Sau đó vẽ biểu diễn hai điểm M và M 0 lên mặt phẳng tọa độ, và xác định chiều quay từ M đến M 0 là cùng hay ngược chiều kim đồng hồ.. Nếu cùng chiều thì ta khẳng định góc quay lượng giác[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN TẬP
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Một số công thức vectơ
Cho A(xA;yA), B(xB;yB) Ta có −→
AB = (xB −xA;yB −yA)
Độ dài đoạn AB AB =|−→AB| =p(xB −xA)2+ (yB −yA)2
Phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R
(x−a)2+ (y −b)2 = R2
Ví dụ: Phương trình đường trịn tâm I(−3; 2), bán kính R = là:
(x+ 3)2+ (y −2)2 = 16
Ngược lại, từ phương trình đường trịn cho trước, ta dễ dàng tìm tâm bán kính
Ví dụ: Đường trịn (C): (x−2)2+ (y +√5)2 = có tâm I(2;−√5), bán kính R =
√
3
1.2 Một chút phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0) có vectơ pháp tuyến −
→
n∆ = (A;B) A(x−x0) +B(y −y0) =
Ngược lại, từ phương trình tổng quát đường thẳng ax+by +c = 0, ta có vectơ pháp tuyến −→n = (a;b).
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(x0;y0) có vectơ
phương −→u = (a;b)
(
x =x0+at
y =y0+bt
(2)Phương trình đường thẳng d qua điểm A(xA;yA) B(xB;yB)
x−xA
xB −xA
= y −yA yB −yA
Ví dụ: Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(1; 2) B(3; 4) x−1
3−1 =
y −2 −2 ⇔
x−1 =
y−2
2 ⇔ x−y + = Cho đường thẳng d có phương trình ax+by +c = (a2+b2 6= 0)
Đường thẳng d0 song song với d có phương trình dạng: ax+by+d = (d6= c).
Đường thẳng∆⊥ dcó phương trình dạng: −bx+ay+e= hoặcbx−ay+f =
1.3 Phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng, cho M(x;y) −→u = (u1;u2) Gọi M0(x0;y0) ảnh M
qua T−→u Ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến
(
x0 =x+u1
y0 =x+u2
Chú ý: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó; biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
Các ví dụ:
Ví dụ 1.Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho điểmM(−1; 2)và vectơ−→u = (3;−4) Xác định ảnh M qua phép tịnh tiến T−→u
Giải:
Gọi M1(x1;y1) ảnh M qua phép tịnh tiến T−→u Ta có (
x1 =−1 + =
(3)Vậy M1(2;−2)
Ví dụ 2: Xác định ảnh đường thẳng d: 2x+ 3y −4 = qua phép tịnh tiến T−→u với −→u = (3;−4)
Bài giải nhiều cách khác nhau:
Cách 1: Lấy điểm M(−1; 2) ∈ d Theo ví dụ 1, ta có ảnh của M qua T−→u
M1(2;−2)
Phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d0//d nên d0 có dạng: 2x+ 3y +c = Vì M1 ∈ d0 nên toạ độ M1 thoả mãn phương trình d0 Do
đó ta có: 2.2 + 3.(−2) +c = ⇔c =
Vậy phương trình d0 2x+ 3y + =
Cách 2: Lấy thêm điểm N(2; 0) ∈ d Ta tìm ảnh của N qua phép tịnh tiến
T−→u
Giả sử N0(x0, y0) =T−→u(N) Ta có:
(
x0 = + =
y0 = 0−4 = −4 hay N
(5;−4)
Đường thẳng ảnh d0 d đường thẳng qua hai điểm M1(2;−2)
N0(5;−4) Do phương trình d0
x−2 −2 =
y −(−2)
−4−(−2) ⇔
x−2 =
y +
−2 ⇔2x+ 3y + =
Cách Gọi M(x;y) ∈ d Và gọi M0(x0;y0) = T−→u(M) Ta có
(
x0 =x+
y0 =y −4 ⇒
(
x =x0−3 y = y0 +
Vì M(x;y) ∈ d nên toạ độ phải thoả mãn phương trình d Do ta có: 2x+ 3y −4 = ⇔2(x0 −3) + 3(y0 + 4)−4 = ⇔ 2x0 + 3y0 + = (∗)
(4)1.4 Phép quay
Định nghĩa:
Điểm M0 gọi ảnh M qua phép quay tâm O, góc quay ϕ
(
OM0 = OM (OM0, OM) = ϕ
Đặc biệt: M0 =Q(O,±90◦) ⇔
(
OM0 = OM
(OM0, OM) = ±90◦
Chú ý: Để chứng minh M0 ảnh M qua phép quay Q(O,±90◦) ta trước
hết chứng minh OM0 = OM, OM0 ⊥ OM nhờ vào tọa độ Sau vẽ biểu diễn hai điểm M M0 lên mặt phẳng tọa độ, xác định chiều quay từ M đến M0 hay ngược chiều kim đồng hồ Nếu chiều ta khẳng định góc quay lượng giác −90◦ Ngược lại ta có góc quay lượng giác 90◦
Ta cần nhớ hai công thức tổng quát sau:
Nếu M0(x0;y0) =Q(O,90◦)(M) ⇒
(
x0 =−y
y0 =x hay M
0(−y, x)
Nếu M0(x0;y0) =Q(O,−90◦)(M) ⇒
(
x0 =y
y0 =−x hay M
0(y,−x) Ví dụ: Xác định ảnh điểm M(−2; 1) quay phép quay Q(O,90◦)
Giải:
Ta dựa vào công thức khẳng định:
Gọi M0 ảnh M quay phép quay Q(O,90◦) Ta có M0(−1,−2)
Thật vậy, ta có: −−→OM = (−2; 1) ⇒OM =|−−→OM| = p(−2)2+ 12 =√5 −−→
OM0 = (−1;−2) ⇒ OM0 =|−−→OM0| = p(−1)2+ (−2)2 =√5.
Do đó: OM0 = OM
(5)Biểu diễn lên hệ trục Oxy ta có:
−2
1 M
M0 −2
−1
x y
O
Từ M đến M0 ngược chiều kim đồng hồ nên góc quay lượng giác (OM;OM0) = 90◦
Ví dụ 2.Chứng minh điểmM(−2; 1)thuộc đường thẳng∆ : x−3y+5 = Hãy xác định ảnh đường thẳng ∆ qua phép quay Q(O;90◦)
Giải:
Thay x =−2, y = vào phương trình đường thẳng ∆, ta có −2 −3.1 + =
Toạ độ M thoả mãn phương trình đường thẳng d nên M ∈ d.
Gọi ∆0 ảnh ∆ qua Q(O;90◦) Ta có ∆0 ⊥ ∆ nên phương trình ∆0 có dạng:
3x+y +c =
Theo ví dụ trước, M(−2; 1) Q(O,90
◦)
−−−−→ M0(−1;−2) Vì M ∈ ∆ nên M0 ∈ ∆0 Do
3.(−1) + (−2) +c = ⇔c = Vậy phương trình đường thẳng ∆0 là: 3x+y + =
1.5 Phép vị tự
Biểu thức tọa độ phép vị tự: Cho điểm M(x;y) Gọi M0(x0;y0) ảnh M qua phép vị tâm O, tỉ số k.
(6)Do đó, ta có biểu thức tọa độ phép vị tự tâm O, tỉ số k
(
x0 = k.x y0 = k.y
Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đường trịn (I, R) thành đường tròn (I0, R0) với I0 ảnh I qua V(O,k) R0 = |k|R.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;−1), B(−2; 5), C(4;−3)
a) Xác định tọa độ ảnh A, B, C qua V(O;2), V(O;12)
b) Viết phương trình đường thẳng d0 ảnh dđi qua điểm A, B qua V(O;2)
c) Viết phương trình đường trịn ảnh đường trịn tâm A, bán kính BC qua V(O,1
2)
Giải:
a) Gọi A0(xA0;yA0) = V(O;2)(A) Ta có
−−→
OA0 = 2−→OA nên suy
(
xA0 = 2.xA = 2.1 =
yA0 = 2.yA = 2.(−1) = −2
Vậy A0(2;−2) Tương tự:
V(O;2): B(−2; 5) 7−→B0(−4; 10)
C(4; 3) 7−→C0(8; 6) V(O;1
2): A(1;
−1) 7−→A00(1 2;−
1 2) B(−2; 5) 7−→B00(−1;
2) C(4; 3) 7−→C00(2;
(7)Cách 1:d0 đường thẳng qua hai điểmA0, B0 Đường thẳngd0 quaA0(2;−2) có vectơ phương −−→A0B0 = (−4−2; 10−(−2)) = (−6,12) nên có phương trình tham số là: (
x = 2−6t
y =−2 + 12t (t∈ R)
hoặc khử t từ phương trình tham số để đưa dạng tổng quát x−2
−6 =
y +
12 ⇔ 2x+y −2 =
Cách 2: Phương trình đường thẳng d: x−2
−2−1 =
y +
10 + ⇔ 6x+ 3y −2 = Gọi M(x;y) ∈ d Và gọi M0(x0;y0) = V(O;2)(M) Ta có
−−→
OM0 = 2−−→OM ⇔ (
x0 = 2x
y0 = 2y ⇔
(
x = 12x0 y = 12y0 M ∈ d ⇒ 6(12x0) + 3(12y0)−3 = ⇔ 6x0 + 3y0−6 =
Vậy phương trình ảnh d0 là: 6x+ 3y −6 = ⇔2x+y −2 =
c) Ta có
V(O;1
2): A(1;
−1) 7−→ A00(1 2;−
1 2) B(−2; 5) 7−→ B00(−1;5
2) C(4; 3) 7−→ C00(2;
2) R =BC =p(4 + 2)2+ (3−5)2 = √40 = 2√5
Do bán kính đường trịn ảnh R0 =|k|.R= 2.2
√
5 =
√
5 Vậy phương trình đường trịn ảnh là:
x−
2
2
+
y+
2
= (
√
5)2 ⇔
x−
2
2
+
y +
2
(8)2 Phép dời hình phép đồng dạng
Bài tập 1. Gọi f phép dời hình có cách thực liên tiếp phép
tịnh tiến theo vectơ −→u = (−2; 1) phép quay tâm O, góc quayϕ =−90◦ Gọi g phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến T−→u phép vị tự tâm O, tỉ số k =
a) Xác định ảnh điểm M(−3; 2) qua phép dời hình f phép đồng dạng g. b) Xác định ảnh đường thẳng d: x+ 2y −1 = qua f g.
c) Xác định ảnh đường tròn (C) : (x+ 3)2+ (y −2)2 = qua f g. Hướng dẫn giải
a) Để xác định ảnh M qua phép dời hìnhf, ta xác định ảnhM1 M qua
phép tịnh tiến T−→u, sau xác định ảnh M2 M1 qua phép quay Q(O;−90◦)
Trước hết ta xác định ảnh điểm M(−3; 2) qua T−→u
Gọi M1(x1;y1) ảnh M qua T−→u Ta có
(
x1 =−3−2 = −5
y1 = + =
⇒M1(−5; 3)
Ta xác định ảnh M2 M1 qua phép quay Q(O;−90◦)
Ta có M2(3; 5) Các bước kiểm chứng lại (chứng minh OM1 = OM2, OM1 ⊥
OM2, (OM1, OM2) = −90◦) tiến hành tương tự ví dụ trước
Vậy f(M) =M2(3; 5)
Tương tự, M(−3; 2) −→T−→u M1(−5; 3) V(O;3)