CHƢƠNG III PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Vectơ u đgl vectơ phƣơng đường thẳng giá song song trùng với Nhận xét: – Nếu u VTCP ku (k 0) VTCP – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Vectơ n đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng giá vng góc với Nhận xét: – Nếu n VTPT kn (k 0) VTPT – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT – Nếu u VTCP n VTPT u n Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Cho đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u (u1; u2 ) x x0 tu1 y y0 tu2 Phương trình tham số : (1) ( t tham số) x x0 tu1 Nhận xét: – M(x; y) t R: y y tu – Gọi k hệ số góc thì: với = xAv , 900 + k = tan, u +k= , u1 với u1 y y v v O A x O A x Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Cho đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u (u1; u2 ) x x0 y y0 (2) (u1 0, u2 0) u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Phương trình tắc : PT ax by c với a2 b2 đgl phƣơng trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c có: VTPT n (a; b) VTCP u (b; a) u (b; a) – Nếu qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n (a; b) phương trình là: a( x x0 ) b( y y0 ) Trang 22 Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng c=0 ax by a=0 by c b=0 ax c Tính chất đƣờng thẳng qua gốc toạ độ O // Ox Ox // Oy Oy qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình : x y a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình : y y0 k ( x x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x b1y c1 2: a2 x b2 y c2 Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1x b1y c1 (1) a2 x b2 y c2 1 cắt 2 hệ (1) có nghiệm a1 b1 a2 b2 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm a1 b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 1 2 hệ (1) có vơ số nghiệm a1 b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ) Góc hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x b1y c1 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) 2: a2 x b2 y c2 (có VTPT n2 (a2 ; b2 ) ) (n1, n2 ) (1, 2 ) (n1, n2 ) 900 180 (n1, n2 ) (n1, n2 ) 90 n1.n2 a1b1 a2 b2 cos(1, 2 ) cos(n1, n2 ) n1 n2 a2 b2 a2 b2 Chú ý: 2 1 2 a1a2 b1b2 Cho 1: y k1x m1 , 2: y k2 x m2 thì: + 1 // 2 k1 = k2 + 1 2 k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , ) ax0 by0 c a2 b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; yN ) – M, N nằm phía (axM byM c)(axN byN c) – M, N nằm khác phía (axM byM c)(axN byN c) Trang 23 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x b1y c1 2: a2 x b2 y c2 cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1x b1y c1 a x b2 y c2 a12 b12 a22 b22 II PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN Phƣơng trình đƣờng tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x a)2 ( y b)2 R2 Nhận xét: Phương trình x y2 2ax 2by c , với a2 b2 c , phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng tiếp xúc với (C) d (I , ) R III PHƢƠNG TRÌNH ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M (E ) MF1 MF2 2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự Phƣơng trình tắc elip x2 y2 1 (a b 0, b2 a2 c2 ) a b Toạ độ tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) Với M(x; y) (E), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 a c c x, MF2 a x a a Hình dạng elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1(a;0), A2 (a;0), B1(0; b), B2 (0; b) Toạ độ đỉnh: trục lớn: A1 A2 2a , trục nhỏ: B1B2 2b Độ dài trục: c (0 < e < 1) a Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a, y b (ngoại tiếp elip) Đƣờng chuẩn elip (chương trình nâng cao) a Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x e MF1 MF2 e Với M (E) ta có: (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) Tâm sai (E): e III PHƢƠNG TRÌNH HYPEBOL Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M (H ) MF1 MF2 2a Trang 24 (a < c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự Phƣơng trình tắc hypebol x2 y2 1 (a, b 0, b2 c2 a2 ) a b Toạ độ tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) Với M(x; y) (H), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 a c c x , MF2 a x a a Hình dạng hypebol (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng Toạ độ đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0) Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c Tâm sai (H): (e > 1) e a Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a, y b Phương trình đường tiệm cận: b y x a Đƣờng chuẩn hypebol Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x Với M (H) ta có: MF1 d ( M , 1 ) MF2 d ( M , 2 ) e Trang 25 (e < 1) a 0 e