Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI 1. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ l à m ột số vô tỉ. Cho số nguyên dương a.. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂ[r]

§ SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI 1 Chứng minh 7 số vô tỉ

2 a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad– bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3 Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2

4 a) Cho a≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: a b ab 2





b) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: bc ca ab a b c

a  b  c   

c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab. 5 Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = a3 + b3 6 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức: N = a + b

7 Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc≥ ab(a + b + c) 8 Tìm liên hệ số a và b biết rằng: a  b a b

9 a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2≥ 4a

b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức:

a) (a + b)2≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho:

a) | 2x– | = | 1– x | b) x2– 4x≤ c) 2x(2x– 1)≤ 2x– 12 Tìm số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

13 Cho biểu thức M= a2 + ab + b2– 3a– 3b + 2001 Với giá trị a b Mđạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ

14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2– 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh rằng khơng có giá trị x, y, z thỏa mãnđẳng thức sau:

x2 + 4y2 + z2– 2a + 8y– 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

1 A

x 4x 9



 

17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) :

a) 7 15 7 b) 17 5 và 45

c) 23 19 và 27 3



d) 3 và 2 3

18 Hãy viết số hữu tỉ và số vô tỉ lớn 2 nhỏ 3

19 Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x210x21 5 2xx2

20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy =

21 Cho S 1 1 1 1

1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1

     

  

Hãy so sánh S 2.1998 1999

22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x và y dấu Chứng minh :

a) x y 2 y x

b)

2

2

x y x y

0

y x y x

   

   

   

 

c)

4 2

4 2

x y x y x y

2

y x y x y x

     

     

     

 

   

24 Chứng minh số sau là số vô tỉ : a) 1 2

b) m 3 n

 với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng là số hữu tỉ không ? 26 Cho số x và y khác Chứng minh :

2

2

x y x y

4 3

y x y x

 

     

 

27 Cho số x, y, z dương Chứng minh :

2 2

2 2

x y z x y z

y  z x   y z x

28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ là số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức :

a) (a + b)2≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12 + a22 + … + an2)

30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh :     x  y  xy

32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A 2 1

x 6x 17



 

33 Tìm giá trị nhỏ : A x y z

y z x

   với x, y, z > 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y =

35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 1. 36 Xét xem số a và b số vơ tỉ không :

a) ab và a

b số vô tỉ

b) a + b và a

b số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc≥ ab(a + b + c)

38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d 2 bccddaab 

39 Chứng minh rằng  2x 2 x  2 x 1

40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96

§ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A

41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa:

2

2

1 1 1 2

A= x 3 B C D E x 2x

x

x 4x 5 x 2x 1 1 x 3

       

     

2

c) Giải phương trình : 4x220x25 x28x 16  x218x81

43 Giải phương trình : 2x28x3 x2 4x 5 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa:

2

2

1 1

A x x 2 B C 2 1 9x D

1 3x x 5x 6

       

  

2

2

1 x

E G x 2 H x 2x 3 3 x

x 4

2x 1 x

        

  

45 Giải phương trình :

2

x 3x 0 x 3

  

46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A xx 47 Tìm giá trị lớn biểu thức: B 3 x x

48 So sánh : a) a 2 3 b= 3 1 2



  b) 5 13 và 3 1

c) n 2 n và n+1 n (n số nguyên dương)

49 Với giá trị nào x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: A 1 1 6x 9x2 (3x 1) 50 Tính : a) 4 3 b) 11 2 c) 27 10 2

2

d) A m 8m 16  m 8m 16 e) B n2 n 1  n2 n 1 (n≥ 1) 51 Rút gọn biểu thức: M 8 41

45 41 45 41



  

52 Tìm số x, y, z thỏa mãnđẳng thức: (2xy)2 (y2)2 (x y z)2 0

53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 25x220x 4 25x230x9 54 Giải phương trình sau :

2 2 2

a) x   x 2 x 2 0 b) x   1 1 x c) x  x x   x 2 0

4 2

d) x x 2x  1 1 e) x 4x   4 x 4 0 g) x 2 x  3 5

2 2

h) x 2x 1  x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25

k) x 3 x 1  x 8 x 1 1 l) 8x 1  3x 5 7x 4 2x2

55 Cho hai số thực x và y thỏa mãn cácđiều kiện: xy = x > y CMR:

2

x y

2 2 x y

 



56 Rút gọn biểu thức:

a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1

c) 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2

       

           

57 Chứng minh rằng 2 3 6 2

2 2

  

58 Rút gọn biểu thức:

   

6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 2 6

a) C b) D

2 3

        

59 So sánh :

a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 và 2 1 c) 28 16 và 32

60 Cho biểu thức : A x x24x4 a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A

61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 10 b) 92 14

3 11 2 5 6

c)

2 6 2 5 7 2 10

   

   

62 Cho a + b + c = ; a, b, c≠ Chứng minh đẳng thức :

2 2

1 1 1 1 1 1

a b c   a b c

63 Giải bất phương trình : x2 16x60  x 6 64 Tìm x cho : x2  3 3 x2

65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2– 3) + (y2– 2)2 = (1) 66 Tìm xđể biểu thức có nghĩa:

2

1 16 x

a) A b) B x 8x 8

2x 1

x 2x 1



    



 

67 Cho biểu thức :

2

2

x x 2x x x 2x

A

x x 2x x x 2x

   

 

   

a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A <

68 Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên số : 0,9999 9 (20 chữ số 9)

69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A =| x - 2| + | y– | với| x | + | y | = 5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4biết xy + yz + zx =

§ LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀPHÉP KHAI PHƯƠNG 71 Trong hai số : n  n2 n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A 74 3  74 3 Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)

74 Chứng minh số sau là số vô tỉ: 3 5 ; 3 2 ; 23

75 Hãy so sánh hai số: a 3 33 b=2 1 ; 2 5 và 5 1 2

 

76 So sánh 4 7  4 7  2 số 77 Rút gọn biểu thức: Q 2 3 6 8 4

2 3 4

   



 

81 Tìm giá trị lớn của: M a b2 với a, b > a + b≤

82 CMR số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd có hai số dương (a, b, c, d > 0)

83 Rút gọn biểu thức: N 4 68 34 18

84 Cho x  y z xy yz zx, x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an)≥ 2n

86 Chứng minh:  

2

a  b 2 2(ab) ab (a, b≥ 0)

87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác cácđoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác

§ LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

88 Rút gọn: a)

2

ab b a

A

b b



  b)

2

(x 2) 8x B

2 x

x

 





89 Chứng minh rằng với số thực a, ta có:

2

a 2

2

a 1

 

 Khi có đẳng thức ?

90 Tính : A 3 5  3 5 hai cách

91 So sánh : a) 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5

  

92 Tính : P 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

 

 

   

93 Giải phương trình : x 2 2x 5 x 2 2x 5 2 2 94 Chứng minh ta có: Pn 1.3.5 (2n 1) 1

2.4.6 2n 2n 1



 

 ; nZ+ 95 Chứng minh a, b > thì

2

a b

a b

b a

  

96 Rút gọn biểu thức: A =

2

x 4(x 1) x 4(x 1) 1

1

x 1 x 4(x 1)

      



  

 

 

97 Chứng minh đẳng thức sau: a) a b b a : 1 a b

ab a b

  

 (a, b > ; a≠ b)

14 7 15 5 1 a a a a

b) : 2 c) 1 1 1 a

1 2 1 3 7 5 a 1 a 1

        

      

    

    

     (a > 0)

98 Tính : a) 5 3 29 20 ; b) 3 5 13 48 c)  7 48  28 16   7 48

 

16

c) 18 19 9 d) và 5 25

2



100 Cho đẳng thức:

2

a a b a a b

a b

2 2

   

   (a, b > a2– b > 0) Áp dụng kết để rút gọn:

2 3 2 3 3 2 3 2

a) ; b)

2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2

   

 

     

2 10 30 2 2 6 2

c) :

2 10 2 2 3 1

  

 

101 Xác định giá trị biểu thức sau:

2

2

xy x 1 y 1

a) A

xy x 1 y 1

  



   với

1 1 1 1

x a , y b

2 a 2 b

   

       

    (a > ; b > 1)

a bx a bx

b) B

a bx a bx

  



   với  2

2am

x , m 1

b m

 



102 Cho biểu thức

2

2x x 1

P(x)

3x 4x 1

 



 

a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) <

103 Cho biểu thức

2

x 2 x 2 x 2 4 x 2

A

4 4

1

x x

      



 

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau:

2

a) 9x b) xx (x0) c) 1 2x d) x 5 4

2 1

e) 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i)

2x x 3

       

 

105 Rút gọn biểu thức : A x 2x 1  x 2x 1 , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) 5 35 48 10 7 4 3

b) 4 102 5  4 102 5 c) 94 42 5  9442 5 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a≥ b

a) a b  a b  2 a  a2b b)

2

a a b a a b

a b

2 2

   

  

108 Rút gọn biểu thức : A x2 2x 4 x2 2x4

109 Tìm x y cho : x  y 2 x  y 2

  2 2

111 Cho a, b, c > Chứng minh :

2 2

a b c a b c

b c c a a b 2

 

  

  

112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh :

a) a 1  b 1  c 1 3,5 b) a b b c c a 6

113 CM : a2c2b2 c2  a2d2b2d2(ab)(cd) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x x

115 Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) x

 



116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2x

118 Giải phương trình : x 1  5x 1  3x2

119 Giải phương trình : x2 x 1  x2 x 1 2

120 Giải phương trình : 3x2 21x 18 x  7x 7 2

121 Giải phương trình : 3x26x 7 5x2 10x 14  4 2xx2

122 Chứng minh số sau là số vô tỉ : 3 2 ; 2 2 3

123 Chứng minh x 2 4 x 2

124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học :

2 2

a b b c b(ac) với a, b, c > 125 Chứng minh (ab)(cd) ac bd với a, b, c, d >

126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác cácđoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác

127 Chứng minh

2

(a b) a b

a b b a

2 4

 

   với a, b ≥

128 Chứng minh a b c 2

bc  ac  ab  với a, b, c >

129 Cho x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ của A x2 x 1  x2 x 1

131 Tìm GTNN, GTLN của A 1 x  1 x 132 Tìm giá trị nhỏ của A x2 1 x22x5

133 Tìm giá trị nhỏ của A  x2 4x 12   x2 2x3

134 Tìm GTNN, GTLN : a) A2x 5 x b) Ax 99  101 x 2

135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b 1

x  y (a b số dương)

136 Tìm GTNN A= (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN của A xy yz zx

z x y

   với x, y, z > , x + y + z =

138 Tìm GTNN của

2 2

x y z

A

x y y z z x

  

139 Tìm giá trị lớn nhất : a) A a  b2 với a, b > , a + b ≤

b) B a  b 4 a  c 4 a  d 4 b c 4 b d 4  c d4 với a, b, c, d > a + b + c + d =

140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN của A b c

c d a b

 

  với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥

142 Giải phương trình sau :

2

a) x 5x2 3x120 b) x 4x8 x 1 c) 4x 1  3x 4 1 d) x 1  x 1 2 e) x2 x 1  x 1 1 g) x 2x 1  x 2x 1  2 h) x 2 x 2 x 7 x 2 1 i) x  x 1 x 1

2 2

k) 1 x  x x 1 l) 2x 8x 6 x  1 2x2

2

m) x   6 x 2 x 1 n) x 1  x 10  x 2 x5

  

o) x 1  x 3 2 x x 3x5  4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x  2 1 x2

2

q) 2x 9x 4 3 2x 1  2x 21x 11

§ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 143 Rút gọn biểu thức: A2 2 53 2 18 202 2

144 Chứng minh rằng,nZ+, ta ln có :  

1 1 1

1 2 n 1

2 3 n

      

145 Trục thức mẫu: a) 1 b) 1

1 2 5 x  x 1

146 Tính :

a) 5 3 29 20 b) 62 5 13 48 c) 5 3 29 12 5

147 Cho a 3 5 3  5 10 2 Chứng minh a số tự nhiên 148 Cho b 3 2 3 2

17 12 2 17 12 2

 

 

  b có phải số tự nhiên khơng ?

149 Giải phương trình sau :

     

   

a) 3 x x 4 3 0 b) 3 x 2 3 x 3 3

5 x 5 x x 3 x 3

c) 2 d) x x 5 5

5 x x 3

        

    

   

  

150 Tính giá trị biểu thức: M 12 529  25 21  12 529 25 21

151 Rút gọn: A 1  1  1   1

152 Cho biểu thức: P 1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 2n 2n 1

    

    

a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ?

153 Tính : A 1 1 1 1

2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

    

   

154 Chứng minh: 1 1 1 1 n

2 3 n

    

155 Cho a 17 1 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4– 17a3– a2 + 18a– 17)2000 156 Chứng minh: a  a 1  a 2 a3 (a≥ 3)

157 Chứng minh: x2 x 1 0 2

   (x≥ 0)

158 Tìm giá trị lớn của S x 1  y2 , biết x + y =

159 Tính giá trị biểu thức sau với a 3 : A 1 2a 1 2a

4 1 1 2a 1 1 2a

 

  

   

160 Chứng minh đẳng thức sau:

    

a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 22 6  2 3 1

   2 

c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2

2

          

161 Chứng minh bất đẳng thức sau:

5 5 5 5

a) 27 6 48 b) 10 0

5 5 5 5

 

    

 

5 1 5 1 1

c) 3 4 2 0, 2 1, 01 0

3

1 5 3 1 3 5

    

    

  

   

  

2 3 1 2 3 3 3 1

d) 3 2 0

2 6 2 6 2 6 2 6 2

 

  

      

    

e) 22 2 1  22 2 1 1,9 g) 17 12 2  2  3 1

    2 2 3 2 2

h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8

4

  

      

162 Chứng minh rằng : 2 n n 1 2 n 2 n 1 n

      Từ suy ra:

1 1 1

2004 1 2005

2 3 1006009

     

163 Trục thức mẫu:

3

2 3 4 3

a) b)

2 3 6 8 4 2 2 4

 

     

164 Cho x 3 2 và y= 3 2

3 2 3 2

 



  Tính A = 5x

2

+ 6xy + 5y2 165 Chứng minh bất đẳng thức sau: 2002 2003 2002 2003

166 Tính giá trị biểu thức:

2

x 3xy y

A

x y 2

 



  với x  3 5 y 3 5

167 Giải phương trình : 6x 3 3 x x2

x 1 x



  

 

168 Giải bất pt : a) 3 5x 72 b) 1 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 4

      

169 Rút gọn biểu thức sau :

a 1

a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a

a



        

2 2

2 2

x 3 x 9 x 5x 6 x 9 x

c) C d) D

2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x

      

 

      

1 1 1 1

E

1 2 2 3 3 4 24 25

    

   

170 Tìm GTNN GTLN biểu thức

2

1 A

2 3 x



 

171 Tìm giá trị nhỏ của A 2 1

1 x x

 

 với < x <

172 Tìm GTLN : a) A x 1  y2 biết x + y = ; b) B x 1 y 2

x y

 

 

173 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ?

174 Tìm GTNN, GTLN :

2

1

a) A b) B x 2x 4

5 2 6 x

    

 

175 Tìm giá trị lớn của Ax x

176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 =

177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 178 Tìm GTNN, GTLN của Ax x y y biết x  y 1 179 Giải phương trình : 1 x x2 3x 2 (x 2) x 1 3

x 2



      



§ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180 Giải phương trình : x2 2x 9 64x2x2

181 CMR,nZ+ , ta có : 1 1 1 1 2 23 2 4 3   (n 1) n 

182 Cho A 1 1 1 1

1.1999 2.1998 3.1997 1999.1

     Hãy so sánh A 1,999

183 Cho số x, y và x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 184 Cho a 3 2 2 ; b 3 2 6 2

3 2



     

185 Rút gọn biểu thức: P 2 a a 2 .a a a a 1 a 1

a 2 a 1 a

      

  



 

  (a > ; a≠ 1)

186 Chứng minh : a 1 a 1 4 a a 1 4a

a 1 a 1 a

    

   

  

   

  (a > ; a≠ 1)

187 Rút gọn:  

2

x 2 8x

2 x

x

 



(0 < x < 2)

188 Rút gọn: a b ab : a b a b

a b ab b ab a ab

     

  

   

    

 

189 Giải bất phương trình :  

2

2

2

5a

2 x x a

x a

  

 (a≠ 0)

190 Cho A 1 a2: 1 a a a 1 a a a 1

1 a 1 a

    

      

 

  

 

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A

191 Cho biểu thức : B a b 1 a b b b

a ab 2 ab a ab a ab

 

  

    

    

a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B a  6 2 5 c) So sánh B với-1

192 Cho A 1 1 : 1 a b

a a b a a b a b

  

 

     

    

   

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | =-A c) Tính giá trị A a 5 4 ; b 2 6 2

193 Cho biểu thức A a 1 a 1 4 a a 1

a 1 a 1 a

    

     

   

 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị A a 6

2 6



 c) Tìm giá trị a để A A

194 Cho biểu thức A a 1 a a a a

2 2 a a 1 a 1

    

    

 

  

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A để A =- 195 Thực phép tính : A 1 a 1 a : 1 a 1 a

1 a 1 a 1 a 1 a

       

     

   

   

196 Thực phép tính : B 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

 

 

   

 3

x y 1 1 1 2 1 1

a) A : . .

x y

xy xy x y 2 xy x y x y

  

   

       

 

    

 

 

với x 2 3 ; y 2 3 b)

2 2

x x y x x y

B

2(x y)

    



 với x > y >

c)

2

2a x C

1 x x

 

  với

1 1 a a

x

2 a 1 a

  

   



  ; < a <

d)   

2

2

a 1 b 1

D (a b)

c 1

 

  

 với a, b, c > ab + bc + ca =

e) E x 2 x 1 x 2 x 1 2x 1

x 2x 1 x 2x 1

    

 

    

198 Chứng minh :

2

x 4 x 4 2x 4

x x

x x x

  

    với x ≥

199 Cho a 1 2 , b 1 2

2 2

   

  Tính a7 + b7

200 Cho a 2 1

a) Viết a2 ; a3 dạng m m 1 , m số tự nhiên

b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng

201 Cho biết x = 2 nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm lại

202 Chứng minh 2 n 3 1 1 1 2 n 2

2 3 n

       với n N ; n≥

203 Tìm phần nguyên số 6 6   6 6 (có 100 dấu căn) 204 Cho a 2 3 Tính a)   a2 b)   a3

205 Cho số x, y, x y số hữu tỉ Chứng minh số x , y số hữu tỉ 206 CMR,n≥ , n N : 1 1 1 1 2

23 2 4 3  (n 1) n 

207 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :

1 25

1 1 1 1

9

a  a  a   a  Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số

208 Giải phương trình 2 x 2 x 2

2 2 x 2 2 x

   

   

209 Giải và biện luận với tham số a 1 x 1 x a

1 x 1 x

  



210 Giải hệ phương trình

     

x y 2y

y z 2z z x 2x

  

  

 

 



211 Chứng minh :

a) Số  

7

8 7 có chữ số liền sau dấu phẩy

b) Số  

10

74 3 có mười chữ số liền sau dấu phẩy 212 Kí hiệu an số nguyên gần n (n N*), ví dụ :

1

1 1 a 1 ; 21, 4a 1 ; 31, 7a 2 ; 4  2 a 2 Tính :

1 1980

1 1 1 1

a a a   a

213 Tìm phần nguyên số (có n dấu căn) : a) an  2 2   2 2 b) an  4 4   4 4 c) an  1996 1996   1996 1996

214 Tìm phần nguyên A với n N : A 4n2 16n28n3

215 Chứng minh viết số x =  

200

3 2 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy

216 Tìm chữ số tận cùng phần nguyên  

250

3 2 217 Tính tổng A    1  2   3   24

§ CĂN BẬC BA 218 Tìm giá trị lớn A = x2(3– x) với x ≥

219 Giải phương trình : a) x 1 3 7 x 2 b) x 2 x 1 3

220 Có tồn các số hữu tỉ dương a, b không :a) a  b  2 b) a  b  2 221 Chứng minh số sau là số vô tỉ : a) 5 b) 23 4

222 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm : a b c abc 3

 



223 Cho a, b, c, d > Biết a b c d 1

1 a 1 b 1 c 1 d  Chứng minh :

1 abcd

81



224 Chứng minh bất đẳng thức :

2 2

2 2

x y z x y z

y  z  x   y z x với x, y, z >

225 Cho a 333 3 333 3 ; b2 33 Chứng minh : a < b 226 a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có :

n

1

1 3

n

   

 

 

b) Chứng minh số có dạng n n (n số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn 227 Tìm giá trị nhỏ của A x2  x 1 x2 x 1

229 Tìm giá trị lớn của Ax2 9x2

230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2– 6) biết ≤ x ≤

231 Một miếngbìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìađể hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn

232 Giải phương trình sau :

3

3

a) 1 x 16  x3 b) 2 x x 1 1

3

3 3

c) x 1  x 1  5x d) 2x 1 x 1  

3 2 3 3

3

3

x 3x x 1 x 4 7 x x 5

e) 2 3 g) 6 x

2 7 x x 5

      

   

  

3

2 2 3

3

h) (x 1)  (x 1)  x  1 1 i) x 1  x 2 x 3 0

2

4 4 4

k) 1 x  1 x  1 x 3 l) a x b x a b 2x (a, b tham số) 233 Rút gọn

4 2

3 3

2

3 3

a a b b

A

a ab b

 



 

234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x2   x 1 x2  x 1

235 Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = là1 3

236 Chứng minh 33 số vô tỉ

237 Làm phép tính : a) 31 2 26  b) 694 23  5 238 Tính : a 20 14 2 3 20 14 2

239 Chứng minh : 7 2  372 5 2

240 Tính : A4 7 48 428 16 7   48

241 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm : x 33 39 242 Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x– 14 với

3

1

x 7 2

7 2

  



243 Giải phương trình : a) x 2 25 x 3

2

3

b) x 9 (x3) 6 c) x 322 x 32 3

244 Tìm GTNN biểu thức : A x32 1  x3 1 x32 1  x31 245 Cho số dương a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 abcd4

246 Rút gọn :

3 3

3

3 3

8 x x 2 x x 4

P : 2 x

2 x 2 x x 2 x 2 x

    

 

      

         ; x > , x≠

247 CMR : x 5 17 3 5 17 nghiệm phương trình x3– 6x– 10 =

248 Cho

3

1

x 4 15

4 15

  

 Tính giá trị biểu thức y = x

3

249 Chứng minh đẳng thức :

3

3

a 2 5 9 5

a 1

2 5 9 4 5 a a

  

  

   

250 Chứng minh bất đẳng thức : 3 94 5 3 2 5  5 2 2,10

 

251 Rút gọn biểu thức sau :

a)

 

3

4 2

3 3

3

2

3 3 3

3

1 1 2

a a b b b 4b b 24

A b) .

1

b 8 b 8

a ab b b 2 1 2.

b

 

    

     

    

   

       

  

c)

2 2

3 3

3

3

2

3 3

a a 2a b a b a b ab 1

C .

a b

a ab a

    

  

 

 

§ BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I

252 Cho M x24a 9 x2 4x8 Tính giá trị biểu thức M biết rằng:

2

x 4x 9 x 4x 8 2

253 Tìm giá trị nhỏ của: P x2 2axa2  x22bxb2 (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnhcủa tam giác :

abc≥ (a + b – c)(b + c– a)(c + a– b) 255 Tìm giá trị biểu thức | x – y | biết x + y = xy = -1 256 Biết a – b = 2 + , b– c = 2 - 1, tìm giá trị biểu thức:

A = a2 + b2 + c2– ab– bc– ca

257 Tìm x, y, z biết rằng: x   y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5

258 Cho y x2 x 1  x2 x 1 CMR, ≤ x ≤ giá trị y số 259 Phân tích thành nhân tử: M7 x 1  x3x2  x 1 (x≥ 1)

260 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo 2, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn

261 Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng là a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có : c a b

2





262 Cho số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh :

Nếu aa' bb ' cc ' (a b c)(a ' b ' c ') thì a b c a' b ' c '

        

263 Giải phương trình : | x2– | + | x2– | =

264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :  4

x y

1 x y

C

4xy 2 x y

x y x y

x y x y

 

  

   



 

   

 

với x > ; y >

2 a a 2 a a a a 1 D

a 1

a 2 a 1 a

      

  



 

  với a > ; a ≠

266 Cho biểu thức B a c ac 1

a c a c

a c

ac c ac a ac

  

  

 

   

 

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị biểu thức Bkhi c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị nào a c để B > ; B <

267 Cho biểu thức : A= m+2mn2 m 2mn2 1 12

1+n 1 n n

 

  

  

  với m ≥ ; n ≥

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị A với m 5624 5 c) Tìm giá trị nhỏ A.

268 Rút gọn 2

2

1 x 1 x 1 1 x x

D 1

x x

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

     

     

        

  

269 Cho P 1 2 x : 1 2 x

x 1

x 1 x x x x 1

   

     



   

    với x ≥ ; x ≠

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x cho P < 0. 270 Xét biểu thức

2

x x 2x x

y 1

x x 1 x

 

  

 

a) Rút gọn y Tìm xđể y = b) Giả sử x > Chứng minhrằng : y- | y | = c) Tìm giá trị nhỏ y ?

-HẾT -GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 9 § SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI

1 Giả sử 7 số hữu tỉ 7 m n

 (tối giản) Suy

2

2

2

m

7 hay 7n m

n

  (1) Đẳng thức chứng tỏ m 72 mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại cón2 số nguyên tố nên n m n chia hết phân số m

n không tối giản, trái giả thiết Vậy 7 số hữu tỉ;

do 7 số vơ tỉ

2 Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) (ad– bc)2≥ 3 Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2– x)2 = 2(x– 1)2 + 2≥ Vậy S =  x = y =

4 b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương bc và ca ; bc và ab ; ca và ab

a b a c b c , ta

lần lượt có: bc ca 2 bc ca. 2c; bc ab 2 bc ab. 2b

a  b  a b  a  c  a c  ;

ca ab ca ab

2 . 2a

b  c  b c  cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c

c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 3a 5b 3a.5b 2

 

 (3a + 5b)2≥ 4.15P (vì P = a.b)  122≥ 60P  P≤ 12

5  max P = 12

5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 :  a = ; b = 6/5

5 Ta có b = 1– a, M = a3 + (1 a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ Dấu “=” xảy a = ½ Vậy M =ẳ a = b = ẵ

6 Đặt a = + x b3 = 2– a3 = 2– (1 + x)3 = 1– 3x– 3x2– x3≤ – 3x + 3x2– x3 = (1– x)3 Suy : b≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b≤ + x + – x =

Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = 7 Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b)

8 Vì | a + b |≥ , | a – b |≥ , nên : | a + b | > | a– b |  a2 + 2ab + b2≥ a2– 2ab + b2

 4ab >  ab > Vậy a b hai số dấu

9 a) Xét hiệu : (a + 1)2– 4a = a2 + 2a + 1– 4a = a2– 2a + = (a– 1)2 ≥

b) Ta có : (a + 1)2≥ 4a ; (b + 1)2≥ 4b ; (c + 1)2≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥

10 a) Ta có : (a + b)2 + (a– b)2 = 2(a2 + b2) Do (a– b)2≥ 0, nên (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a– b)2 + (a– c)2 + (b– c)2 Khai triển rút gọn, ta :

3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2+ b2 + c2) 11 a)

4

2x 3 x 3x 4 x

2x 3 1 x 3

2x 3 x 1 x 2

x 2



    

  

       



   

   

b) x2– 4x ≤  (x– 2)2 ≤ 33  | x– | ≤  -3≤ x – 2≤  -1≤ x ≤ c) 2x(2x– 1) ≤ 2x –  (2x– 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x =½

12 Viết đẳng thức đã cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2– ab– ac– ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a– 2b)2 + (a– 2c)2 + (a– 2d)2 = (2) Do ta có :

a = a– 2b = a– 2c = a– 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b– 2)2 + (a– 1)2 + (b– 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥ 1998 Dấu “ = “ xảy có đồng thời :

a b 2 0

a 1 0 b 1 0

   

       

Vậy M = 1998  a = b = 14 Giải tương tự bài 13

15 Đưa đẳng thức đã cho dạng : (x – 1)2 + 4(y– 1)2 + (x– 3)2 + = 16.

 2

2

1 1 1 1

A max A= x 2

x 4x 9 x 2 5 5 5

    

   

17 a) 7 15 9 16   3 4 7 Vậy 7 15 < b) 17  5 1  16 4 1     4 2 1 7 49  45

c) 23 19 23 16 23 2.4 5 25 27

3 3 3

       

d) Giả sử    

2

3 2  2 3  3 2  2 3 3 22 3 18 12 18 12 Bất đẳng thức cuối đúng, nên : 3 2  2 3

18 Các số là 1,42 2 3 2



19 Viết lại phương trình dạng : 3(x 1) 2 4 5(x 1) 216  6 (x 1)

Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải khơng lớn hơn6 Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x =-1

20 Bất đẳng thức Cauchy ab a b 2



 viết lại dạng

2

a b ab

2



 

   (*) (a, b≥ 0) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :

2

2x xy

2x.xy 4

2



 

  

 

Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = 2. max A =  x = 2, y = 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 1 2

a b

ab   Áp dụng ta có S >

1998 2.

1999

22 Chứng minh 1. 23 a)

2 2

x y x y 2xy (x y)

2 0

y x xy xy

  

     Vậy x y 2

y x

b) Ta có :

2 2

2 2

x y x y x y x y x y

A 2

y x y x y x y x y x

         

            

     

    Theo câu a :

2

2

2

x y x y x y

A 2 2 1 1 0

y x y x y x

       

            

 

   

 

c) Từ câu b suy :

4 2

4 2

x y x y

0

y x y x

   

   

   

    Vì

x y

2

y  x (câu a) Do :

4 2

4 2

x y x y x y

2

y x y x y x

     

     

     

 

   

24 a) Giả sử 1 2 = m (m : số hữu tỉ)  2 = m2–  2 số hữu tỉ (vơ lí) b) Giả sử m + 3

n = a (a : số hữu tỉ)  3

n = a– m  3 = n(a– m)  3 số hữu tỉ, vơ lí

25 Có, chẳng hạn 2 (5 2)5

26 Đặt

2

2

2

x y x y

a 2 a

y  x y  x   Dễ dàng chứng minh

2

2

x y

2 y x  nên a

2

≥ 4, | a |≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2– + 4≥ 3a

 a2– 3a + 2≥  (a– 1)(a– 2)≥0 (2)

Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh

27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

Cần chứng minh tử không âm, tức : xz(x– y) + yx (y– z) + zy (z– x) ≥ (1)

Biểu thức không đổi hốn vị vịng x y z x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp :

a) x ≥ y ≥ z > Tách z – xở (1) thành– (x– y + y– z), (1) tương đương với : x3z2(x– y) + y3x2(y– z)– z3y2(x– y)– z3y2(y– z)≥

 z2(x– y)(x3– y2z) + y2(y– z)(yx2– z3)≥

Dễ thấy x – y≥ , x3– y2z≥ , y – z≥ , yx2– z3≥ nên bất đẳng thức b) x≥ z ≥ y > Tách x – yở (1) thành x– z + z– y , (1) tương đương với :

x3z2(x– z) + x3z2(z– y)– y3x2(z– y)– z3y2(x– z)≥

 z2(x– z)(x3– zy2) + x2(xz2– y3)(z– y)≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng

Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

2 2

x y z x y z

1 1 1 3

y z x y z x

            

       

   

28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c Ta có : b = c– a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ

29 a) Ta có : (a + b)2 + (a– b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2≤ 2(a2 + b2)

b) Xét : (a + b + c)2 + (a– b)2 + (a– c)2 + (b– c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) Tương tự câu b

30 Giả sử a + b > 2  (a + b)3 >  a3 + b3 + 3ab(a + b) >  + 3ab(a + b) >

 ab(a + b) >  ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2– ab + b2

 (a– b)2 < 0, vơ lí Vậy a + b ≤

31 Cách 1: Ta có :  x ≤ x ;  y ≤ y nên  x +  y ≤ x + y Suy  x +  y số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, xy số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy :  x +  y ≤ xy

Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0≤ x-  x < ; 0≤ y-  y < Suy : 0≤ (x + y) – ( x + y ) < Xét hai trường hợp :

- Nếu ≤ (x + y) – ( x +  y ) < xy =  x +  y (1)

- Nếu ≤ (x + y)– ( x +  y ) < 0≤ (x + y) – ( x + y + 1) < nên

xy =  x +  y + (2) Trong hai trường hợp ta có :  x + y ≤ xy

32 Ta có x2– 6x + 17 = (x– 3)2 + 8≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn  1

A nhỏ  x

– 6x + 17 nhỏ Vậy max A = 1

8  x =

33 Không dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x giả sử x ≥ y ≥ z

Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z :

3

x y z x y z

A 3 . 3

y z x y z x

    

Do min x y z 3 x y z x y z

y z x y z x

 

        

 

Cách : Ta có : x y z x y y z y

y z x y x z x x

   

        

 

  Ta có

x y

2

y x (do x, y > 0) nên để chứng minh x y z 3

y   z x ta cần chứng minh :

y z y

1 z   x x (1) (1)  xy + z2– yz≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2– yz– xz≥  y(x– z)– z(x– z)≥  (x– z)(y– z)≥ (2)

(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìmđược giá trị nhỏ x y z

y z x

34 Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2≥ 0 x2– 2xy + y2≥ Từ suy 2(x2 + y2)≥ 16  x2 + y2≥ A = x = y =

35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :

1 = x + y + z≥ 3.3 xyz (1)

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x)≥ 3.3 (xy)(yz)(zx) (2)

Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A  A≤

3

2 9

     

max A =

3

2 9

   

  x = y = z =

1 3

36 a) Có thể b, c) Khơng thể

37 Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b) 38 Áp dụng bất đẳng thức

2

1 4

xy (xy) với x, y > :

2 2

2

a c a ad bc c 4(a ad bc c )

b c d a (b c)(a d) (a b c d)

     

  

       (1)

Tương tự

2

2

b d 4(b ab cd d )

c d a b (a b c d)

  

 

     (2)

Cộng (1) với (2)

2 2

2

a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)

b c c d d a a b (a b c d)

      

   

       = 4B

Cần chứng minh B ≥ 1

2, bất đẳng thức tương đương với :

2B≥  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd)≥ (a + b + c + d)2

 a2 + b2 + c2 + d2– 2ac– 2bd≥  (a– c)2 + (b– d)2≥ : 39 - Nếu ≤ x-  x < ½ 0≤ 2x- 2 x < nên  2x = 2 x

- Nếu½≤ x- x < 1≤ 2x- 2 x <  0≤ 2x – (2 x + 1) <   2x = 2 x + 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho :



m chữ số

96000 00 ≤ a + 15p < 

m chữ số

97000 00

Tức 96≤ am 15pm

10 10 < 97 (1) Gọi a + 15 số có k chữ số : 10

k–

≤ a + 15 < 10k

 1  ak  15 1k 

10 10 10 (2) Đặt n  k  k

a 15p x

10 10 Theo (2) ta có x1 < k

Cho n nhận giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng không đơn vị,  xn trải qua giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc ta có   xp = 96 Khi 96 ≤ xp < 97 tức 96≤ ak 15pk

10 10 < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh

§ CĂN THỨC BẬC HAI- HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A

42 a) Do hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B |  | A + B |2≤ ( | A | + | B | )2

 A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB |  AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥

b) Ta có : M = | x + | + | x– | = | x + | + | 3– x |≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x)≥  -2≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M =  -2≤ x ≤

c) Phương trìnhđã cho  | 2x + | + | x– | = | x + | = | 2x + + 4– x |

 (2x + 5)(4– x) ≥  -5/2≤ x ≤

43 Điều kiện tồn phương trình : x2– 4x– 5≥  x 1

x 5

     

Đặt ẩn phụ x2 4x  5 y 0, ta : 2y2– 3y– =  (y– 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm

46. Điều kiện tồn x x≥ Do : A = x + x≥  A =  x = 47 Điều kiện : x ≤ Đặt 3 x = y≥ 0, ta có : y2 = 3– x  x = 3– y2

B = 3– y2 + y = - (y– ½ )2 + 13 4 ≤

13

4 max B = 13

4  y = ½  x = 11

4

48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b

b) 5 13 3  5 (2 1)   4 3  3 1 Vậy hai số c) Ta có :  n 2 n 1  n 2 n 1  1 và  n+1 n n 1  n1 Mà n 2 n 1  n 1  n nên n+2 n 1  n 1  n

49 A = - | 1– 3x | + | 3x– |2 = ( | 3x– 1| - ẵ )2 + ắ ắ T suy : A =¾  x = ½ x = 1/6 51 M = 4

52 x = ; y = ; z = -3.

53 P = | 5x– | + | 3– 5x | ≥ | 5x – + 3– 5x | = P =  2 x 3 5 5

54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau :

2

B 0

A 0 (B 0) A 0

a) A B b) A B c) A B 0

A B A B B 0



   

 

      

  

  

B 0

A 0

d) A B A B e) A B 0

B 0

A B

 

  

      

 

  

 

c) Phương trình có dạng : A B 0 d) Đưa phương trình dạng : A B e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm

k) Đặt x 1 = y≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y– | = Xét dấu vế trái l) Đặt : 8x 1  u 0 ; 3x  5 v 0 ; 7x  4 z 0 ; 2x  2 t 0 Ta hệ :

2 2

u v z t

u v z t

   



  

 Từ suy : u = z tức : 8x 1  7x  4 x 3

55 Cách : Xét x2 y22 2(xy)x2 y22 2(xy) 2 2xy(x y 2)2 0

Cách : Biến đổi tương đương  

 

2

2

2

2

x y

x y

2 2 8

x y x y

 

  

   (x

2

+ y2)2– 8(x– y)2≥

 (x2 + y2)2– 8(x2 + y2– 2)≥ 0 (x2 + y2)2– 8(x2 + y2) + 16≥ 0 (x2 + y2– 4)2≥

Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :

2 2 2

x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1 2 1

(x y) 2 (x y).

x y x y x y x y x y

     

      

     (x > y)

Dấu đẳng thức xảy x 6 2 ; y 6 2

2 2

 

  x 6 2 ; y 6 2

2 2

   

 

62.

2

2 2 2

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2(c b a a b c a b c ab bc ca a b c abc

 

              

   

    =

= 12 12 12

a b c Suy điều phải chứng minh

63 Điều kiện :

2 (x 6)(x 10) 0 x 6

x 16x 60 0 x 10

x 10 x 6

x 0

x 6

 

  

     

    

     



  



Bình phương hai vế : x2– 16x + 60 < x2– 12x + 36  x > Nghiệm bất phương trìnhđã cho : x≥ 10

64 Điều kiện x2≥ Chuyển vế : x23 ≤ x2– (1)

Đặt thừa chung : x23.(1 - x23) ≤ 

2

x 3 x 3 0

x 2 1 x 3 0 x 2

  

   

 

 

  

   



Vậy nghiệm bất phương trình : x =  3 ; x≥ ; x ≤-2

65 Ta có x2(x2 + 2y2– 3) + (y2– 2)2 =  (x2 + y2)2– 4(x2 + y2) + = - x2≤ Do : A2– 4A + 3≤  (A– 1)(A– 3)≤  1≤ A ≤

b) B có nghĩa 

2

2

4 x 4 4 x 4

16 x 0

x 2 1

2x 0 (x 4) 8 x 2

2 x 2

1 x 8x 0 x

1

2 x

2

 

   

   



   

   

           



  

  

     

    

   



67 a) A có nghĩa 

2

2

2

x 2x 0 x(x 2) 0 x 2 x 0 x x 2x

x x 2x

       

  

   

 

    



b) A = 2 x2 2x với điều kiện

c) A < 2  x22x <  x2– 2x <  (x– 1)2 <  - 2 < x– < 2 kq 68 Đặt

20 chữ số

0,999 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a <  a(a– 1) <  a2– a <

 a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy

20 chữ số 20 chữ số

0,999 99 0,999 99   69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.

A≤ | x | + 2 + | y | + = + 2  max A = + 2 (khi chẳng hạn x =- 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b |≥ | a | - | b

A≥ | x |- 2 | y | - = - 2  A = - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70 Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy :

x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ 1

3

Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ 1

3 (2)

Từ (1) , (2) : A = 1

3  x = y = z = 3 3



§ LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

71. Làm 8c (§ 2) Thay so sánh n  n2 n+1 ta so sánh n 2 n 1 n 1  n Ta có : n 2 n 1  n 1  n  n n 2 2 n 1

72 Cách : Viết biểu thức dấu thành bình phươngcủa tổng hiệu

Cách : Tính A2 suy A

73 Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2– b2 74 Ta chứng minh phản chứng.

a) Giả sử tồn số hữu tỉr mà 3 5 = r  + 15 + = r2 

2

r 8

15 2



 Vế trái số vơ tỉ, vế phải số hữu tỉ, vơ lí Vậy 3 5 số vô tỉ

b), c) Giải tương tự.

   3 3  2 222 27  8 2158 2225 128 Vậy a > b b) Bình phương hai vế lên so sánh

76 Cách : Đặt A = 4 7  4 7 , rõ ràng A > A2 = 2 A = 2

Cách 2 : Đặt B = 4 7  4 7  2  2.B 82 7  8 7  2 0  B =

77.    

2 3 4 2 2 3 4

2 3 2.3 2.4 2 4

Q 1 2

2 3 4 2 3 4

    

   

   

   

78 Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7 Vậy P = 2 5 7

79 Từ giả thiết ta có : x y  1 y x Bình phương hai vế đẳng thức ta :

2

y 1 x Từ : x2 + y2 =

80 Xét A2 để suy : ≤ A2≤ Vậy : A = 2  x = ± ; max A =  x =

81 Ta có :      

2 2

M a b  a  b  a b 2a2b2 1

a b

max M 2 a b

2

a b 1

 



    

 



82 Xét tổng hai số :

2a b 2 cd  2c d 2 ab  a b 2 ab   c d 2 cd a c =

=      

2

a c a  b  c d   a c 0

83. N 4 68 34 18  12 3  4 4 64 22 =

=      

2

2 32 2 2 32  2 2 3 2 2 2 3 22

84 Từ x  y z xy yz zx   x  y 2 y z 2 z x2 0 Vậy x = y = z

85 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho và ( i = 1, 2, 3, … n )

86 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ ab ≥ 0, ta có :

 2

a b 2 ab2 2(ab) ab hay a b 2 2(ab) ab Dấu “ = “ xảy a = b

87 Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + bc > a hay    

2

b c  a

Do : b c  a Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 88 a) Điều kiện : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trường hợp :

* Trường hợp : a ≥ ; b > : A b.( a b ) a a b a 1

b b

b b b

 

     

2

b) Điều kiện :

2

(x 2) 8x 0

x 0 x 0 x 2 2 x 0 x                    

Với điều kiện :

2

x 2 x

(x 2) 8x (x 2) x

B

2 x 2 x 2

x x          

 Nếu < x < | x– | = -(x– 2) B = - x

 Nếu x > | x– | = x– B = x

89 Ta có :  

2 2

2

2 2

a 1 1

a 2 1

a 1

a 1 a 1 a 1

 



   

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

2

2

1 1

a 1 2 a 1. 2

a 1 a 1

    

  Vậy

2 a 2 2 a 1  

 Đẳng thức xảy :

2

1

a 1 a 0

a 1

   



93 Nhân vế pt với 2, ta : 2x  5 3 2x  5 1 4  5/2≤ x ≤ 94 Ta chứng minh qui nạp toán học :

a) Với n = ta có : P1 1 1

2 3

  (*)

b) Giả sử : Pk 1 1.3.5 (2k 1) 1 2.4.6 2k

2k 1 2k 1



  

  (1)

c) Ta chứng minh (*) n = k + , tức :

k

1 1.3.5 (2k 1) 1

P

2.4.6 (2k 2)

2k 3 2k 3





  



  (2)

Với số nguyên dương k ta có : 2k 1 2k 1

2k 2 2k 3

  

  (3)

Nhân theo vế bất đẳng thức (1) (3) ta bất đẳng thức (2) Vậy nZ+ ta có

n

1.3.5 (2n 1) 1 P

2.4.6 2n 2n 1



 



95 Biến đổi tương đương :

2 3

a b a b

a b a b

b a ab



     

 2

( a b )(a ab b)

a b ab a ab b a b 0

ab

  

          (đúng)

96. Điều kiện :

2

x 4(x 1) 0

1 x 2

x 4(x 1) 0

x 2

x 4(x 1) 0

x 1 0

Xét hai khoảng < x < x > Kết : A 2 và A= 2

1 x x-1

 

105 Cách : Tính A 2 Cách : Tính A2 Cách 3 : Đặt 2x 1 = y ≥ 0, ta có : 2x – = y2

2 y 1

y 2y y 2y

2x 2x 1 2x 2x 1 y 1

A

2 2 2 2 2 2



   

    

     

Với y ≥ (tức x≥ 1), A 1 (y y 1) 2

2

    

Với ≤ y < (tức 1

2 ≤ x < 1),

1 2y

A (y y 1) y 2 4x 2

2 2

       

108 Nếu ≤ x ≤ thì A = 2 Nếu x ≥ A = x 2

109 Biến đổi : x y 2   2  x y Bình phương hai vế rút gọn, ta :

2(x y 2)   xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x– 2) = Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y =

110 Biến đổi tương đương :

(1)  a2 + b2 + c2 + d2+ a2b2c2d2 ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd

 a2 b2c2 d2

≥ ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với :

(a2 + b2)(c2 + d2)≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd

 (ad– bc)2≥ (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) chứng minh 111 Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy :

2 2

a b c 2 a .b c 2.a a a a b c

b c 4 b c 4 2 b c 4

  

      

  

Tương tự :

2

b b a c ; c c a b

a c 4 a b 4

 

   

 

Cộng vế bất đẳng thức :  

2 2

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b 2 2

   

      

  

Cách : TheoBĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)≥ (ax + by + cz)2 Ta có :

     

2 2

2 2

a b c X b c c a a b

b c c a a b

        

      

        

 

  

     

 

 

≥

≥

2

a b c b c a c a b

b c c a a b

      

    

 

 a2 b2 c2 2(a b c) (a b c)  a2 b2 c2 a b c

b c c a a b b c c a a b 2

   

          

       

 

112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : xy x y

2

 

Tương tự : b 1 b 1 ; c 1 c 1

2 2

     

Cộng vế bất đẳng thức : a 1 b 1 c 1 a b c 3 3,5

2

 

       

Dấu “ = ” xảy ra a + = b + = c +  a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = Vậy : a 1  b 1  c 3,5 

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai ba số :

 2   2  2 2

1 a b b c c a       (1 1)X a b  b c  c a 

  

 2

a b  b c  c a ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6 a b  b c  c a  6

113 Xét tứ giác ABCD có AC BD, O giao điểm hai đường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có :

2 2 2 2

AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d

AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD Thật ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD≥ 2SADC Suy :

Suy : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD

Vậy : a2 c2b2c2  a2 d2b2d2  (a b)(c d) Chú ý : Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có :

(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2  a2c2c2b2 ≥ ac + cb (1) Tương tự : a2d2d2 b2 ≥ ad + bd (2) Cộng (1) (2) suy đpcm 114 Lời giải sai :

2

1 1 1 1

A x x x Vaäy A

2 4 4 4

 

         

 

Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥- 1

4 , chưa trường hợp xảy f(x) = -1 4

Xảy dấu đẳng thức x 1

2

  Vơ lí

Lời giải đúng : Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + x ≥ A =  x = 115 Ta có

2

(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab

A x (a b)

x x x

    

     

 

Theo bất đẳng thức Cauchy : x ab 2 ab

x

  nên A≥ ab + a + b =  

2

a b

min A =  

2

a b chi

ab x

x ab x

x 0

 

  

   

116 Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

(am + bn)2≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :

A2 = (2x + 3y)2≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2)

Vói cách ta khơng số α mà A2≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng :

a d

b c

O D

C B

A2 =  2 2x 3 3y2 áp dụng (1) ta có :

       2 2

2 2

A  2  3    x 2  y 3 (2 3)(2x 3y ) 5.5 25 

   

Do A2≤ 25 nên -5≤ A ≤ A =-5  x y x y 1

2x 3y 5

 

   

  



max A =  x y x y 1

2x 3y 5

 

  

  



117 Điều kiện x ≤ Đặt 2 x = y≥ 0, ta có : y2 = 2– x

2

2 1 9 9 9 1 7

a y y y max A= y x

2 4 4 4 2 4

 

             

 

118 Điều kiện x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3  x≥

Chuyển vế, bình phương hai vế : x – = 5x– + 3x– + 2 15x 13x 22   (3) Rút gọn : – 7x = 2 15x 13x 22   Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7

Bình phương hai vế : – 28x + 49x2 = 4(15x2– 13x + 2)  11x2– 24x + = (11x– 2)(x– 2) =  x1 = 2/11 ; x2 =

Cả hai nghiệm không thỏa mãnđiều kiện Vậy phương trìnhđã cho vơ nghiệm 119. Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành :

x 1   x 1 2    x 1  x 1 1  

* Nếu x > : x 1  x 1 1    x 1 x 2   , không thuộc khoảng xét * Nếu ≤ x ≤ : x 1   x 1 2   Vô số nghiệm ≤ x ≤

Kết luận : ≤ x ≤

120. Điều kiện : x2 + 7x + 7≥ Đặt x27x 7 = y≥  x2 + 7x + = y2

Phương trìnhđã cho trở thành : 3y2– + 2y =  3y2 + 2y– =  (y– 1)(3y + 5) =

 y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x27x 7 =  x2 + 7x + = 

 (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x =- 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + 7≥ nghiệm (1) 121 Vế trái : 3(x 1)  4 5(x 1) 2 9 4 9 5

Vế phải : – 2x– x2 = 5– (x + 1)2≤ Vậy hai vế 5, x =- Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x =-

122 a) Giả sử 3 2 = a (a : hữu tỉ)  - 6 = a2 

2

5 a 6

2



 Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy 3 2 số vô tỉ

b) Giải tương tự câu a.

123 Đặt x 2 = a, 4 x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế bất đẳng thức :

2

a 1 b 1 a ; b

2 2

 

 

124. Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đường thẳng Kẻ HA BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH

125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương

đương : (ad – bc)2≥ 0 Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki

bc 

c a

b

C B

Vậy ba đoạn thẳng có độ dài b , c , a lập thành tam giác 127 Ta có a, b≥ Theo bất đẳng thức Cauchy :

2

(a b) a b a b a b 1 ab a b 1

2 4 2 2 2

            

   

   

Cần chứng minh : ab a b 1

2

   

 

  ≥ a b b a Xét hiệu hai vế :

1 ab a b

2

   

 

  - ab a  b =

1

ab a b a b 2

     

 

  =

=

2

1 1

ab a b

2 2

    

  

    

   

 

  ≥

Xảy dấu đẳng thức : a = b = 1

4 a = b =

128 Theo bất đẳng thức Cauchy : b c.1 b c 1 : 2 b c a

a a 2a

       

 

 

Do : a 2a

b c a b c    Tương tự :

b 2b ; c 2c

a c a b c    a b a b c   

Cộng vế : a b c 2(a b c) 2

b c c a a b a b c

 

   

    

Xảy dấu đẳng thức :

a b c

b c a a b c 0 c a b

  

       

   

, trái với giả thiết a, b, c > Vậy dấu đẳng thức không xảy

129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki Ta có :

 2   

2 2 2

x y y x  x y y x   Đặt x2 + y2 = m, ta : 12≤m(2 - m)  (m– 1)2≤0  m = (đpcm)

Cách : Từ giả thiết : x y  1 y x Bình phương hai vế :

x2(1– y2) = 1– 2y 1 x + y2(1– x2)  x2 = 1– 2y 1 x + y2 = (y - 1 x )2  y = 1 x  x2 + y2 =

130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = 2  1≤ x ≤

131 Xét A2 = + 1 x Do 0≤ 1 x ≤  2≤ + 1 x ≤

 2≤ A2≤ A = 2 với x = ± , max A = với x = 132 Áp dụng bất đẳng thức : a2 b2  c2d2  (a c) (b d)   (bài 23)

2 2 2

A x 1  (1 x) 2  (x x)   (1 2)  10

1 x 1

min A 10 2 x

x 3



    

133 Tập xác định :

2

x 4x 12 0 (x 2)(6 x) 0

1 x 3 (x 1)(3 x) 0

x 2x 0

       

     

    

   

 

 (1)

Xét : A2  (x 2)(6 x)   (x 1)(3 x)  2 Hiển nhiên A2≥ dấu “ = ” không xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác :

A2 = (x + 2)(6– x) + (x + 1)(3– x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)    = = (x + 1)(6– x) + (6– x) + (x + 2)(3– x)– (3– x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)   

= (x + 1)(6– x) + (x + 2)(3– x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)    +

=  

2

(x 1)(6 x)   (x 2)(3 x)  3 A2≥ Do A > nên A = 3 với x = 134 a) Điều kiện : x2≤

* Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

A2 = (2x + 5 x )2≤ (22 + 11)(x2 + 5– x2) = 25  A2≤ 25

2

2 2

2 2

x 0 x 5 x

A 25 2 x 4(5 x ) x 2

x 5 x 5

 

   



        

   

 

Với x = A = Vậy max A = với x =

* Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2≤ 25, ta có – 5≤ x ≤ 5, khơng xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2≤  - 5 ≤ x ≤ 5 Do : 2x ≥- 5

2

5 x ≥ Suy :

A = 2x + 5 x ≥- 5 Min A = - 5 với x =- 5 b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy :

 2 2

2

A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x x 200 x

10. 1000

2

         

 

 

2

2

2

x 101 99 99

A 1000 x 10

1 101 x x 200 x

   

      

 

  



Do : - 1000 < A < 1000

min A = - 1000 với x =- 10 ; max A = 1000 với x = 10 135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = a b x y a ay bx b

x y x y

 

     

 

 

Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : ay bx 2 ay bx. 2 ab

x  y  x y 

Do  

2

 2

min A a b với

ay bx

x y

x a ab

a b

1

x y y b ab

x, y 0

 

 

  

    

 

  

 

 

 

Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

 

2

2

a b a b

A (x y).1 (x y) x. y. a b

x y x y

 

 

          

   

Từ tìmđược giá trị nhỏ A

136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z)2 A = chẳng hạn y = z = , x = 2 -

137 Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz 2 xy yz. 2y

z  x  z x 

Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x

x  y  y  z  Suy 2A≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z = 1

3

138 Theo tập 24 :

2 2

x y z x y z

x y y z z x 2

 

  

   Theo bất đẳng thức Cauchy :

xy yz zx

x y y z z x x+y+z 1

xy ; yz ; zx nên

2 2 2 2 2 2

 

  

    

min A = 1 2

1

x y z

3

   

139 a)      

2 2

A a b  a  b  a b 2a2b2 1

a b

max A 2 a b

2

a b 1

 



     

  

b) Ta có :      

4 4

2

a b  a  b  a b 2(a b 6ab)

Tương tự :

   

   

 

4

2 2

4

2 2

4

2

a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)

b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)

c d 2(c d 6cd)

       

       

   

Suy : B≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2≤

1

a b c d

max B 6 a b c d

4

a b c d 1

   



       

    

a b c d b c

2

  

 

b c b c c c a b c d c d c d

A

c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b

         

        

           

Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :

x y y y x 1 y x y 1 x y 1 1

A 1 2. . 2

2y y x 2y 2 x 2y x 2 2y x 2 2

 



             

 

1

min A 2 d 0 , x y , b c a d

2

        ; chẳng hạn

a 2 1, b  2 1, c 2, d0

142 a) (x3)2 ( x  3)2 0 Đáp số : x =

b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2– 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20.

d) x 1  2 x 1 Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm

e) Chuyển vế : x2 x 1  1 x 1 Bình phương hai vế Đáp số : x = g) Bình phương hai vế Đáp số : 1

2 ≤ x ≤

h) Đặt x2 = y Đưa dạng y  2 y 3 = Chú ý đến bất đẳng thức :

y       2 3 y y 2 y 1 Tìmđược ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 i) Chuyển vế : x 1 x  1 x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = 16

25)

k)Đáp số : 16

25

l) Điều kiện : x ≥ x =- Bình phương hai vế rút gọn :

2

2 2(x 1) (x 3)(x 1) x 1

Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x– 1) = (x + 1)2(x– 1)2 (x + 1)2(x– 1)(7x + 25) = 25

x 7

  loại Nghiệm : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm

n) Điều kiện : x ≥- Bình phương hai vế, xuất điều kiện x≤- Nghiệm : x = -

o) Do x≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình

p) Đặt 2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 z (1) Ta có :

2

y z  1 x2 ; y  z 1 x2 Suy y– z = Từ z x2 (2) Từ (1) (2)tính x Đáp số : x = (chú ý loại x =- 1)

q) Đặt 2x2– 9x + = a≥ ; 2x– 1≥ b ≥ Phương trình : a 3 b  a 15b Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : 1 ; 5

2

144 Ta có :  

 2 k 1 k   

1 2 2

2 k 1 k

k 2 k k k 1 k 1 k k 1 k

 

     

     

Vậy : 1 1 1 1 2( 1) 2( 3 2) 2( 4 3) 2( n 1 n )

2 3 n

              =

= 2( n 1)  (đpcm)

150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M =-2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n -

152 Ta có : 1 ( a a 1) P ( 2 2n 1)

a a 1         

P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng)

153 Ta chứng minh : 1 1 1 A 9

10 (n 1) n n n 1  n  n 1  

154. 1 1 1 1 1 1 .n n

2 3 4 n n

      

155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + A = [(a + 1)5– 3(a + 1)4– 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2– 14(a + 1)]2000

= (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a a 1 1 ; a 2 a 3 1

a a 1 a 2 a 3

      

    

157.

2

2 1 1 1 1 1

x x x x x x x x 0

2 4 4 2 2

   

              

   

Dấu “ = “ không xảy khơng thể có đồng thời : x 1 và x 1

2 2

 

158 Trước hết ta chứng minh : a b 2(a2b )2 (*) (a + b≥ 0) Áp dụng (*) ta có : S x 1  y 2 2(x y  2)  2

3 x

x 1 y 2 2

max S 2

x y 4 5

y 2

     

 

      

  



* Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy

170 Ta phải có A≤ 3 Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B 1 2 3 x2 A

    Ta có :

2 2

0 3 x  3  3  3 x   0 2 3 2 3 x 2

2

min B 2 3  3 3 x  x 0 Khi max A 1 2 3

2 3

  

 



max B 2 3 x    0 x 3 Khi A = 1

2

171 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B 2x 1 x

1 x x



 

2x 1 x (1) 2x x

B 2 . 2 B 2 2 1 x x

1 x x

0 x 1 (2)



 

 

      

   

Giải (1) : 2x2 = (1– x)2   x 2  = 1– x Do < x < nên x 2 = 1– x 

 x = 1 2 1

2 1  

Như B = 2  x = 2 -

Bây ta xét hiệu : A B 2 1 2x 1 x 2 2x 1 x 2 1 3

1 x x 1 x x 1 x x

   

   

          

  

   

Do A = 2 + x = 2 -

172 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng :

a b ab 2



 Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a b 2(a2b )2 A x 1  y 2 2(x y 3)    2

x 1 y 2 x 1,5

max A 2

x y 4 y 2,5

   

 

    

  

 

Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy

b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab a b 2

 

Ta xem biểu thức x , y2 tích : x 1 1.(x 1) , y 2 2(y 2) 2



    

Theo bất đẳng thức Cauchy : x 1 1.(x 1) 1 x 1 1

x x 2x 2

      

y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2

y y 2 2y 2 2 2 4

       

x 1 x 2

1 2 2 2

max B

y 2 2 y 4

2 4 4

  

 



      

  

 

173. a 1 , b 1

1997 1996 1998 1997

 

  Ta thấy 1997 1996 1998 1997

Nên a < b

174 a) A = - 2 6 với x = max A = 1

5 với x = ± 6

b) B = với x = ± 5 max B = 5 với x = 175 Xét– 1≤ x ≤ A≤ Xét ≤ x ≤

2

2 x (1 x ) 1

A x (1 x )

2 2

 

   

2

x 1 x

1 2

max A x

2 x 0 2

  

    

 

176 A = x– y≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :

2

1 1 5

2

2 5

2y 1 x

5 5

max A = x 2

2 5

x 4y 1 y

10                     2 5 x 5 5 y 10        

177 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết :

3

3 2

3

0 x 1 x x

x y x y 1

0 y 1 y y

                    3 x x

max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0

y y             

b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2≤ 2(x2 + y2) =  x + y≤ 2 x y 1 2



  Do :  3 

3 x y x y

x y

2

 

  Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

   2    2  2

3 3 3

(x y )(xy) x  y    x  y  x x y y

 

  = (x

2

+ y2) =

1 2

min A x y

2 2

   

179 Đặt x a ; y b, ta có a, b≥ 0, a + b =

A = a3 + b3 = (a + b)(a2– ab + b2) = a2– ab + b2 = (a + b)2– 3ab = 1– 3ab Do ab≥ nên A≤ max A =  a = b =  x = x = 1, y =

Ta có

2

(a b) 1 1 1 1 1

ab ab 1 3ab A x y

4 4 4 4 4 4



          

180. Điều kiện : – x≥ , – x≥ nên x≤ Ta có :

x 1

1 x (x 1)(x 2) x 2 3

x 2



      



 1 x  (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)  3 1 x  3 x 8 § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

181 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x2 2x3 = y≥ 0, phương trình có dạng :

y2- y 2 - 12 =  (y - 2)(y + 2) =  y 3 2

y 2 (loai y 0

  

  



Do x22x3 = 2  x2 + 2x + = 18  (x– 3)(x + 5) =  x = ; x = -5

182 Ta có : 1 k. 1 k 1 1 k 1 1 1 1

(k 1)k k k 1

(k 1) k k k 1 k k 1

  

 

         

 

       

= 1 k 1 1

k 1 k k 1

  

 

    

 

  Do :

1 1 1

2

(k 1) k k k 1

 

   

   

Vậy : 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

2 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1

 

   

              

= 2 1 1 2 n 1

  

  

  (đpcm)

183 Dùng bất đẳng thức Cauchy 1 2

a b

ab   (a, b > ; a≠ 0)

184 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, bQ a) Nếu b = x = y = 0, dođó x , y Q

b) Nếu b ≠ x y a x y a

b b

x y

     

 Q (2).

Từ (1) (2) : x 1 b a Q ; y 1 b a Q

2 b 2 b

   

         

   

190 Nhận xét :  x2 a2 x x2 a2 xa2 Do :

     2  2 

2

2 2

2 2

5 x a x x a x

5a

2 x x a (1) 2 x x a

x a x a

   

      

 

Do a≠ nên : x2 a2  x x2  x x  x 0 Suy : x2 a2  x 0 , x

Vì : (1)  2  2  2

2 2

x 0

x 0

2 x a 5 x a x 5x 3 x a

25x 9x 9a

 

 

        

  



x 0

3

x a

3

4

0 x a

4

  

  

   

198 c) Trước hết tính x theo a được x 1 2a 2 a(1 a)

 

 Sau tính

2

1 x 1

2 a(1 a)

Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự :

b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 199 Gọi vế trái là A > Ta có A2 2x 4

x



 Suy điều phải chứng minh

200 Ta có : a + b = - , ab = - 1

4 nên : a

+ b2 = (a + b)2– 2ab = + 1 3 2  2 a4 + b4 = (a2 + b2)2– 2a2b2 = 9 1 17

4 9 8 ; a

+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b) = - - 3 7 4 4

Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4)– a3b3(a + b) = 7 17. 1  1 239

4 8 64 64

 

      

 

201 a) a2 ( 1)  3 2  9 8

3

a ( 1) 2 2 6 1 5 2 7 50 49

* Nếu n chẵn : an = ( 2 - 1)n = (1 - 2)n = A - B 2 = A2  2B2 Điều kiện A2– 2B2 = thỏa mãn (1)

* Nếu n lẻ : an = ( 2 - 1)n = - (1 - 2)n = B 2 - A = 2B2  A2 Điều kiện 2B2– A2 = thỏa mãn (2)

202 Thay a = 2 vào phương trìnhđã cho : 2 + 2a + b 2 + c =

 2(b + 2) = -(2a + c)

Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b =- , c = - 2a vào phương trìnhđã cho : x3 + ax2– 2x– 2a =  x(x2– 2) + a(x2– 2) =  (x2– 2)(x + a) =

Các nghiệm phương trìnhđã cho là: ± 2 - a 203 Đặt A 1 1 1

2 3 n

   

a) Chứng minh A2 n3 : Làm giảm số hạng A:

 

1 2 2

2 k 1 k

k  k  k  k 1  k   

Do A2 2 3   3 4    n  n 1 

 

2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 3 2 n 3

          

b) Chứng minh A2 n 2 : Làm trội số hạng A :

 

1 2 2

2 k k 1

k  k  k  k  k 1   

Do : A2 n n 1    3 2  2 12 n2 204 Kí hiệu an  6 6   6 6 có n dấu Ta có :

1 100 99

a  63 ; a  6 a  6 3 3 ; a  6 a  6 3 3 a  6 a  6 3 3 Hiển nhiên a100 > 6 > Như < a100 < 3, [ a100] =

205 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3)2 = + 3

Ta có 4 3 48 nên < 3 <  13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13

Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3)2 x = + 3 Xét biểu thức y = (2- 3)2 y = - 3 Suy x + y = 14

Dễ thấy < 2- 3 < nên < (2- 3)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13

b) Đáp số : [ a3 ] = 51

206 Đặt x –y = a ; x y b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ thì x y a x y a

b b

x y

    

 số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có :

1 a

x b

2 b

 

   

  số hữu tỉ ;

1 a

y b

2 b

 

   

  số hữu tỉ

b) Nếu b = thì x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ

207 Ta có 1 n n 1 1 n 1 1 1 1

n(n 1) n n 1

(n 1) n n n 1 n n 1

  

 

         

 

n 1 1 1 1

1 2

n 1 n n 1 n n 1

    

       

      

  Từ ta giải tốn

208 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên đã cho, khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1≥ , a2≥ , …

a25≥ 25 Thế :

1 25

1 1 1 1 1 1

a  a   a  1 2   25 (1) Ta lại có :

1 1 1 1 2 2 2

1

25  24   2  1  25 25  24 24   2 2  

 

2 2 2

1 2 25 24 24 23 2 1 1

24 24 23 23 2 2

             

  

 

2 25 1 1 9

    (2)

Từ (1) (2) suy :

1 25

1 1 1

9

a  a   a  , trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1 , a2 , … , a25

209 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt 2 x  a 0 ; 2 x  b 0 Ta có : ab = 4x , a2 + b2 = Phương trình :

2

a b

2 2a 2b 

 a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2(2 - b 2 + a 2 - ab)

 2(a2 + b2– + ab)– ab(a– b) = 2(a– b)

 2(2 + ab) = (a– b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)

 a– b = 2 (do ab + 2≠ 0)

Bình phương : a2 + b2– 2ab =  2ab =  ab =  4x = Tìmđược x = 210 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : 1 x2 a 1

a 1



 



Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = 2 a

a 1

Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = 2 a

a 1 Với a ≥

211 Nếu x = thì y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trìnhđã cho ta có : x 2y 2y y

1 y 2 y

  



Tương tự y z ; z  x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1)

212 a) Đặt A = (8 + 3 7)7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B <

7

1 10 A + B số tự nhiên

Chọn B = (8- 7)7 Dễ thấy B > > 7 Ta có + 7 > 10 suy :

   

7

7 7

1 1 1

8 7

10 10

   

B = (8 - 7)7 = a - b 7 Suy A + B = 2a số tự nhiên Do

7

1

0 B

10

  A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy

Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a.

213 Ta thấy với n là số phương n số tự nhiên, n khác số phương n số vơ tỉ, nên n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n N* có số nguyên an gần n

Ta thấy rằng, với nbằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất

phương trình :

1 1

1 x 1

2 2

    có hai nghiệm tự nhiên

1 1

2 x 2

2 2

    có bốn nghiệm tự nhiên

1 1

3 x 3

2 2

    có sáu nghiệm tự nhiên

Tổng quát : k 1 x k 1

2 2

    có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với :

k2– k + 1

4 < x < k

+ k + 1

4 Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k

– k + ; k2– k + ; … ; k2 + k Do :



   

 

   

 

               

   

 

   

1 1980

2 soá soá 88 soá

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.44 88

a a a 1 1 2 2 2 44 44 44

214 Giải tương tự bài 24

a) < an < Vậy [ an ] = b) 2 ≤ an ≤ Vậy [ an ] =

c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46

Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45

215 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp

Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2  4n + < 16n28n 3 < 4n +

 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n28n 3 < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n +

 (2n + 1)2 < 4n2 + 16n28n 3 < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 216. Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn haiđiều kiện : < y < 0,1 (1).

x + y số tự nhiên có tận (2). Ta chọn y =  

200

3 2 Ta có < 3 2 < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh

Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có :

  200  200  100 100

Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + 6 , b = - 6 Sn = (5 + 6)n = (5 - 6)n

A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2-10X + = 0, tức : a2 = 10a– (3) ; b2 = 10b– (4).

Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1– an ; bn+2 = 10bn+1– bn Suy (an+2+ bn+2) = 10(an+1 + bn+1)– (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1– Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10)

Do Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5)

Ta có S0 = (5 + 6)0 + (5 - 6)0 = + = ; S1 = (5 + 6) + (5 - 6) = 10

Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh

217 Biến đổi    

250 125

3 2  5 6 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36)

218 Ta có :

       

A   1    3   4   8   9   15   16   24

Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm

Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 § CĂN BẬC BA

219 a) Xét 0 ≤ x ≤ Viết A dạng : A = 4.x

2 x

2.(3– x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

cho số không âm x

2, x

2, (3– x) ta : x 2

x

2.(3– x) ≤

3

x x x

2 2 1

3

    

 



 

 

 

Do A ≤ (1)

b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận :

x x

max A 4 2 x 2

x 0

   

    

  

220 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta :

3

x x (x 1)(7 x).2 8        (x 1)(7 x) 0    x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x y ; x z    Khi x – = y2 ; x + = z2 nên z2– y3 = Phương trìnhđã chođược đưa hệ :

2

y z (2) z y 3 (3) z (4)

  

   

  

Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3– y2 + 6y– =  (y– 1)(y2 + 6) =  y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x =

b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà a b  42 Bình phương hai vế :

a b ab   2  2 ab  2 (a b) 

Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2– 2(a + b) 2  2(a + b) 2 = + (a + b)2– 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b≠ 0), mâu thuẩn

222 a) Giả sử 35 số hữu tỉ m

n (phân số tối giản) Suy =

3

m

n Hãy chứng minh

m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết m

n phân số tối giản

b) Giả sử 23 4 số hữu tỉ m

n (phân số tối giản) Suy :

 

3 3

3 3

3 3

3

m 2 4 6 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2

n     n   n       

Thay m = 2k (k Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho

 n3chia hết cho  n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m

n

là phân số tối giản

223 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a b c abc

3

  

tương

đương với

3 3

x y z xyz hay 3

 

 x3 + y3 + z3– 3xyz ≥ Ta có đẳng thức :

x3 + y3 + z3– 3xyz = 1

2(x + y + z)[(x– y)

2

+ (y– z)2 + (z– x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c≥ nên x, y, z≥ 0, x3 + y3 + z3– 3xyz≥ Như : a b c 3abc

3

  

Xảy dấu đẳng thức a = b = c

Cách 2 : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có :

 

a b c d a b c d 1 ab cd ab cd abcd

4 2 2 2 2

           

 

 

Trong bất đẳng thức

4

a b c d abcd 4

  

  

 

  , đặt

a b c d

3

 

 ta :

4

4

a b c

a b c a b c a b c a b c

3 abc. abc.

4 3 3 3

 

    

            

   

 

 

Chia hai vế cho số dương a b c

3

 

(trường hợp số a, b, c 0, toán chứng minh) :

3

3

a b c abc a b c abc

3 3

   

    

 

 

Xảy đẳng thức : a = b = c = a b c

3

 

224 Từ giả thiết suy : b c d 1 a 1

b c d 1      a a 1   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

cho số dương : 1 b c d 3.3 bcd

a b c d 1        (b 1)(c 1)(d 1)   Tương tự :

3

3

3

1 3. acd

b 1 (a 1)(c 1)(d 1) 1 3. abd

c 1 (a 1)(b 1)(d 1) 1 3. abc

d 1 (a 1)(b 1)(c 1)



   



   



   

Nhân từ bốn bất đẳng thức :1 81abcd abcd 1

81

  

225 Gọi

2 2

2 2

x y z A

y z x

   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

2

2 2

2 2

x y z x y z

3A (1 1)

y z x y z x

   

         

 

  (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z 3.3 x y z . 3

y z x   y z x  (2)

Nhân vế (1) với (2) :

2

x y z x y z x y z

3A 3 A

y z x y z x y z x

   

        

   

   

226 Đặt x 3333 ; y 33 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3– a3, ta : b3– a3 = 24– (x + y)3 = 24– (x3 + y3)– 3xy(x + y)

Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có :

b3– a3 = 4(x3 + y3)– (x3 + y3)– 3xy(x + y) = 3(x3 + y3)– 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2– xy + y2– xy) = 3(x + y)(x– y)2 > (vì x > y > 0)

Vậy b3 > a3 , b > a

227 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có :

n

2 n

1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1) 2.1 1

1 1 n. . . .

n n 2! n 3! n n! n

   

        

 

 

< 1 1 1 1 1

2! 3! n!

 

     

 

Dễ dàng chứng minh : 1 1 1 1 1 1

2! 3!  n! 1.2 2.3   (n 1)n 

=1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 n n n

        

 Do

n

1 (1 ) 3

n

 

b) Với n = 2, ta chứng minh 33  2 (1) Thật vậy, (1)     

6

33  2  32 > 22 Với n ≥ 3, ta chứng minh n n n 1 n 1 (2) Thật :

Theo câu a ta có

n

1

1 3

n

   

 

  , mà ≤ n nên (3) chứng minh

Do (2) chứng minh

228 Cách : A2 2 x 1   x4 x 12   4 A = với x =

Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  2 (x4 2 x 1)(x2  x 1)  2 x4 4x 22  A = với x =

229 Với x < thì A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x– 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :

3

3

x x x 2

A x x .(x 2) 2 2 2x 2 8

4 2 2 3 3

    

    

         

 

 

 

- A ≤ 32  A ≥ - 32 A = - 32 với x = 230 Điều kiện : x2 ≤

3

2

2 2

2 2

x x 9 x

x x 2 2

A x (9 x ) (9 x ) 4 4.27

2 2 3

 

  

 

       

 

 

 

max A = 6 3 với x = ± 6 231 a) Tìm giá trị lớn :

Cách : Với ≤ x < 6 A = x(x2– 6) ≤

Với x ≥ 6 Ta có 6 ≤ x ≤  ≤ x2 ≤  ≤ x2– ≤ Suy x(x2– 6) ≤ max A = với x =

Cách : A = x(x2– 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2– ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x =

b) Tìm giá trị nhỏ :

Cách : A = x3– 6x = x3 + (2 2)3– 6x– (2 2)3 =

= (x + 2)(x2- 2x + 8)– 6x - 16 2

= (x + 2)(x2- 2x + 2) + (x + 2).6– 6x - 16 2 = (x + 2)(x - 2)2- 2 ≥ - 2

min A = - 2 với x = 2

Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm :

x3 + 2 + 2 ≥ 3.3 x 2.2 23 = 6x Suy x3– 6x ≥ - 2 A = - 2 với x = 2 232 Gọi x là cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp

Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4V = 4x(3– 2x)(3– 2x) ≤

3

4x 2x 2x 3

   

 

 

  =

max V =  4x = 3– 2x  x = 1

2

Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnhhình vng nhỏ 1

2 dm

3-2x

3-2x

x

x x

x x x x

233 a) Đáp số : 24 ;- 11 b) Đặt 2 x a ; x b    Đáp số : ; ; 10 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± 5

2

d) Đặt 32x 1 = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) =

 x = y Đáp số : ; 1 5

2

 

e) Rút gọn vế trái : 1 x x 4 

2   Đáp số : x =

g) Đặt 7 x a ; x b    Ta có : a3 + b3 = 2, a3– b3 = 12– 2x, vế phải phương trìnhđã cho

3

a b 2



Phương trìnhđã cho trở thành : a b

a b

  =

3

a b 2



Do a3 + b3 = nên

3 3

a b a b a b a b

 



   (a– b)(a

3

+ b3) = (a + b)(a3– b3) Do a + b≠ nên : (a– b)(a2– ab + b2 = (a– b)(a2 + ab + b2)

Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x =

h) Đặt x a ; x b    Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3– b3 = (2) Từ (1) (2) : a– b = Thay b = a– vào (1) ta a = Đáp số : x =

i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x 2 Đặt x 1 a ; x 3 b

x 2 x 2

 

 

  Giải hệ a

3

+ b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm

Cách 2 : Đặt x 2 = y Chuyển vế : y 13  3y 13  y Lập phương hai vế ta : y3– + y3 + + 3.3 y 16  (- y) = - y3  y3 = y y 16

Với y = 0, có nghiệm x =- Với y ≠ 0, cóy2 = y 16 Lập phương : y6 = y6– Vô n0

Cách : Ta thấy x =- nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng :

x x 1 x 2 x 3 Vế trái x < -

x > - x

< - > -

< >

< >

< > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), 4ab4 a b = (2) Theo bất đẳng thức Cauchy mn m n

2



 , ta có :

a b 1 a 1 b 3 a b 1 a 1 b

2 2 2

  

      

1 a b a b

a b 1 1 2 3

2 2 2

  

        

Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x =

l) Đặt a x m ; b x n 0      m4 + n4 = a + b– 2x

Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trìnhđã cho x = a

234 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2≠ (a b không đồng thời 0) Đặt 3a x ; b y, ta có :

4 2 4 2 2

2 2

x x y y x 2x y y 2x y

A

x xy y x xy y

    

 

    =

 2 22 2  2 2  2 2 

2

2 2

x y (xy) x y xy x y xy

x y xy

x xy y x y xy

     

    

   

Vậy : A 3a2 3 b2 3ab (với a2 + b2≠ 0).

235 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

2 2 2

A x   x 1 x   x 1 2 x  x x   x 1 2 (x  x 1)(x  x 1) = = 2 x4 x2 2 2 Đẳng thức xảy :

2

4

x x 1 x x 1

x 0

x x 1 1

     

  



  



Ta có A≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A =  x = 236 Vì + 3 nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :

3(1 + 3)3 + a(1 + 3)2 + b(1 + 3) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :

(4a + b + 42) + (2a + b + 18) 3 =

Vì a, bZ nên p = 4a + b + 42Z q = 2a + b + 18Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q 3 =

Nếu q ≠ 3 = - p

q, vơ lí Do q = từ p + q 3 = ta suy p = Vậy + 3 nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :

4a b 42 0

2a b 18 0

  



   

 Suy a = - 12 ; b =

237 Giả sử 33 số hữu tỉ p

q ( p

q phân số tối giản ) Suy : =

3

p

q Hãy chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p

q phân số tối giản

238 a) Ta có :  

2

3 6 6

1 2  1 2  1 2  2 3 2

Do :  

2

3 6 6

1 2 2  3 2 2   3  2 2 1 b) 694 23  5  1

239 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :

3 3 2

a 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a   a 40 20 (14 2) a

 a3– 6a– 40 =  (a– 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên  a = 240 Giải tương tự bài 21

241 A = + 3 2

242 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

243 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3– B3– 3AB(A– B) Tính x3 Kết M = 244 a) x1 = - ; x2 = 25

b) Đặt u x9 , v x 3 , ta :

3

u v 6

v u 6

  

 

 

  u = v = -  x =

c) Đặt : x2 32  y 0 Kết x = ±

245 Đưa biểu thức dạng : A x3  1 1 x3 1 1 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A =  -1 ≤ x ≤

246 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần.

247 Đặt x y thì x2 y2  P2 x3 2

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

249 Ta có : P xa2  xb2 = | x– a | + | x– b |≥ | x – a + b– x | = b– a (a < b) Dấu đẳng thức xảyra (x– a)(x– b)≥  a≤ x ≤ b Vậy P = b – a  a≤ x ≤ b 250 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương

(a b c) (b c a)

(a b c)(b c a) b

2

(b c a) (c a b)

(b c a)(c a b) c

2

(c a b) (a b c)

(c a b)(a b c) a

2

    

     

    

     

    

     

Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳngthức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy :

a + b– c = b + c– a = c + a– b  a = b = c (tam giác đều) 251. x y (xy)2  (xy)24xy  4 4 2 2

252 2A = (a– b)2 + (b– c)2 + (c– a)2

Ta có : c– a = - (a– c) = - [(a– b) + (b– c)] = - ( 2 + + 2 - 1) = - 2 Do : 2A = ( 2+ 1)2 + ( 2 - 1)2 + (-2 2)2 = 14 Suy A =

253 Đưa pt dạng :      

2 2

x 2 1  y 3 2  z 5 3 0 254 Nếu ≤ x ≤ thì y =

255 Đặt : x 1  y 0 M x 1  x 1 2 3  x 1 

256 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 2)2 = 128, nên xy≤ 64 Do : max xy = 64  x = y =

257 Với a, b ta ln có : a2 + b2≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2≥ 2ab  2c2≥ a2 +b2 + 2ab  2c2≥ (a + b)2  c 2 ≥ a + b  c≥ a b

2



Dấu đẳng thức xảy a = b

258 Biến đổi ta :      

2 2

a 'b ab '  a 'c ac '  b 'c bc ' 0