Đang tải... (xem toàn văn)
+) Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp đó và đáy. +) Hình chóp có các cạnh[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11
I LÝ THUYẾT:
1 Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian cho mp(P) điểm M không nằm mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm sau:
Bước 1: Dựng mp(Q) qua M vng góc với mp(P) Bước 2: Xác định giao tuyến d mp(P) mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vng góc với d H MH mp(P) d(M;(P)) = MH
2 Bổ đề (*): Cho mp(P) điểm A, H không nằm (P) Gọi I = AH (P) ta có: d(A;(P))
d(H;(P)) = AI HI
3 Cách xác định khoảng cách đường thẳng chéo +) Cho hai đường thẳng a b chéo
TH1: a b vng góc với
+) Chọn điểm M nằm a (thuận lợi nhất) kẻ MH b mp(a,H) b Kẻ HK a d(a,b) = HK
TH2: a b
+) Dựng mp() chứa b song song với a, d(a,b) = d(a,()) = d(M,()), M điểm nằm đường thẳng a
4 Các kỹ xác định hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy hình chóp:
+) Nếu tồn mặt phẳng qua đỉnh vng góc với mặt đáy hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu đỉnh lên giao tuyến mp đáy +) Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+) Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
II BÀI TẬP:
1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh
bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) Giải:
B
C D
A S
H
(2)\S.ABCD hình chóp nên SO (ABCD) Qua O kẻ OI vng góc với AB (SOI) (SAB) Kẻ OH SI OH (SAB) d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a 2, OI = a
2 Xét SAO ta có: SO
2
= SA2 - AO2 = a
2
2 Xét SOI:
OH2 = SO2 +
1 OI2 =
6
a2 OH = a Vậy: d(O; (SAB)) = a
Bình luận:
1 Nếu thay giả thiết tốn thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm nào:
- Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(C;(SAB))
Ta có: d(C;(SAB)) d(O;(SAB)) =
CA
OA = d(C;(SAB)) = 2a
2 Nếu thay giả thiết toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K SC đến (SAB) ta sẻ làm nào:
- Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a
Nhận xét: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên khối chóp sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đến mp sử dụng bổ đề (*) để suy khoảng cách cần tính
Bài tập 2( ĐH_D_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông
B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vng góc với mp(ABC) Biết SB=2a 3,
SBC=300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a
Giải:
Kẻ SH BC SH (ABC) Xét SHB ta có: SH = SB.sin300
= a 3; BH = SB.cos300 = 3a
Qua H kẻ HI AC I
(SHI) (SAC) Kẻ HK SI K HK (SAC)
d(H;(SAC)) = HK
Ta có CHI∽CAB(g-g) HI = AB.CH
AC = 3a
5
HK2 = HI2 +
1 SH2 =
28
9a2 HK = 3a d(H;(SAC)) = 3a
2 Mà d(B;(SAC))
d(H;(SAC)) = BC
HC = d(B;(SAC)) = 6a
7
K
I
B
C H
A
(3)Bài tập 3(ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC=
BAD = 900, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vng góc với mặt đáy, SA=a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a
Giải: Gọi I trung điểm AD ta có CI =
2AD ACD vuông C hay AC CD
(SAC) (SCD) Kẻ AI vng góc SC I
AI (SCD) d(A;(SCD)) = AI Ta có: AC2 = AB2 + BC2 = 2a2
1 AI2 =
1 AC2 +
1 SA2 =
1 a2
AI = a d(A;(SCD)) = a
Nối AB cắt CD K B trung điểm AK d(B;(SCD))
d(A;(SCD)) = BK CK =
1 d(B;(SCD)) = a
2 d(H;(SCD))
d(B;(SCD)) = SH SB =
SA2 SB2 =
2a2 2a2+a2 =
2
3 d(H;(SCD)) =
3d(B;(SCD)) = a
Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải mà ta gặp tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng chứa đường cao khối chóp ta sẻ làm nào?
Bài tập 4(ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình
chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng
cách từ điểm B’ đến mp(A’BD)
Giải:
Gọi O giao điểm AC BD A’O (ABCD)
H
C
C
D A
B
C’ A’
B’
D’
O
S
D
B
H K
(4)Gọi E trung điểm AD OE AD, A’E AD
A’EO góc mp(ADD’A’) mp(ABCD) A’EO = 600
A’O = OE.tan A’EO = AB
2 tan60
0
= a Ta có B’C ∥(A’BD)
d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))
Kẻ CH BD H CH (A’BD) d(C;(A’BD)) = CH Mà
CH2 = CB2 +
1 CD2 =
4
3a2 CH = a
2 Vậy d(B’;(A’BD)) = a
2
Bình luận: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm I đến mp() chứa đường cao khối chóp sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d mp() mặt đáy
Bước 2: Chọn điểm M nằm mặt đáy thuận lợi nhất, tính khoảng cách từ điểm M đến mp(), cách kẻ MH d M MH () d(M;()) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy d(I;())
d(M;())
Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012) Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2IH , góc SC mp(ABC) 600
Tính khoảng cách từ trung điểm E SB đến mp(SAH) Giải:
BC2 = AB2 + AC2 = 4a2 BC = 2a BI = a Kẻ BK vng góc với AH K BK (SAH) d(B;(SAH)) = BK
Mà BK2 =
1 BA2 +
1 BI2 =
3 2a2 d(B;(SAH)) = BK = a
3 d(E;(SAH))
d(B;(SAH)) = ES BS =
1 d(E;(SAH)) = a
2
2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Bài tập 1(ĐH_A_2010) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh
a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN S
K B
A
(5)và DM Biết SH vng góc với mp(ABCD) SH=a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC
Giải:
Ta có: CDN = DAM CN DM; mặt khác SH DM DM (SCN) DM SC
Kẻ HK SC HK DM d(HK, DM) = HK
Ta có SCMD = SABCD - SADM - SCBM =
a2 Mặt khác SCDM =
1
2CH.DM CH = 2SCDM
DM = 2a
5
HK2 = CH2 +
1 SH2 =
19 12a2 HK = 2a
19 d(DM, SC) = 2a
19
Bài tập 2(ĐH_A_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân
tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng
AB SN theo a
Giải: (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) SA (ABC)
AB BC SB BC
SBA góc mp(SBC) (ABC) SBA = 600 SA = AB.tan600 = 2a Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC N MN ∥ BC N trung điểm AC MN = BC
2 = a
Kẻ đường thẳng qua N song song AB, gọi () mp chứa SN AB ∥ () d(AB, SN) = d(A;())
Kẻ AD D (SAD) (), Kẻ AH SD AH () d(A,()) = AH Ta có AD = MN = a
AH2 = SA2 +
1 AD2 =
13
12a2 AH = 2a
13 Vậy: d(AB,SN) = 2a
13
Bài tập 3(ĐH_A_2012) Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu
vng góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a
Giải:
K
H
N
M
B
C
D A
S
C
B
H
D N
M A
(6)Ta có
SCH góc SC mp(ABC) SCH = 60 Xét ACH ta có: CH2
= AH2 + AC2 - 2AH.AC.cos600 = 7a
2
9 CH = a
3 SH = CH.tan600
= a 21
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, gọi () mp chứa SA BC ∥ () d(SA,BC) = d(B,()) =
2d(H,())
Kẻ HI I (SHI) (), kẻ HK SI K HK () d(H,()) = HK Ta có HI = AH.sin600 = a
3 HK2 =
1 SH2 +
1 HI2 =
24
7a2 HK = a d(H,()) = a
2 d(B,()) = 3a
4 Vậy: d(SA,BC) = 3a
4
Bài 4(ĐH_D_2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác
vng, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a
Giải: Ta có: AM2 = AB2 + BM2 = 5a
2
4 AM = a
2
Qua C kẻ đường thẳng song song với AM, gọi () mặt phẳng chứa B’C AM∥() d(AM,B’C) = d(M,()) =
2d(B,())
Kẻ BI I (B’BI) (), kẻ BK B’I K BK () d(B,()) = BK Ta có: sin
BCI = sin
BMA = AB AM =
2 BI = BC.sinBCI = 2a
5
HK2 = B’B2 +
1 BI2 =
7
4a2 HK = 2a
7 d(B,()) = 2a
7 d(M,()) = a
7 M
K I
C A
C’ B’
A’
C B
H I
K
S
(7)Vậy: d(B’C,AM) = a
BÀI TẬP
Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a 3, hai mp (SCD) (SAD) vng góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a
Bài tập 2(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chun Lê Q Đơn-Quảng Trị)
Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền 3a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vng góc mp(ABC), SB= a 14
2 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a
Bài tập 3(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Gia Lộc-Hải Dương)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a 2, ABC=30 thể tích lăng trụ a3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a
Bài tập 4(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a
Bài tập 5(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Nguyễn Đức Cảnh-Thái Bình)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai
đường thẳng SB CD theo a
Bài tập 6(Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngơ Gia Tự-Bắc Ninh)
Cho hình chóp S.ABCD có SA=a SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD thang vuông A B, AB=a, BC=2a SC vng góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC