Chuyên đề khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Tốn tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 B KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa a A Khoảng cách đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng   a,   b  d  a, b   AB    a  A,   b  B b B Các phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Có phương pháp thường dùng a Phương pháp 1: Dùng định nghĩa - Xác định đoạn vng góc chung AB hai đường thẳng chéo - Tính độ dài đoạn AB a b Phương pháp 2: M - Chọn dựng mặt phẳng (P) chứa đường song song với đường thẳng lại (chẳng hạn chứa b song song với a) - Khi d  a, b   d  a;  P    d  M ;  P   với M điểm tùy ý b H a' P đường thẳng a a c Phương pháp 3: H - Chọn dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại Q b - Khi d  a, b   d   P  ;  Q    d  H ;  P    d  K ;  Q   với H  Q , K   P  d Sử dụng phương pháp vectơ (ít dùng) b' P K a' II BÀI TẬP VẬN DỤNG: VÍ DỤ MINH HỌA: Câu 1: (nhiều cách giải) Cho hình lập phương ABCD A B C  D cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung tính độ dài đoạn vng góc chung A'  BD //BD Do  nên  AB D  mặt phẳng chứa  AD   ABD  I D' AD song song với BD Gọi O tâm hình vng ABCD  B' G M  Ta dựng hình chiếu điểm O AB  D  C' H B A  BD  AC   BD   CC A   BD  AC 1 Do   BD  CC  D N O C Tương tự AC  AD (2)     Từ (1), (2) suy AC  AE  D  Gọi G  AC  AB  D  Do AB  D  A A  A E   A D nên G trọng tâm tam giác AB D Vậy Gọi I tâm hình vng A B C  D  AI trung tuyến tam giác AB D nên A, G I thẳng hàng     Trong ACCA dựng OH //CA cắt AI H H hình chiếu O  BD AB  D  Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD BD d  AD  , BD   MN Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN  OH Do OH đường trung bình tam giác ACG  OH  Mặt khác CG GC AC 2 3a     CG  2GA  CG  CA  a   GA A I 3 3a a a  OH    Vậy d  AD, BD   MN  OH  3 Cách Tính độ dài đoạn vng góc chung mà khơng cần dựng vị trí cụ thể đoạn vng góc chung A' B'  Giả sử MN đoạn vng góc chung AD BD với M  AD , N  BD Từ M kẻ MP  AD , từ N kẻ NQ  AD D' C' Dễ thấy BD  ( MNP)  BD  NP ;  M  AD  ( MNQ)  AD  MQ Hai tam giác AMQ DNP vng cân nên Lại có PN  P a QD  QN  QP  MP  PA  B A Q N D C DP 2a a   2 2 a2 a a a  Từ MN  PM  PN        MN   3     2 Cách ( dùng phương pháp 3) Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường  AD    AB  D    Dễ thấy  BD   BDC        AB D  //  BDC   d  AD , BD   d D' C' A   AB D  ,  BDC    B' I  B J  D Gọi I , J giao điểm AC với mặt phẳng A' C  AB D   BDC     s  Theo chứng minh cách I , J trọng tâm tam giác AB D BDC     Mạt khác dễ dạng chứng minh AC  AB  D  , AC  BDC    suy d AD , BD  d  AB D  ,  BDC    IJ  13 A C  a 3      Cách Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M  AD ', N  BD             Đặt AB  x , AD  y , AA  z  x  y  z  a , x y  y.z  x.z                AD  y  z  AM  k AD  k ( y  z ), DB  x  y  DN  m( x  y )          Ta có MN  AN  AM  AD  DN  AM  mx  1  k  m  y  kz         Vì MN  DB  MN DB    mx  1  k  m  y   x  y    2m  k     2m  k  1 Tương tự MN AD '    m  2k  , từ ta có hệ  mk   m  2k       Vậy MN  x  y  z  MN  MN  3 2 2 2 a x y z    Câu 2: (dùng định nghĩa) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm AB AD , H giao điểm CN DM Biết SH vng góc mặt phẳng  ABCD  SH  a Khoảng cách đường thẳng DM SC A a 57 19 B a 57 38 C 3a 57 38 D 2a 57 19 Lời giải Chọn D Ta có: ADM  DCN  c  g  c     DCN   CDM   90o  ADM  DCN ADM  CDM o   DHC  90  DM  NC S K D CN  DM  Ta có:   DM   SNC  SH  DM  N Kẻ HK  SC  K  SC  A  HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng DM SC  d  SC; DM   HK DC  CN DC DN  DC 2  a2 a   a 2 H M Mặt khác HK  DM DM   SNC  DC  HC CN  HC  C  2a B Xét tam giác SHC vuông H: HK  SH HC SH  HC Vậy khoảng cách SC DM a  a 3 2a 5  2a       2a 57 19 2a 57 19 Câu 3: (dùng phương pháp 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a,  ABC  600 , SA  SB  SC  2a Khoảng cách AB SC A a 11 12 B a 11 C a 11 D 3a 11 Lời giải Chọn B S Ta có : ABC đều, SA  SB  SC , gọi G trọng tâm ABC nên SG   ABC  hay SG   ABCD  Ta lại có: AB / /CD  AB / /  SCD  I A D K B  d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  B,  SCD    G O C d  G ,  SCD   Mặt khác : Kẻ GI  SC CG  AB CD  CG  CD  CG    CD   SCG   CD  GI  GI   SCG   Mà   AB / / CD CD / / SG GI  CD  GI   SCD   d  G,  SCD    GI  GI / / SC Tam giác SGC vng G, có CG  SG  SC  GC  4a  a CK  suy 3 a a 33  3 1 3 36 a 11       GI  2 2 GI SG GC 11a a 11a Vậy d  AB, SC   a 11 d  G,  SCD    Câu 4: (dùng phương pháp 3) Cho lăng trụ ABC ABC  có mặt bên hình vng cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC AB A a B a C a D a Lời giải Chọn D A C + Gọi D, E trung điểm BC BC  D B  AD // AE ; BD // CE   CAE  //  ADB  d  AB, AC   d   ADB  ,  CEA    d  B,  CEA   H + B ' C '  CAE   E  EB '  EC '   d  B,  CAE    d  C ,  CAE   A' C' E B' + ABC   AE  BC  Vì ABBA ' hình vng  AE  CC   AE   CC E    CAE    CC E   CAE    CC E   CE  C H  d  C ,  CAE   mà từ C  hạ đường vng góc xuống CE H + Xét tam giác vng CC E C  có CC   a; C E  CC .C E a  C H   CC 2  C E a a a a  d  AB, AC    5 a  a2 Câu 5: (dùng phương pháp 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có đáy ABCD hình vng cạnh a , AA  2a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD A 2a B a C a D 2a Lời giải Chọn D + Ta có BD //BD, BD   CDB   BD //  CDB   d  CD, BD   d  D,  CDB   a B C a A D + Gọi I  DC   DC  I  DC    CDB  mà I trung 2a I điểm DC   d  D,  CDB    d  C ,  CDB   + Vì ABC D hình vng tâm O cạnh a  C O  a  CO  CC 2  C O2  a 1 Ta có diện tích SC BD  CO.BD  a 5.2a  a 2 1 + Ta VC '.CD ' B '  VC C ' B ' D '  CC .CB.CD  a 2a  a 6   B' C' O' A' D'  d  C ,  CBD    3VC C ' B ' D ' S CB ' D ' a 2a  23  a BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc O với OA  3a , OB  a , OC  2a Gọi I , J trọng tâm tam giác OAB OAC Tính khoảng cách hai đường thẳng IJ AC A Câu 2a B C 6a D 8a Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB BC  A a Câu 4a B 3a C a 21 D a Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác ABC cạnh a Gọi M trung điểm AB , tam giác ACM cân A nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB CC , biết thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V  A d  Câu 21 a 14 3 a B d  39 a C d  39 a 13 D d  21 a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 4a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc cạnh SC mặt phẳng  ABCD  600 , M trung điểm BC , N điểm thuộc cạnh AD cho DN  a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB MN A 8a 618 103 B 4a 618 103 C 3a 618 103 D 8a 618 309 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB  a 2; AD  a , mặt bên SBC ; SCD tam giác vng B ; D Góc tạo cạnh SC mặt phẳng đáy 45 Gọi M trung điểm cạnh AD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SC theo a A 2a 30 15 B a 15 C a 10 D a 15 ĐÁP ÁN Câu Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc O với OA  3a , OB  a , OC  2a Gọi I , J trọng tâm tam giác OAB OAC Tính khoảng cách hai đường thẳng IJ AC A 2a B 4a C 6a D 8a Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm cạnh OA MI MJ Ta có   nên IJ // BC MB MC Do đó: d  IJ , AC   d  IJ ,  ABC    d  I ,  ABC   d  M ,  ABC    d  O,  ABC   3 Tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc O nên: 1 1 49     2 2 36a d  O,  ABC   OA OB OC  6a 6a 2a Vậy d  IJ , AC    7 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB BC   d  O,  ABC    Câu A a B 3a C a 21 Lời giải Chọn C Dựng hình thoi ABDC  , suy C D // AB nên AB //  BC D  Khi đó: d  AB , BC    d  AB ,  BC D    d  B ,  BC D   Dựng BH  C D  C D   BBH  Kẻ BK  BH  BK   BC D Suy d  B ,  BC D    BK D a Xét tam giác BC D cạnh a , nên BH  a Xét tam giác vuông BBH vuông B , có BK đường cao nên ta có a 21 1 1       BK  2 BK BB BH a 3a 3a Vậy d  AB , BC    d  B ,  BC D    BK  a 21 Câu Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác ABC cạnh a Gọi M trung điểm AB , tam giác ACM cân A nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB CC , biết thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V  A d  21 a 14 B d  39 a C d  39 a 13 D d  3 a 21 a Lời giải Chọn D + Ta có: CC  //  AABB   d  CC , AB   d  CC ,  AABB    d  C ,  AABB   A' + Gọi H trung điểm CM , ta AH  CM  AH   ABC  + Dựng HK  AM  HK   AABB  B' K A C H M  HK  d  H ,  AABB   B Khi d  C ,  AABB    2d  H ,  AABB    HK 3 a VABC ABC  MC a  a ; AH    + HM  S ABC 2 a + Vậy HK  AH HM AH  HM  C' 21 21 a a  d  CC , AB   14 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 4a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc cạnh SC mặt phẳng  ABCD  600 , M trung điểm BC , N điểm thuộc cạnh AD cho DN  a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB MN A 8a 618 103 B 4a 618 103 3a 618 103 Lời giải C D Chọn A 8a 618 309 S ▪ Ta có SA   ABCD   AC hình chiếu SC mặt phẳng  ABCD  Suy góc  cạnh SC mặt phẳng  ABCD  góc SCA   600  SCA K Tam giác ABC vuông B , theo định lý Pytago A AC  AB  BC  32a  AC  4a 2 2 B F  SA  AC.tan 600  4a ▪ Gọi E trung điểm đoạn AD , F trung điểm AE H N D  BF / / MN nên MN / /( SBF )  d ( MN , SB)  d  MN ,  SBF    d  N ,  SBF   Trong mặt phẳng  ABCD  kẻ AH  BF , H  BF , mặt phẳng  SAH  kẻ AK  SH , K  SH  BF  AH Ta có   BF  ( SAH )  BF  AK  BF  SA  AK  SH Do   AK  ( SBF )  d  A,  SBF    AK  AK  BF Nên: Mà: 1 1 103 4a 618      AK  2 2 AK AS AB AF 96a 103 d  N ,  SBF   d  A,  SBF   Vậy d ( MN , SB)   NF 8a 618   d  N ,  SBF    AF 103 8a 618 103 M E C Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB  a 2; AD  a , mặt bên SBC ; SCD tam giác vng B ; D Góc tạo cạnh SC mặt phẳng đáy 45 Gọi M trung điểm cạnh AD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SC theo a A 2a 30 15 B a 15 C a 10 D a 15 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có:  BC  SB  BC   SAB   BC  SA (1)   BC  AB  DC  DA  DC   SAD   DC  SA (2)   DC  SD Từ (1) (2)  SA   ABCD      SC ;  ABCD    SCA  45   S AC vuông cân A  SA AC  a Dựng CK / / BM  M  AD   BM / /  SCK   d  BM ;SC   d  BM ;  SCK    d  M ;  SCK   Mặt khác d  M ;  SCK   d  A;  SCK    MK 2   d  M ;  SCK    d  A;  SCK   AK 3 Kẻ AH  CK ; AN  SH  d  A;  SCK    AN  a Tam giác ABM vuông A  BM  AB  AM  BM     a 2 3a 3a  BM   CK  BM  2 3a a 1 CD AK a  S ACK  AH CK  CD AK  AH  3a 2 CK 1 Xét tam giác SAH vng A ta có:  2 AN SA AH 2  AN  SA AH SA2  AH  d  M ;  SCK     a 3.a 3a  2a  2 30a 2a 30 2a 30  d  BM ; SC   15 15   9a Cách 2: Ta có:  BC  SB  BC   SAB   BC  SA (1)   BC  AB  DC  DA  DC   SAD   DC  SA (2)   DC  SD Từ (1) (2)  SA   ABCD    45   SC ;  ABCD    SCA   S AC vuông cân A  SA AC  a AM IA Gọi AC cắt BM I    BC IC  IA  a AC  3 Từ I kẻ IH / / SC  H  SA  a AH AI    AH  SA  3 SA AC  SC / / IH  SC / /  HBM   d  BM ; SC   d  SC ;  HBM    d  C ;  HBM   Vì   IH   HBM  d  C ;  HBM   d  A;  HBM    CI   d  C;  HBM    2d  A;  HBM   AI Ta có AH , AB, AM đơi vng góc nên: 30a 15 1 1      d  A;  HBM       2 AM AB a a 2a 2a 15 d  A;  HBM   AH  d  C;  HBM    2a 30 2a 30  d  SC; BM   15 15 ... tâm tam giác OAB OAC Tính khoảng cách hai đường thẳng IJ AC A Câu 2a B C 6a D 8a Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB BC  A a Câu... DỤNG: VÍ DỤ MINH HỌA: Câu 1: (nhiều cách giải) Cho hình lập phương ABCD A B C  D cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung tính độ dài đoạn...      MN   3     2 Cách ( dùng phương pháp 3) Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường  AD    AB  D    Dễ thấy  BD   BDC      