Phép biến hình trong mặt phẳng

Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG VÀO DỜI HÌNH PHẲNG VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TOÁN HÌNH HỌC Học phần: Ứng dụng phép biến Học phần: Ứng dụng phép biến hình giải các bài toán Hình học hình giải các bài toán Hình học Lớp CĐSP Toán K06 Lớp CĐSP Toán K06 1. Ví dụ mở đầu: 1. Ví dụ mở đầu: Ví Ví dụ dụ 1: 1: Cho đường tròn (O) và hai Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O). Một điểm điểm B, C cố định trên (O). Một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng quỹ tích của trực Chứng minh rằng quỹ tích của trực tâm H của tam giác ABC khi A thay tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi là một đường tròn. đổi là một đường tròn. Lời giải 1: Lời giải 1: Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó BD BD ⊥ ⊥ BC BC ⇒ ⇒ BD//AH (cùng vuông góc BD//AH (cùng vuông góc với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra ADBH là hình bình hành ADBH là hình bình hành ⇒ ⇒ (do (O), B, C cố định nên D cố định (do (O), B, C cố định nên D cố định nên không đổi). Nên H = Đ(A). A nên không đổi). Nên H = Đ(A). A thuộc đường tròn (O) nên H thuộc thuộc đường tròn (O) nên H thuộc ảnh của đường tròn (O) qua phép ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo véc tơ . tịnh tiến theo véc tơ . AH DB = uuur uuur Lời giải 2 Lời giải 2  Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt (O) tại D, E. (O) tại D, E.  Ta có Ta có ∆ ∆ AIC ~ AIC ~ ∆ ∆ BKC BKC  nên = nên = ∠ ∠ IAC IAC  Đồng thời Đồng thời ∠ ∠ IAC = (cùng chắn cung EC). IAC = (cùng chắn cung EC). Do đó: Do đó: ∠ ∠ KBC= KBC= ∠ ∠ EBC . Từ đó suy ra: EBC . Từ đó suy ra: ∆ ∆ BHE BHE cân tại B cân tại B ⇒ ⇒ IH = IE IH = IE ⇒ ⇒ H = ĐBC(E). H = ĐBC(E).  Khi A thay đổi trên (O) thì E thay đổi trên Khi A thay đổi trên (O) thì E thay đổi trên Nhận xét 1 Nhận xét 1 Bài toán trên có thể giải được chỉ Bài toán trên có thể giải được chỉ cần bằng các kiến thức hình học cần bằng các kiến thức hình học THCS nhưng đã được giải ở đây theo THCS nhưng đã được giải ở đây theo phương pháp biến hình. Đó là phương pháp biến hình. Đó là phương pháp vận dụng các tính chất phương pháp vận dụng các tính chất của phép biến hình (phép dời hình, của phép biến hình (phép dời hình, phép đồng dạng, …) vào việc khảo phép đồng dạng, …) vào việc khảo sát các tính chất của hình, dựng sát các tính chất của hình, dựng hình, tìm quỹ tích,… hình, tìm quỹ tích,… Nhận xét 2 Nhận xét 2 Về nguyên tắc, một bài toán hình học Về nguyên tắc, một bài toán hình học thông thường có thể giải bằng nhiều phương thông thường có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp, pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp, rất gọn gàng, ở một số bài toán khác, rất gọn gàng, ở một số bài toán khác, phương pháp dựng hình cho ta một phương phương pháp dựng hình cho ta một phương án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nhận biết một bài toán có khả thế nào để nhận biết một bài toán có khả năng giải được bằng phương pháp biến hình. năng giải được bằng phương pháp biến hình. Thông thường, một bài toán giải Thông thường, một bài toán giải được bằng phương pháp dựng hình các được bằng phương pháp dựng hình các dữ kiện của nó các tính chất thường dữ kiện của nó các tính chất thường xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan hệ đáng chú ý đến một phép biến hình hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này, ta tính chất của phép biến hình này, ta tìm ra lời giải hoặc đáp số. tìm ra lời giải hoặc đáp số. Ví dụ Ví dụ : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt (O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C (O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C thẳng hàng. thẳng hàng. Phân tích: Phân tích: Giả sử Giả sử bài toán đã được bài toán đã được dựng xong. Khi đó dựng xong. Khi đó dễ thấy rằng B = dễ thấy rằng B = ĐA(C) nên B thuộc ĐA(C) nên B thuộc đường tròn ảnh đường tròn ảnh của (O’) qua phép của (O’) qua phép đối xứng tâm A, đối xứng tâm A, đồng thời B thuộc đồng thời B thuộc (O) nên B là giao (O) nên B là giao của (O) và của (O) và ĐA[(O’)]. Đường ĐA[(O’)]. Đường tròn cần dựng là tròn cần dựng là (A, AB). (A, AB). C B A O' O Nhận xét Nhận xét : Ở bài toán trên, tính chất : Ở bài toán trên, tính chất đối xứng của hai điểm B, C được thể đối xứng của hai điểm B, C được thể hiện rất rõ trong yêu cầu của bài toán hiện rất rõ trong yêu cầu của bài toán bởi hai điểm xuyên tâm đối của một bởi hai điểm xuyên tâm đối của một đường tròn thì đối xứng nhau qua tâm đường tròn thì đối xứng nhau qua tâm đường tròn đó. đường tròn đó. 2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc 2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng khảo sát tính chất của hình và dựng hình. hình. Tính chất: Cho phép tịnh tiến . Tính chất: Cho phép tịnh tiến . - Phép tịnh tiến là phép dời hình nên - Phép tịnh tiến là phép dời hình nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng, bảo toàn các tính chất thẳng hàng, đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường thẳng của hai đường thẳng - M’ = . Khí đó. . - M’ = . Khí đó. . - Hai đường thẳng d và d’ = - Hai đường thẳng d và d’ = song song với nhau. song song với nhau. 'MM v= uuuuur r ( ) v T M r ( ) v T d r [...]... dời hình (như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của ư góc, các hình hình học phẳng, ) Hình học Euclide nghiên cứu các bất biến của phép dời hình Nói cách khác tập hợp tất cả các bất biến đối với phép dời hình được gọi là hình học nhóm các phép dời hình (còn gọi là hình học Euclide) 1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình  Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố... = CD’2 (không đổi) Khi M = O, ta có MC2 + MD2 = 2R2 2 Ứng dụng phép quay vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình Tính chất: Cho phép quay QOα Khi đó: Phép quay là một phép dời hình Nếu M’ = Q α(M) thì ∠MOM’ = α và O OM’ = OM Q -α là phép dời hình ngược của Q α O O Tức là: QO-αoQOα và QOαoQO-α   QOπ = ĐO Ví dụ: Trong mặt phẳng, cho hai tam giác ABC và ADEcó các góc ở đỉnh chung A bù... Giải: Ta thực hiện phép quay biến E thành và D thành D’ khi đó B, A, D thẳng hàng Trung tuyến AM trở thành đường trung bình của ∆BCD’ nên song song với CD’ = (DE) Mà theo tính chất của phép quay CD’ ⊥ DE Từ đó suy ra AM ⊥DE (PCM) 1 Các bất biến trong phép dời hình  Một khái niệm, tính chất hay một đại lượng được giữ nguyên qua phép dời hình được gọi là một bất biến của nhóm dời hình (như độ dài đoạn... SABC 2 Ứng dụng phép đối xứng vào việc khảo sát tính chất của hình và dựng hình Tính chất: Cho phép đối xứng trục Đ∆ Khi đó: - Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng, đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc của hai đường thẳng - Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp - M’ = Đ∆(M) thì: ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ - Đ∆ là một phép dời hình nghịch nên... O thẳng hàng thì C, D, O thẳng hàng Giải: Gọi I là tâm của đường tròn γ ta dễ thấy rằng đưòng thẳng OI là trục đối xứng của các đường tròn có tâm O và I Trong đó: O = ĐOI(O), C = ĐOI(B), D = ĐOI(A) Vì thế nếu O, A B thẳng hàng thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có O, B, C cũng thẳng hàng Ví dụ 6 Cho một điểm M chuyển động trên đường kính AB của đường tròn (O) Dây cung CD đi qua M cắt AB và . pháp biến hình. Đó là phương pháp vận dụng các tính chất phương pháp vận dụng các tính chất của phép biến hình (phép dời hình, của phép biến hình (phép. các hình hình học phẳng, .). Hình góc, các hình hình học phẳng, .). Hình học Euclide nghiên cứu các bất biến của học Euclide nghiên cứu các bất biến