Lý thuyết Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Chi tiết, đầy đủ.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT..[r]

(1)

Trang 22

I PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

1 Vectơ phƣơng đƣờng thẳng

Vectơ u 0 đgl vectơ phƣơng đường thẳng  giá song song trùng với 

Nhận xét: – Nếu u VTCP  ku (k  0) VTCP 

– Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP 2 Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng

Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng  giá vng góc với 

Nhận xét: – Nếu n VTPT  kn (k  0) VTPT 

– Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT – Nếu u VTCP n VTPT  u n

3 Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng

Cho đường thẳng  qua M x y0( ; ) có VTCP u0 0 ( ; )u u1 2 Phương trình tham số : y yx x0 tutu1

0

     

 (1) ( t tham số) Nhận xét: – M(x; y)  t  R: x x tu

y y00 tu12      



– Gọi k hệ số góc  thì:

+ k = tan, với  = xAv,  900 + k = u

u21 , với u10

x y

A v

O





x y

A v

O 



4 Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng

Cho đường thẳng  qua M x y0( ; ) có VTCP u0 0 ( ; )u u1 2 Phương trình tắc : x x y y

u1 u20

 

 (2) (u1 0, u2 0)

Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình

tắc

5 Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng

PT ax by c 0   với a2b2 0 đgl phƣơng trình tổng quát đường thẳng

Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax by c 0    có:

VTPT n( ; )a b VTCP u ( ; )b a u( ; )b a

– Nếu  qua M x y0( ; ) có VTPT 0 0 n( ; )a b phương trình  là: a x x(  0)b y y(  0) 0

CHƢƠNG III

(2)

Trang 23 Các trường hợp đặc biệt:

 qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình : x y a b 1 (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 qua điểm M x y0( ; ) có hệ số góc k: Phương trình 0 0 : yy0 k x x(  0) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

6 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y c1  1 2: a x2 b y c2  2 0

Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a x b y c

a x b y c12 12 12

0

   

   

 (1)

1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm 

a b

a12  b12 (nếu a b c2 2, , 0) 1 // 2  hệ (1) vô nghiệm 

a b c

a12 b12  c21 (nếu a b c2 2, , 0) 12  hệ (1) có vơ số nghiệm 

a b c

a12 b12  c21 (nếu a b c2 2, , 0) 7 Góc hai đƣờng thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y c1  1 0 (có VTPT n1( ; )a b1 1 

) 2: a x2 b y c2  20 (có VTPT n2 ( ; )a b2 2



)

 n n khi n n

n n n n

0

1 2

1 0

1 2

( , ) ( , ) 90

( , )

180 ( , ) ( , ) 90

    

 



   

 n n n n a b a b

n n a b a b

1 1 2

1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2

cos( , ) cos( , )

.

     

 

   

  Chú ý: 12 a a1 2b b1 2 0

 Cho 1: yk x m1  1, 2: yk x m2  2 thì:

+ 1 // 2 k1 = k2 + 1 2 k1 k2 = –1

8 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   điểm M x y0( ; ) 0 0

ax by c

d M

a b

0

0 2 2

( , )    

 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   hai điểm M x y( M; M), ( ;N x yN N) – M, N nằm phía  (axMbyMc ax)( NbyN c) – M, N nằm khác phía  (axMbyMc ax)( NbyN  c)

Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng  Tính chất đƣờng thẳng  c = ax by 0  qua gốc toạ độ O

(3)

Trang 24

 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y c1  1 2: a x2 b y c2  2 0cắt

Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a x b y c a x b y c

a b a b

1 1 2

2 2

1 2

   

 

 

II PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN

1 Phƣơng trình đƣờng trịn

Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: x a(  )2 (y b)2R2

Nhận xét: Phương trình x2y22ax2by c 0, với a2b2 c 0, phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2b2c

2 Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng trịn

Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng 

 tiếp xúc với (C)  d I( , ) R

III PHƢƠNG TRÌNH ELIP

1 Định nghĩa

Cho F1, F2 cố định với F F1 22c (c > 0)

M( )E MF MF1 22a (a > c)

F1, F2: tiêu điểm, F F1 22c: tiêu cự

2 Phƣơng trình tắc elip

x y

a b

2

2  1 (a b 0,b2a2c2)  Toạ độ tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)c F c2

 Với M(x; y)  (E), MF MF1, 2 đgl bán kính qua tiêu điểm M

c c

MF a x MF a x

a a

1  ,   3 Hình dạng elip

 (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Toạ độ đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b

 Độ dài trục: trục lớn: A A1 22a, trục nhỏ: B B1 2 2b

 Tâm sai (E): e c

a

 (0 < e < 1)

 Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a y,  b (ngoại tiếp elip)

4 Đƣờng chuẩn elip (chương trình nâng cao)

 Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: a x

e    Với M  (E) ta có: MF MF e

d M( , )11 d M( , )22  (e < 1)

III PHƢƠNG TRÌNH HYPEBOL

1 Định nghĩa

Cho F1, F2 cố định với F F1 22c (c > 0)

(4)

Trang 25 F1, F2: tiêu điểm, F F1 22c: tiêu cự

2 Phƣơng trình tắc hypebol

x y

a b

2

2  1 ( ,a b0,b2 c2a2)  Toạ độ tiêu điểm: F1( ;0), ( ;0)c F c2

 Với M(x; y)  (H), MF MF1, 2 đgl bán kính qua tiêu điểm M

c c

MF a x MF a x

a a

1  ,   3 Hình dạng hypebol

 (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Toạ độ đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0)

 Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b

 Tâm sai (H): e c

a

 (e > 1)

 Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a y,  b

 Phương trình đường tiệm cận: y bx

a  

4 Đƣờng chuẩn hypebol

 Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: a x

e    Với M  (H) ta có: MF MF e