KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG VUÔNG góc CHUNG và CHÉO NHAU

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG Chủ Đề Hình Học Không Gian nói chung và “ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung ” nói ri

KHOẢNG CÁCH

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ

ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG

Chủ Đề Hình Học Không Gian nói chung và “ Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung ” nói riêng , là một chủ đề tương đối

khó với học sinh Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn

A-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP :

Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau:

Phương pháp 1:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (α)⊥a

tại A và (α) cắt b

Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống

)

(α được hình chiếu b’.

Bước 3: Kẻ A’B’ như hình vẽ 1a,

dựng hình bình hành ABB’A’

Dể dàng cm được AB là đoạn vuông góc

chung của 2 dt a, b

Trong trường hợp đặt biệt : b⊂(α), lúc

đó AB là đoạn góc chung (Hình vẽ 1b)

Phương pháp 2:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (α)//a và

)

(α

⊂

b ( hình 2)

Bước 2: Chiếu vuông góc theo phương

HK a lên mặt phẳng (α) được dt a’

B

b

a' ∩ =

Bước 3: Dựng hình bình hành AHKB.Dể

chứng minh được AB là đoạn vuông góc

Hình 1a

Hình 1b

B'

b a

α

α

a

b A

B

H

α

b A

B a

B-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ :

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Xác định và tình độ dài đoạn vuông

góc chung của AB và CD.

Gợi ý :

+ Lập mặt phẳng chứa AB⊥CD cắt CD tại I

+ Kẻ IH ⊥ AB⇒IHlà đoạn vuông góc chung

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật

Dựng đoạn vuông góc chung của

a) SA và CD b) AB và SC.

Gợi ý :

a) SA và CD

AD DC

AD

SAD

DC

⇒







⊥

⊥( )

là đoạn vuông góc chung cần tìm b) SC và AB

)

(SAD

AB⊥ , SD là hình chiếu của SC lên (SAD).

Kẻ AI ⊥SD , dựng hbh AIKH

Lúc đó, KH là đoạn vuông góc chung

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a 7 , SA= a 2.Khi SA⊥(ABCD) , hãy dựng và

tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng :

a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC

Gợi ý:

a) AK

b) AI

c) HK

2

H

I

A

K

H

I S

A

D

P

H A'

K I

D A

S

Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông

cạnh a

a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì?

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’.

Gợi ý:

a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a

b) EK

Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO=

h xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD

Gợi ý:

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD

(SIJ)⊥(SAD)⇒AD⊥JH

(SIJ) ⊥(SBC)⇒SB⊥JH

Kẻ KE // JH KE là đoạn vuông góc chung cần tìm

K

I

I'

A'

B'

C'

C B

A

F

H

K

D

S

C

O

Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và AD Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM và D’N.

Gợi ý:

+ Gọi I là trung điểm AM

Lập hình chữ nhật IMDJ ⇒(D’JD) ⊥DM.

+DH⊥JD’

DH⊥DM

+Kẻ EF // DH

⇒EF là đoạn vuông góc chung cần tìm.

Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định đoạn vuông góc chung của BD’, B’C.

Gợi ý:

' ) ' ' ( ' '

'

'

'

'

BD D

ABC C

B C

B

C

D

C

B

BC

⊃

⊥

⇒







⊥

⊥

IJ⊥BD’⇒IJ là đoạn thẳng cần tìm.

Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định đoạn

vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C

Gợi ý:

+ (AB’C) // A’C’

+ Chiếu A’C’ lên (AB’C)

Kẻ OE’⊥O’B’⇒O’E ⊥(AB’C)

+ Qua E kẻ EI: là hình chiếu của A’C’

lên (AB’C)

Dựng IJ // OE IJ là đoạn thẳng cần tìm

4

F E H

N

I M J

D'

A'

C'

B'

D

C

B A

K

H

C' D'

C B

A

D

E

J I O'

O D

C

B' A'

Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên

SA = a, SA⊥(ABC), I là trung điểm cạnh BC Xác định và tính độ dài đoạn vuông

góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.

Gợi ý:

+ Gọi M là trung điểm của AC Dựng AQ⊥dt IM

+ Chiếu AB lên (SQI) là KJ

+ Dựng h.b.h AKJH JH là đoạn thẳng cần tìm

Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J lần lượt là

tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc

chung giữa hai đường thẳng CI và AJ.

Gợi ý:

+CI // (AA’J)

+IM // A’D’.Kẻ IH⊥MJ⇒ IH⊥(AA’J)

⇒IH⊥AJ.

IC IH J

A

IC

J

A

IH

⊥

⇒





'

//

'

+Dựng EF // IH EF là đoạn thẳng cần tìm

Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi ,

cạnh 2a , cạnh bên AA’= a 2 , AD’⊥BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng AD’ và BA’

Gợi ý:

BH E

AD B d AD

B

A

d

E AD

AD

E AD

BH

E D BH BH

AC

DD BD AC

AC

DD

BD

AC

=

=

⇒







⊂

⊥

⇒

⊥

⊥

⇒

⊥

⇒







⊥

⊥

)) ' ( , ( ) ' ,

'

(

) ' (

'

) ' (

' ,

) ' , ( '

Dựng h.b.h BHEF

J

H K

M

B

C A

S

D'

F E H

M

I

J

A'

B'

C'

B

C D

A

F E

I D

A

C B

B'

C' D'

A'

EF là đoạn vuông góc chung của AD’, BA’

Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A1B1C1, đáy ABC có cạnh

a, cạnh bên bằng h Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC1.

Gợi ý:

+Dựng h.b.h ACC’B Gọi I là trung điểm BC’

+Tam giác BCC’ cân, C1BC' cân

+







=

∩

⊥

⊥

1 1

1

1 1

1

) ( )

'

(

) ( )

'

(

) (

'

CI I CC B

C

C

I CC B

C

C

I CC

BC

Kẻ CH⊥ IC1⇒d(AC,BC1)=d(C,(BC'C1)

Do







⊂( ' )

//

) '

(

1 1

1

C BC BC

AC C

BC

Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và

AB=AA’= a

a) Chứng minh: AC ' CD⊥ '

b) d(D,(ACD’).

c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’.

Gợi ý:

a) AB =AA’ ⇒ AA’B’B và DD’C’C là hình vuông.

'

' ) ' ( '

) ' ( ' '

' '

AC C D ADC

AC

ADC C

D C

D

DA

DC

C

D

⊥

⇒







⊂

⊥

⇒







⊥

⊥

⇒

b) Gọi H hình chiếu của D lên (ACD’) Đặt h=DH

D ACD AD C A DD C DD C

c) Kẻ IK ⊥AC'.Rõ ràng IK ⊥CD'

Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh: BC'⊥(A'B'CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.

Gợi ý:

'

'

'

DC A B BC BC

CD

C

B

BC

⊥

⇒







⊥

⊥

b) Ta có (B’A’DC)⊥BC’

Chiếu B’A lên (B’A’DC) là B’K

Kẻ IH Dựng HK // BC’ cắt B’A tại K

Dựng KP // HI KP là đoạn thẳng cần tìm

6

F

E

H

B

C A

C 1

A 1

B 1

H

I

K D'

D

A

B

C

C'

B' A'

H I

A'

B'

C'

D' D A

Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông góc nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) AD và SB b) SA và BD

Gợi ý:

a) HM

b) Dựng hình chữ nhật IDEA

Kẻ HF⊥EA

Dựng HK⊥SF ⇒ HK= OP

2

1

Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD⊥BC, AD= a và

d(D,BC)= a H là trung điểm của BC

a) Chứng minh: BC ⊥(ADH) b) DI ⊥(ABC) c) Xác định và tính đoạn

vuông góc chung giữa AD và BC

Gợi ý:

BC AD

BC AH

⊥

⇒







⊥

⊥

b)

) ( ) , (AH BC ABC DI

AH DI a DH AD

BC DI

≡

⊥

⇒

⊥

⇒







=

=

⊥

c) HK

Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

0

60

ˆ =

a) d(O,(SBC))

b) d(AD,SB)

Gợi ý:

a) OH Dựng (SOP) ⊥(SBC).Kẻ OH⊥SP

b) IK Dựng (STM)⊥(SBC) Kẻ IK⊥SM

F

I

P K

M

O

D E

C S

K S

K

H I

O

A

D

C

B