Chuyên đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

(Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S ABCD... (Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) C[r]

CHUYÊN ĐỀ:

Khoảng cách điểm mặt phẳng khoảng cách từ điểm tới hình chiếu vng góc lên mặt phẳng

   , 

d M P MH (với H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng  )

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng tới mặt phẳng

Nếu / /( )P d, P d M P ;( )với   M

3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới mặt phẳng

Nếu  P / /( )Q d P   , Q d M Q ;( )d N P ;( )với  , N  

M P Q

   

4 Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng a Dùng định nghĩa

b Phương pháp đổi điểm (dùng tỉ số khoảng cách) * Kiến thức cần nhớ:

- Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng  P d A P ; d B P ;  - Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng  P I   

   ;; 

d A P AI

BI

d B P 

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, ta nên cố gắng đưa việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ chân

đường cao hình chóp lăng trụ đến mặt phẳng

P

M

H

P

K H M

N

Q P

N

M K

H

P

H K A B

P

B

I H

A

K

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

c Phương pháp thể tích * d M P ;  3V

S

 với Vlà thể tích khối chóp có đỉnh M, S diện tích đáy nằm mặt phẳng  P khối chóp

* d M P ;  V S

 với Vlà thể tích khối lăng trụ có đỉnh M, S diện tích đáy nằm mặt phẳng  P khối lăng trụ

d Một cơng thức thường dùng tốn tính khoảng cách

Nếu SI IAB     

 

2

; ;

;

SI d I AB d I SAB

SI d I AB





II BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ minh họa

Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M, N, P trung điểm cạnh A B , A C  BC Khoảng cách từ A đến MNP

A 17

65 B

6 13

65 C

13

65 D

12

Lời giải Chọn D

- Gọi D trung điểm B C  MN A D

MN DP

     

 MN A DPA 

MNP A DPA 

 

- Gọi E MN A D EP giao tuyến MNP A DPA  - Dựng AH EPAHMNPAHd A MNP ; 

- Gọi F trung điểm AP EF AP EF  A A 2,

2

AP

FP 

2

2

EP EF FP

    AH EF AP

EP

  2.3 12

5

 

B C

M

A

D

H

A D

B

C M

H

P

S

I

A

B

K H

F E

D

P N

M

B

C

A' C'

B'

A

Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp

S ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB2AD2 a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD

A

4 a

B

2 a

C

2 a

D a

Lời giải Chọn B

Phân tích: Gọi I trung điểm AB, ta có I chân đường cao hình chóp nên ta có ý tưởng đổi việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD thành khoảng cách từ điểm

I đến mặt phẳng SBD * Kẻ SI AB.

Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD

I

 trung điểm AB SI ABCD

SAB

 cạnh 2a 3

a

SI a

  

* Kẻ IKBDK BD , AHBDH BD 

2

IK AH

 

Kẻ IJ SK J SK,   (1) Ta có

 

IK BD

SI ABCD SI BD

 

   

 BDSIKBDIJ (2)

* Từ (1) (2) suy IJ SBDd I SBD ,( )IJ Ta có: 12 12 12

AH  AB  AD 2

1

4

AH a

 

5 a AH

 

5 a IK

 

2 2

1 1

IJ  SI  IK 2

1 16

3

IJ a

 

4 a IJ

   ,( )

4 a d I SBD

 

I trung điểm AB d A SBD ,( )  ,( ) a d I SBD

 

Chọn B

H I

C A

B

D S

Câu (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình lăng trụ đứngABC ABC. 1 có AB a , AC2a, AA12a 

0

120

BAC Gọi , K I trung điểm CC BB1, Khoảng cách từ I đến mặt phẳng A BK1 

A.a 15 B

6 a

C 15

3 a

D

3 a

Lời giải

Chọn B

Diện tích ABC là:



1

.sin sin120

2 2

ABC

a

S  AB AC BAC a a 

Thể tích khối lăng trụ ABC ABC. 1 là:

1 1

2

3

3

.2 15

2

ABC A B C ABC

a

V S AA  a a

Dễ thấy VABC A B C.1 1VK A B C.1 1VK ABC. VK ABB A. 1 1

Mà . 1 1 . .1 1

6

K A B C K ABC ABC A B C

V V  V nên . 1 1 .1 1

K ABB A ABC A B C

V  V

Ta lại có, 1 1 1 1 1 1 1 1

3

1 1 15

15

4 4 6

A BI ABB A K A BI K ABB A ABC A B C

a

S  S V  V  V  a 

 2

2 2

2 cos 2 .2 cos120

BC AB AC  AB AC A a  a  a a a

   2

2 7 5 2 3

BK BC CK  a  a  a

 2  2

2

1 1

A K AC C K  a  a  a

 2

2 2

1 21

A B A A AB  a  a a Xét thấy BK2A A1 2A B1 221a2

Do đó, A BK1 vng K 1

1

.3a 2a 3

2

SA BK A K BK  a

Khoảng cách từ I đến mặt phằng A BK1  là:

 

  1

1

3

K

1 3

15

3 6

,

6 3

I A BK A BI A BK A BK

a

V V a

d I A BK

S S a

Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp thể tích) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a, M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng ACM

A

 a

d B d a C

3

 a

d D

3

 a

d

Lời giải Chọn C

Cách



d( SB,( ACM )) d( B,( ACM ))

3

3 4 4 3

3 3

 

 M ABC  S ABCD  

ACM ACM

V

V

S S

1 . ( 1)

3

VS ABCD  SA SABCD  a 

2

1 5

2, ,

2 2

 

        

 

AC AM MC

4

SACM 

Cách

Theo ta có SB / / ACM 

Qua B ta kẻ đường thẳng x song song với AC, qua A dựng AEBx ta có SBx / / ACM  

Kẻ AHSE

Lại có EB AE EB AH

EB SA



  

 



Do AHSBx Khi d SB, ACM  d SBx , ACM   d A, SBx   AH

2

a

AEBO ; SA2a (O tâm hình vng ABCD)



2

2

AE.SA a

AH

AE SA

 

 Vậy

2

Câu (Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng ACM

A

2

a

d B d a C

3

a

d D

3

a d Lời giải

Chọn D

+ Gọi O giao điểm AC,BD

 

MO SB SB ACM

   

 

 ,   ,   , 

d SB ACM d B ACM d D ACM

  

+ Gọi I trung điểm AD

 

 

 ,   , 

MI SA MI ABCD

d D ACM d I ACM

   

  

+ Trong ABCD IK: AC (với K AC ) + Trong MIK IH: MK (với H MK )  1

+ Ta có: ACMI AC IK,  AC MIK AC IH  2 Từ  1  2 suy IHACMd I ACM , IH + Tính IH?

- Trong tam giác vuông

2

: IM IK

MIK IH

IM IK





- Mặt khác:

2

SA

MI a,

2 4

OD BD a

IK  

2

2

4

3

a

a a

IH

a a

  



Vậy  , 

3

a

d SB ACM 

H

K

I

O M

D

C B

Câu (Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khoảng cách AB C  A DC  :

A a B a C

3

a

D

3

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

   

 ,   ,   , 

d AB C A DC  d B A D  C d D A DC 

Gọi O tâm hình vng A B C D    Gọi I hình Chiếu D O D , suy I hình chiếu D

trên A DC 

      2 2 2

2

2

, ,

3

2

a a D O D D

AB C A a

d d D D I

D

DC A D

O D D a

C

a

  

 

      

       

 



 

 



   

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD có số đo 60 Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCDlà trọng tâm tam giác ABC.Góc (ABCD) vàSAB

60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

A 17

14

a B 3

14

a C 3 17

4

a D 3

4

a

Câu Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh a, góc , hình chiếu đỉnh S mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc tạo bới hai mặt phẳng

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng theo a

A B C D

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng

bằng 45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng SAC

A B C D

S ABCD ABCD BAC 60

ABCD ABC

SAC ABCD 60 SCD

3

a

2 a

2

a

7 a AB a; AD 2a. 

ABCD

a 1315 d

89

 d 2a 1315

89

 d 2a 1513

89

 d a 1513

89

Câu 10.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm

BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng SMD bằng:

A

6

a B 30

12

a C 13

26 a

D 14

28

a

Câu 11.Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi I, J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng AIA CJC

A

2

d a B d 2a C

5

a

d  D

5

a

d 

Câu 12.Cho khối lăng trụ ABC A B C.    tích a3 Gọi M , N trung điểm A B  ,CC.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BMN biết BMN tam giác cạnh 2a

A

3 a

B a C 3

3

a

D 3

2

a

Câu 13.Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Trên AA, BB lấy điểm M N, cho 3 ,

4 2

a a

AM  BN  Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MNC)

A 21

21 a

B 21

63 a

C 21

21 a

D 41

8 a

Câu 14.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 60 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng SAB ABCD 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

A 21 14

a

B 21

7

a

C.3 7

14

a

D 3 7 7

a

Câu 15.Cho tứ diện ABCD cóAB CD 4,AC BD 5,AD BC 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

A

7 B

3

5 C

3 42

7 D

ĐÁP ÁN BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD có số đo 60 Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCDlà trọng tâm tam giác ABC.Góc (ABCD) vàSAB 60 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

A 17 14

a B 3

14

a C 3 17

4

a D 3

4

a

Lời giải Chọn B

Gọi H trọng tâm ABC

Dựng HKAB HE CD HF,  , SE Ta có ABSHKSKH 60

Do SH  HKtan 60

Mặc khác HK HBsin 60 ( Do ABD tam giác nên

ABD 60 ) suy sin 60

3

 a  a  a

HK SH

Lại có

 

 

3

tan 60 ;

3

  a   a 

HE HD HF d H SCD

Do 3 17

2 14

  B  H 

BD a

d d

HD

Câu 8: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh a, góc , hình chiếu đỉnh S mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác , góc tạo bới hai mặt phẳng

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng theo a

A B C D

Lời giải Chọn A

•

• Tính được:

Vậy

S ABCD ABCD BAC 60

ABCD ABC

SAC ABCD 60 SCD

3

a

2 a

2

a

7 a

 

 ;   ; 

d B SCD  d G SCD

3

; ;

3

a a a

GH  SG GK 

 

 ;   ;  3

2 7

a a

d B SCD  d G SCD   O

a

S

H C

D B

G A

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng

bằng 45 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng SAC

A B C D

Lời giải Chọn D

Phương pháp: Đưa khoảng cách từ M đến SACvề khoảng cách từ H đến SAC Gọi H trung điểm AB SHABCD

Ta có SC ABCD,  SC HC, SCH 45

 SHCvuông cân H 2 17

SH HC BC BH  a

 

 ;   ;   ;   ; 

2

d M SAC  d D SAC  d B SAC d H SAC

Trong ABCD kẻ HI AC

Trong SHI kẻ HK SIHK SACHK d H SAC ;  Ta có

2 5

5

      

a a

HI AH a

AHI ACB HI

BC AC a

2

1513. 89

 



SH HI A

HK

SH HI

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm

BC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng SMD bằng: A

6

a B 30

12

a C 13

26 a

D 14 28

a

Lời giải Chọn D

   

   

 

 

,

SAB ABCD

SAB ABCD AB SI ABCD

SI AB SI SAB

 



   



  

AB a; AD 2a. 

ABCD

a 1315 d

89

 d 2a 1315

89

 d 2a 1513

89

 d a 1513

89



I

D A

S

Ta có: SI ABCD, MDABCDSI MD Vậy MDSIK mà IHSIK MD IH

  Vậy IH SMDd I SMD , IH

IMD ABCD BIM AID CMD

S S S S S 2 2

8 4

a a a a a

    

2

2 2

4

a a

MD CD MD  a  

Mà

2 10

IMD IMD

S

S IK MD IK a

MD



    

Tam giác SAB vuông cân S nên 1

2

SI  AB a Xét tam giác SIK vng I có:

2 2 2

1 1 20 56

9

IH  SI IK  a a  a

3 14 28

IH a

  Vậy  ,  14 28

d I SMD  a

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi I, J trung điển BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng AIA CJC

A

d a B d2a C 5

a

d  D

5

a

d 

Lời giải Chọn C

Gọi O giao điểm AB AC Ta có:

AIA // CJCd AIA  , CJCd I CJC , IH, với

H hình chiếu vng góc I lên JC Thật vậy, ta có:

   

   

 

 

,

JCC ABCD

JCC ABCD JC IH JCC

IH ABCD IH JC

  

  

   



  



Xét tam giác JIC vng I, có: 12 12 12 42 12 52

IH  IC IJ a a a

5

a IH

Câu 12: Cho khối lăng trụ ABC A B C.    tích a3 Gọi M , N trung điểm

, '

 

A B CC ,.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BMN biết BMN tam giác cạnh 2a

A

3

a

B a 3 C 3

3

a

D 3

2

a Lời giải

Chọn C

Ta có: VC AA B B.   VC A B C.   VABC A B C.   

1 3

       

VC AA B B  VABC A B C VABC A B C

2 3

    

VC AA B B  VABC A B C

Ta có: .  ;   ;  .1

3    

 

N ABM ABM AA B B

V d N ABM S d C AA B B S

 

 

1 1 . ; .

2    

 d C AA B B SAA B B .  

 VC AA B B .

2   

 VABC A B C

3

 a Ta có:

 

      2   

2 3

1 1 3

. ; . . ; . . ; .

3 3 4 3

 BMN  

A BMN

a a

V d A BMN S d A BMN d A BMN

N M

B'

C'

A C

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Trên AA, BB lấy điểm M N, cho 3 ,

4 2

a a

AM  BN  Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MNC) A 21

21 a

B 21

63 a

C 21

21 a

D 41

8 a

Lời giải

Chọn A Cách 1:

+Tính d B MNC , 

Mặt phẳng (MNC)cắt cặp mặt đối hình hộp theo cặp giao tuyến song song

Nên thiết diện tạo mp MNC( ) hình hộp hình bình hành MNCQ

' ' '

B MNCQ Q MNB Q B NC

V V V

Có . '  , 

Q MNB MNB

V  d Q ABB A  S  1

3 2 12 a a a a

 

Có VQ B NC ' 13d Q CNB , .SCNB 1 3 2 12 a a a a

 

3

' 6

VB MNCQ  a  , 

3 

 d B MNCQ SMNPQ

Có 2 17

16

a a

MN  a   , 2

4

a a

NC  a   , 2 41

16

a

MC  a  a 

2

SMNCQ  SMNC 2 p p MN  p NC p MC   ,

2

MN NC MC

p  

Suy

2

2 21 21

2

8

MNCQ

a

S  a 

 

 , 

 

MNCQ V d B MNCQ

S

3

4 21

6 21 21

a a

a

 

Vậy  ,  21 21 a d B MNCQ 

Q N

M

D /

C / B /

D A/

C B

Cách

Có d B CMN , d B CMN , 

Gọi K MN ABABCD  CMNCK Kẻ BL CK , L CK ,

Kẻ BHNL, HNLd B CMN , BH

Có

3

BN AM 

2

KB KA

  KB2BA2a

Có 2 12 12 2

BH  BK  BC  BN

2 21

a BH

 

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 60 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc mặt phẳng SAB ABCD 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD A 21

14 a

B 21

7 a

C.3

14 a

D

7 a

Lời giải

Chọn C

Gọi H trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm AB Ta có tam giác ABD tam giác đều

2 a DM

  BD a Kẻ HKAB HK//DM

HK BH

DM BD

 

3

BH a

HK DM DM

BD

   

SAB  ABCDAB, AB HK , ABSK (định lí ba đường vng góc)

  

 SAB , ABCD  SKH

 

Tam giác SHK vng H có tan 60

a

SH HK  

Gọi N giao điểm HK CD



H

L

K

A

B

C

A/

D

B / C /

D /

M

Trong mặt phẳng SHN kẻ HI SN HI SCD HI d H SCD  , 

Tam giác SHN vng H có 12 12 12

HI  SH HN , với

2

3 3

a HN  DM

7 a HI

 

2

 BD 

HD      

3

, ,

2

d B SCD d H SCD

 

Vậy  ,  14 a d B SCD 

Câu 15: Cho tứ diện ABCD cóAB CD 4,AC BD 5,AD BC 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

A

7 B

3

5 C

3 42

7 D

7

Lời giải Chọn C

Xây dựng toán tổng quát

Từ giả thiết ta có: MNDC hình thoi; tam giác CAN, DAM tam giác cân, suy ra: AI NC,AI DM

( )

AI CDMN

 

D D

1 1

.4

2 3

ABC A MN C A IMN A IMN

V  V  V  V  IA IM IN h m n

Từ

2 2

2 2

2 2

h m c

h n b

m n a

          

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

a b c

m

a b c

n

a b c

h                   

 2 2 2 2 2 2

D

VABC   a b c a b c a b c

 2 2 2 2 2 2

1 4 5 6 4 5 6 4 5 6

        15

4



4 15

2 2

BC CD DB

p        4 5 6 15

4

BCD

S p p p p

     

Ta có  ,  A BCD

BCD V d A BCD

S  15 15

 42