(Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S ABCD... (Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) C[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ:
Khoảng cách điểm mặt phẳng khoảng cách từ điểm tới hình chiếu vng góc lên mặt phẳng
,
d M P MH (với
H
hình chiếu vng gócM
lên mặt phẳng
)2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng tới mặt phẳng
Nếu / /( )P d
,
P
d M P
;( )
với M3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song
Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới mặt phẳng
Nếu
P / /( )Q d P
, Q
d M Q
;( )
d N P
;( )
với
, N
M P Q
4 Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng a Dùng định nghĩa
b Phương pháp đổi điểm (dùng tỉ số khoảng cách) * Kiến thức cần nhớ:
- Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng
P d A P
;
d B P
;
- Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng
P I
;;
d A P AI
BI
d B P
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, ta nên cố gắng đưa việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ chân
đường cao hình chóp lăng trụ đến mặt phẳng
P
M
H
P
K H M
N
Q P
N
M K
H
P
H K A B
P
B
I H
A
K
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
(2)c Phương pháp thể tích * d M P
;
3VS
với Vlà thể tích khối chóp có đỉnh M, S diện tích đáy nằm mặt phẳng
P khối chóp* d M P
;
V S với Vlà thể tích khối lăng trụ có đỉnh M, S diện tích đáy nằm mặt phẳng
P khối lăng trụd Một cơng thức thường dùng tốn tính khoảng cách
Nếu SI
IAB
2
; ;
;
SI d I AB d I SAB
SI d I AB
II BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ minh họa
Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AB2 AA 2 Gọi M, N, P trung điểm cạnh A B , A C BC Khoảng cách từ A đến
MNP
A 17
65 B
6 13
65 C
13
65 D
12
Lời giải Chọn D
- Gọi D trung điểm B C MN A D
MN DP
MN
A DPA
MNP
A DPA
- Gọi E MN A D EP giao tuyến
MNP
A DPA
- Dựng AH EPAH
MNP
AHd A MNP
;
- Gọi F trung điểm AP EF AP EF A A 2,
2
AP
FP
2
2
EP EF FP
AH EF AP
EP
2.3 12
5
B C
M
A
D
H
A D
B
C M
H
P
S
I
A
B
K H
F E
D
P N
M
B
C
A' C'
B'
A
(3)Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp
S ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB2AD2 a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy
ABCD
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBD
A
4 a
B
2 a
C
2 a
D a
Lời giải Chọn B
Phân tích: Gọi I trung điểm AB, ta có I chân đường cao hình chóp nên ta có ý tưởng đổi việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBD
thành khoảng cách từ điểmI đến mặt phẳng
SBD
* Kẻ SI AB.Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy
ABCD
I
trung điểm AB SI
ABCD
SAB
cạnh 2a 3
a
SI a
* Kẻ IKBD
K BD
, AHBD
H BD
2
IK AH
Kẻ IJ SK J SK,
(1) Ta có
IK BD
SI ABCD SI BD
BD
SIK
BDIJ (2)* Từ (1) (2) suy IJ
SBD
d I SBD
,( )
IJ Ta có: 12 12 12AH AB AD 2
1
4
AH a
5 a AH
5 a IK
2 2
1 1
IJ SI IK 2
1 16
3
IJ a
4 a IJ
,( )
4 a d I SBD
I trung điểm AB d A SBD
,( )
,( )
a d I SBD
Chọn B
H I
C A
B
D S
(4)Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình lăng trụ đứng
ABC ABC
.
1 cóAB a
,AC
2
a
, AA12a
0
120
BAC
Gọi , K I trung điểmCC BB
1,
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng
A BK1
A.
a
15
B6 a
C 15
3 a
D
3 a
Lời giải
Chọn B
Diện tích
ABC
là:
1
.sin sin120
2 2
ABC
a
S AB AC BAC a a
Thể tích khối lăng trụ
ABC ABC
.
1 là:1 1
2
3
3
.2 15
2
ABC A B C ABC
a
V S AA a a
Dễ thấy
V
ABC A B C.1 1
V
K A B C.1 1
V
K ABC.
V
K ABB A. 1 1Mà . 1 1 . .1 1
6
K A B C K ABC ABC A B C
V V V nên . 1 1 .1 1
K ABB A ABC A B C
V V
Ta lại có, 1 1 1 1 1 1 1 1
3
1 1 15
15
4 4 6
A BI ABB A K A BI K ABB A ABC A B C
a
S S V V V a
22 2
2 cos 2 .2 cos120
BC AB AC AB AC A a a a a a
22 7 5 2 3
BK BC CK a a a
2
22
1 1
A K AC C K a a a
22 2
1 21
A B A A AB a a a Xét thấy
BK
2
A A
1 2
A B
1 2
21
a
2Do đó,
A BK
1 vng K 11
.3a 2a 3
2
SA BK A K BK a
Khoảng cách từ I đến mặt phằng
A BK1
là:
11
3
K
1 3
15
3 6
,
6 3
I A BK A BI A BK A BK
a
V V a
d I A BK
S S a
(5)Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a, M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng
ACM
A
a
d B d a C
3
a
d D
3
a
d
Lời giải Chọn C
Cách
d( SB,( ACM )) d( B,( ACM ))
3
3 4 4 3
3 3
M ABC S ABCD
ACM ACM
V
V
S S
1 . ( 1)
3
VS ABCD SA SABCD a
2
1 5
2, ,
2 2
AC AM MC
4
SACM
Cách
Theo ta có SB / / ACM
Qua B ta kẻ đường thẳng x song song với AC, qua A dựng AEBx ta có
SBx / / ACM
Kẻ AHSE
Lại có EB AE EB AH
EB SA
Do AH
SBx
Khi d SB, ACM
d SBx , ACM
d A, SBx
AH2
a
AEBO ; SA2a (O tâm hình vng ABCD)
2
2
AE.SA a
AH
AE SA
Vậy
2
(6)Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng
ACM
A
2
a
d B d a C
3
a
d D
3
a d Lời giải
Chọn D
+ Gọi O giao điểm AC,BD
MO SB SB ACM
,
,
,
d SB ACM d B ACM d D ACM
+ Gọi I trung điểm AD
,
,
MI SA MI ABCD
d D ACM d I ACM
+ Trong
ABCD IK
: AC (với K AC ) + Trong
MIK IH
: MK (với H MK )
1+ Ta có: ACMI AC IK, AC
MIK AC IH
2 Từ
1
2 suy IH
ACM
d I ACM
,
IH + Tính IH?- Trong tam giác vuông
2
: IM IK
MIK IH
IM IK
- Mặt khác:
2
SA
MI a,
2 4
OD BD a
IK
2
2
4
3
a
a a
IH
a a
Vậy
,
3
a
d SB ACM
H
K
I
O M
D
C B
(7)Câu (Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Khoảng cách
AB C
A DC
:A a B a C
3
a
D
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
,
,
,
d AB C A DC d B A D C d D A DC
Gọi O tâm hình vng A B C D Gọi I hình Chiếu D O D , suy I hình chiếu D
trên
A DC
2 2 22
2
, ,
3
2
a a D O D D
AB C A a
d d D D I
D
DC A D
O D D a
C
a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD có số đo 60 Hình chiếu S lên mặt phẳng
ABCD
là trọng tâm tam giác ABC.Góc (ABCD) và
SAB
60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD
A 17
14
a B 3
14
a C 3 17
4
a D 3
4
a
Câu Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh a, góc , hình chiếu đỉnh S mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc tạo bới hai mặt phẳng
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng theo a
A B C D
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng
bằng 45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng
SAC
A B C D
S ABCD ABCD BAC 60
ABCD
ABC
SAC
ABCD
60
SCD
3
a
2 a
2
a
7 a AB a; AD 2a.
ABCD
a 1315 d
89
d 2a 1315
89
d 2a 1513
89
d a 1513
89
(8)Câu 10.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm
BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng
SMD
bằng:A
6
a B 30
12
a C 13
26 a
D 14
28
a
Câu 11.Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Gọi I, J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng
AIA
CJC
A
2
d a B d 2a C
5
a
d D
5
a
d
Câu 12.Cho khối lăng trụ
ABC A B C
.
tícha
3 Gọi M ,N
trung điểmA B
,CC
.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BMN
biếtBMN
tam giác cạnh2
a
A
3 a
B a C
3
3
a
D
3
2
a
Câu 13.Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh
a
Trên AA, BB lấy điểm M N, cho3
,
4
2
a
a
AM
BN
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng(
MNC
)
A 21
21 a
B 21
63 a
C 21
21 a
D 41
8 a
Câu 14.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh
a
BAD
60
Hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABCD
trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng
SAB
ABCD
60 Khoảng cách từB
đến mặt phẳng
SCD
A
21
14
a
B
21
7
a
C.
3 7
14
a
D
3 7
7
a
Câu 15.Cho tứ diện ABCD cóAB CD 4,AC BD 5,AD BC 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BCD
A
7 B
3
5 C
3 42
7 D
(9)ĐÁP ÁN BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD có số đo 60 Hình chiếu S lên mặt phẳng
ABCD
là trọng tâm tam giác ABC.Góc (ABCD) và
SAB
60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD
A 17 14
a B 3
14
a C 3 17
4
a D 3
4
a
Lời giải Chọn B
Gọi H trọng tâm ABC
Dựng
HK
AB HE CD HF
,
,
SE
Ta có AB
SHK
SKH 60Do SH HKtan 60
Mặc khác HK HBsin 60 ( Do ABD tam giác nên
ABD 60 ) suy sin 60
3
a a a
HK SH
Lại có
3
tan 60 ;
3
a a
HE HD HF d H SCD
Do 3 17
2 14
B H
BD a
d d
HD
Câu 8: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh a, góc , hình chiếu đỉnh S mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc tạo bới hai mặt phẳng
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng theo a
A B C D
Lời giải Chọn A
•
• Tính được:
Vậy
S ABCD ABCD BAC 60
ABCD
ABC
SAC
ABCD
60
SCD
3
a
2 a
2
a
7 a
;
;
d B SCD d G SCD
3
; ;
3
a a a
GH SG GK
;
;
32 7
a a
d B SCD d G SCD O
a
S
H C
D B
G A
(10)Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng
bằng 45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng
SAC
A B C D
Lời giải Chọn D
Phương pháp: Đưa khoảng cách từ M đến
SAC
về khoảng cách từ H đến
SAC
Gọi H trung điểm AB SH
ABCD
Ta có
SC ABCD,
SC HC,
SCH 45 SHCvuông cân H 2 17
SH HC BC BH a
;
;
;
;
2
d M SAC d D SAC d B SAC d H SAC
Trong
ABCD
kẻ HI ACTrong
SHI
kẻ HK SIHK
SAC
HK d H SAC
;
Ta có2 5
5
a a
HI AH a
AHI ACB HI
BC AC a
2
1513. 89
SH HI A
HK
SH HI
Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm
BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng
SMD
bằng: A6
a B 30
12
a C 13
26 a
D 14 28
a
Lời giải Chọn D
,
SAB ABCD
SAB ABCD AB SI ABCD
SI AB SI SAB
AB a; AD 2a.
ABCD
a 1315 d
89
d 2a 1315
89
d 2a 1513
89
d a 1513
89
I
D A
S
(11)Ta có: SI
ABCD
, MD
ABCD
SI MD Vậy MD
SIK
mà IH
SIK
MD IH Vậy IH
SMD
d I SMD
,
IHIMD ABCD BIM AID CMD
S S S S S 2 2
8 4
a a a a a
2
2 2
4
a a
MD CD MD a
Mà
2 10
IMD IMD
S
S IK MD IK a
MD
Tam giác SAB vuông cân S nên 1
2
SI AB a Xét tam giác SIK vng I có:
2 2 2
1 1 20 56
9
IH SI IK a a a
3 14 28
IH a
Vậy
,
14 28d I SMD a
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Gọi I, J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng
AIA
CJC
A
d a B d2a C 5
a
d D
5
a
d
Lời giải Chọn C
Gọi O giao điểm AB AC Ta có:
AIA
// CJC
d AIA
, CJC
d I CJC
,
IH, vớiH hình chiếu vng góc I lên JC Thật vậy, ta có:
,
JCC ABCD
JCC ABCD JC IH JCC
IH ABCD IH JC
Xét tam giác JIC vng I, có: 12 12 12 42 12 52
IH IC IJ a a a
5
a IH
(12)Câu 12: Cho khối lăng trụ
ABC A B C
.
tícha
3 Gọi M ,N
trung điểm,
'
A B CC
,.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BMN
biếtBMN
tam giác cạnh2
a
A
3
a
B
a
3
C3
3
a
D
3
2
a
Lời giảiChọn C
Ta có:
V
C AA B B.
V
C A B C.
V
ABC A B C.
1
3
V
C AA B B
V
ABC A B C
V
ABC A B C
2
3
V
C AA B B
V
ABC A B CTa có: .
;
;
.13
N ABM ABM AA B B
V d N ABM S d C AA B B
S
1 1 . ; .
2
d C AA B B
S
AA B B .
V
C AA B B .2
V
ABC A B C3
a Ta có:
2
2
3
1
1
3
.
;
.
.
;
.
.
;
.
3
3
4
3
BMN
A BMN
a
a
V
d A BMN
S
d A BMN
d A BMN
N M
B'
C'
A C
(13)Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh
a
Trên AA, BB lấy điểm M N, cho3
,
4
2
a
a
AM
BN
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng(
MNC
)
A 2121 a
B 21
63 a
C 21
21 a
D 41
8 a
Lời giải
Chọn A Cách 1:
+Tính d B MNC
,
Mặt phẳng
(
MNC
)
cắt cặp mặt đối hình hộp theo cặp giao tuyến song songNên thiết diện tạo
mp MNC
(
)
hình hộp hình bình hành MNCQ' ' '
B MNCQ Q MNB Q B NC
V
V
V
Có . '
,
Q MNB MNB
V d Q ABB A S 1
3 2 12 a a a a
Có VQ B NC ' 13d Q CNB
,
.SCNB 1 3 2 12 a a a a
3
'
6
V
B MNCQ
a
,
3
d B MNCQ SMNPQ
Có 2 17
16
a a
MN a , 2
4
a a
NC a , 2 41
16
a
MC a a
2
SMNCQ SMNC 2 p p MN
p NC p MC
,2
MN NC MC
p
Suy
2
2 21 21
2
8
MNCQ
a
S a
,
MNCQ V d B MNCQ
S
3
4 21
6 21 21
a a
a
Vậy
,
21 21 a d B MNCQ Q N
M
D /
C / B /
D A/
C B
(14)Cách
Có d B CMN
,
d B CMN
,
Gọi K MN AB
ABCD
CMN
CK Kẻ BL CK , L CK ,Kẻ BHNL, HNLd B CMN
,
BHCó
3
BN AM
2
KB KA
KB2BA2a
Có 2 12 12 2
BH BK BC BN
2 21
a BH
Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh
a
BAD
60
Hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABCD
trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng
SAB
ABCD
60 Khoảng cách từB
đến mặt phẳng
SCD
A 2114 a
B 21
7 a
C.3
14 a
D
7 a
Lời giải
Chọn C
Gọi
H
trọng tâm tam giác ABC,M
trung điểmAB
Ta có tam giácABD tam giác đều
2 a DM
BD a Kẻ
HK
AB
HK//DMHK BH
DM BD
3
BH a
HK DM DM
BD
SAB
ABCD
AB
,AB HK
, ABSK (định lí ba đường vng góc)
SAB , ABCD
SKH
Tam giác SHK vng
H
có tan 60a
SH HK
Gọi N giao điểm
HK
CD
H
L
K
A
B
C
A/
D
B / C /
D /
M
(15)Trong mặt phẳng
SHN
kẻ HI SNHI
SCD
HI d H SCD
,
Tam giác SHN vng
H
có 12 12 12HI SH HN , với
2
3
3
a
HN
DM
7 a HI
2
BD
HD
3
, ,
2
d B SCD d H SCD
Vậy
,
14 a d B SCD Câu 15: Cho tứ diện ABCD cóAB CD 4,AC BD 5,AD BC 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BCD
A
7 B
3
5 C
3 42
7 D
7
Lời giải Chọn C
Xây dựng toán tổng quát
Từ giả thiết ta có: MNDC hình thoi; tam giác CAN, DAM tam giác cân, suy ra: AI NC,AI DM
( )
AI CDMN
D D
1 1
.4
2 3
ABC A MN C A IMN A IMN
V V V V IA IM IN h m n
Từ
2 2
2 2
2 2
h m c
h n b
m n a
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
a b c
m
a b c
n
a b c
h
2 2
2 2
2 2
D
VABC a b c a b c a b c
2 2
2 2
2 2
1 4 5 6 4 5 6 4 5 6
15
4
4 15
2 2
BC CD DB
p
4
5
6
154
BCD
S p p p p
Ta có
,
A BCDBCD V d A BCD
S 15 15
42