Khai thác công thức tính khoảng cách từ chân đường vuông góc của hình chóp đến mặt bên

CHUN ĐỀ: KHAI THÁC CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG VNG GĨC CỦA HÌNH CHĨP ĐẾN MẶT BÊN Người viết: Trần Mạnh Tường THPT Chu Văn An – Thanh Hố I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: Nếu hình chóp S ABC có SA  ABC    d A; SBC   SAd A; BC  1 d A ; SBC  hay    SA2 d A; BC  SA2  d A; BC    Chứng minh: Trong tam giác ABC , dựng đường cao AK S Trong tam giác SAK , dựng đường cao AH Khi H BC  SA   BC  SAK   BC  AH  BC  AK   AH  SBC   d A; SBC   AH   C A K B Trong tam giác vng SAK có 1 1 1      2 2 2 AH SA AK SA d A; BC  d A; SBC    Đặc biệt: Nếu hình chóp S ABC có SA  ABC  AB  AC ( A đỉnh tam diện vuông)   d A; SBC   1   2 AS AB AC Bình luận: +) Sử dụng cơng thức khoảng cách phía giúp khơng phải suy nghĩ dựng hình chiếu điểm lên mặt phẳng +) Khi gặp tốn tính khoảng cách mà xuất chân đường vng góc ta xử lí để đưa tốn tính khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt phẳng cần tính II VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B , AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  A 5a 5a B C 2a D 5a Lời giải Chọn A S Ta có   d A; SBC   SAd A; BC  2a SA2  d A; BC  SA.AB a.2a 2a    2 2 SA  AB a  4a C A a B Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD  2a , SA  a Khoảng cách từ B đến SCD bằng: A 3a B 3a 2 C 2a 5 D 2a 3 Lời giải Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc toán điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để a chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng A D cách từ A đến SCD Ta thấy     d B; SCD   d A; SCD    SA.AD SA2  AD  SAd A;CD  SA2  d A;CD  a.2a a  4a  2a 5 B 2a C Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a , SA  SB  SC  SD  a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD  A a B a C 2a D a Lời giải Chọn C S a A D M O B C 2a Nhận xét: Chân đường vuông góc tốn điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ O đến SCD Gọi O  AC  BD Do SA  SB  SC  SD SO  AC nên tam giác SAC , SBD cân S    SO  ABCD  SO  BD      Ta có d B; SCD   2d O; SCD    Và d O; SCD      SO.d O;CD  SO  d O;CD  2  SA2  AO OM SA  AO  OM    d B; SCD   2d O; SCD   2a  SO.OM SO  OM a 3.a 3a  a 2 a Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có ABC cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với ABC  Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC  A a B a 15 C a D a Lời giải S Chọn B Ta có   d A; SBC    SAd A; BC  a SA2  d A; BC  a A a a 15  15 3a 3a  a C a a B Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ABCD  , SA  a Gọi G trọng tâm tam giác ABD , khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC  A a B a C a a D Lời giải Chọn B S Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ G đến SBC  thành khoảng a cách từ A đến SBC    A   d G ; SBC   d A; SBC  SAd A; BC   Ta có SA2  d A; BC   a.a a  2 a a D G a B O a C  Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD  60o , SA  a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD  bằng? A 21a B 15a 21a Lời giải C 15a D Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD  thành khoảng cách từ A đến SCD    a A   Ta có: d B; SCD   d A; SCD    a SAd A;CD  a SA  d A;CD  D 60 O B C a a a 21   2 3a SA  d B;CD  a  SAd B;CD  a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH  a Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD  A d  6a C d  B d  a Lời giải 6a Chọn C S Nhận xét: Chân đường vng góc toán điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ a khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD  thành khoảng cách từ H đến SCD  Ta có d B; SCD   d H ; SCD  a a 2 a   2 6a 2a SH  d H ;CD   4 SH d H ;CD  15a D d  A H a a a B a M a C D Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a   SCA   900 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính khoảng cách SBA từ điểm B đến mặt phẳng SAC  A 15 a B 15 a C 15 a D 51 a Lời giải Chọn B Nhận xét: +) Trong tốn chưa có chân đường vng góc, nên ta cần tìm chứng minh chân đường vng góc trọng tâm H tam giác đáy +) Chân đường vng góc tốn điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SAC  thành khoảng cách từ H đến SAC  Gọi I trung điểm SA Tam giác SAB SAC tam giác vuông B,C  IS  IA  IB  IC  I S tâm mặt cầu I ngoại tiếp tứ diện S ABC Gọi H trọng tâm tam giác ABC  IH  ABC  M C Ta có  H    d B; SAC   3.d H ; SAC    HA.HM HA2  HM  HI HM HI  HM 2a 2a B  2a   2a                2  2a 15 45 A Ví dụ 9: (Mã 102-2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A B C  có đáy ABC tam giác cạnh a AA  2a Gọi M trung điểm CC  (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC  A a B 5a C 57a 19 D 57a 19 Lời giải Chọn D Nhận xét: Nhận thấy điểm A với A’, B, C tạo thành hình chóp có A chân đường vng góc nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ M đến A ' BC  thành khoảng cách từ A đến A ' BC  Ta có :       d M ; A ' BC   d C '; A ' BC   d A; A ' BC   AA '.d A; BC  AA '2  d A; BC   a a 57  19 3a 4a  2a  Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A B C D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC  600 , AA  2a , hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng A B C D  trọng tâm tam giác A B C  Gọi M điểm di động cạnh BB  Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CDD C  A 165a 30 B 165a 15 C 165a 15 D 165a Lời giải Chọn C Gọi G G  trọng tâm tam giác ADC A B C  Từ giả thiết suy ra: AG '  A B C D  C G  ABCD   Do đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC  600 nên tam giác A B C  ADC tam giác Ta có ABB A  CDD C          d M , CDD C   d A, CDD C   3d G, CDD C   GC '.GH GC '2  GH  a  a    a 11 với GH  ; C 'G  AG   AA2  A G 2  4a       Thay vào (*), ta có d M , CDD C   a 165 15 * Ví dụ 11: (Đề tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , AB  2a , AC  4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a (hình minh họa) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC A 2a B 6a 3a C D a Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại Gọi N trung điểm AC , ta có: MN //BC nên ta BC // SMN  Do       d BC , SM   d BC , SMN   d B, SMN   d A, SMN  Tứ diện ASMN vng A nên ta có: 1 1 1 2a        h  2 2 h AS AM AN a a 4a 4a Vậy d BC , SM   2a Ví dụ 12: (Đề Minh Hoạ 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB  2a , AD  DC  CB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  3a (minh họa hình bên) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB DM 3a A B 3a C 13a 13 D 13a 13 Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây dạng tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại S Ta có :   3a d DM , SB   d DM , SBC     d M , SBC       d A, SBC  A; BC  SAd SA.2d M ; BC   SA2  d A; BC  SA2  4d M ; BC  a 3a  9a  3a 3a a A M a B a a a D a C Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng ABC A B C  có đáy ABC tam giác vuông A với AC  a Biết BC  hợp với mặt phẳng AA C C  góc 30o hợp với mặt phẳng đáy góc  cho sin   Gọi M , N trung điểm cạnh BB  A C  Khoảng cách MN AC  là: A a a B C a D a Lời giải Chọn A Ta có MNP  / / ABC ' A'      d MN ; AC '  d MN ; ABC '  d M ;ABC '   1 CC '.CA  d C ; ABC '  2 CC '2  CA2    A  30o +) Ta có: BC , AAC C   BC  P  3a  x M A   CC   BC tan   a α B   AC   AB.cot 30o  3x +) Mặt khác ta có: AC  CC 2  AC 2  x  a  CC   a 3; AB  a   30 B' *  BC   +) Mặt khác BC , ABC   C +) Gọi AB  x  BC  3a  x C' N a 3.a a  Thay vào (*), ta có: d MN ; ABC '  3a  3a C  Ví dụ 14: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA  SB  SC  a , SAB  30 ,   60 , SCA   45 Tính khoảng cách d đường thẳng AB SD ? SBC A 4a 11 11 B a 22 22 C a 22 11 D 2a 22 11 Lời giải Chọn C S a a a A D a a H B C a   60 nên SBC đều, BC  a Do SB  SC  a SBC  Lại có SA  SC  a SCA  45 nên SAC vuông cân S , suy AC  a   30 nên AB  2.SA.cos 30  a SA  SB  a SAB Do AB  BC  AC , suy ABC vuông C Gọi H trung điểm AB Khi đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SA  SB  SC nên SH  ABC  Lại có CH  3a a  AB nên SH  SC  CH  a  Ta có     d AB, SD   d AB, SCD   d H , SCD   SH d H ;CD  SH  d H ;CD  Trong d C ; AB   Vậy d AB, SD   CACB CA2  CB a 22 11  a 2.a 2a  a  a  SH d C ; AB  SH  d C ; AB  * BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , biết SA  ABC  AB  2a , AC  3a , SA  4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC  A d  2a 11 B d  6a 29 29 C d  12a 61 61 D a 43 12 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a A d  2a B d  a C d  a D d  a Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi H trọng tâm tam giác ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  , d2 khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC  Khi d1  d2 có giá trị A 2a 11 B 2a 33 C 22a 33 D 2a 11 Bài 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AC  a, I trung điểm SC Hình chiếu vng góc S lên ABC  trung điểm H BC Mặt phẳng SAB  tạo với ABC  góc 60 Tính khoảng cách từ I A 3a B 3a đến mặt phẳng SAB  C 5a D 2a Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AB  2a Tam giác SAB vng S , mặt phẳng SAB  vng góc với ABCD  Biết góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng SBC   , với sin   A 2a B a Tính khoảng cách từ C đến SBD  theo a C 2a D a  Bài 6: Cho hình chớp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , ABC  60 , mặt bên SAB tam giác Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD  trùng với trung điểm AO Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD A a 560 112 B a 560 10 C a 560 D a 560 28 Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , SA  ABCD  ; AB  2a , AD  CD  a Gọi N trung điểm SA Tính khoảng cách đường thẳng SC DN , biết thể tích khối chóp S ABCD A a B a C a3 a D a 10 Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A B C D  có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABCD  trùng với O Biết tam giác AA C vng cân A Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A A h  a B h  a C h  a D h  a Bài 9: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB  a Gọi M trung điểm AC Biết hình chiếu vng góc S lên mp ABC  điểm N thỏa mãn   BM  3MN góc hai mặt phẳng SAB  SBC  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a A 17a 68 B 17a 51 C 17a 34 D 17a 17 Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C  có độ dài cạnh bên a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  a, AC  a Biết hình chiếu vng góc A mặt phẳng ABC  trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AA B C  bằng: A a Bài C B Bài D 3a C a Bài Bài Bài Bài Bài C A A D A D Bài D a Bài Bài 10 D D ... chân đường vng góc, nên ta cần tìm chứng minh chân đường vng góc trọng tâm H tam giác đáy +) Chân đường vng góc toán điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến. .. Lời giải 6a Chọn C S Nhận xét: Chân đường vuông góc tốn điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ a khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD  thành khoảng cách từ H đến SCD  Ta có d B; SCD ... C S a A D M O B C 2a Nhận xét: Chân đường vng góc tốn điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ O đến SCD Gọi O  AC  BD Do SA