĩa phương trình x(1 − x) = y0 có nghiệm x0 ∈ [0; 1] - Vậy y0 phải thỏa mãn điều kiện để giá trị hàm số y = x(1 − x)? y0 phải làm cho phương trình x(1 − x) = y0 có nghiệm - Hãy tìm điều kiện cần đủ y0 để phương trình x(1 − x) = y0 có nghiệm - Hãy suy tập giá trị hàm số y = x(1 − x) - Tương tự giải tiếp câu b) câu c) 21 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng - Từ việc tìm tập giá trị hàm số nêu dấu hiệu chung lời giải gì? Thực chất bước giáo viên yêu cầu học sinh thực hoạt động “Khái qt hóa q trình diễn số đối tượng riêng lẻ thành trình diễn lớp đối tượng” [2;56] Ta mong đợi học sinh trả lời: Tìm điều kiện y0 để phương trình y0 = f (x) có nghiệm miền xác định hàm số Khái qt hóa q trình trên, sản phẩm thu quy tắc tìm tập giá trị hàm số (phương pháp sử dụng định nghĩa tập giá trị), bao gồm bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định D hàm số Bước 2: Gọi T tập giá trị hàm số, lấy phần tử y0 thuộc T Khi đó, tồn x0 ∈ D cho f (x0 ) = y0 , hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm thuộc D Bước 3: Tìm điều kiện cần đủ y0 để phương trình f (x) = y0 có nghiệm x ∈ D Bước 4: Kết luận T Sau học sinh khái qt hóa quy tắc tìm tập giá trị trên, với mục đích kiểm tra việc khái quát đó, yêu cầu học sinh đặc biệt hóa tìm với hàm số cụ thể để nhận xuất phát, thơng qua nhấn mạnh mối quan hệ chung - riêng tìm xuất phát: Ở sản phẩm tìm được, chọn f (x) = x(1 − x) trường hợp riêng, xuất phát Bây học sinh trang bị phương pháp tổng quát để tìm tập giá trị hàm số Ở thời điểm này, học sinh tìm tập giá trị hàm số f (x) mà việc tìm y0 để phương trình f (x) = y0 có nghiệm đưa việc tìm điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Khi học chương trình Đại số - Giải tích 11, sau học sinh học “Phương trình bậc sinx cosx”, giáo viên cần thiết u cầu học sinh tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) mà việc tìm điều kiện y0 để phương trình f (x) = y0 có nghiệm đưa việc tìm điều kiện có nghiệm phương trình a sin x + b cos x = c Bài tốn 1.2: Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: cos x + sin x + ; a) y = cos x + sin x + 2; b) y = cos x − sin x + sin2 2x − cos2 2x + sin 2x cos 2x c) y = sin2 x−3 cos2 x+ sin 2x+ 1; d) y = cos2 2x + Để giải tập (cái riêng), học sinh phải liên hệ với phương pháp tổng quát (cái chung) để tìm tập giá trị hàm số, tức họ phải khái quát hóa Sau khái quát hóa, họ lại phải đặc biệt hóa ứng với hàm số cụ thể nêu Nếu học sinh biết tất giá trị hàm số (tập giá trị) họ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số (nếu có) Do vậy, với tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, giải được, cách tìm tập giá trị hàm số dựa vào qui tắc tìm tập giá trị 22 Rèn luyện khái quát hóa với đặc biệt hóa hệ thống hóa cho học sinh Chúng ta mở rộng phương pháp tìm tập giá trị hàm số hai biến thơng qua ví dụ sau: Bài toán 1.3: a) Cho hai số thực x y thỏa mãn x + 2y = Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + 2y + xy + 5x b) Cho hai số thực x y thỏa mãn (x − 2)2 + (y + 1)2 = Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y c) Cho hai số thực dương x y thỏa mãn (x + y)2 = Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y Để giải tập trên, gợi ý sau, chẳng hạn với câu a): - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giá trị A Do vấn đề đặt ta tìm tất giá trị có A - Nếu gọi m giá trị A nào? Tồn hai số x y cho x + 2y = x2 + 2y + xy + 5x = m - Việc tồn hai số x y cho x + 2y = x2 + 2y + xy + 5x = m phát biểu nào? x + 2y = Tức hệ phương trình có nghiệm x2 + 2y + xy + 5x = m - Từ đó, tìm điều kiện cần đủ m để hệ phương trình có nghiệm - Có điều kiện m ta suy tập giá trị A, có tập giá trị A ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A Những thao tác hoàn toàn tương tự quy tắc tìm tập giá trị hàm biến Ví dụ 2: Tính tích phân sau: π cos x x2 dx (1); b) I = dx; a) I1 = x x −1 2012 + −π + − 2 |x| dx; d) I4 = dx c) I3 = x x −1 (x + 1)(2 + 1) −2 + Chúng ta hướng dẫn học sinh giải tập trên, chẳng hạn câu a) với gợi ý sau: - Hãy nhận xét cận tích phân hàm số dấu tích phân? Cận đối xứng Hàm số lấy tích phân tích x2 (hàm chẵn) với 2012x + - Từ tính chất cận đối xứng tính chẵn hàm số chọn phép đổi biến nào? Có thể đặt x = −t - Với phép đổi biến tích phân viết dạng nào? 23 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng 2012t t2 − (−t)2 dt = dt −t + t −1 2012 + 1 2012 - Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, I1 viết nào? 2012x x2 dx (2) I1 = x −1 2012 + - Từ (1) (2) suy điều gì? Hãy cộng (1) (2) vế theo vế! 1 2I1 = x2 dx ⇒ I1 = x2 dx −1 Tích phân cuối tính cách dễ dàng - Tương tự, tính tích phân câu b), c), d) - Các tích phân có điểm chung gì? Cận lấy tích phân đối xứng, mẫu số hàm lấy tích phân chứa biếu thức mx +1, tử số hàm lấy tích phân hàm chẵn f (x) - Hãy khái qt hóa tích phân tổng qt phương pháp giải! Sản phẩm có toán tổng quát sau phương pháp giải: a f (x) dx (1), f (x) hàm Bài tốn tổng qt: Tính tích phân I = x −a m + chẵn, liên tục [−a, a], m số thực dương khác Phương pháp giải: Đặt x = −t, tích phân cho viết dạng: a mt f (t) a mx f (x) I= dt = dx (2) t x −a m + −a m + 1 a Cộng vế với vế (1) (2) ta suy ra: I = f (x)dx −a Sau có tốn tổng quát trên, tiếp tục yêu cầu học sinh đặc biệt hóa để có xuất phát (chẳng hạn với a = 1, f (x) = |x| , m = ta có câu c), làm rõ mối quan hệ chung - riêng đạt xuất phát Tiếp tục đặc biệt hóa để có trường hợp riêng khác Chẳng hạn, ta có tốn tính tích phân sau: π √ x4 + 3x2 + 1 sin6 x + cos6 x − x2 dx; dx; dx x x 2x + −2 2012 + −1 10 + π −1 I1 = − Hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát mối quan hệ chung - riêng diễn suốt trình dạy học Giáo viên cần thiết tạo hội cho học sinh tập luyện thường xuyên Chẳng hạn, sau học sinh học hàm số số √ đồng biến, hàm nghịch biến lớp 10, cho học sinh giải phương trình như: x + = −x + 29; √ − 3x = x3 + 3x − 13, khái quát lên phương pháp giải phương trình dạng f (x) = g(x), x ∈ (a, b), f (x) g(x) đơn điệu ngược chiều (a, b) Tại thời 24 Rèn luyện khái quát hóa với đặc biệt hóa hệ thống hóa cho học sinh điểm có hội để học sinh tập luyện giải phương trình dạng Tuy nhiên, lên lớp 12, học sinh học mối quan hệ dấu đạo hàm tính đồng biến, nghịch biến hàm số, hàm số mũ logarit có nhiều hội để luyện tập Khái qt hóa q trình ta thu sơ đồ dạy học góp phần rèn luyện khả khái quát hóa với hệ thống hóa đặc biệt hóa: Cái riêng Cái chung Cái riêng khác Kết luận Như vậy, việc tập luyện khai thác hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát mối quan hệ chung - riêng cần thiết thực trình dạy học Tốn trường phổ thơng Thực hoạt động theo hướng phù hợp với nguyên tắc phương pháp nhận thức biện chứng: Phương pháp từ chung đến riêng phát huy tác dụng liên hệ hữu kết hợp với phương pháp tiến từ riêng đến chung Hai phương pháp hai phép biện chứng - biện chứng tiến biện chứng thối, mà hai mặt phép biện chứng, hai nhân tố phương pháp nhận thức biện chứng thống [3;73] Hơn nữa, thông qua việc tập luyện khai thác hoạt động góp phần phát triển cho HS khả hệ thống hóa đảm bảo tính thống suy luận quy nạp suy luận diễn dịch TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2002 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh, 1990 Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn tốn Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] A P Sep - Tu - Lin Phương pháp nhận thức biện chứng Nxb Sách Giáo khoa Mác Lênin [4] M Alêcxêep, V Onhisuc, M Crugliăc, V Zabôtin, X Vecxcle, 1976 Phát triển tư học sinh Nxb Giáo dục, Hà Nội ABSTRACT Teaching generalization, specialization and systemization when teaching mathematics Teaching mathematics students that exploring generalized and specialized activities in order to discover relationships between that which is general and that which is specific is both necessary and possible This paper provides examples and a generalized diagram which illustrates the relationship between the general and specific in order to improve student’s ability to make use of systemization 25 ... Tại thời 24 Rèn luyện khái quát hóa với đặc biệt hóa hệ thống hóa cho học sinh điểm có hội để học sinh tập luyện giải phương trình dạng Tuy nhiên, lên lớp 12, học sinh học mối quan hệ dấu đạo... hội để luyện tập Khái quát hóa trình ta thu sơ đồ dạy học góp phần rèn luyện khả khái quát hóa với hệ thống hóa đặc biệt hóa: Cái riêng Cái chung Cái riêng khác Kết luận Như vậy, việc tập luyện. .. (xét trường hợp riêng dựa ví dụ cụ thể) Bước 2: Xác định dấu hiệu, đặc điểm, thuộc tính, mối liên hệ đối tượng riêng lẻ 20 Rèn luyện khái quát hóa với đặc biệt hóa hệ thống hóa cho học sinh