Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình Ellipic nửa tuyến tính

Fleckinger-Pelle’: Existence of positive solutions for non cooperativos semihnear elliptic1 system defined on an un­ bounded domain.. Partial Differential Equations.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

T Ê N ĐỀ T À I

BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPIC NỬA TUYẾN TÍNH

M ã số: QT-06-04

Chủ trì đề tài: PGS TS Hoàng Quốc Toàn

1 T ên đề tài: B i to n b iên đối v i p h n g trình hệ p h n g trình ellipic nử a tu yến tín h

2 M ã số: Q T 06-04

C hủ trì đề

3 tài: PG S TS H oàn g Quốc T oàn

C hủ nhiệm Bộ m ơn Giải tích, K hoa T ốn-C ơ- T in học,

Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia H Nội

4 T h n h p h ầ n th a m gia: (a) T hS Dư Đức T h ắ n g (b) NCS Đặng A nh T u ấ n

(c) T hS T rầ n T ấ t Đ a t

(d) CN Ngô Quốc A n h (e) T hS Nguyễn T h ế V in h

(f) HVCH T rịn h T h ị H n g

(g) HVCH N guyễn T h n h Chung

ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHGTVTHN ĐHXDHN

TÓM TẮ T BÁO CÁO

1 Tên đề tài: B i to n b iên đối v i p h n g trình v p h n g trình ellipic n a tu yến tín h

2 Mã số: Q T 06-04

C hủ trì đề

3 tài: PG S TS H oàn g Quốc T oàn

C hủ n h iệm Bộ m ôn Giải tích, K hoa T ốn-C ơ- T in học,

Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia H Nội

4 T h n h p h ầ n th a m gia: (a) T hS Dư Đức T h ắ n g (b) NCS Đ ặng A nh T u ấ n

(c) T hS T rail T ấ t Đ a t (d) CN Ngô Quốc A n h

(e) T hS Nguyễn T h ế V in h (f) HVCH T rịn h T hị H ằ n g

(g) HVCH Nguyễn T h n h C h u n g Mục tiêu nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu sựu tồ n tại, tín h n h ấ t khơng n h ấ t (tính đ a nghiệm ) to án biên hệ elliptic khơng tu y ến tín h m iền bị c h ặ n /k h ô n g bị chặn MA với biên trơn

6 Các k ế t đ t được:

(a) 04 b o c o k h o a học việc áp dụng phươ ng p h p giải tích phi tu y ến vào phươ ng trình đạo hàm riêng khơng tu y ến tính bao gồm : phư ng p h p biến phân, phương p h p to án tử đơn điệu, b ấ t đẳng th ứ c biến p h ân lý th u y ế t bậc án h xạ

(b) H oàn th n h 04 b i b o khoa học

(c) Đào tạo 02 T h c sỹ khoa học, đ ã bào vệ Luận văn 10/2006 K inh phí:

K inh p h í cho đề tài 20.000.000đ chẵn, chi th eo d ự trù ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHGTVTHN ĐHXDHN

Xác n h ận B an CN K hoa

f U u X i ^ n

-Xác n h ậ n T rư ng HIỄU T RU Ỏ M G

C hủ trì đề tài

5".ThM )L Jiiri, '1 : ' c 'L-; u^áỉ

PGS TS H oàn g Quốc T oàn

TÓM T Ắ T BÁO CÁO BẰNG T IẾN G ANH

1 Subject title: B o u n d a ry valu e problem s for system o f sem ilinear elliptic eq u ation s

2 N um erical code: Q T 06-04

3 Coordinate: Ass P rof Dr H oàng Quốc T oàn

D e p artm e n t of Analysis, F aculty of M athem atics, M e­ chanics an d Inform atics,

U niversity of Science N atural, V ietnam N ational U niver­ sity, Hanoi

4 List of particip an ts: (a) Dư Đức T h ắ n g (b) Đặng A nh T u ấ n

(c) T rầ n T ấ t Đ t (d) Ngô Quốc A n h

(e) Nguyễn T h ế V in h (f) T rịn h T hị H ằ n g

(g) N guyễn T h n h C h u n g A bstract of th e content:

T h e aim of th e subject is to study th e existence an d m ultiplicity of solutions to b o u n d ary value problem s for a system of nonlinear ellip­ tic equ atio n in a bounded or unbounded dom ain in R'v w ith sm ooth boundary

6 Scientific results:

(a) 04 scien tific n otices on th e application of th e m eth o d of nonlinear

analysis to p a rtia l differen tial equations

(b) 04 scien tific articles done.

(c) T raining: 02 M a s te r s g rad u ated in Oct., 2006 Fund:

T he to tal fund is 20.000.000V N D

ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHKHTN ĐHGTVTHN ĐHXDHN

N Ộ I DUNG CHÍNH CỦA BÁO CÁO

I Lời giớ i thiệu.

Giai tích phi tu y ến m ộ t lĩnh vực nghiên cứu rộng, v ề m ộ t phươ ng diện đó, đ ặ t to án th ự c tế so với giải tích tu y ến tính, việc giải q u y ết to án n h khó k h ăn phức tạ p

Việc ứng dụng giải tích phi tu y ến để nghiên cứu phươ ng trình đạo hàm riêng thư ng th ô n g q u a phươ ng p h p sau đ ây

- Phương p h p to n tử đơn điệu

- Phương p h p p dụng đ ịnh lý điểm b ấ t động - Phương p h p p dụng lý th u y ế t bậc Leray-Schauder - Phương p h p b iế n phân-nguyên lý m inim ax

Mỗi m ột phương p h p cị đặc điểm riêng m ta có th ể lựa chọn đê sử dụng m ộ t cách tố t n h ấ t cho từ ng toán cụ thê Sự p h t triển m ạnh mẽ giải tích h àm phi tuyến tô pô đ ã cung cấp th êm công cụ hữu hiệu đê n g hiên cứu ngành to án học liên quan m cổ phương trìn h đạo h àm riêng khơng tuyến tính

Trước h ế t ta th ấ y rằn g phương trình hệ phươ ng trình đạo hàm riêng khơng tu y ến tín h với toán biên nổ th ng cò x u ấ t xứ từ nhũng to án th ự c tế V ật lý, Cơ học,., đò phải kê đ ến phương trinh nôi tiế n g n h phươ ng trình M onge-A m père, H am ilton-Jacobi, hệ phương trìn h Navier-Stokes, Những to án n h n h ấ t th iế t phải có nghiệm V ấn đề đ ặ t n ghiệm chúng p h ải hiểu th eo m ộ t n g h ĩa đò cho vừ a p h ù h ợ p với ý n g h ĩa th ự c tiễ n vừ a phải ch ặt chẽ m ặ t toán học

Nghiên cứu đ ịn h tín h lý th u y ế t phương trình đạo h àm riêng tậ p trung vào ba vấn đề là: tồ n tại, tín h n h ấ t tín h trơ n nghiệm to án biên với m ộ t lớp to án phươ ng trìn h đạo h àm riêng dị

Hướng nghiên cứu chúng tơi là: x é t tồ n tại, tín h đ a nghiệm to án biên D irichlet hệ elliptic n a tu y ến tín h

(1)

trong đổ n m ộ t m iền bị chặn hay khống bị chặn (N > 2) với biên trơ n d ũ T rong m ộ t số trường hợp ta có th ể m rộng to án cho phương trìn h elliptic cấp nử a tuyến tín h dạng tổng q uát Đây m ột hướng nghiên cứu đ an g p h t triển m ạnh mẽ th ế giới

v ề quan điểm phươ ng p h p biến phân, lóp hệ elliptic n a tuyến tính có th ê ch ia th n h hai loại: hệ biến p h ân hệ phi b iến phân T a hệ (1) biến p h â n m ộ t hai điều kiện sau đ ây th o ả m ãn

(i) T n h àm th ự c k h ả vi F ( x , u , v), (x, l i , v) G X R X R cho

T rong trư ng h ợ p hệ (1) gọi hệ gradient

(ii) T n hàm th ự c k h ả vi H ( x , u , v ) , (x , u , v ) e H x R x R cho

Đối với m ộ t hệ biến p h ân ta có th ể sử dụng kỹ th u ậ t biến p h ân để xây dựng m ộ t p h iếm h àm xác đ ịnh m ột khơng gian B anach V đó, gọi p h iếm h àm liên kết, cho hệ đ ã cho hệ phương trin h Euler-Lagrange p h iếm hàm liên kết Khi tồ n nghiệm toán đ a tồ n điểm tới hạn phiếm h àm liên kết C hảng hạn

(i) hệ grad ien t, p h iếm hàm liên k ế t với (1) cổ dạng

Các h àm F H giả th iế t cho p h iếm h àm Ỹ k h ả vi liên tục

F rech et không g ian //q (Q) X Hị (Q).

Nói chung khơng có m ộ t quy tắc tổng q u t việc th n h lập p h iếm h àm liên k ế t với m ộ t hệ b iến p h ân cho trước M ột tro n g kỹ th u ậ t

o f 1 o Q ‘

ơu ơv

ÕH T ~ = g ơu

T rong trư ng hợ p hệ (1) gọi hệ H am iltonian

(ii) hệ H am ilto n ian , p h iếm hàm liên k ết với (1) có dạng Ụ u Ụ v d x — Ị H ( x , u , v ) d x

n n

biến p h â n p dụng nhiều sử dụng đ ịnh lý ”q u a n ú i” A

A m brosetti p R abinow itz (xem J F u n d Anal 14 (1973), 349 - 381.)

K ết q u ả đ an g p h t triển thời gian g ần Ngồi cơng trinh A m brosetti R abinow itz, nhũng người kh ác có cơng lớn nghiên cứu hệ b iến p h â n m ta có th ể kể tên đ ây là: L Nirenberg, D G de Figueiredo, L Boccardo, E M itidieri, J Pucci, J Serrin,

Hệ phươ ng trìn h elliptic khơng biến p h ân th ì gọi hệ phi biến phân Nghiên cứu hệ phi b iến p h ân người ta có th ê áp dụng phương p h áp khác n h a u n h đ ã kể Những người có cơng lớn việc nghiên cứu hệ phi b iến p h â n n h là: L Nirenberg, H A m ann,

Nhằm m ục đích góp p h ầ n nghiên cứu định tính phương trình hệ phương trình đạo h àm riêng, đề tài nghiên cứu áp dụng phương p h p khác n h a u đê nghiên cứu tồ n nghiệm to án biên m ộ t số lớp hệ elliptic nử a tuyến tính với p h ầ n tốn tử — A (hay —A p) m iền bị chặn không bị chặn của

Đề tài nghiên cứu b ắ t đ ầ u từ năm trước với th a m gia sinh viên, học viên cao học cán trẻ Bộ m ơn G iải tích, K hoa T oán-C ơ-T in học Nhiều báo cáo khoa học trinh bày phươ ng p h p giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình đạo h àm riêng khơng tu y ến tín h th ê dạng chuyên đề n h ằm tra n g bị kiến th ứ c sở M ột số k ế t nghiên cứu hoàn th n h giai đoạn từ n ăm 2005 đ ến báo cáo hội th ảo khoa học, hội nghị khoa học n h â n kỷ niệm 50 năm th n h lập K hoa T oán-C ơ-T in học, trư n g Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội công b ố /đ ã gửi đ ăn g tạp chí chuyên n gành ngồi nước T rong số cổ k ế t nghiên cứu đ án g khích lệ sinh viên học viên cao học, chẳng hạn k ế t nghiên cứu CN Ngô Quốc A nh đ ã đ ăn g Electron J Diff Eqns., 129 (2005), 1-11.

Nội dung đề tài nghiên cứu th ể q u a 04 báo cáo khoa học k ế t q u ả n ghiên cứu

II C ác b o cáo k h oa học v ề ứng dụng giải tích phi tu yến o p h n g trình đạo h àm riên g k g tuyến tính.

1 P h n g p h áp b iến phân m ột số áp dụng v o p h n g trình đạo

h m riêng k h ơn g tu yến tín h Người th ự c hiện: H oàng Quốc Tồn

T rìn h b ày m ộ t số vấn đề n h ấ t phươ ng p h p b iến p h â n ứng dụng nó, bao gồm :

(a) Bài to án cực tiểu p h iếm hàm : phương p h p trự c tiế p phép tín h biến phân: điều kiện coercive tính n a liên tục yếu (b) P hư ng p h p n h â n tử Lagrange, phương p h p nghiệm nghiệm

dưới

(c) Lý th u y ế t điểm tới hạn: điều kiện Palais-Sm ale, đ ịn h lý q u a núi,

2 M ộ t số b ấ t đẩng th ứ c b iến phân ứng dụng Người thực hiện:

Nguyễn T h ế V inh

T rinh bày m ộ t số b ấ t đẳng thứ c biến p h ân cổ điển F Browder, p H artm an , J Lions, G Stam pacchia, ứng dụng nị giải tích chung phươ ng trinh đạo hàm riêng nòi riêng

3 P h a n g pháp to n tử đ an điêu Người thực hiện: Trần Tất Đạt.

T rinh bày phươ ng p h p tốn tử đơn điệu R N, khơng gian H ilbert thực, không gian H ilbert thự c tách được, không gian B anach p h ả n xạ với ứng dụng nổ m ột vài lớp phương trinh đạo h àm riêng elliptic phi tuyến

4 L ý t h u y ế t b ậ c B ro u w e r Người thực hiện: Đặng A nh T uấn

X ây dựng bậc án h xạ thuộc lớp C ‘(Q, K'1), 2(r2,Mn), C (Q ,M n) từ đ a tín h c h ấ t bậc ứng dụng

III Các k ết n gh iên cứu.

1 H o n g Q u ố c T o n , Về m ột hệ phuơng trình elliptic nủa tuyến tính

m iền khơng bị chặn (đã đăng Vietnam J o f M ath 33:4 (2005), 381-389.)

X ét to án D irichlet m iền khơng bị chặn f ì c K " với biên ỡ fỉ trơn

—A u + q( x) u = a u 4- Ị3v + f \ { u, v),

- A v + q{x)v = ỗu + + / 2(w, v),

Ii(x) —► 0,'i>(:r) —> |x| —> + oo

u lan = V lớn = ,

trong / i , /> th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz; q (x) £ c ° (Mn), q ( x ) —

+ 0 |.r| —» + 0 tồ n số dương qo cho q (X) >

Ợo-Với giả th iế t ấn đ ịn h lên hệ số Q', ị3, ô, chứng chúng

m in h tồ n n ghiệm tốn khơng gian Sobolev có trọng K °(Q) x ây dựng th ích hợp

P hư ng p h p nghiên cứu: đ a việc chứng m inh tồ n nghiệm to án việc chứng m inh tồ n điểm b ấ t động to án tử không gian B anach Vq{ũ)

2 IIoÀNG Qu ố c To n và Ngô Quố c An h, S ự tồn nghiệm dương m ột

hệ phương trìn h elliptic nưa tuyến tính m iền khơng bị chặn (đã gửi đăng)

Bằng k ế t h ợ p phươ ng p h áp nghiệm nghiệm đ ịnh lý diêm b ấ t động Schauder, đ ã đ a điều kiện đê cho tồ n nghiệm dương tốn m iền khơng bị chặn £7 c R n với biên ÔQ trơ n sau đ ây

3 Trịnh Thị M in h h ằ n g v H o n g Q u ố c T o n , S ự khơng tồn tín h đa

nghiệm duơng tốn biên elliptic tụa tuyến tín h m iền bị chặn.

T rong m iền bị chặn Í2 c với biên ƠÍ2 trơ n ta x ét toán

G iả th iế t tồ n h àm G ( x , u , v ) , ( x , u , v ) € X t X R cho

d c l \ d G l t ^

— ự , u , v ) = ỉ { x , u , v ) , — { x , u , v ) = g { x ì u , v )

Sử dụng phư ng p h p biến phân, toán x ét đ a x ét tồ n điêni tới hạn p h iếm hàm liên k ết

—A u + q( x) u = QM + Ị3v + f ( u , v), — A v + q( x) v = ỗu + 'yv + g(u), < u (x) > 0, V (X) > w ith X € n ,

u( x) —» 0 ,v(t) —> k h i |x| —> +CX)

|an = V ịdíì = 0,

(3)

— A pU + \u\v~2 u — Q, —A qU + \u\q~2 u — Q, |V u |p-2 ^ = A / (x, u , v ) d ũ , \V u \q~2 ~ = \ g ( x , u , v ) dQ,

p - du _ di> q—2 dv _

(4)

|Vm|p + |u |p |V |9

+

với ( u , v )

e

W l'P(Q) X W l'P(Q).

Với giả th iế t th ích hợ p đ ặ t lên h àm / g đ ã chứng m in h

(a) T n số À > cho với A < A th ì to án x ét khơng có nghiệm dương

(b) T n số À > cho với A > A th ì to án x ét có n h ấ t n ghiệm dương

K ết q u ả nghiên cứu đ ã báo cáo Hội nghị K hoa học n h ân kỷ niệm 50 n ăm trư n g Đại học Tổng hợp Hà Nội gửi đăng

4 Ng u y ễ n Th n h Ch u n g v Ho n g Quốc To n, T ín h đa nghiệm tốn

D ỉrỉchlet khơng th v ề n hệ elliptic nửa tuyến tính.

T rong m iền bị chặn Q c M.N (N > 3) với biên <9f2 trơ n ta x ét tốn

trong < a (x) ,

b

(x) G

c

(Q );

h\

(x) , Ỉi2 (x) G

c

(ỠÍ2); A th a m số

dương

G ià sử T \ { x ) , T2{ x ) nghiệm n h ấ t to án D irichlet

Khi to án đ an g x ét đ a to án biên D irichlet với điều kiện biên th u ầ n n h ấ t sau

— A u + a ( x ) u — X f ( u , V) fỉ, — A v + P( x ) v = \ g ( u , v ) Q, u = h\ <9Í7,

V = h,2 trên Ờ Q ,

(5)

— A ri(x -) + a( x) Tị ( x) = n ,

Ti(x) = hi ( x) ỡfỉ, (6)

và

- A t2 {x) + ị3 (x)t2 {x) = trong Q,

T2(x) = Ji2(x) dQ.

(7)

(

—A W\ ( x) + ( x ) w i ( x ) = X f ( w + T) Q.,

- A w 2{x) + / (x)w2 {x) — Ag( w + r ) tro n g Q, (8)

Wi = = VỦ2 dQ.,

tro n g Wị = u - Tì, w = r 2, w = ( w i , w 2), T = ( t i , t 2).

s dụng phươ ng p h p b iến p h ân chuyển to án (8) sang xét tồ n điẽm tới hạn phiếm hàm liên k ế t

'J'a.t(w) = i J ( |V w |2 + a (x) |w i|2 4- P{ x ) |u>2|2) d x - X Ị F ( w + T ) d x

n íì

trong F G

c

(IR2) th o ả m ãn

ÕF d F , ,

— (u ,v ) = f { u , v ) , ^ - ( u u ) = 9 \ u , v )

Với giả th iế t thích hợp ấn định lên h àm / g chứng m inh với r = | | t | | Zp ^ xLp(q) đủ bé, tồ n khoảng (A,A) cho với m ọi A € (A, Ă) toán đ ã cho có n h ấ t nghiệm không

tầ m th ng HẶ ( ũ) X Hị (fĩ), ỏf < A < A.

K ết nghiên cứu đ ã báo cáo Hội nghị K hoa học n h ân kỷ niệm 50 năm trư ng Đại học Tông hợp H Nội gửi đăng

i P h n g trìn h đạo h àm riên g

M ục lục

* •

Lời nói đầu iii

Chương Phương pháp biến phân số áp dụng vào phương trình vi phản

đạo hàm riêng khơng tuyến tính

1.1 Một vài vấn đề bổ sung kiến t h ứ c

1.1.1 Không gian Sobolev định lý n h ú n g

1.1.2 Tính khả vi phiếm h m

1.1.3 Một số ước lượng phương trình elliptic cấp hai 11

1.2 Cực tiểu phiếm hàm Phương pháp trực tiếp phép tính biến p h â n 14

1.2.1 Điều kiện (coercive) tính nửa liên tục d i 14

1.2.2 Phương pháp nhân từ L a g n g e 18

1.2.3 Phương pháp nghiệm yếu, nghiệm y ế u 26

1.3 Một số định lý lý thuyết điểm tới hạn ứng dụng vào phương trình elliptic nửa tuyến tính Rn 30

1.3.1 Điều kiện Palais-Smale tồn điểm tới hạn 30

1.3.2 Ư ng dụng định lý qua núi vào toán biên phương trình elliptic nửa tuyến tính 48

Chương Một sỏ bất đẳng thức biến phàn ứng dụng 63 2.1 Mở đ ầ u 63

2.2 Sự tồn n g h iệ m 64

2.3 Bất đẳng thức biến phân cho toán tử đơn điệu 66

2.4 Toán tử N o n c o erc iv e 70

2.5 Một số ứng dụng 75

2.6 Phụ lục: Định lý Lax-Milgram phi t u y ế n 79

Chương Phương pháp toán tử đơn điệu 82 3.1 Giới thiệu chung 82

3.2 Bài toán xuất p h t 82

3.3 Toán tử Kn 83

3.4 Tốn tử khơng gian Hilbert t h ự c 85

3.5 Toán tử không gian Hilbert thực tách đ ợ c 89

ịị _ M ục lụ c

3.6 Toán tử không gian Banach phản x 97

3.7 Một số nhận xét đánh g i 100

Chương Lý thuyết bậc Brouwer (hữu hạn chiều) 102 4.1 Xây dựng bậc ánh xạ liên tục .102

4.1.1 Xây dựng bậc ánh xạ thuộc lớp R n) 103

4.1.2 Xây dựng bậc ánh xạ thuộc lớp C 2( f ỉ ; R " ) 105

4.1.3 Xây dựng bậc ánh xạ thuộc lớp C(ù] R n) 106

4.2 Một số tính chất b ậ c 109

4.3 Các ứng dụng lý thuyết bậc 113

4.3.1 Định lý Brower điểm bất động số dạng tương đương n ó 114

4.3.2 Định lý Borsuk ứng dụng n ó 117

k.' lua*

in P h n g trìn h đạo h àm r iê n g

T \ • / • J.V

L ời nói đ a u

Trong niên khố 2005-2006 Seminar sâu vào phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân khơng tuyến tính Đồng thời với nhiều báo cáo chuyên đề cung cấp kiến thức phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng nó, cán tham gia Seminar báo cáo kết nghiên cứu Chúng tơi nhận thấy Seminar đ ã có ích thực cho cán vào nghề học viên cao học

Có th ể nói hăng hái nhiệt tình tham gia Seminar nhiều cán trẻ mơn giải tích làm sơi động khơng khí học tập nghiên cứu Bộ môn Một số cán tuổi đời, tuổi nghề cịn trẻ có kết nghiên cứu, báo đăng tạp chí tốn học ngồi nước Đó “ thành tựu” bước đầu mà Seminar làm

Năm 2004-2005 in tập giảng ứng dụng giải tích hàm vào phương trình vi phân đạo hàm riêng Năm tập giới thiệu ứng dụng giải tích phi tuyến vào việc nghiên cứu tốn biên phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng tuyến tính

Chương Phó Giáo sư Tiến sĩ Hoàng Quốc Toàn viết Chương Thạc sĩ Nguyễn T hế Vinh viết

Chương Thạc sĩ T rần T ất Đạt viết

Chương NCS-Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn viết

Vì lý hay lý khác, tập Seminar chúng tơi khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi hiệu đính lại, hy vọng trước h ết hữu ích cho vào nghề có quan tâm đến việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng

1 P h n g tr ìn h đạo h àm riê n g

C h n g

P h n g p h p b iến phân v m ô t số áp dung

v o p h n g trìn h v i ph ân đao h m riên g

k h n g tu y ến tín h

Việc ứng dụng giải tích phi tuyến nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thơng qua phương pháp sau

- Phương pháp đơn điệu

- Phương pháp áp dụng định lý điểm bất động - Phương pháp áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder - Phương pháp biến phân-nguyên lý minimax

Sau ta trình bày áp dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính

Đê’ hiểu rõ vấn đề đặt trước hết ta nói m ột cách ngắn gọn nội dung phương pháp biến phân phương trình đạo hàm riêng

Nghiên cứu định tính cùa lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tập trung vào ba vấn đề là: tồn tại, tính tính trơn nghiệm toán biên với m ột lớp phương trình đạo hàm riêng

Đê’ nghiên cứu tốn biên nói người ta có thê xây dựng m ột phiếm hàm lượng liên kết dạng

trong X m ột khơng gian Banach J m ột phiếm hàm khả vi Frechet hay có đạo hàm yếu (đạo hàm Gateaux) cho nghiệm phương trinh Euler-Lagrange J

n

DJ(u) — 0

2 Chương P hư ơng p háp b iế n p h â n v m ộ t sô áp d ụ n g Như vậy, việc nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng có th ế đưa việc nghiên cứu m ột phương trình phiếm hàm dạng

K (u) = 0, u e X

trong K(u) nói chung phi tuyến.

Rõ ràng tính khả vi Frechet phiếm hàm J phụ thuộc vào dáng điệu hàm F (X, u, Vu, v 2ti , ).

Giả sử u0 G X điểm cực tiểu tương đối J J € C l (X) u0 phải thoả mãn điều kiện DJ(uo) = Do đổ u0 nghiệm tốn biên xét.

Nếu J khơng khả vi liên tục Frechet tồn đạo hàm theo nghĩa yếu trong X th ì u0 thoả m ãn phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu

(■v , D J ( u 0)) = 0, Vt; £ X.

Như vậy, dù J khả vi liên tục Frechet hay có đạo hàm theo nghĩa yếu điểm cực tiêu tương đối u0 nghiệm suy rộng toán biên liên kết.

Từ đổ ta thấy việc nghiên cứu tồn nghiệm toán biên dẫn đến việc tìm điểm tới hạn phiếm hàm J, tức điểm u e X mà DJ{u) = 0, ngồi điêm cực tiẽu địa phương cổ điểm tới hạn khác nói chung điểm yên ngựa

Một tiêu chuẩn tồn điểm tới hạn đề cao ’’định lý qua núi”

Năm 1950, Courant đưa định lý qua núi không gian hữu hạn chiều Năm 1973, Ambrosetti Rabinowitz chứng minh định lý qua núi phiếm hàm J C l (X) không gian Banach vô hạn chiều.

Định lý qua núi góp phần quan trọng việc áp dụng giải tích phi tuyến nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Như vậy, ý tưởng phương pháp biến phân phương trình đạo hàm riêng là: để chứng m inh tồn nghiệm toán biên ta có thê sừ dụng phương pháp lý thuyết tối ưu đê tìm điểm cực tiêu (hoặc diêm tới hạn) phiếm hàm lượng liên kết với

1.1

M ộ t v i v ấ n đê bổ sung kiến th ứ c

1.1.1

K h ôn g g ia n Sobolev đinh lý nhúng

1 K h ô n g g ia n S o b o le v Giả sử Sì miền (mở liên thông) Rn,

u G Ljoc (fỉ), a = («1 , í*2, Q n) đa số cấp jorj = 53 ói, D au la đạo hàm theo

3 Chương Phư ơng pháp b iến p h â n v m ột sõ áp d ụ n g nghĩa suy rộng u xác định theo công thức

(Dau, tp) = ( - ) H I u.Da<p , e Co00 ( í ì)

n

T a nòi Dữu € ’ (fỉ) tồn hàm ga £ (Q) cho

((p, Dau) = (Ịfi,ga) = ( - l ) |a|

J

ga ự).dxy^ e C£° ( Q)

n

Khi ta đồng D au với ga e (Í2) Với k £ No, ^ p ^ +oo ta xác định w k'p (íĩ) = { u e (ữ) : Dau e ( íì) , Va : H ^ k)

với chuẩn

= Ỵ \\DQu\\pLP , ^ p < +oo

|a|$ fc

IM IW - = ma*llỠQwll£,+o° •

|q|^ k

T a ý phép đạo hàm hàm suy rộng liên tục theo nghĩa hội tụ yếu trong L}oc (ũ) Nhiều tính chất khơng gian (Q.) không gian W k'P (n).

Định lý 1.1 Với k G No, ^ p ^ +oo, w k'p (Í2) khơng gian Banach Khơng gian w k'p (fỉ) không gian phản xạ < p < +oo Hơn nữa, w k'2 (Í2) khơng gian Hilbert với tích vô hướng

( u, v) Wk,2 = ^ ị D au Dav.dx

fch

Với ^ p < +oo, w k'p (f2) không gian tách được.

Định lý 1.2 Với k G No, ^ p < +oo, không gian w k'p (Q) n c°° (fỉ) trù mật trong w k'p (íỉ)

BỔ sung w k'p (fỉ) nC °° (fỉ) w k'p (ũ) ký hiệu H k’p (Q) Đặc biệt

khi p = ký hiệu H k'2 (Í2) sử dụng thơng thường Wq'p (Q) bao đóng

của C£°(Q) w k'p (ft) Hq2 (í ì) bao đóng cỏ° (Í2) Hq2 (í ì) Đối

ngẫu.của H k'2 (ữ) ký hiệu H ~k (í)).

2 K h n g g ia n H o ld e r Giả sử rỉ c R" Hàm u : Q —» R gọi liên tục theo Holder với số mũ ị3 > nếu

Ịu]<« SUp < +00

*/»* F - 2/1

4 C hương P h ơn g pháp b iế n p h ả n m ộ t số áp d ụ n g

Với 771 € N0, < ^ 1, ta ký hiệu

c m’0 (Cl) = {u £ c m (fỉ) : Dau liên tục theo Holder với số mũ Ị3 > với Ịa| = m} Nếu ũ compắc tương đối c m,/3 (íì) không giam Banach với chuẩn

IM

Ic~> = £

+ E

[

0

"

4

S)-ỊaỊ^m |aỊ=m

Chú ý với < (3 ^ 1, tập hợp hàm trơn khơng trù m ật c m,/3 (íi) Ký hiệu Cm'° (ũ) = c m (fỉ).

3 Đ ịn h lý n h ú n g Già sử X Y không gian Banach Ta nói X nhúng liên tục Y ký hiệu

X — Y

nếu tồn ánh xạ tuyến tính i : X —* Y cho tồn số c > thỏa mãn

||i(z)||y ịgslM lx - V x e x

Khi ta đồng X với khơng gian i ( X) c Y X gọi nhúng compắc vào Y ánh xạ i biến tập bị chặn X thành tập compắc tương đối trong Y Ta có định lý quan trọng sau đây.

Định lý 1.3 Cho Í2 c R" có độ đo Lebesgue c n(fì) < +oo, ^ p ^ q < +oo Khi dó ư (íĩ) c (í)).

Nếu £ ” (Í2) = +oo nói chung định lý khơng đúng.

Định lý 1.4 Giả sử Q miền compắc tương đối R" m ẽ N0, ^ a < ị3 ^ Khi dó

cm'p (Ũ)

cm'° (ũ)

là compắc.

Định lý 1.5 (Định lý nhúng Sobolev) Giả sửQ, c K " miền bị chặn với biên Lipschitz, k € N, ^ p ^ +oo Khi đó

i) Nếu kp < n, ^ q ^ thi ta có

5 C hương P h ơn g p háp b iế n p h â n v m ộ t sô' áp d ụ n g ii) Nếu ^ TTI < k — < + 1, 0p ^ Q ^ k — m — - ta cóp

wk'p (ũ)

cm'a (Ũ)

và phép nhúng compắc a < k — m —

Tính compắc phép nhúng w k'p (fỉ) ‘—> Lq (Q) hệ đinh lý Rellich-

Kondrakov Định lý nhúng Sobolev với không gian Wq'p (Q)

miền £} bị chặn.

Định lý 1.6 (Định lý trù mật) Giả sử ũ c R n miền bị chặn thuộc lớp c 1, k € N và 1 ^ p < +oo Khi c°° (H) trù mật w k’p (rĩ).

4 Bất đẳng thức Poincaré Giả sử miền bị chặn Rn, d đường kính của Í7, u G H ị'2 (Í7) Khi đó

Định lý 1.7 Cho Q c R" miền bị chặn thuộc lóp c \ tồn số c = c(ũ)

cho với u €E Hq (Í2) ta có

1.1.2

T ín h k h ả v i củ a p h iếm hàm

1 Đạo hàm Frechet Cho V không gian Banach, / là phiếm hàm xác định trên V T a nói phiếm hàm / khả vi Frechet điêm u e V tồn ánh xạ tuyến tính bị chặn, ký hiệu f ( u ) € V* gọi đạo hàm Frechet / tại u cho

Nếu ánh x u - + f { u ) liên tục ta nói phiếm hàm / thuộc lớp C l {V) Chuẩn của f { u ) xác định

Giả sử / phiếm hàm khả vi Frechet không gian Banach V , V* đối ngâu Ký hiệu (,) phép tốn đối ngẫu Như

II/' (u)|| - sup {!/' (u) {h)\ : h e V , |Ị/iỊ| = 1}

6 C hương Phư ơng p h áp b iế n p h â n v m ột số áp dụng

và

/ ' : V V'

là đạo hàm Frechet / Khi với h E V ta có

f ' ( u) ( h) = ự ( u ) , h ) , V u e v :

Giả sử V e V Đạo hàm theo hướng V / u e V (hay đạo hàm Gateaux)

được xác định sau

Điểm u e V thỏa mãn phương trình /'( tí) = gọi điểm tới hạn, ngược lại

nếu /'( li) 7^ u gọi điểm (hay điêm quy) / số p € R

được gọi giá trị tới hạn / tồn điểm tới hạn u € V cho /(li) = /3, f' (u) = Giả sử M tập V Điểm Uo e M điểm cực

tiẽu tuyệt đối / M f(v) > f ( u 0) với V e M Điểm u0 E M điểm

cực tiểu tương đối / M tồn lân cận

w

của UQ V cho

f i v ) ^ ĩ ( u0) với V e M n w Hơn nữa, trường hợp / khả vi, ta nói

đến tồn điểm yên ngựa (saddle point), tức điểm tới hạn u /

cho lân cận

w

của u V chứa điểm V\ , v2 e V n

w

sao cho

Trong hệ vật lý, điểm yên ngựa xuất trạng thái cân khơng bền vững

2 Tính khả vi của phiếm hàm tích phân Đê’ đơn giản, ta ký hiệu H l'2 (fỉ),

Hq2 (fì) H l (Í2) Hị (ft) Cho Q miền R” Ta xét phiếm hàm

dạng

trong F : í] X R X R" -» R Rõ ràng tính khả vi / H (ũ) phụ thuộc

vào dáng điệu F T a có định lý sau đây.

Định lý 1.8 Giả sử hàm F : n X R X K" - > R íà hàm đo theo X, khả vi liền tục

theo u e M p G K” Kỷ hiệu

{u + ev) u=0 = ( / ' (m) , v ) = f (u) (V)

ĩ ( Vl ) < f { u ) < f ( v 2).

r n

7 Chương P hư ơng p háp b iế n p h â n v m ột sỏ' áp d ụ n g

2 |FU ( x, u, p)I ^ c (l + |ii|82 + |p|Í2) với t2 < n ^ s2 ^ t2 ^ — nếú

n >

5 |F p(x,u,p)| ^ c ( l + |w|S3 + |p|) s3 ^ ^ n >

Khi phiếm hàm f(u), u (E H l {Vt) thuộc lớp c 1( H1) Hơn nữa, f ' ( u ) xác định công thức

( f (u) ,v) = Ị (Fu (x,u, Vu) V + Fp (x, u, Vu) Vu) dx , Vu e / í (fỉ)

n

Chẳng hạn phiếm hàm sau thỏa mãn định lý a) / (tí) = f |it|p dx với p ^ -^2 72 >

a

b) V ( u ) = ị f I VuỊ2 dx (tích phân Dirichlet).

n

Định lý dựa kết quà Krasnoleski Đê’ đơn giàn ta phát biểu kết hàm

g : Q X R m —> R

Đê’ đàm bào tính đo hàm g(x, u) với u ta giả th iết g(x, u) hàm Carathéodory, tức g hàm đo theo X G n liên tục theo u e Rm.

Định lý 1.9 Giả thiết g : íì X Rm —> R hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện tăng |g (x, w)| ^ c (1 + |u|5) với s > 1.

Khi tốn tủ g (X, u) liên tục từ Lsp (íì) vào (ft) với ^ p < +oo

Chú ý thẽm điều kiện tăng định lý trước đòi hỏi cấu trúc đặc

biệt Một cách tông quát ta có thê già thiết hàm F thỏa mãn điêu kiện

tăng sau

Fl) \p\2 ^ F ( x , u , p ) ^ c ( \ u \ ) ( l + \p\2) F2) Fu ( x , u , p K c ( M ) ( + M 2) F3) Fp (x, u,p) ^ c ( H ) ( l + |p|). v i X £ ũ , u £ R , p K n

Với giả th iế t vậy, nói chung phiếm hàm f ( u) không th ể khà vi

Frechet H 1'2 (Í2) Tuy nhiên, cực tiẽu (trong Hq (ỉì) chẳng hạn) tồn

8 Chương P hư ơng pháp b iế n p h â n v m ộ t sô' áp d ụ n g Định lý 1.10 Giả sử phiếm hàm ỉ xác định F hàm Carathéodory thuộc lớp c theo u p thỏa mãn điều kiện tăng tự nhiên FI)-F3) Khi đó, nếu u, </? e H ì’2 (Í2) n L°° (rỉ), đạo hàm theo hướng ip f u tồn xác định bởi công thức

■J-J (u + Et p) |£=0 = í (Fu (X, u , Vu) if + Fp (X, u , Vu) Vyj) dx

n

Hơn nữa, điểm cực tiểu u G H 1’2

(Í2)

n L°°

(rì)

của f F thỏa mãn điêu

kiện Fỉ)-F3) phương trình Euler-Lagrange thỏa mãn theo nghĩa yếu sau

ỉ

(Fu (X, u, Vu) <p + Fp (z, u, Vu) Vip) dx = 0

với ự> G H 1’2 (fì) n L°° (íí).

Chú ý giả th iế t u L°° (Í2) thường thỏa mãn tự nhiên.

Đê’ giải thích kỹ ý nghĩa định lý ta nhắc lại khái niệm biến phân cấp phiếm hàm phương trình Euler-Lagrange

3 B iế n p h â n câ*p 1, p h n g tr ì n h E u le r-L a g n g e Giả sử tập mở

bị chặn Rn với biên d ũ trơn F hàm trơn cho trước F : Í2 X R X Rn —> E.

T a gọi F hàm Lagrange Ký hiệu

Fx = (FxlìFX3, ,FXn) ,

F - Ẹ -d u'

Fp = (-^Pl Fp2 ) *-» ^Pn ) • T a xét phiếm hàm

f (u) — Ị F( x , u , Vu) dx , u € H ( Q) =: H.

Q

Giả sử uữ £ H l (fì) điểm cực tiểu địa phương phiếm hàm / Già sừ V e H l (f2) là hàm tùy ý H l (fỉ) T a xét hàm thực

I (a) = f {u0 + ov) , |a| < r

trong r > đủ bé Vì u0 điểm cực tiểu địa phương / /ío ) đạt cực tiểu a = Nếu ta ký hiệu

ĩ r t A f { u + Qv) - f { u 0)

ỖJ ( l i o , V) = l i m - , v e H

a —>0 Cu

9 C hương Phư ơng pháp b iế n p h â n m ộ t số áp d ụ ng

thì đại lượng S f (u £ H) gọi biến phân cấp phiếm hàm / tại

Uo-Như vậy, ta có điều kiện cần cực trị địa phương phiếm hàm f{u), u e H là: phiếm hàm / đạt cực tiểu địa phương điểm u0 €: H biến phân cấp 1 / u0 tồn 0, tức là

được gọi phương trình Euler-Lagrange phiếm hàm /

Vậy Uo £ Z/1 (í~2) điểm cực tiểu địa phưcmg phiếm hàm /(lí), u e H

thì u0 nghiệm phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu. Ví d ụ Nguyên lý Dirichlet

Cho F (x, z,p) = ị \p\2 \p\2 = Fp = {Fu F2, Fn), Fz = / (u) =

1 =

ị f ịV uị2 dx, f E c (H) thì

ỗ f ( u 0,v) = , Vu e H.

Giả sử / G C l (H), ta có

ự (u) ,v) = ỉ ' (0) = Ị (Fu (x, u , Vu) V + Fp (x, u , Vu) Vu) dx , \/v G (íĩ)

Ị (Fu (x, Uq, Viio) — divFj, (x, u0, Vito)) vdx = , Vu G C£° (Í2).

Định nghĩa Phương trình

Fu (X, ti, Vu) — divFp (x, u, Vu) = 0

Q

10 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n v m ộ t sơ' áp d ụ n g Phương trình Euler-Lagranger phiếm hàm /

—divV u = —Au = ũ.

Nguyên lý Dirichlet phát biểu sau: hàm u e H nghiệm tốn Dirichlet

—A u = g Í2,

trong u E H, g (E khi u phần tử làm cực tiểu phiếm hàm

năng lượng

(1.1) / < » ) - / g | V « | » - » * ) * , u e n l ị ũ )

T hật vậy, giả sử u € Hq(ũ) nghiệm toán Dirichlet Au = g n,

u e Hq(£ì) Khi đó

(1.2) í ( V u - V v - v g ) d x = Ot Vu e Hq(ũ).

Jĩi

Giả sử w € HẶ(Ũ) phần tử tuỳ ý, đặt V = w — u, tức V = w — u, V e Hị (Í7) Ta có

f ( w) - f ( u ) = f ( u + v) - f{u)

= - I (|V(u + f ) |2 — |Vu|2)dx — I (u + V — u) ■ gdx

2 Jn Jn

( Vv • V(u + V + u))dx —

f

V ■ gdx

= -

í

( V v • V(u + V + u))dx —

f

V •

2 /n 7n

= - J V v • V(2u + v)dx — Ị V ■ gdx

= - [ \Vv\2dx — I Vu • Vvdx — I V ■ gdx

2 J n Jn JQ

= - I \Vv\2dx —

Ị

(Vu • Vu — V ■ g)dx.

2 Jn Jũ

Vì (1.2) ta suy

f ( w) - f ( u) = ị í |Vy\2dx > 0, »/ n

vậy

f ( u ) ^ f ( w ) , \/w e HẶ(Q).

Vì u e Hq(£ì) ta suy ra

11 C hương P h ơn g p háp b iế n p h ả n m ột sô' áp d ụ n g Ngược lại, u điểm làm cực tiểu phiếm hàm f(u), ta suy u nghiệm phương trinh Euler - Lagrange:

Điều có nghĩa u nghiệm tốn Dirichlet — Alt = g, u €

Ví dụ Phương trình Poisson phi tuyến Cho trước hàm trơn / : R —► R nguyên hàm

của

Nếu u E Hq($ì) nghiệm yếu phương trình Euler - Lagrange áp dụng cơng thức

Green ta suy u nghiệm tốn Dirichlet.

1.1.3 M t số c lư ợ n g v ề p h n g trìn h ellip tic

cấp hai

Trong miền Í2 c Rn ta xét tốn tử vi phân elliptic tuyến tính cấp hai có dạng

(1 )

F{z) = [ f(y)dy J 0

Xét toán biên Dirichlet phương trình Poisson phi tuyến

(1 ) —A u = / ( l i ) , X e Q, c Mn, u|ỡfì = 0.

Phiếm hàm lượng liên kết với tốn Dirichlet

(1 )

và phương trình Euler - Lagrange tương ứng với

(

1

.

6

)

(A)

hoặc dạng divergence (dạng tự liên hợp)

(B)

với hệ số bị chặn atJ = ciji, 6,, c thoả mãn điều kiện elliptic n

(1 )

ij=

12 Chương P h ơn g p háp b iế n p h â n v m ột sô' áp d ụ n g

1.1.3.1 Ư c lư ợ n g Schauder

Định lý 1.11 Giả sử L toán tử elliptic cấp hai tuyến tính với hệ sơ' thuộc lớp c a giả sử u G c 2(fỉ) Giả thiết Lu = / G C“ (Í2) Khi u e C 2,a(í2), vả với tập compact íì1 c Q ta có ước lượng

0-8) ||u||C2.«(n') ^ c {IMU°°(ÍĨ) + Il/llc“(f2)} •

Hơn nữa, Ị thuộc lớp c 2'a(ũ), u c ° ( ũ) u = u0 biên dfl,

UQ e c 2,a(ũ) u G c 2,a(ĩì) thoả mãn ước lượng

( - ) I M I c 2’“ (rt) ^ c { I M U * ( f i ) + I l / I l c 2+ Q( n ) + llu o | | c Qf ỉ } ■

1.1.3.2 Lý th u y ết

Ư

Định lý 1.12 (Bất đảng thức Caldéron - Zygmund) Giả sử L toán tử elliptic dạng (A) với hệ số ãij liên tục Giả thiết u G H?oẻ{ũ) nghiệm phương trình Lu = / € LP{Q.), < p < +oo Khi với tập compact íì1 c c fì, ta có

(110) ^ c {IMIlp(íĩ) + ||/||LP(fỉ)} •

Hơn Cl thuộc lớp c 1'1 tồn hàm u0 e H 2'P(Q) cho u — u0 G HqP(ũ) thì

( 11) ||u|| ^

c

{ ||u ||i P ( n ) + ||/ỊU»>(fi) + ||u o ||tf2.p(íĩ)} ,

trong c số phụ thuộc vào L, p, n, Í2, Í2'.

1.1.3.3 T ín h đều

T a xét phương trình

- A u = g(-,u) Q c R",

trong g : n X R — > R hàm Caxathéodory, tức đo theo X, liên tục theo

U, thoả m ãn điều kiện tăng |^(x,u)| ^ C(1 + |u|p), với p ^ khi n > Khi đó

theo Định lý nhúng Sobolev Định lý 1.9 ta suy ỡ(-,ií) e // ~ l (n)

Định lý 1.13 Cho là miền IRn, g : n X R —> R hàm Carathéodory thoả

mãn điều kiện

[ợ(x,u)| ^ a(a:)(l + |u|) h.k.n Í2,

trong a(x) e L™£{Sì) Giả sử u e Hq(Q) nghiệm yếu phương trình -A lt =

g(■ u) Khi u € L qloc{ũ) với q < +oo Hơn nữa, u Hq(ũ), a € Ln/2(ũ)

13 Chương P hư ơng p háp b iế n p h ả n m ộ t sô áp d ụ n g Ap dụng Định lý 1.13 vào phương trình

- A u = <?(-,«),

trong g{x,u) ^ C( + M p_1), V ^ TT2> n - 3- Giả sủ u £ #/oc(^) nghiệm yếu

của phương trình xét, u nghiệm yếu phương trình —Au = a(x)(l + \u\),

trong a(:r) = € L ^ ( Q ) Theo định lý 1.13 ta suy ti £ L qloc(Q), với mọi

q < +oo, từ suy g(-,u) e Lqloc(Sl), v<7 < +oo.

Ap dụng bất đẳng thức Caldéron - Zygmund (Định lý 1.12), u £ với

q < oo, theo định lý nhúng Sobolev ta suy r a u Ẽ Cf£(Q), với Q < Hơn

nữa, u e HẶ(Q), d ũ e c u £ H 2'9(Q) n Hq(CI) ♦ C 1’Q(Í2) Nếu g liên tục

Holder, áp dụng lý thuyết Schauder suy u € c 2(fì) (xem [7]).

1.1.3.4 N gu yên lý cưc đai

Định lý 1.14 Gid sử L toán tử elliptic miền Q c M " dạng (A), u e c (rĩ) n C (r2) thoả mãn điều kiện

(1.12)

Lu >

trong Q, uịdíi >

0.

Hơn nữa, giả sừ tồn hàm h G C 2(Q) n c 1(fi) cho

(1.13) L h > hịdíì > 0.

Khi u > Q u = Ị3h, với Ị3 ^ 0.

Đặc biệt, L toán từ elliptic tự liên hợp dạng (B) với hệ số atj e C 1,Q(Í2),

c € thì L có hệ đầy đủ hàm riêng {<£j} HẶ{Ũ) n c 2’a(fì) với các

giá trị riêng tưomg ứng

Hơn ự>ỉ{x) khơng đổi dấu ỉì, xem > fỉ, khi

đó ta có

Áp dụng Định lý 1.14, chọn h = Khi nghiệm u £ C 2(f2) n c (ù)

của toán (1.12) dương Q đồng Bây ta xét toán từ elliptic dạng tự liên hợp (B) ký hiệu

C( u v) gọi phiếm hàm toàn phương (hay dạng toàn phương) Dirichlet Ta có nguyên lý cực đại yếu

14 C hương Phư ơng pháp b iế n p h â n m ột sõ áp d ụ n g Định lý 1.15 (Nguyên lý cực đại yếu) GiảsửC(u,u) > HẶ{Q) N ếuu G H^i ũ) là nghiệm yếu bất phương trình Lu > theo nghĩa

(1.15)

C( u, í f )

> Vv? e

Hq(Q), ự>(x) >

trong

Q,

và u > dVt, u > n.

1.2

C ực tiể u ph iếm hàm P h n g ph áp trự c tiếp

ph ép tín h b iến phân

Trong chương ta xét điều kiện phiếm hàm tích phân f (u) xác định không gian Sobolev tồn điểm cực tiểu

1.2.1 Đ iều k iên bứ c (coercive) tín h n a liên tục d i

T a xét phiếm hàm dạng tích phân

(1.16) /(li) = í F(x, u, Vu)dx, u€ H ,

J n

trong c K", H m ột khơng gian Sobolev xác định đó.

Định nghĩa 1.1 Giả sử V không gian Banach, f{u), li V phiếm hàm xác định

trên V Ta nói hàm / thoả mãn điểu kiện f(u) —► oo ||u|| —» oo, (u G V).

Bây ta giả th iết với < q < oo, hàm F ( x , z , p ) thoả mãn điều kiện: tồn số a > 0, > cho

(1.17) F(x, y,p) > a\p\q — (3, với X e Q, z e R, p e IR".

Khi từ (1.16), với u e u /1’9(fì) ta suy ra

(1.18) f ( u) > a ||V u |9 - 7, với 7 = ■ /x(íí)

Vì tb ế f ( u) —> oo ||Vii||Lí(n) —> oo Điều kiện (1.18) gọi điều kiện bức

(coercive) / (điều kiện (1.17) gọi điều kiện

hàm F).

Trước hết ta ý m ột hàm trcm / : R —> R bị chặn chưa đạt cực tiểu (ví dụ hàm / = ex) Tuy nhiên hàm liên tục / : R — > R thoả mãn điều kiện đạt cực tiêu Nhưng điều khẳng định nói chung khơng phiếm hàm tích phân ta xét Như tâ cần m ột điều kiện bõ sung cụ th ể tính nửa liên tục yếu mà ta nói đến

T a xét phiếm hàm f(u), u € W01,<?(f2) dạng (1.16) Giả sử /(ti) thoả mãn

15 C hương Phư ơng pháp b iế n p h ả n v m ộ t sô áp d ụ n g

Ký hiệu m = inf f ( u ), chọn dãy {life} c W01,<7(f2), cho

f(uk) —* 171 k h i k —* oo.

Dáy {ufc}ĩ° gọi dãy cực tiểu phiếm hàm / Vì / thoả mãn

điều kiện bức, ta suy là dãy bị chặn w 01,l?(fi) Do < q < oo, nên

W01,,?(Q) không gian phản xạ, đối ngẫu w _1'p(fỉ), với ị + - = 1, cho

nên từ dãy có th ể trích dãy {uk } hội tụ yếu w 01,9(íì): Uk} -*■ u

trong Tuy nhiên, ta khẳng định

f ( u ) = lim f ( u k ), ] —* oo

do khơng th ể suy u điểm cực tiểu, tức không th ể suy /(?f) = m Như phiếm hàm / liên tục theo hội tụ yếu /(li) = Nhưng điều kiện ấn định lẽn phiếm hàm / điều kiện mạnh, m ta nhận thấy có the thay th ế điều kiện khác yếu

Định nghĩa 1.2 Ta nói phiếm hàm /(tí), u e M/01,9(rỉ), nửa liên tục yếu với mọi dãy {ttfc}o° hội tụ yếu đến u e Wq1,,?(í2), thì

(1.19) f(u) ^ lim in ff { u k).

k—>oo

Ta thấy {Uk} dãy cực tiểu phiếm hàm / / nửa liên tục yếu, tức

uk —" u Wo’9^ ) , f ( u) ^ lim in f /(u fc).

k—> oo

thì

/(u ) ^ m = inf f(u).

Vì lí € V^o’9(fì) nên /(ti) > m, từ suy /(ti) = m, tức / đạt cực tiểu Ta có điều kiện đủ sau tính nửa liên tục yếu phiếm hàm (xem [7])

Định lý 1.16 (Tính nửa liên tục yếu) Giả sử hàm Lagrange F( x, z , p) bị chặn dưới lồi theo p với X € Q Khi phiếm hàm f ( u ) nửa liên tục yếu trong

w}*(n).

16 C hương P h ơn g pháp b iến p h â n m ột sô áp d ụ n g

Định lý 1.17 Giả sử M không gian Haussdorf f : M —> R u {+00} thoả mãn

điêu kiện compact bị chặn: Với ữ ẽ K , tập hợp

(1.20)

K a = {u

€

M

:

f ( u ) ^ a}

là compact (tính chất Heine - Borel) Khi dó f bị chặn M đạt cực tiểu.

Chứng minh Chúng ta giả thiết / ^ +00 Giả sử a = infw / > —00, giả sử

{am} dãy giảm thực sự: a m ị c*0 771 —►00 Đặt K m = K Qm Theo giả thiết, I<m

là compact khác rỗng, K m D K m+], Vra Do tính compact tập K m cho nên tổn u e Pl K m thoả mãn f(u) ^ a m với m Cho qua giới hạn khi

mẼN

m —> 00, ta nhận đươe f( u) ^ ao = inf f(u) Từ suy Q0 = f{u), với u € M □

M

Chú ý phiếm hàm / : M —> R thoả mãn điều kiện (1.20) với ữ G K , tập hợp

{u G M : f(u) > m) = M \K a

là tập mở, điều đị có nghĩa / nửa liên tục Ngược lại / nửa liên tục với m ột giá trị ã £ R tập K la compact K a compact với mọi a ^ ã, từ đò khẳng định Định lý 1.17 đúng.

Trong áp dụng, ta có định lý sau trường hợp riêng Định lý 1.17 m điều kiện nổ kiểm tra dễ dàng

Định lý 1.18 Giả sử V không gian Banach phản xạ, M tập hợp dóng yếu

V Giá sử f M —> ]R u {+00} thoả mãn điều kiện nửa liên tục yếu M,

tức là

1 f ( u) —> 00 IHI —> 00, u G M.

2 với u £ M, với dãy {um} c M cho um u V , thì

f ( u ) ^ lim inf f { u m).

m—»00

Khi f ( u) bị chặn M đạt cực tiểu M

Chú ý Theo Định lý Mazur: tập đóng, lồi khơng gian Banach V đóng yếu, phiếm hàm / : V —* R xác định f (u) = IIliII phiếm hàm nửa liên tục yếu.

Chứng minh Định lý 1.18 Giả sử c*0 = inf ỉ {ù) {um} c M dãy cực tiểu M ,

tức f( um) —> ao m —► 00 Vì / thoả m ãn điều kiện bức, ị f ( u m)} dãy bị chặn,

nên {iím} dãy bị chặn V Vì V khơng gian Banach phản xạ nên tồn dãy {iífc } hội tụ yếu V, tức tồn u G V cho

Ukm —J u k —> 00

Theo giả thiết M tập đóng yếu V nên u € M Nhờ tính liên tuc yếu của / ta suy f ( u) ^ lim inf f { u krn) = a Mãt khác ta lại có a > f(u)- Từ suy

17 C hương P h ơn g p háp b iế n p h â n m ột s ố áp d ụ n g *

Ap dụng kết vào phương trình đạo hàm riêng, ta xét toán biên đối

với phương trình elliptic tựa tuyến tính (suy biến) sau

Định lý 1.19 Giả sử ĩì miền bị chặn Rn, p > 2, f e trong dó H~ ì,q(ũ)

là đối ngẫu HqP(Q) Khi tồn nghiệm yếu u £ HqP(Q) bài toán biên

( 1.21)

theo nghĩa u thoả mãn đẳng thức

—div(\\7u\p~2\7u) = / Q

u = dí}.

(1.22) Ị (|VuỊp_2VuVư - f v) dx = Vv e C0°°(fi)

n

Chứng minh Ký hiệu

/(u ) = - / |Vit|pdx —

J

f.u d x Vu G //q'p(Q)

n n

Khi / € C l {H), H = Hq P(£ì) đạo hàm theo hướng V € H / có dạng

< f ' ( u) , v >= Ị (I V u\p~2V ÙỤ V — f v) dx

n

Do u nghiệm yếu tốn xét thì

< f ( u ) , v > = V v e C ^ ( Q )

Nói xác hơn, hàm u £ HqP(SI) nghiệm yếu toán (1.21) khi

< / /( u ) ,u > = V v e C ^ ( Q )

Chú ý ràng H = HqP(ũ) không gian phản xạ Hơn phiếm hàm /(u ), u e HqP(ũ)

thoả mãn điểu kiện (coercive) Thật vậy, ta có

(1.23) f ( u) = -

I

\\7u\pdx —

J

f.udx

n n

(1.24) > -\\u\\pH - ||/||w-i.<í||u||//

(1.25) > - ( | | i C -cIM Itf)

Áp dụng bất đẳng thức Young: với i + ị = 1, a, b> 0

ab ^ eap + c(e)69, (e > 0)

ĐAi HOC QUC'C ~ TRUNG ĨẢÍ/ 'HƠNG

1A f ỉ , ■

if, ĩ», rr

18 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n v m ột số áp d ụ ng

chọn e > đủ bé cho ec < 1, ta có

c ||u ||ff ^ c(e||u ||Ị, + c(e))

Khi

/ ( « ) > — I N I Í - C

p

Từ suy tính coercive (điều kiện bức) / Để chứng minh / nửa liên tục yếu ta ý

I \ y ù fd x = IMIĨ,

íì

là nửa liên tục yếu, ta cần chứng minh Um —>■ u Hị'p(Q)

thì

J

f u mdx —>

J

fudx.

n U

Nhưng điều hiển nhiên um —1 u H0 P(Í2) / £ fì)

Áp dụng định lý 1.18 ta suy phiếm hàm / đạt cực tiểu u HqP(Q), đồng thời u

nghiệm yếu phương trình Euler-Lagrange

< f ' ( u) , v >= £ H.

Do u nghiệm yếu toán xét.

Chú ý: Với p > p —Laplacian đơn điệu mạnh theo nghĩa

J (|Vti|p-2Vu - |Vu|p-2Vi>)(Vu - Vu) > c\\u - v\\pH. Q

Từ ta suy u nghiệm yếu □

1.2.2 P h n g pháp nhân tử L agrange

1.2.2.1

B ài to n giá tri riêng phi tu yến v nhân tử L a­

gran ge

Trong mục ta xét việc ứng dụng phương pháp biến phân đế giải tốn tối ưu có ràng buộc

u

Giả sử g : R —^- K hàm liên tục Ký hiệu G(u) = f g{s)ds.

19 Chương P hư ơng p háp b iế n p h ả n m ột sô áp d ụ n g Giả th iết

(

1

.

26

)

Do (1.27)

|^(u)| ^ c(l + \u\), u e R

|G(u)| ^ c(l + |u|2), u e R

trong

c

là số dương

Xét phiếm hàm

ĩ ( u ) = n í |Vu|2da: - [ G(u)dx, u G Hq(ũ),

2 ì h íh

trong miền bị chặn Rn với biên trơn

Ký hiệu

I(u) = - Ị |Vu|2dx, u e i ỉ ỉ ( O )

n vã

(1.28) M = { u e H'0(íì) : J G(u)dx = 0}

n

Ta có định lý sau tồn cực tiểu có ràng buộc

Định lý 1.20 Giả sử tập M khác rỗng Khi tồn u e M cho I(u) = I(v).

v£M

Chứng minh Chọn dãy cực tiểu {uk}Ỹ=i c M cho I{uk) —> m = inf ỉ(v).

d€ M

Vì { /(u fc)} tập bị chặn, dãy J bị chặn Hq(Q) Khi tồn dãy

con {uk }°°! hội tụ yếu HẶ(Q) tồn u (E HẶ(ÍÌ) cho uk} —1 u HẶ(Q). Đồng thời ta có I(u) ^ m = inf I(v).

v£M

Theo định lý nhúng Sobolev, Ukj —» u L 2(ĩì). Vì

[ G(u)dx h

= 1 G(u)dx - G(uu )dx

J J

h h

20 C hương Phư ơng pháp b iế n p h â n m ột sỗ áp d ụ n g Áp dụng tính khả vi G(u), từ (1.26) ta suy ra

|G(u) - G ( u kj)\ ^ \u - ukj\\g{u + e(u - ukj))\ ^ c\u - Iifcj|(l + M + K J ) Từ

|J(u)| ^ c Ị c\u - ufcj|(l + |u| + \ukj\)dx íì

^ Ci J \ u - u k j \ d x ^ c2 ||u - MfcJ|L2(í7) - » ( j —> + o o )

n

Vậy J(u) = f G(x)dx = 0, u e M

n

Hơn nữa, I{u) ^ m = inf I(v) , ta suy I ( u) = m □

V E M

Định nghĩa 1.3 Bài toán biên Dirichlet dạng

—Au = Xg(u) ĩì,

(1.29)

u =

được gọi toán giá trị riêng phi tuyến

Giá trị tham số A cho tốn giá trị riêng có nghiệm u khác khơng trong HẶ (Í2) gọi giá trị riêng, nghiệm U=Ẻ gọi hàm riêng tương ứng với giá trị riêng A

Sự tồn hàm riêng giá trị riêng phi tuyến suy từ định lý 1.20 dịnh ]ý 1.21 sau

Định lý 1.21 (Nhản tử Lagrange) Giả sử u M phần tử làm cực tiểu phiếm hàm I(v)

ỉ ( u) = m in/(ý) = ^ \Vv\ dx.

v£M UỄẢÍ

Khi tồn sơ' thực \ cho

Ị V u.V vd* = A J g( u) vdx, Vv e Hq(Q)

n n

(giá trị X gọi nhân tử Lagrange)

Chíừig minh Cơ' định hàm V e Hị (fi) Giả sử g(u) Ỷ hầu khắp nơi Q Khi

chọn hàm w G Hq(Q) sa0 ch°

/

n

0-21 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n v m ộ t sỏ áp d ụ n g Xét hàm hai biến số

/ỉ(í,r) = J G(u + tv + rw)dx, ( í , t ) g R

íì

Khi đó: /ì(0,0 = f G(u)dx = /i(í,r) € c \ đồng thời ta có n

— (tìT) = í gịu + tv + rw).vdx

dt J

n

— (í)T) = [ g(u + tv + rw).wdx

ƠT J

n Do

1^(0,0) = j g ( u ) w d x ^

íì

Theo định lý hàm ẩn, tồn í0 > đủ bé hàm ộ : [—ío,ío] ộ(0) = 0

h(tt ộ(t)) = V t e [ - í 0,ío]. Lấy đạo hàm ta có

Từ

suy

Đặt

^(ũ,4Í(O ))+^(O ,0(O ))ự.'(O ) = O

m o i ỉ o ( u ) v d x

j//n\ di vjji ' _ _ n_

1 j § ( , ) f g ( u ) w d x ' ă

w t = t v + ( í ) i u , |<| ^ ÍQ

i ( í ) = I ( u + W t ) = ỉ

J

\ V ( u + W t ) \ d x Q

22 Chương ỉ Phư ơng pháp b iế n p h â n v m ộ t sô' áp d ụ n g Như

h(t,ộ(t)) = ỉ G(u + tv + ộ{t)wt)dx =

n

Do u + wt G M Mặt khác i(t) = I(u + wt) đạt cực tiểu í = ĩ(0) = /(li) = m in/(u) Do í'(0) = Tính i'(t) :

V € M

i'(t) = Ị (V(u + íV V + ộ ( t ) Vw) ( Vv + ộ' (t)Vw)dx

n

m = Ị (VuVu + ộ'(0 )V uV w )dx

n

J

r

Ị g(u)vdx

n

VuVư —

Từ điều kiện i'(0) = 0, ta suy

í Vu Vwd x

/

V u Vv d x = %———J — — rg(u)vdx

J g{u)wdx J

n n õ

Đặt

A =

J Vu Vwd x

n

J g(u)wdx n

Ta có điểu phải chứng minh

2 Nếu g(u) = hầu khắp nơi Q Khi ta có

G'{u) = g(u).Vu = h.k.n.

Do ri liên thông, nên G(u) sô' hầu khắp nơi Vì f G(u)dx = nên G(u) = hầu n

khắp nơi

Mặt khác ta có G(0) = e M.

Nếu u ^ hầu khắp nơi I(u) = ị f \Au\2dx > = 1(0) Điểu chứng tỏ u ũ

không phải điểm cực tiểu, trái với giả thiết Vậy u = hầu khấp nơi, trường hợp

23 Chương Phư ơng p háp b iế n p h â n m ộ t sô' áp d ụ n g

1.2.2.2 Áp dung

T a xét áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange vào phương trình elliptic nửa tuyến tính

Giả sử Q miền trơn bị chặn R n,p G (2,2*), với A e R ta xét toán Dirichlet

(1.30) —Au + Au = u.\u\p~2

(1.31) u > trong Q,

(1.32) u = trên dũ,

0 < Ai < A2 ^ A3 ^ A dãy giá trị riêng toán tử — A Hq(Q) T a

có định lý sau

Định lý 1.22 Với X > —Ai toán (J.30)-(J.32) tồn nghiệm yếu không âm theo nghĩa

Chứng minh Trước hết ta có nhận xét nghiệm yếu phương trình Euler-Lagrange phiếm hàm

trong //(Ị(fỉ) nghiệm yếu toán (1.30)-(1.32) Tuy nhiên với lí e Hq(Q) nói

chúng u Ệ ịy ì), f ( u) không bị chặn không bị chặn trong Để tìm nghiệm tốn biên xét ta đưa toán cực tiểu hoá phiếm hàm

J (ViiVu + Xuv — u\u\p 2v)dx — \fv £ C “ (Í2)

f ( u) = -

J

(|V u|2 + 2A|u|2) dx — - J \u\pdx

n

m m

f ( u) = ị j (IVu|2 + 2\\u\2) dx Vu £ H^(Q)

n

với ràng buộc

n

Ta ký hiệu

24 Chương Phư ơng pháp b iế n p h â n v m ột s ố áp d ụ n g Ta xét hạn chế phiếm hàm / M

Ta chứng minh phiếm hàm / I M thoả mãn giả thiết định lý 1.18.

Trước hết ta chứng tỏ M tập đóng yếu Hq(ũ).

Lấy dãy {Ufc} c M : Uk —*■ u Hq(SÌ) Theo định lý nhúng Sobolev Uk » u trong

Ư{SĨ),P € (2,2*) Vì J \uk\pdx = 1, qua giới hạn ta có / \u\pdx = 1, do

n n

đó

lí

G M Vậy M tập đóng yếu Chú ý rằng, vì

Từ suy / thoả mãn điểu kiện với A > -A ]

Tính nửa liên tục yếu / suy từ tính nửa liên tục yếu chuẩn

không gian Banach Theo định lý 1.18, phiếm hàm / đạt cực tiểu U tập M, nói cách

khác U là cực tiểu có điều kiện /

OTÍuêỉỉ^n) f \u\2dx n

ta ước lượng /(tí) sau: Với A >

Xi = inf

f ( u ) = ị j |V u|2áx + ^ J \u\2dx > ị j \ V u \ 2dx =

n n n

với —Aị < a < 0,

n n

1 A 2

25 C hương Phư ơng p háp b iế n p h â n m ột sõ áp d ụ n g

Chú ý f ( u ) = f(\u\) ta suy U > Nhưng u e M nên suy U Ỷ 0

Mặt khác / phiếm hàm khả vi Hq(íì), và

< f ' ( u ) , v > = Ị ( Ụ u V v + Xuv)dx Vu £ Hq(Q)

n Đặt G(u) = J \u\pdx —

n

G : Hị (Vt) -*■ R khả vi

\P~21

< ( u ) , v > = p

ị

u\u\p 2vdx, \/v € //(ỉ (ft)

n

Do với lí e M ta có

< ( u ) , u > = p I \u\pdx = p ^

Theo định lý hàm ẩn M = G *(0) đa tạp khả vi Hq(Q) Áp dụng phương

pháp nhân tử Lagrange, tồn sỏ' /i G K cho

< f'{u) — ^G '(ỵ )t v > = J (VuVi; + Xỵv — ụ.ỵ\u\p 2v)dx = 0, e Hq(Q).

n

Thay V = U, ta có

Từ suy

< f (lí) — ựG '(ỵ),u >— J (|V u|2 + A|u|2 — n\u\p)dx — 0.

n

J {|V u|2 + X\ỵ\2)dx — ịi

Ị

\ỵ\pdx = ụ,.

n n

hay 2f ( u) = /i Vì f ( u) > nên ụ > Đặt

u

=

ụiP^u.

Ta có

hay

Ị P-2 VuVi> + A/Z P - UV — ụ P~2u\u\p 2V^ dx =

n

J

( V u V v + Xuv — u\u\p~2v) dx = 0, Vv € Hq(Q)

n

Vậy u = /1P-2U > nghiệm yếu toán (1.30)-(1.32) Chứng minh xong định lý

26 Chương P h ơn g p háp b iế n p h â n v m ộ t số áp d ụ n g

Chú ý: Người ta có th ể chứng minh nghiệm u e Hq(ũ) toán

(1.30)-(1.32) thuộc CQ(ừ) n c 2(fỉ) (xem [7]).

1.2.3 P h n g pháp n gh iệm yếu, n gh iệm d i yếu

Trong mục ta xét m ột áp dụng định lý 1.21 vào tốn biên phương tình elliptic nửa tuyến tính

Giả sử Q miền trơn bị chặn Rn,<? : n X R —> R hàm Carathéodory

Giả sử uữ € hàm cho trước Ta xét toán Dirichlet

(1.33) - A u = g(-,u) Q

(1.34) U = UQ d í ì

Định nghĩa 1.4 Ta nói u E Z/1 (ri) nghiệm (yếu) toán (1.33)-(1.36) nếu

u ^ Uq dVt.

Ị V u V ộ d x — Ị g(-, u)ộdx ^ 0, V0 £ C^°(r2), ậ > ũ

n n

Tương tự ta nói u G H nghiệm (yếu) toán (1.33)-(1.36)

u > u0 dCl.

và

/ - Ị ( ; u ) ộ d l > , V0 e c ? ( n u > Tong a

h n

Từ định nghĩa ta suy UỂ nghiệm (yếu) toán (1.33)-(1.36)

khi u vừa nghiệm (yếu) vừa nghiệm (yếu) tốn

T a có định lý sau

Định lý 1.23 Giả sửĩi€z H 1^ ) nghiệm dưới, ũ G H J(n) nghiệm toán (] 3)-(l 6)

Già thiết tồn s ố c v c G t cho

—oo < c ^ ỵ ^ ũ ^ c h.k.n rỉ

Khi tồn nghiệm yếu u s H l (ũ) toán ịl ,33)-(J 36) thoả mãn điêu kiện

27 C hương Phư ơng p háp b iế n p h â n m ột số áp d ụ n g Không giảm tổng quát ta gĩả th iết u0 = Đặt G(x, u) = f g(x, s)ds:

0

Trước h ết ta ý rằng: hình thức tốn (1.33)-(1.36) phương trình Euler-Lagrange phĩếm hàm

f ( u) = 2 Ị ị Vu^dx — Ị G(x, u)dx, u G Hq(Q)

n n

Tuy nhiên giả th iết định lý chưa đủ để đảm bảo cho phiếm hàm / xác định

hoặc khả vi Hq(Q) Ta ký hiệu

M — {u e Hq(Q) : U ^ u ^ ũ h.k.n }

Vì

ỵ , ũ e L°°(Cl) do M c L°°(Q) nữa

G{x, u) ^ c h.k.n ũ với u € M.

T a ý Hq(Q) = V không gian phản xạ tập hợp M C HẶ(£l) tập

lồi đóng 7/o(fỉ) T hật vậy, tính đóng tập M hiển nhiên Đê’ thấy

M tập lồi ta lấy bất kỳ, ^ ^ xét hàm

u = ỡu + (1 — 6)ũ G Hq(ri)

Rõ ràng U ^ ũ nên

U ^ u ^ ũ Do u € M.

Vì M tập lồi đóng Hq(Q) nên theo định lý Mazur, M tập đóng yếu

trong Hq(Q.) Vì M tập bị chặn thực cho nên

f{ù) > ^ N l ị , ( n ) - c

và / thoả mãn điều kiện (tính coercive) M.

Đê tính nửa liên tục yếu / M, ta cần rằng:

um e M hội tụ yếu đến u e M Hq(Q.) thì

J G(x,um)dx

—*

J G(x,u)dx

28 C hương P hư ớng p háp b iế n p h ả n v m ột sỏ áp d ụ n g Nhưng um —*■ u nên tồn dãy Umk hội tụ hầu khắp nơi n,

nửa umk

e

M nên |G(a:,iímJ | ^

c

đều

ũ.

Áp dụng định lý Lebesgue hội tụ trội, ta suy

Từ suy

lim

J

G(x,Umk)dx = Ị G(x, u)dx

íì n

Ị G(x, u) dx ^ lim inf Gix.UjrAdx

J m—*4-00 J

h n

Như giả th iết định lý 1.18 thoả mãn, tồn điểm IL (z M cực tiểu tương đối /

T a chứng m inh u nghiệm yếu tốn (1.33)-(1.36) Với ộ e Co°(íì), € > tuỳ ý, ta đặt

trong

Chú ý

vt = min{u, max{u, u + eộ}} — u + t ộ — ệ c + ộc

= max{0, u + eộ — u} > 0£ = — min{0, u + eộ — ỵ} > 0.

ộ \ ộ t e HẶ{n)nL°°{Ct) và / có đạo hàm theo hướng vt — u.

Vì u cực tiểu / M ta có

0 vt - li, f' (u) >= e < ậ, /'(u ) > - <<Ịf, f' (u) > + < ột , f' (u) > Từ

(*) < <p,f'{u) >> -[< ộ \ f { u ) > - < 0e, / '( u ) >]

Vì u nghiệm tốn (1.33)-(1.36) ta có

< ộ \ f { u ) > = < ậ * , f { ũ ) > + < ộ \ f { u ) - f ( ũ ) > >< ộeJ ' ( u ) - f' (ũ) >

Từ ta có

29 Chương P h ơn g p h áp b iế n p h â n m ộ t sõ áp d ụ n g > « / { * ( u — u ) Vộ d x — € / Ig(x, u) - g(x, u)\\ỷ\dx.

trong

= {x : u + eộ > ũ > u}

Chú ý e —> th i độ đo dần 0, tức Cn(Qt) —> Vì ta

có ước lượng

< 0£,/'( u ) > > o(e) trong o(e) vơ bé bậc cao e e —> 0.

Tương tự ta có

< X o(e)

Từ hai ước lượng từ ước lượng (*) ta suy < Ộ J ' { u ) > > V e C “ (ft). Đổi dấu ộ ta lại có

< - ộ , f ' ( u ) > > V g C o°°(Q). Vậy

< ộ , f ' ( u ) > = V4>eC™(Q).

Do Q5°(fì) trù m ật Hq(ũ), nên ta có

< ộ , f ' ( u ) > = V ộ e ỉ P 0(ũ). hay

f » = 0.

Điều có nghĩa u nghiệm yếu toán (1.33)-(1.36).

Chú ý: T a xét trường hợp đặc biệt Í7 miền trơn bị chặn IR", n > 3. 2 n

(1.35) g( x, u) = k(x)u — u\u\p~2, p = ——

n — 2 trong k(x) hàm liên tục thoả mãn điều kiện

1 ^ k(x) ^ K < +oo, Vx e rỉ

Giả sử uữ € > ỡ íl

30 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n m ột sô áp dụ ng

1.3 M ộ t số đỉnh lý v ề lý thuyết điểm tớ i h an v ứ n g dụng

v o p h n g trìn h elliptic nử a tu yến tín h tron g R n

Trong mục ta trình bày số kết lý thuyết điểm tới hạn vài ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình elliptic nửa tuyến tính I "

1.3.1 Đ iêu k iện Palais-Sm ale tồ n tạ i điểm tớ i hạn

• • • •

Trong mục ta xét điều kiện Palais-Smale m ột vài định lý điểm tới hạn Đặc biệt ta xét trường hợp dãy Palais-Smale bị chặn không tiền compact Trường hợp áp dụng cho mục sau Ta hạn chế xét không gian Hilbert, tất kết có the mở rộng khơng gian Banach

Định nghĩa 1.5 Giả sử H không gian Hilbert, / phiếm hàm xác định trên H Giả thiết / e C l (H) Ta nói dãy {«n} c H dãy Palais-Smale ị3 của

/-ký hiệu (PS)ị3

f ( u n) —> /3, f ' ( un) —> n —> oo trong / ' đạo hàm Frechet / H.

Ta nói / thoả mãn điều kiện Palais-Smale (5 dãy (PS)p chứa dãy hội tụ

Ta nói / thoả mãn điều kiện (P S ) thoả mãn điều kiện (PS)p với p. Chú ý định nghĩa chặt định nghĩa tổng quát dãy (PS) sau: Dãy {un} c H gọi dãy (PS) / nếu

\f (un) \ ^ c , f ' ( un) -+ n -» oo

Định lý 1.24 Cho f e C l (H) Giả sử rằng i) Mọi dãy (P S ) f bị chặn; ii) Với u G H, ỉ ' ( u ) = Lu + K ( u ) trong đó

L tốn tử tuyến tính khả nghịch, K tốn tử compact.

31 C hương Phư ơng p h áp b iế n p h â n m ột sô' áp d ụ n g

Chứng minh Cho {itn} dãy (P S ) / H, theo giả thiết i) dãy bị

chặn Từ định nghĩa dãy (P S ) ta có

f ' ( un) = Lun + K( un) —» 71 —> oo

Đặt yn — K (uTi) Vì K compact tồn dãy {lín*} {tin} sao cho {ynk}

hội tụ đến y H Từ suy ra

s = L~1(f' (u1lk) - ynk) -» - L ~ ly k oo

Vậy theo định nghĩa / thoả mãn điều kiện (P S ) Định lý chứng minh □

Sau ta ký hiệu

Aq = {u G H : f ( u ) < a}, a € IR.

Mệnh đề 1.25 Giả sử f G C l {H) thoả mãn điều kiện (P S )ịị Khi đó

a) Kp = {u E H : f ( u) = Ị3 f ' ( u) = 0} tập compact.

b) Nếu Kp = tồn > cho ll/^u)!! > ỗ với u G H : I f (u) — (3\ < ổ.

Chứng minh a) Lấy dãy {um} (nếu có) Kịị, ta chứng minh

có thể trích dãy {um} hội tụ K/3 đến u G Kậ Thật vậy, từ

định nghĩa tập Kp ta có

f { u m ) = p f ' ( U m ) = 0.

Do đó, {um} dãy (PS)p / Vì theo giả thiết, / thoả mãn điều kiện (PS)p nên tồn dãy {umjt} {íim} hội tụ đến u H Vì / ẹ C l (H) nên qua giới hạn k —> oo ta có

f (u) = /3 f'{u) = 0.

Điều có nghĩa u G Kịị Vậy Kp tập compact,

b) Nếu Kp = Giả sử ngược lại với ỏ > tồn tại u € H : I/(lí) — Ị3\ < ỏ mà ||/'(ii)|| < <5- Vậy với dãy {ổ*.-} : ôk — * ta có dãy

{ufc} c H : If(uk) - /?| < Sk mà ll/'itXfc)!! < ỗk-Điều suy

32 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n m ột sô' áp d ụ n g

tức {ĩZfc} m ột dãy (PS)p / Vì theo giả thiết, / thoả mãn điều kiện (PS)ị3

nên tồn dãy } {life} hội tụ đến u H.Vì f e C l (H) nên qua

giới hạn k —> oo ta có

/(li) = Ị3 /'(li) = 0.

Như u Kp hay Kp Ỷ 0» trái giả thiết Vậy điều giả sử khơng hay ta

có điều phải chứng minh

□

Mệnh đề 1.25 chìa khố để chứng minh Bổ đề biến dạng-m ột bước lý thuyết điểm tói hạn

Định lý 1.26 (Bổ đề biến dạng) Cho H không gian Hilbert, Ị E C l (H) thoả mãn điều kiện (PS)p Khi với ẽ > vò với lân cận u Kp, tồn e >

và hàm TỊ e C(H X R , H) cho

a) T](u, 0) = u Vu H,

b) ĩ'(ù) = thì T](u,t) = u Ví > 0,

c) I f(u) — p\ > ĩ T](u, t) = u Ví,

d) 1 1—► f[Tì(u,t)) hàm khơng tăng,

e) Nếu u e Ap+t \ u T](u, 1) e Ap-e,

f) Nếu u £ Ap+t ĩị(u, 1) G u u,

g) ĩì{T](u,t),s) = ĩi(u,t + s),

h) Nếu Kp = 77(1 ,Ap+t) c Ạg-f.

Đê’ chứng minh Định lý 1.26, trước hết ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.27 Cho H không gian Hilbert thực, f e C l (H) Cho A, B, c tập con H cho

A tập mở; B , c tập đóng, c C A , z ? n c = 0, A U B = H, Ký hiệu

H = { u e H : f { u ) Ỷ 0}

Già sử tổn b > cho ||y/(ix)II > bVu e A Khi dó tồn trường vectơ e : H —> H

33 C hương Phư ơng pháp b iế n p h â n vả m ộ t sỏ áp d ụ n g

) ||e(u )|| ^ V u e H , || e ( u ) || = Vu G B,

i) f'(u)e(u) > ị Vw G c f'(u)e(u) > Vu G / /

ii) e(u) liên tục Lipschitz địa phương H.

Chứng minh Với u e H ta chọn vectơ g(u) E H cho IIg(u) = 1|| f ' ( u)g( u) > ^| | /' (u )| |

Nếu HỄ A, theo giả thiết ||/'(u )|| > b đo đó

f ' { u ) g { u ) > | | | / ' ( u ) l l > ị

Khi đó, f'(u) e C(H) nên tồn lận cận Wu c A cho

f ' ( w) g( u) > ^, Vu; G W u.

Ta có {Wu} ueA m ột phủ m A, tồn phủ m {M j}j E J A có tính chất

i) Vj e J, Uj € A : Mj c W U]

ii) Với V e A, tồn m ột số hữu hạn tập Mj chứa V.

Ký hiệu Pj : A —> R , V t—►d(v, H \ Mj). Ta có

Pj(v) í V e Mj

Pj(v) = V ệế Mj.

Nhận xét Pk{v) tổng hữu hạn khác V £ A nằm hữu hạn

keJ

các tập Mj, xác định hàm

0 j : A - * R , y j e J ,

£ Pk{v)

keJ

và hàm

gQ: A - + R , V »->•

jeJ

trong tổng gồm hữu hạn số hạng có hữu hạn tập Mj chứa tí tức có

hữu hạn sơ' hạng Pj(v) Ỷ 0- Khi go(v) liên tục Lipschitz địa phương nữa Il0o(v)|| ^ ^ /

5

j(v )llơ (w j)ll = ỵ

2

^ ( v ) = L

34 C hương P hư ơng p háp b iế n p h â n m ộ t sô áp d ụ n g

Xét hàm

r m d(v,B)

a ’ d{vì B) + d ( v , c y

Khi đó, a liên tục Lipschitz địa phương H và

a(u) = nếu u G B,

Ct(u) = u e c ,

0 ^ a(u) ^ nếu u G H.

Xét hàm e : H —> R xác định

Ị a ( u ) g ( u) , u e A e{u) = <

\ o u e H \ A

Ta có

i ) ||e ( u ) ||< l V u e H , ||e (u ) ||= Vit G B,

ii) f ' ( u ) e( u ) > Vu G c và f ( u ) e ( u ) > Vĩi G H

iii) e(u) liên tục Lipschitz địa phưcmg H. Bổ đề chứng minh

Bây ta chứng minh Bổ đề biến dạng

Chứng minh Vì / thoả mãn điều kiện (PS)ạ , Kp tập compact

có thể chọn ỏ đủ bé cho lân cận

Ns = { u e H : d(u, K 0) < ỗ} c u.

Trước hết ta chứng minh tồn sô' b, ê : < 6, ê < cho

(1.36) \\f(u)\\>b V u e A 0+i

G iả sử ngược lại điều kiện (1.36) không với b ê Khi tồn dãy bk —»

0, éfe —> phần tử

u k € Ap+Ỉk \ (Ap_ík U N i ) c H \ N ị

sao cho | | / 'K ) | | < bk.

Ta thấy

f ( u k) -* 13 f ( u k) -* k —* oo,

có nghĩa {Uk} dãy (PS)p / Theo giả thiết, / thoả mãn điều kiện (PS)p

nên tổn dãy con{itfc } hội tụ đến u H.

Vì / € C l {H) f ( u) = Ị3 f ( u ) = Như u Kịị. Do K3 Ạ

□

35 C hưởng P h ơn g p háp b iế n p h ả n m ột s ố áp d ụ n g

Nhưng v ì u k e H \ N ỉ với k = 1,2, A H \ Ns tập đóng Do u £ H \ Ns

và u Ệ Kp Mâu thuẫn.

Đặt

1 r bổ b

e = - min r bỏ b)

l e , f ’ ’ 1

Ta xác định tập A , B , C sau: Nếu Kp = 0,

A = { u e H : / - ê < f { u) < p + ê}

B = ị u E H : f(u) < p - y f(u) > Ị5 + y c = { u e H : (3 - e ^ f(u) ^ f3 + e}

Chú ý p — ê < p — y y < | ê = | ê < ê /3 — ê < /3 — e. Do A u B = H, B đóng, c đóng, B n = v C c A

Nếu K0 í 0,

A = ị u E H \

0

— ê < f ( u) < /? + ê v d(u, Kp) > -

L

8 J

B = ị i i e H : f (lí) < Ị3 - y / ( u ) > Ị5 + Y d(u, Kp) ^ ~61

c = ị u e H : p — e ^ f(u) ^ p + e d(u, Kp) > - Tương tự ta có A u B = H, B đóng, c đóng, B n C = v C c A

Vậy áp dụng bổ để, tồn trường vectơ e : H —* H thoả mãn điều kiện bổ đề

Với u € H ta xét toán Cauchy sau

( , ,

ịị

—

[77(0 ) = u

Vì e liên tục Lipschitz địa phương H l|e(u)|| ^ tồn nghiệm rj(t,u) €

c ([0, 00) X H, H ) Rõ ràng

(a) tị(u, 0) = u, Vu e H

Nếu f ' ( u ) = u Ệ A, u £ B, e(u) = Khi hàm T)(u, t) = u nghiệm của toán Cauchy

dĩ](u,t)

^ = - e{r]{u, t)) = -e{u) = 0,

36 C hương Phư ơng p háp b iế n p h â n v m ột sơ' áp d ụ n g Do

(b) Nếu /'( li) — r/(u,í) = u

Nếu u e H : If( u ) - \ > ẽ , tức là

f{u) < (3 - € hay f(u) > p + ẽ.

Vì y < ê nên từ định nghĩa tập B ta suy u e B, e(u) = 0 lý luận ta

có

Để chứng minh (e) ta ý rằng: Vì Ns c u nên ta chứng minh Nếu u G Ap+e\Ns ĩ ị(u,1) € Nhưng u G Ap-t )) hàm khơng tăng nên

f(ĩì(u, 1)) ^ Ị3 — €, T](u, 1) € A/3-t cần chứng minh Nếu

u e A0+í \ (Ap-tuNs ĩ]{u, 1) e Ap—C, Thật vậy, giả sử tí G Ap+e \ (A0_tUNs Với t > 0, ta dặt

(c) T](u, t ) = u.

Từ (1.37) bổ đề ta có

do

(d) f(ĩ}(u,t)) hàm không tăng theo t

D(t) = {77(11, s) : ^ s ^ t}. Vì f(i](u,t)) hàm không tăng theo t, cho nên

t)) ^ / ( 7 ( 1 ,0)) = / ( l í ) ^ Ỉ3 + e, V í > Từ suy -D(l) c Ap+t

Giả thiết ngược lại

(1.38) D { l ) n A 0- t = ®.

Do D(0) tập tập đóng

c,

tồn

t

0 cho

(1.39) t0 = max{£ E [0,1] : D(t) c C}.

(do tính liên tục r](u, t) theo t).

Theo cách xác định tập hợp

c,

rõ ràng

37 Chương P hư ơng pháp b iế n p h ầ n m ột số áp d ụ n g

Do từ (1.36) ta suy với ^ s ^ to

0 ) ) e ( T / ( u , ) ) > ị

Cho nên ta nhận

0

/(í?(ií,0)) -

f{v(u,to)) =J

to to

= Ị f(v(u,s)e((r}(u,s))ds

tọ

7 ò , b > - d s = - i n

J

2

0

M ặt khác r/(u ,0 ),ry (u ,í0) É -D(l) c \ Ạ a-e ta có

f{ĩ](u,0)) - f{ĩ]{u,t0)) < 2e

Từ

6 4 e ố

(1.40) 2^0 < 2e hay í0 < Ỵ < Chú ý từ (1.37) ta nhận ước lượng sau

t t

\\v{u i t) ~ v(u i 0)11 =11 / e ( , ( « , ) ) * K J l|e(Tj(u,s))||ds

0

t

= [ ds = t, Ví > 0.

0

Do với í e [0, ío] với u G Ap+t \ (A/3- € u Ns) nên ĩ](u, 0) = u e H \ Ns, ta có

\ \ r ] ( u , t ) - 77(tx, ) II ^ t ^ t o < ị

Vì vây ĩì(u,t) € H \ N u , 0 ^ t ^ t0 Từ suy D(t0) c H \ N ụ Ta sẽ

chứng minh t0 = Thật vậy! giả sử ngược lại í0 < 1- Khi tồn ịỵ e (t0. l] cho

D i u ) c H \ Nị Khi đó

D( t 0) c D{ t x) c Af}+e \ (Ap-t U N s ) c C

4

Đ iều mâu thuẫn với cách xác định t0. Vậy t0 = Mặt khác từ (1.40) ta lại có

4e b

1 = tn < — hay e > -

38 Chương P hư ơng p háp b iế n p h ầ n v m ộ t sỏ' áp d ụ n g Điều mâu thuẫn với cách xác định e : e <

Như ta chứng minh D(l) n Ap-t = e > dẫn đến mâu

thuẫn Vậy D( 1) n A l t ^ 0.

Từ suy tổn í2 € [0,1] cho f(rj(u, t2)) ^ - e.

Vì f(ĩ)(lí, í)) khơng tăng tbeo t 1)) ^ 0 — e hay T](u, 1) € Ta

chứng minh xong (e) Từ (e) suy (/)

Tính chất (g) suy từ tính nghiệm tốn Cauchy (1.37) □

Định lý 1.28 (Nguyên lý biến phân Ekeland) Giả sử f : M —> (—00,00) M

là không gian metric đủ, giả thiết

i) f nửa liên tục dưới, tức {u e M : f(u) > a} mỏ M với a

ii) f bị chặn dưới, tức p = inf / > — 00

iii) / 00

Khi với mọi 6, ỗ > với u (E M cho / ( l i ) ^ p + e thì tổn V G M

cho

a) f{v) ^ f( u) b) dist(u, v) < ổ

c) f (v) < f i w) + -=dist(v, w ) Viư G M , w Ỷ v

0

Áp dụng bổ đề biến dạng (hay nguyên lý biến phân Ekeland) ta chứng minh nguyên lý Min-Max tông quát sau

Định lý 1.29 (Nguyên lý Min-Max tổng quát) Giả sử f e C l ( H ) thoả mãn điều kiện (P S ) Gid thiết r lớp tập H cho

1) (3 = inf sup ĩ( u ) G IR ^er A

2) Với tập A r với ánh xạ TỊ C(H X IR, H), tồn ẽ thoả mãn điều kiện a), b), c), d) g) bổ đề biến dạng r}(A, 1) £ r.

Khi giá trị tới hạn f.

Chứng minh Áp dụng bổ đề biến dạng Giả sử định lý khơng Khi Kp = Áp

dụng Định lý 1.26 (bổ để biến dạng) suy với ẽ cho, tồn hàm biến dạng 77

và e > có tính chất bổ đề biến dạng Vì (3 = inf s u p / ( t í ) R nên tồn tai tâp

Aer A

A € r cho

sup/(w ) < Ị3 + e.

39 Chương P hư ơng pháp b iế n p h ả n m ột s ố áp d ụ n g Như với u e A u e Ap+e hay A c Ap+C Khi theo định lý 1.26

v(A, 1) c Ap_£ Do f(ri{A, ) ) < / ? - e.

Theo giả thiết Ĩ](A, 1) e r , mà f(r)(A, 1)) < 0 — e điều trái với giả thiết Vậy tồn UQ e H cho f(uo) = Ị3, f'(uo) = 0, tức p điểm tới hạn □

Một trường họp riêng định lý Min-Max tổng quát định lý qua núi noi tiếng

Định lý 1.30 (Định lý qua núi) Cho H không gian Hilbert, f e C l {H) Giả thiết rằng

ỉ ) /(0 ) = 0

2) Tồn r > cho f ( u ) > a > 0Vu : ||ií|| = r 3) Tồn ũ e H cho ||ũỊ| > r f(ũ) < 0. Khi đó, đặt

(1.41) r = {7 e C([0, 1 }, H) : 7(0) = 0,7(1) = a}

và p — inf max / (7(0)- Nếu f thoả mãn điều kiện (PS)fí giá tri tới han

7ẽrtẽ[0,i] * ■ • “

hàm f.

Chứng minh 1) Rõ ràng

(1.1) 0 >ct

2) Giả sử ngược lại (3 giá trị tới hạn / Khi Kp = Chọn số

e > 0 đủ bé cho

( 1.2) < e <

Theo đinh lý 1.26 (bổ đề biến dạng), tồn 5 > cho < ỏ < e phép đồng phôi

(1.3) T] : H —> H, ĩì(Aạ+s) c Ap-S

và rj(u) = u u Ệ / - ([/? — e, 0 + e])

3) Chọn € r cho

(1.4) max./(7 (í)) < p + s

teỊo.il

và đặt 7(t) = 77 o 7 = ^(7(0)- Khi 7(t) € r Chú ý rằng

40 Chương P hư ơng p háp b iế n p h â n m ột sõ áp d ụ n g

Do 7(t) G r 7 € Ap+S nên (t) = rì{l) £ A s - Ch° nên

max / ( 7 (í)) ^ 0 - ỗ ‘6(0,1]

Như ta lại có

Ị3 = in f m a x f( "Ỵ( t ) ) ^ 0 — ỗ- 7ẽrĩẽ[õ,i]

điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy /3 giá trị tới hạn hàm /

□

Định nghĩa 1.6 Giả sử / e C l {H) u điểm tới hạn / với f ( u ) = /ỡ Ta nói u điểm tới hạn loại qua núi với lân cận N u, tập N n Ap không liên

thông

Định lý 1.31 Với giả thiết định lý qua núi (định lý ỉ.30) Khi đó

1) Hoặc / có điểm cực tiểu tương đối u Ỷ với f(u) = Ị3;

2) f có điểm tới hạn loại qua núi với f(u) = 0.

Định lý 1.32 Giả sử f E C l (H) thoả mãn điều kiện (P S ) Giả sử giá trị cực tiểu

tương đ ố i: / (0) = 0 f c ó đ iểm cực tiểu tương đ ố i thứ : U\ Ỷ 0- K h i đ ó :

ỉ ) Hoặc tồn điểm tới hạn u f điểm cực tiểu;

2) điểm Ui liên thông với lân cận tập hợp điểm

cực tiểu tương đối u f mà f( u) = Khi p = f(u-[) = /(0 ) = 0.

Chứng minh. (Định lý 1.32) Giả sử r p định lý 1.30, tức

r = {7e C ( [ , 7(0) = 0,7(1) = m}

và f3 = inf m ax f('y(t)). Giả sử Kp tập điểm cực tiểu tương đối / có giá trị ị3 -ỹẽr tẽ [0,1]

Khi đó, với mõi điểm u (E Kị3 tồn lân cận N(u) cho

f (u ) = p ^ f(v) Vu E N(u).

Đặt iVo = ỊJ N(u) ■u^Kp

Giả sử N lân cận Kp, Tị xác định bổ đề biến

dạng 1.26 với ẽ = 1 yv = /Vo n N.

Chọn 7(í) e r cho 7([0, 1]) c Ap+e Đật 7' = ĩ](-, 1 ) r Khi thoả mãn

điểu kiện

41 Chương P hư ơng p háp b iế n p h ả n m ột sô áp d ụ n g

Nhưng N0 Aạ-e không tương giao với tập N ữ u A/3-e khơng liên thông

Như 7'([0, 1]) c N 7;([0, 1]) c Ả0- t Điều mâu thuẫn với cách xác

định (3

p = inf m a x / (7(í)) 7erte[0,i]

Từ ta kết luận Y ([0,1]) c N c N 7(0) = 0,7(1) = tíi liên thơng với

trong lân cận N Kp Đặc biệt 6 Kp U\ £ Kp, ị3 = /(0 ) = /( u i) = □

Chứng minh (Định lý 7.1) Giả sử ngược lại Kp không chứa điểm cực tiểu tương đối

và khơng chứa điểm tới hạn dạng qua núi Khi lí (E Kp có lân cận N(u) cho:

N ( u ) n Ạg 7^ liên thông đường Hơn Kp c Ăp = {u ■ f ( u ) < /3}.

Phần lại chứng minh ta dùng bổ đề sau

Bổ đề 1.33 Giả sử (M, d) không gian metric, K A tập khác rỗng của M cho K compact, A mở K c A, bao đóng A.

Giả sử {N ( u ) : u G K } phủ mỏ K cho u E K tập N(u) n A liên thơng.

Khi tồn sơ hữu hạn tập mỏ JJ\, A, Ul tập mở không giao phủ

K cho Ui n A với l (1 ^ ^ L) chứa thành phần liên thông A

Áp dụng chứng minh định lý 1.32 với K = Kp, A = Ap.

Giả sử í/i, A, Ul phủ mở không tương giao với Kị} N — u 1-ỵUi

Chọn ẽ = a (như định lý 1.29, định lý qua núi) Với ẽ, p N, tồn e >

biến dạng 77 theo bổ để biến dạng 1.26

Lấy e r cho 7([0, 1]) c Ap+Í. Khi

V(í) =

!)

7 ( 0

=

vh

(í)

1

] e r

và

Y([0,1]) = r)(Ap+c, 1) c u N = u Ư! u • ■ ■ u UL.

Có thể giả thiết 7' G c

Chọn a0 G {0 - e, Ị3) cho a0 giá trị / = 1))

Giả sử < ti < t2 < ■ • ■ < t2k-ì < t 2k < l cho

/ 0i { u ) = 1)] = ao, i = ,2 , A, 2k.

42 Chương P hư ơng p h áp b iế n p h â n m ột sỏ áp d ụ n g Từ suy

VMl.e/j £ A0- f

Mặt khác ta lại có

V([0, 1]) c Tì{A0+t, 1) c u N l

cho nên '(0 lte / c N = UỈ=1^«- Vì tập U i,\,U L khơng tương giao với nhau, với j tồn số l cho 7'( / , ) c U[.

Nhưng / o y (ô/j) = a0 < /3 Ui n A/J liên thơng Cho nên ta thay 7'(/j)

đường

7 : / j — » Ui n >1/3 cho 7|te, = 7|te / , Vj = 1,2, A, fc

Như ta nhận G r cho

s u p / ( u ) < /ớ

u67

Điều dẫn đến mâu thuẫn Định lý chứng minh xong □

Nhiều tác giả nghiên cứu toán mà điều kiện (PS) khơng thoả mãn Sau xét trường hợp dãy (PS) bị chặn không compact Ta chứng minh bô đề sau

Bổ đề 1.34 Già sử f e C h ì(H, R), dó H khơng gian Hilbert Giả thiết rằng: 1 Dãy (PS) bị chặn.

2 Với R > 0, tồn K > cho:

(1.5) í K \ \ u - v ị ị , V u , v e B ( , R ) ,

trong B{0, R) hình cầu tâm o bán kính R.

Giả sửrj(u,s) : H X [0,T+(tt)] —* H nghiệm bi toỏn Cauchy

<>ãô

! ; m

[v{u,0) = u,

trong đó [0, T + (u)] là khoảng lớn mà nghiệm T](u, s) xác định Khi một

trong hai khả sau thoả mãn

• Hoặc f(ĩ](u,s)) —> —oo s — > T +(u).

43 C hương Phư ơng pháp b iến p h ả n vả m ộ t sỏ áp d ụ n g Chứng minh Trước hết ta thấy vì

j s f(v( u,s )) = í ' ( n ( u , s ) ) f t = - ( / ' ( r?))2 < ũ

nên /(ĩ7(u, 5)) hàm không tăng theo s Nếu /(r/(ii,s)) khơng dần —00 hội tụ

đến số C s —> T + (u) và

(1.7) f(r](u,0)) = f ( u ) > f ( r i ( u , s ) ) > c với s > 0.

Giả sử T +(u) < +00 Với s' > s > 0, ta có:

\\v(u, s) - r}(u, s')\\ j ' | | ^ ( « dt = \ \ ĩ ' ( v ) \ \ d t

^ V s ' - s ( ^ J \\f’(v)\\dtj ■

Mặt khác ta ý với s' > s > 0,

s)) - C > s)) - f(ĩ}(u, s')) - J t))dt

= Ị ' f'(v) • ^ d t = - Ị ' /'(*?) • f'(v)dt

Từ

f(ĩ}(u,s)) - Q > Ị ' \\ỉ'{ĩ])\\2dt.

( / ^ Vf(v(u, s)) - c ^ y/f(ri(u,Q)) - C

Chú ý T](u,0) = u, ta có

||í7( t í , s ) - Í7( u , s ' ) l l ^ %/l-s - s' W ĩ ( u) Q V s , s' >

Bất đẳng thức chứng tỏ rj(u,s) liên tục đểu theo s € [0, T + (ii)], xác định

cả với í > T +(u) Vì ta giả thiết T +(u) = +00

f(ĩ)(u,s)) -> C,

khi s —> +00 Sau ta chứng minh tồn dãy sn —> 00 cho dãy tương ứng

un = ĩ](u,sn) dãy (PS), có nghĩa

(1.8) (1.9)

44 Chương P hư ơng pháp b iế n p h â n m ột sô áp d ụ n g

Trước hết, s —►+ 0 f(ĩ](u, s)) —* c > —00 nên ta suy tồn dãy {s„} cho

f'(ri(u, sn)) —» sn —y +00 Thật giả sử ngược lại với dãy {s„} : sn — > +00

nhưng II/'(r](u, sn) II khơng dần 0, Khi \\f'(r](u, s)|| không dần s —» +00

Do tồn số So sao cho ||/'(77(, s)|| > a > với s > s0 Khi II f'(rj(u, u, sn)|| khơng dần vể s —V +0 Do tồn số So cho II f(r](u, s ))|| > Q > với

s > s0 Khi đó, từ chứng minh ta có

/

8+1 \\f(r])\\dt > a > Vs > s

0-Cho s —►00 f(ĩ](u, s)) — C —+ Điều vô lý, tồn dãy {5n} cho

|Ị/'(77(w,sn))|| -» n —♦ +00

Hcm

L

+00

||/'(77(u,s))||rfs < +00

thì

Vì từ ước lượng

lị

?

í

= °-

s ,s —»4-00 J s

\\v(u, sn) - ri(u, sn+ĩ)\\ ^ í | |/ #(»?(ti,t))||dt

Jsn

Cho n —>+0 0 ta suy điều kiện (3) Ta ý trường hợp s —> +CX)

thì rj(u, s) —>0 f ( u 0) = C Bây t giả thiết

l + 0

||/'(77(u,s))||ds = +00

Trước hết, từ giả thiết ta suy ||/ '(77(u, s))|Ị hàm liên tục theo s > 0, hàm

F(c)= f c \\fMu,s))\\ds

là hàm liên tục tăng c —► +00 Bây ta xác định dãy sn sau:

So — 0, sn ^

[ II s ) ) | | d s = V f { v { u , sn )) C

J

sn

Khi ta có

45 Chương Phương pháp b iế n p h ả n m ột sô' áp d ụ n g

Do

f { ĩ } ( u , s n ) ) - C >

Ị

\ \ f ( v ) \ \ đ t > i n f | | / ' (77( u , s ) | |

J s n se [S n ,S n + l]

Từ suy

(1.1 1) i n f I l / ' ( í ( u , s ) | | ^ y/f{v{u,sn) - £ ỉ€[ỉni^n-f l]

Giả sử

s

= lim sn. Nếu s < + o o ĩ(r}(u, s)) > c ta có

n—*+oo

f S 00 /-Sn + l

||//(»7(u>s))||ds

=

I

\\ĩ'{ri (u, s))\ \ds

J0 = n = ^ 5n2 ^ 1n = J s nII/

oo

> ^ T ự f { l ĩ ( u , s ) ) - c = + o o

n =

Điều vô lý Vậy

s

< + o o /(77(11, s)) = C

s

= + 00

Nếu

s

< + 0 f(r](u,s)) = c thì f'(ĩ](u,s)) = Vì f( ĩj ( u ,s )) = C là g i trị cực tiểu Đ ồng thời 77(u,s) = T](s, u) nên điều kiện (2) (3) thoả mãn Nếu

s =

+00, ta lấy sne [sn , s n+i] cho

(1.12) \ \ f ' ( ĩ j ( u, s n)|| ^ 2y/f{rỊ,sn) - C

(sn tồn (1.11)), n —►+ 0

(1.13) II/'M u S tO II ^ 2y/f(rỊ,sn) - C - *

Do

\\r}{u,sn) - r ) ( u , s n+1)\\^ ị I I / ' (7;i{u,t))dt

J Sn

= [ ư ( v ( u i t))dt+ Ị \\f{ĩ](u,t))dt

J Sn J sn+1

^ V f ( v > S n ) - C + s j/(7 , s n + ) C > 0.

Từ suy (2) (3) Như dãy {yn = T](u, sn)} dãy (PS), theo giả thiết dãy này bị chận số R Giả sử K sô' Lipschitz ứna với R + 1, tức là

46 Chương P hư ơng p háp b iế n p h â n vả m ộ t s ố áp d ụ n g Khi với

s

đủ lớn,

sn

^

s

^ J?n+1,

Ii/'fa(u,s))ii ^ m v M ) - f'(rì(ut sn)\\ + \\f'(v(u,sn)\\

^ K\\r](u, s) - T](u, 5„)|| + II f(ĩ](u, s „ ) ) | |

^ K Ụ * \\f'(ri(u,t)\\<tij + \\f’{T](u,sn)\\

^ K ( y f(ĩỊ(u,sn) - C + y/f (ĩì(u, sn+1) - c) + o(n) -» 0.

Vậy / ' (77(14, s )) —> s - > o o Ta điều phải chứng minh □

Từ BỔ đề 1.34 ta chứng minh Mệnh đề sau m ột hệ

Mệnh đề 1.35 Giả sử H không gian Hilbert / Ẽ c 1’1 (H, R), r tập hợp tất cả tập compact H Giả thiết:

1 Các dãy (PS) f bị chặn.

2 Với R > 0, tồn K > cho (1.15)

3 13= inf supu€Af( u ) € R.

4 Với tập A r với ánh xạ T) G C(H X R , H) thỏa mãn điều kiện: Với

£ thỏa mãn tính chất a), b), c), d) g) cùa Bổ đê biến dạng 1.26 thì

v(A, 1) e r

Khi với £ > 0, tồn u G H cho a) < f(v (u ,s )) ^ /3 + e,

b) Nghiệm toán Cauchy (1.6) xác định với s e [0, +oo). c) f ( ĩ ] ( u , s ) - ^ c v i c e [ P ìP + e}.

d) f'(ri(u,c)) —> s —> oo. Chứng minh Theo giả thiết 3):

(1.16) 0 = in f ,s u p /( u )

ueA

Cố định tập A compact thuộc r cho

(1.17) su p f ( u ) < + e, £ >

47 Chương P h ơn g pháp b iế n p h â n m ột sỏ' áp d ụ n g

Theo giả thiết 1) 2) M ệnh đề, tồn biến dạng T](u, t) thảo m ãn điều kiện a)-d)

của Bổ đề biến dạng Giả sử u G A, f(ii(u, s)) < p s —> T +(u) Khi với u e A, tồn r(u) > cho

(1.18) f(ĩf(u,T(u)) < p.

Do tính liên tục, ta suy với u A, tồn ỗ(u) > cho (1.19) f(ĩ](v ,T (u ))< P, Vu : | | u - v | | < ỗ(u).

Do A com pact, phủ A m ột số hữu hạn hình cầu B(uj,ỗ(uj)), j = , , , ra, cho

A c |j £ ( ụ ,,ổ ( u j ) ) ,

f(ĩ}(v, r(uj)) < p, Vu : \\uj - u|| < ỗ(uj), j = , , , m.

Đặt r = max{T(ui, , r ( u m)} Ta có

Vu A, j € { , , , m } : V G B( uj , ỗ ( uj ) )

Do f(ĩỊ(u,T)) < (3 Khi với e' > đó, f{rj{v,r)) < /3 — e', Vv G A,

/ (77(^4, t ) ) < /3 - e1. Từ suy

77(Ar) e = { u £ A : f(u) < ị3 - e'}.

Như ta có biến dạng r}(u, r ) cho 77(^4, r ) G Aị3-e>. Hofn nữa, khỏng giảm tổng quát

ta giả thiết

f'(u) = 0, Vu e H : If(u) - \ > ẽ > o

với € > (Vì khơng thay cho /'(lí) ta xét hàm 4>(u).f'(u), 4>(u) = bên ngồi lân cận Kạ\) Khi ĩj(u, t) thoả mãn điều kiện a), b), c),d) g)

của định lý 1.26 (bổ đề biến dạng), theo giả thiết 3) 77(^4,1) e r / [77(^4, 1)] < (5 - e.

Điều vơ lý ta chọn T > 1,

Vii e A : f(T)(u, 1)) ^ Ĩ {tì{u, t)) < Ị3 - e'. Do trái với giả thiết 2)

0 = inf sup f(u) € R.

A ^ r u € A

Vậy tổn u e H cho p ^ f(ĩ](u,s)) ^ + e Hơn theo bổ đề 8 / (17(1 s)) —► c e [0, (3 + e], s —> +00,

s)) —* s —► +00

48 C hương Phư ơng pháp b iế n p h ả n m ộ t s ố áp d ụ n g

1.3.2 ứ n g dung đinh lý qua núi v o b ài to n b iên đối v i

p h n g trìn h elliptic nử a tuyến tín h

Định lý 1.36 Cho Í2 miền trơn bị chặn Rn, n > g : ũ X R —> R hàm

Caratheodory, đặt

G(x,u) = g(x,v)dv.

J 0 Giả thiết điều kiện sau đáy thoả mãn

1 limsup ^ 0, Vx € Q

u —*0 u

2 Tồn p < 2* = hằng sô' c > cho

\g(x,u)\ ^ c (l + ||p_1), V G

rì,

u G R

3 Tồn q > 2, Ro > cho

0 < qG(x,u) ^ ug(x, u), h.k.n X €

nếu |u| > Rq.

Khi tốn

{

—A u = g(-,u) ũ, (1)

uịdn = 0, (2)

có nghiệm khơng tầm thường. Chứng minh Xét phiếm hàm

f( u ) = -

Ị

|V u|2dx — I G(x,u)dx, u £ H q ( ĩ ì )

2 J n J n

Giả thiết Định lý đảm bảo cho / G C 1(//q(0)), ta có

(ỉ'(u),v) — I V u - V v d x — I g( x ,u )- v d x , V HqỰì).

J n J n

Bây ta xét điều kiện PS phiếm hàm / Giả sử {iim} dãy PS:

|/(um )| ^ c, Vm, f ' ( u m) —» Okhim —> +oo.

Ta có

QỈi^rrì) (^771) ĩ (^m)) o ^ l^^ml dx Q I G (x , um^dx

z Jn

49 Chương Phư ớng pháp b iế n p h ả n m ộ t số áp d ụ ng

= - / |Vum|2đ:c + [ Um9(-, Um) - qG(x,um)dx

'L Jĩi Jíì

l oV ' ien,veR

trong £ n(Q) độ đo Lebesgue ri Nhờ giả thiết 3., (vg(v) — qG(-,v)) > 0,

Vu, |i>| > Rq Do đó, từ giả thiết 2, số hạng cuối vế phải hữu hạn Mặt khác ta

lại cố

qf { u + m) - (UmJ'iUm)) ^ o(l)||um||Hũl(n) + c ,

o(l) —» 771 —» oo Từ suy dãy {um} bị chặn Hq(Q).

Tiếp theo ta chứng minh f' ( u m) có dạng f ( u ) = Lu + K u ,

trong L ánh xạ tuyến tính khả nghịch, K ánh xạ compact Thật vậy, từ giả thiết 2, ta suy ánh xạ u —> g(-,u) ánh xạ tập bị chặn / / ( í ỉ ) thành tập bị chặn

trong (Í2) c / / -1 (Q), với p' = Mặt khác với p < 2* = theo định lý Rellich -

Konchakov, ánh xạ nhúng Hq(Q) vào Ư{Q) compact, ánh xạ

HịiVt) ^ ( ũ ) -> ư { ữ ) H~l (ĩì)

xác định u — * K u — g{-,u) ánh xạ compact Như vậy, với u G HẶ(ÍÌ), ỉ'{ù) = —A u — K u = —Au — g(-,u),

trong L = — A : HẶ(Q) —► # _1(fỉ) ánh xạ tuyến tính, khả nghịch,

( - A r l : H - \ Q ) ^ H ^ỉì )

Vậy, kết hợp với chứng minh ta được: dãy PS bị chặn, / thoả mãn điều kiện PS: Mọi dãy PS đểu có dãy hội tụ mạnh

Sau ta kiểm tra giả thiết hình học định lý qua núi Trước hết thấy • /(0 ) =

• Theo giả thiết 1,

l i m s u p ^ ^ U o ,

ti—»0 u

cho nên Ve > 0, 3ốo = So(e) > cho

^ £, Vx € fỉ, Vu, |u| ^ ỗ0

u

Từ suy \g{x, w)| ^ 2e|u|, Vx € Vii, |ii| ^ ổ0 Vậy ta có

50 Chương Phư ơng pháp b iế n p h ả n m ộ t s ố áp d ụ n g Từ giả thiết

ta suy

với u > 0,

Ig(x,u)\ < C( + M )p \

với u < 0:

r u /• — ti

G (x ,u ) = g (- ,+ v )d v ^

Ị

\g(-,-v)\dv

Jo J 0

^ C ( |u | + -!-|p), u

ơ (x ,ií) ^ C(M + M p) Áp dụng bất đẳng thức: với a, > 0,

^ ea9 + C íe)^ , - + - = 1, e > 0,

V Q

ta có |ii| ^ £ + C(e)\u\p với £ > tuỳ ý bé Từ đó,

(1.20) G(x, u) ^ Ce + C(e)\u\p, x Ễ Í l í i Ẽ t

Kết hợp (3) (1.20), với £ > tuỳ ý bé ta có

(1.21) G(c,u) ^ Ce + e \ u \ +

C(

e

)\

u

\p.

Do £ tuỳ ý bé nên từ suy ra

(1.22)

G(c, u)

^

£2\

u

\2 + C{

e

)\

u

\p.

Áp dụng ước lượng (1.22) để có ước lượng f( u ) sau đây

(1.23) f( u ) > \ Ị |V u|2 - £ [ \u\2 - C(e) í \u\2dx.

1 J Q Jn J n

Chú ý giá trị riêng thứ toán tử - A HẶ(Q) xác định sau: ỉ n \ V u \ 2dx

(1.24) Ai = sup

51 Chương P hư ơng pháp b iế n p h â n v ả m ộ t sỏ áp d ụ n g

(1.25) í \u\2dx < j - í IVuị2dx =

Mật khác, áp dụng định lý nhúng Sobolev ta có phép nhúng

Hq(ũ) -» { ũ )

liên tục, tồn

c

> cho

(1.26)

Kết hợp lại ta ước lượng

Vậy tồn a, p > cho

f ( u ) > a |M |„ i(n) = P- Cuối từ điều kiện 3, ta có

u\u\q~ ( \ u \ ~ qG(x, u)) > 0, Vu, \u\ > Rq

du

Lấy tích phân từ Ro đến u (hoặc từ —Ro đến —u u > 0), sau số tính tốn đon giản ta

G(x, u) > 7o(:e).|w|9, X e n , \u\ > Ro,

trong

7o(x) = Rq q min{G(x, Ro), G{x, -R o )} > 0.

Với u e Hq(Q), t € R, ta có

^ C(u)t2 — c(u)tq +

cn(ũ)

esssup IG(x, li) I

52 Chương P hư ơng p háp b iế n p h â n m ột sỏ' áp d ụ n g

Cho t —* +00, v ế trái dần Do với u e Hq(Í2), ĩi / cơ' định, với í > đủ lớn,

ta cố

f(tu) = / ( t t i ) <

Như giả thiết định lý qua núi thoả mãn / , điều suy Ị3 = inf max / ( git)),

fferte[0,i] '

r = { g e C ( [0 , l ] , / ^ ) ) : 9(0) = 0,5(1) = M

là giá trị tới hạn / tức tồn u0 Ỷ 0, f ( u0) = p, f'{ u0) = 0, u0 nghiệm

không tầm thường toán theo nghĩa suy rộng

Ị v u W < l x - Ị g(x, u)vdx = Vv £ Hq(ũ).

Q n

Chú ý Giá trị /5 = inf max f(g(t)) gọi giá trị qua núi phiếm hàm /

fferte|o,i) ■ ■ ■

Dưới giả thiết Í2 tập mở Rn, n > 3, xét toán biên trong Q

—A u + u = g ( x , u ) , X £ Q

u = 0, X G d ũ

Nếu là miền khơng bị chặn R" điều kiện biên u = hiểu

u e Hq(Q) Giả thiết

gi) g e CHR" X R, R), g(x, 0) = ^ % = = 0, X e n

g2) Tổn số c,Ci,C2 > cho

C iM P_1 ^ \g(x,u)\ ^ c2|u|p_1,V x € e ( , ’ )

và

\g'u{x,u)\ ^ c\u\p ~ 2

g3) Tồn ịi > cho

0 < ụ,G(x,u) ^ g(x,u).u

tẳ

với m ọi X € rỉ, u Ỷ 0, G ( x , tt) = / <7(x, s ) d s

53 Chương Phư ơng pháp b iế n p h ầ n m ột sỏ' áp d ụ n g Chú ý giả thiết làm yếu (như M Struwe), đặc biệt là trường hợp Q miền bị chặn.

Ký hiệu H = HẶ(n)

u € H , ||u||2 = /( |V u |2 + \u\2)dx

Phiếm hàm f ( u ) , u € H xây dựng thoả mãn giả thiết hình học định lý qua núi bo đề sau

Bổ đề 1.38 Phiếm hàm /(lí), u € H thoả mãn giả thiết hình học định lý qua núi, có nghĩa là

a) 3p > : f ( u ) > a > Vu e H : ||uỊ| = p b) Vũ / có f(Xũ) —> —oo X —> +oo.

Chứng minh a) Theo giả thiết ợ2) ý với u > g(x,u) > 0, ta có

íì

và u,v G H, < u, V > = f (V u V v + uv)dx.

n dặt

f ( u ) J (|V u|2 + \u\2)dx — Ị G(x,u)dx

n nn

= ^\\u \\2 ~ J G ( x , u ) d x , u e H

n

□

Bổ đề 1.37 / € C \ H )

u

0

Từ đó, áp dụng định lý nhúng Sobolev, ta có

n n

Vì

n

/( « ) =

ịhtt2

-

Ị

G(x,u)dx >

ị

||U||S - c n « r

n

Với ||í/|| = p đủ bé, ý p > 2, ta suy ra

1

54 Chương Phương pháp b iế n p h ả n v ả m ộ t sỏ' áp d ụ n g b) Chú ý với ti > g(x , u) > 0

u

0

Tương tự với u < 0, ta có G (x ,u ) > c|u|p. Vì với ũ 7^ 0, A >

\ 2 f

/ ( Xũ) ^ — \ũ\pdx —» —oo khi—oo A —* oo.

n

□

để áp dụng định lý qua núi, ta nghiên cứu dãy (P S ) phiếm hàm / Bổ đề 1.39 Các dãy (P S ) phiếm hàm f bị chặn.

Chứng minh Lấy {um} c Hq(Q.) dãy (P S ) tức là

< V > = < u,v > — J g(x, u)vdx.

n

Như vậy, f ' ( u ) = u — K(u), K : H -* H xác định bởi < K ( u ) , v > = Ị g ( x , u ) v d x , Vu e H.

Q

Giả sử {um} c H dãy bị chặn cố định p € [2, 2*) Theo định lý nhúng Sobolev,

tổn dãy (lại ký hiệu {um}) cho U m —> u ( ũ ) um —> u hầu khắp

nơi Như

1 / ( < c, = ||/'(tím)|| m 4-00

Khi

c + — ||um|| > f ( u m) -

ịi ịi

— ( - ) 11 11 í Q (■£ 1 ) 'tím]íÍ3

2 ụ, J ụ,

h

Từ suy tính bị chặn dãy (P S )

Bổ đề 1.40 Giả sử Q miền bị chặn Khi điều kiện (P S ) thoả mãn Chứng minh Chú ý gradient f'(u) e H xác định công thức

□

55 C hương Phư ơng pháp b iế n p h ả n vả m ộ t s ố áp d ụ n g Chú ý

\g{x,u)\ ^ c|u|p_1 ^ c(l + Mp_1).

Do (!ó với g : Ư{Q) —» liên tục Theo định lý hội tụ trội, ta suy

g{x,um) —> g (x ,u ) Lq(Q) = L ĩ ^ ( Q ) Từ

IIK ( u m) - K(u)\\ = sup < K{um) - K(u ), v > M k i

^ \ \ g ( x , u M ) - g( x, u ) I U M I p - » v -t; <E L p{ n )

Vậy /í(tim) —> K ( u ) H hay K compact Do f ' ( u ) tổng toán tử compact toán tử khả nghịch Kết hợp với kết bổ đề 1.39, dãy (PS) đều bị chặn, ta suy / thoả mãn điều kiện (P S )

Ap dụng định lý qua núi, bổ đề 1.38, 1.40 ý ráng /(0 ) = ta có định lý

sau □

Định lý 1.41 Giả sử g(x, li) thoả mãn điều kiện gi — g3 tập mở bị chặn

Q c M71 Khỉ tốn có nghiệm không tầm thường.

Sau ta xét trường hợp là miền không bị chặn Q = Rn để ý

với giả th iết hàm g ( x , u ) trên, phiếm hàm f ( u ) , u H thuộc tức gradient / Lipschitz địa phương, ta có kết sau (xem [7])

Giả sử hàm g(x, u ) thoả mãn điều kiện gi — g3 ý

|^'(x,tt)| ^ c\u\p~2,x Ễ Í ] , t í ẽ R thì g(x, u) thoả mãn điều kiện sau

q4) Tồn số c > cho

Ig(u) — Ể/(i>)| ^ C(M P_2 + \v \v~2)\u - Vit, ễ K Khi đó, với số R > tồn k > cho

\ f ( u ) - f'(v) I ^ fcllu-vll.V u.v € B(0,R).

Như từ mệnh đề 1.35, ta suy phiếm hàm f ( u ) , u e H có dãy (P S ) Dưới với số giả th iế t bõ sung ta chứng minh toán tồn nghiệm

Ta bắt đầu bổ đề sau

Bổ đề 1.42 Giả sử {um} c H, dãy (P S ) phiếm hàm f Khi theo bổ đê ỉ 39 dãy {um} bị chặn Già thiết u Ễ H cho

56 C hương P hư ơng pháp b iế n p h ả n v m ộ t số áp d ụ n g

2 um —> u ưloc hkn với p € [2,2*)

Khi u điểm tới hạn f Chứng minh Giả sử <p e C “ (Rn), ta có

< / K > = < um,ự>> - Ị g{x,um)tp.

n Vì um —1 u nên

< um, <p > —+ M < u,ự> >

ờ ta ý theo giả thiết (]2) um — > u ưloc nên g(x, U m ) —> g(x, u) ưloc

Từ suy

Chú ý Bổ đề 1.42 giới hạn yếu dãy (P S ) nghiệm Mặt khác ta lại thấy u = nghiệm Như cịn phải chứng minh nghiệm yếu u khơng tầm thường? Trong chứng minh định lý 1.41 nghiệm tìm khơng tầm thường chúng ta tìm nghiệm giá trị qua núi dương Ị3 > Trong trường hợp này, chúng ta biết um —k u / nửa liên tục yếu biết rằng: ^ f ( u ) ^ (3 (vì với điểm tới hạn V > f( v ) > 0, theo giả thiết

Đê’ tiếp tục nghiên cứu, chứng minh kết tổng quat diiv bị chặn / ^ ( R 71)

Bổ đề 1.43 Giả sử {um} c H l (Rn) thoả mãn điều kiện sau 1 ||um|| ^ c Vm

< f'(u), <p >= < u,tp > — J g(x, u)(fi n

= lim < /'( u m), ự> >= 0.

m—*oc

Do f'(u) = u điểm tới hạn /

□

57 C hương Phư ơng p háp b iế n p h â n v m ột sỏ áp d ụ n g 2 Tổn số R > thoả mđn

iimm^+oo sup I \um\2dx = 0.

y€ R

> ỵ K

B*(y)

Khi tổn dãy um —> Lq(R") với q G (2,2*) Chứng minh Nhắc lại rằng, nhờ định lý nhúng Sobolev ta có

I M I L ( B / i ( y ) ) ^ C IIU I I l « ( B r ( / ) ) - Ỉ I U

H1

ưong = ^ n Khi đó

/ H

(Bn(y)) Ta xét hai trường hợp

1 Trường hợp 6q > 2

<7-2

q - n > < = > ợ > + —

2 q n

và ta có

<csup IM|g,(§J(lí))||u||5r(ỉny / |Vw|2 + \ u f Bay lấy yk £ Rn cho

(a) R" = ỊJ B k(yk) k

(b) Tồn / e N cho với điểm X £ IRn thuộc vào nhiều l tập

B k M -Khi

/ w < E

I

w

R" k (Bkíĩlk))

sup i M i í ^ ỉ ^ i M i ĩ r ^ ,, ) Ị iV ui2 + M

* (Bt(yO) ^ l c sup I I w | | I I (R„J

áp dụng ước lượng vừa nhận giả thiết <72) ta suy

lim [ \ u m\q = 0, ợ 6(2,2*)

58 C hương P hư ơng pháp b iế n p h â n m ột sô áp d ụ n g 2 Trường hợp Qq < Khi đ ó < ợ < + - = ộ.

Ta ý 6q = q^-n{2 + i ) > theo chứng minh trên

lim / W * = _ lim„ / M 9 = 0

n i —>+oo J m —*+ o o J

R " R n

với q > ta đặt

1 - A

q = A2 + (1 - X)q = + - , A = - n(q - 2).

n Ta có

M |l«(R») ^ \ \ U r n | | / , ( Ị R n y\\um *0 (m * +0c).

□

Chú ý Ta thấy {itm} dãy (PS) bổ đề 1.43 không xảy ra.

Bổ đề 1.44 Giả sử = Rn {itTO} dãy (PS)ạ với (3 > Khi tồn dãy

{ y m } c R ” sao cho dãy v m ( x ) = u m ( x — y m ) h ộ i t ụ y ế u đ ế n V 0 t r o n g H ĩ (Mn).

Chứng minh Từ bổ đề 1.39 ta suy dãy {um} bị chặn H1(Rn) Bẫy ta

giả sử tồn số R > cho Ịimm —>+oo

/»

sup I \um{x)\2dx —

yeR" J Br(v)

Khi áp dụng bổ đề 1.43 ta suy

||Um||L«(R") - » (r a - > + 00)

với q (2, 2*). Vì từ đẳng thức

r

< >= IK II2 - g{x,um{x))um{x)dx

R " ta có ước lượng

||wm||2 ^ II/ ium) II ll^m II + cllum |lx,P(R ") * (m * +0c)-ở ta ý

g(x, um(x))um{x)dx ^ c \um{x)\pdx = c||um||

59 C hương P h ơn g pháp b iế n p h â n m ộ t s ố áp d ụ n g

[ G ( x , u m(x))um(x)dx ^ — [ \um(x)\pdx = — ||u m||

J p J V

p

LP{ R") Do

/ ( « m ) = ^ ll^ m ll2 - ị G(x,um(x))um(x)dx -> (m -» +oo)

điều mâu thuẫn với giả thiết { u m } là dãy (PS)p với Ị3 > 0, tức f ( u m) —* >

khi —> +oo Chứng minh với R > tồn dãy {ym} c M71 cho

Vì vậydãy {um} bị chặn H ì (Wl) nên tồn dãy hội tụ yếu đến

V e H l (E.n) định lý nhúng Sobolev v mk —> V trong ư loc với p e [2, 2*) Khi

đó

Một hệ trực tiếp bổ đề 1.44 định lý tồn sau (xem [8])

Định lý 1.45 Giả sử g e X R,R) thoả mãn gid thiết (#! — g4) với Q = Rn.

Giả thiết thêm rằng

<75) g(x,s) tuần hoàn theo X G Kn, tức là

g{x 1 + k1, X , x n + kn, s) = g ( x i , \ , x nts) v/c = (ku x , k n) e z n.

Khi tốn

BrÌVtti)

đặt Vm( x) = um(x - y m ). Khi ||vm|| = ||itm|| ^ c

Br( 0)

Br{ 0) Br{ 0)

□

60 C hướng Phư ơng pháp b iế n p h â n m ộ t sõ áp d ụ n g

Chứng minh Theo mộnh đề 1.35, tồn dãy (PS)ị3 phiếm hàm f ( u ) , u e H l (Rn).

Theo bổ đề 1.44, tổn dãy {ym} c Rn cho dãy {um(x) = um(x — ym)} hội tụ yếu đến hàm V khác không trong

Ta chọn dãy {ỹm} c Z n, ỹm = (ỹ^, ỳ l ) ỹm = [yij + Khi đó

IIV m ỉ / m l l ^ y / ĩ i

đặt íltn(x) = um(x + ỹm) Theo giả thiết g5) ta có

/(tim) = /( n m), I|/'K )|| = ||/'(On)||.

Do {wm} dãy (P S ) {fỉm} dãy (P S ) phiếm hàm / Theo bổ đề 1.39, dãy {Í2m} dãy bị chặn Tồn dãy (lại ký hieụe {Í2m}) hội tụ yếu đến n € H l (Rn).

Áp dụng định lý nhúng Sobolev

ũm —*■ n L9(IRn), q G [2, 2*)

Í2m —> f2 hkn

Do theo bổ đề 1.42, Í2 điểm tới hạn / Vì n nghiệm toán xét

Ngoài ta ý

v m ( x ) = llm ( x 2/m) — Vm Um) Vr nị x “H J/m)

mà

^7n(*^) (■£ “I” ỉ/m)

do

= V m ) V m )

-Từ

J

|On|2 =

Ị

KI2.

Br+ ^ ( 0) Bn( )

Cho m —► +oo ta có

Ị

|Í2|2 =

J \v\2 > ỗ >

0.

ỉ3r+^(0)

RI Chương Phư ơng pháp b iế n p h ả n v m ột sỏ áp d ụ n g Chú ý Nói chung chứng minh rằng

0 < f(Q) ^ /5 giá trị qua núi

Thật vậy, phân tích cách chi tiết, ta thấy

a) Nếu {um} dãy (PS)a / a > (đặc biệt u điểm tới hạn không tầm thường f ( u ) > 0).

b) Nếu {iím} dãy (PS)a f có giới hạn yếu u Khi um — u dãy

(P S ) a - f(u )

đặc biệt có khả tìm nghiệm khơng thể nói

phiếm hàm thoả mãn điều kiện (P S ) 0.

Bổ đề 1.46 Giả sử g(x, u ) thoả mãn điều kiện (gi — Ợ3) vò

g6) SÍI^ủ hàm khơng tăng vớ i u > 0, khơng giảm với u ^ 0. Khi giá trị qua núi Ị3 thoả mãn

ị3 ^ i n f { / ( l i ) : / ' ( l i ) = ũ , u / }

Chứng minh Lấy u 7^ : f'(u) = Xét ánh xạ 7 : R —> Z/ xác định bởi: 7(A) = Xu

Khi ta có

A2 vã

Vì

cho nên

/(7(A)) = y l H I -

J

G(x,Xu),

^ / ( A u ) = A||u||2 - J g(x, Xu).u.

f ( u ) = ị j

lv “l2- / Gí1-")

>= I N I - Ị g(x,u).u =

Do ||u||2 = f g ( x , u ) u Vì vậy

đ , ,, X \ /"r /_ \ 9{x,Xu)

\u ) = X I

[g(x,u).u -Chú ý ràng g{x,u).u - = u2[ ^ - ^ ] không âm A e [0,1] không

dương A > Ta suy & > A G [0,1] I ^ A > Vì vậy

m ax/(Au) =

ĩ iu)

u điểm tới hạn Vì 7 phần tử r , cho nên

A >

3 = inf max / (7(A)) ^ inf m ax/ ( A u ) = inf f(u).

-yer Ae(0,i] 7er *>0 u:/'(u)=0

62 Chương Phư ơng pháp b iế n p h â n v m ột sỏ áp d ụ n g Như hệ bổ đề đây, ta suy

Mệnh đề 1.47 Giả sử g ( x ,u ) thoả mãn điều kiện (g\ — ge) íỉ = Kn Khi giá trị qua núi (3 giá trị tới hạn.

Chứng minh Thật vậy, biết / có điểm tới hạn khơng tầm thường giá trị tới hạn a : < a ^ p (xem ý trên) Nhưng theo bổ đề 1.46 a > Ị3 Vậy

63 P h n g trìn h đ ạo h m riê n g

C h n g

M ôt số b ấ t đẩn g th ứ c b iến p h ân v ứ n g

dụng

Trong phần giới thiệu số bất đẳng thức biến phân cổ điển 'của F E Browder, p Hartman, J L Lions, G Stampacchia, sỏ ứng dụng giải tích phương trình đạo hàm riêng Cơng cụ để tiếp cận với bất đẳng thức biến phân mà sừ dụng lý thuyết điểm bất động Tất nhiên, tránh việc dùng Bô đề KKM cách chì áp dụng Định lý Brouwer (xem Takahashi [Ta], Simons [Si])

2.1 MỞ đ ầu

Giả sử H m ột khơng gian Hilbert thực, tích chuẩn ký hiệu (■, •), ||-|| H' không gian liên hợp H, cặp đối ngẫu ký hiệu (•, •) Giả sử a(u,v) dạng song tuyến tính liên tục (khơng th iết đối xứng) H, nghĩa là, tồn hằng số M > cho

(2.1) |a(u,v)| ^ Af||u||.|M| với IL,V £ H

Giả sử

c

tập lồi H / phần từ H '.

Chúng ta xét toán dạng sau (bất đẳng thức biến phân):

Bài ti-4n Tìm u e c cho

(2.2) a(w, V — ù) —ĩ ( / , V — u) V v e C

Chú ý c = H, (2.2) tương đương với: a(u, v) = (/, v)Vv € H\ toán xét Lax Milgram (xem sách [11])

Chúng ta xét trường hợp sau:

(i) Nếu

c

tập lồi, đóng H a(u, v) coercive, nghĩa là

64 C hướng Một sô b ât đ ẳ n g th ứ c b iến p h â n ứ ng d ụ n g Bài tốn có nghiệm

(ii) Nếu ta giả sử

(2.4) a{v,v) 0 V V e c.

thì tập nghiệm X (2.2) tập lồi đóng (có thể rỗng); trường hợp X Ỷ 0 ta trình bày phương pháp xấp xỉ điểm X

Ta giải vấn đề mục sau

2.2 Sự tồ n tạ i n gh iệm

Mục đích mục giải Bài toán trường hợp (i)

Định lý 2.48 Giả sử a(u, v) dạng song tuyến tính coercive H, c c H lồi đóng và f G H ' Khi Bài tốn có nghiệm Ngồi ra, ánh xạ f H-> u Lipschitz,

nghĩa là, Ui, u2 là nghiệm Bài toán ứng với /ì, /2 Ễ H ', thì ( ) | | u i - u2\\ ^ ( l / a r ) | | / i - /2 II//'.

Chú ý ánh xạ f í—► u tuyến tính c không gian H.

Chứng minh. Ta chứng m inh (2.5) Giả sử tồn UI,U2 £ H nghiệm tương ứng

các bất đẳng thức biến phân

Ui G c : - Ui) i=i (fi,v - Ui) với V G c , i = 1, 2.

Cho V = u2, V = Ui ưong bất đẳng thức chứa Ui, u2 tương ứng ta có

a(ui - U2,Ui - u 2) ^ (/1 - /2,*Í1 - u 2).

Do từ giả thiết tính coercive a,

aịịui - U2W2 ^ ( / - Ỉ2,UI - u2) ^ 11/1 - h\\H'-\Wi - I í ||,

và (2.5)

Vấn đề cịn lại tồn u Đầu tiên giả sử a(u, V) đối xứng, xác định phiếm hàm

I(u) = a(u,u) — 2( f , u ) , u £ H.

Đặt d := infc I{ù) Vì

I ( u ) ^ ữlH I2 - ||/||//'.||u ||

65 C hương Một sõ b ấ t d ẳ n g th ứ c b iế n p h ả n v ứ ng d ụ n g

ta thấy

d - ( l / a ) | | / | | ^ , > oo.

Giả sử un dãy cực tiểu hoá phiếm hàm / c cho

{ u n

c : d <

I ( u

n) ^

d

+ (

1

/n)}.

Theo cơng thức hình bình hành, để ý c lồi, ta có

£*11^71 'M'mll ^ “ Um)

2 ữ ( u n , U n ) “ H a ( u m , XLrrì) a ( - ( t í n -Ị" U r n ) ) ( ^ n “ I” ) )

= /(u n) + 2/(um) - 4J(^(un + um)) < 2[(l/n) + (1/m)]

ơ ta sử dụng

4 (/, Un) + 4(/, Um) - 8(/, ^(un + um)) = 0.

Do dãy {un} Cauchy tập đóng c chứa phần tử u cho un —> u H

và I(un) —> ỉ(u) Vì I(u) = d.

Bây với V c , u + e(v - u) G c , ^ ^ 1, I(u + e(v — li)) ±5 /( u ) Khi

đó

2 e a ( u , V — u ) + e 2a ( v — u , v — u ) — e ( / , V — u ) —; 0

a(u,V — u) ^ ( f , v — u) — -ea(v — u,v — u) với e, ^ e ^ 1.

Cho £ = ta thấy u m ột nghiém Bài toán

Bây ta chứng m inh cho trường hợp tổng quát Trước hết ta đưa vào dạng song tuyến

tính

at = a0(u,v) + tb(u,v), ^ t ^ 1,

trong

a0(u,v) = a(u,v) + a(v,u ))

và

b(u, V) = ^(a(u, V) - a(v, tí)) Í J

là phần đối xứng không đối xứng a Ta thấy a.i(u,v) = a(u,v) at(u, v) coercive với sô' a.

Bổ đề 2.49 Nếu Bài toán ỉ giải với aT(u,v) với f e H ' , T ^ t ^ T + t0, tQ < Oi/M, và

b(u,v)

M := sup < +oo

66 C hương Một sỏ b ất đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ân ứng d ụ n g Chứng minh Nếu

u c : aT(u, V — u) ^ (FT, V — u) với u e C ,

( F t , V ) = ( / , v ) - ( t - T) b( u>, v ) v T ^ T + í0

thì ta xác định ánh xạ

T : H —* c

bởi u = Tw.

Theo giả thiết, T hoàn toàn xác định Cho U\ — Twi u2 — T w2 ta áp dụng (2.5)

||u i - u2 II < (1 /a ) ( t - t) M||iUi - IU2 || ^ (1 / a ) t 0M\\wì - iy2 ||

với toM /a < Do T ánh xạ co theo định lý ánh xạ co Banach T có điểm bất động Với u = w = Tw, ta có

U Ẽ Ữ : at(u, V — u) ( / , V — u) V V e c

và với í, r ^ t ^ T -10. □

Để kết thúc chứng m inh, ta cần để ý Bài toán giải với a0(u, V) (đối xứng)

Ap dụng Bổ đề 2.49 số hữu hạn bước, ta thấy Bài tốn có nghiệm với t = □

2.3 B ấ t đan g th ứ c b iến phân cho to n tử đơn điệu

Giả sử X m ột không gian Banach với đối ngẫu X', kí hiệu cặp đối ngẫu

giữa X X ' c c X tập lồi đóng.

Định nghĩa 2.7 Ánh xạ A : c — > X ' gọi đơn điệu nếu (Au — Av, u — v) ^ với ii ,ĩ /ẽ C Ánh xạ đơn điệu A gọi đơn điệu ngặt nếu

(Au — A7', u — v) = kéo theo u = V.

Bây ta chứng minh

Định lý 2.50 Giả sử c tập lồi, compact yếu X (Ỷ và A : c —> X ' đơn

67 C hương M ột sô' b ấ t d ẳ n g th ứ c b iế n p h â n v ứ ng d ụ n g Lưu ý A đơn điệu ngặt nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.6)

Đầu tiên chứng m inh bổ đề Ky Fan [4]

Bổ đề 2.51 Giả sử X lập lồi, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff và Ị , <7: X X X —> R thoả mãn

1 Với X cố định, f(x, y) là hàm nửa liên tục theo y;

2 Với y cố định, tập A := {x G X : g(x ,y ) > 0} lồi; 3 g(x,x) ^ với X G X.

Khi tồn y* e X cho /( x ,y * ) ^ với X € X.

Chứng minh Giả sử với y e X , tồn X G X cho f( x , y ) > Đặt Ar = {y € X : f ( x , y ) > 0}, từ tính nửa liên tục f ( x , ), suy A x mở Ta có

X = \ j A x.

x £ X

Vì X compact nên tồn m ột họ hữu hạn {x i,x 2, c X cho

m

x = \ J ax,

t=l

Chúng ta xác định ánh xạ liên tục q : Sm —> X bời

m

i=1

tro n g đ ó A £ Sm := {(Ai, A2, A m) : Ai, A2, A m í=> 0, Ai + A2 + + Am = 1}

Rõ ràng

s m = |J { A : X e Sm, f(xị,q{\)) > 0}.

1 =

Giả sử P1.P2, -,P m phân hoạch đcm vị tưcmg ứng với phủ mở Sm xác

định

p : Sm —> s m

p(A) = (pi(A), ,pm(A)) (A € s m).

Rõ ràng p liên tục Chúng ta chứng minh rằng

(2.7) p(A) Ỷ A với A € Sm.

68 C hương Mỏt sỏ' b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ả n v ả ứ ng d ụ n g Thật vậy, giả sử A e

s m,

đặt

I := {i : Pi(X)

> 0} Khi

m

QÌpW ) = ^ P i ( A ) x j e conv{xi : i e / }

Í=1 Cũng

i £ I <=> Pl(X) > = > f(xi, q(X)) > = ^ g(xi, q{X)) > 0;

do đó, từ tính tựa lõm hàm g{.,q(\)),

9{q(pW ) ,q(A)) > 0 từ

(?(p(A)),?(A)) ẹẺ A.

Điều chứng minh (2.7) ta có kết luận cùa bổ đề □

Chú ý bo đề trên, ta phát biểu dạng tổng quát kết Ky Fan chứng minh gốc Ky Fan, ta thấy õng sử dụng Nguyên lý ánh xạ KKM ta dùng kỹ thuật Takahashi [10] Simons [9] để tránh phải dùng đến Nguyên lý ánh xạ KKM Bạn đọc có th ể tham khảo cách chứng minh Ky Fan sách L Nirenberg [8], Đ H Tán N T T Hà [12] Ngày nay, Bô đề thường gọi bất đẳng thức minimax Ky Fan

Chứng minh Định lý 2.50.

Rõ ràng (A (x ), y — x) ^ (A(y),y — x), Vx,y e c (do tính đơn điệu A) Ta đặt f ( x , y ) := (A (x),y - x), g ( x , y ) := (A(y), y - x) T a thấy ngay, f { x , y ) ^

g(x, y ) Vx, y G

c

g(x, x) — Vx G c

* Với X e c , f ( x , y ) nửa liên tục yếu theo y C; tức ta chì y ►-» (A ( x ) , y ) liên tục theo tôpô ( X , X ') Với y0 e X e > 0;

W(A{x),<í) = {y e X : |(Ẩ(x),y)| < e}

là lân cận o Do N ( y 0) — yo + W(A(x),e) = {y e E : \(A(x),y — ỉ/0>I < e}

lân cận yo- T a suy

|(Ẩ(x),y) - (A{x),y0) I = I(A(x),y - y0)I < Vy € JV(y0). Vậy y !-► (A ( x ) ,y - x) liên tục theo tôpô ơ(X,X*).

* Với y e c , tập A := {x £ c : g ( x , y ) > 0} lồi T hật vậy, x u x2 G

A, a e [0,1], ta có g(xu y), g(x2,y) > Giả sử < s < ming(xi,y) Từ đó

(A(y), y - X i ) = g(xl, y ) > s hay (A{y), Xi) < (A{y), y) - s, Vi = 1,2 Vậy

69 C hương M ột sôi b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ân ứ ng d ụ n g =► (A(y)>y ~ {a x \ + (1 — °ì)x2)) > s hay g(ax 1 + (1 - a ) x2,y) > s > 0.

Theo Bo đe 2.49, tồn y* G c : (A(y), y* - x) ^ Vx e c

Lấy X e C cố định tuỳ ý, giả sử zt := tx + (1 - t)y* = y* - t(y* - X) với t e [0,1] Vì c lồi nên Zt e c với t € [0,1] Do (A(zt),y* - zt) ^ Ví Ễ [0,1] hay t(A(zt),y* — x) ^ Ví G [0,1] Đặc biệt (j4(,Zí), y* — x) ^ Ví G (0,1] Với e > 0, giả sử

^4(W):=

e x * ■

I (My*) - w>y* - x\ < e}

Tức ƯA(y*) cr(X*,X)-lân cận A(y*) Do A liên tục theo tia nên tồn lân

cận N(y*) y*: A ( z ) c ƯA(y-) € N(y*) Khi t —> 0+: zt —* y*, tồn

0 < ỗ < cho với t e (0,5) ta có Zị € N(y*) Nhưng A(zị) c UA[y') Ví (0, ổ) Từ I(f { y *) - f(zt), -y* — x)\ < e

= > (^(ỉ/*).y* - z) < (f(zt,y* - x ) ) + € =► {f(y'),y* - x) < e.

Vì e > tuỳ ý nên ( > l ( ỉ / * ) , V i g C □

Hartman Stampacchia (xem [5]) năm 1966 chứng minh

T : Rn —» Mn liên tục tập lồi, compact X R71, tồn x0 e X

cho (Tx0, x0 — x) í=ĩ với X e X F E Browder [3] mở rộng kết

cho trường hợp không gian lồi địa phương sau:

Định lý 2.52 Giả sử X tập lồi, compact không gian lồi địa phương E,

T ánh xạ liên tục từ X vào E ' Khi đó, tồn x0 X cho (Tx0, x0 — y) ^

với y £ X

Chứng minh Trước hết, ta với y X hàm gy : X —> R xác định bởi gy(x) := ( T x , x - y)

liên tục Nhớ lại tôpô mạnh E' sinh họ {U(B,e) : B bị chặn c E, e> 0}

là sờ lân cận gốc; U(B,e) := { / e E' : su p |(/,x )| < ể} Vì X compact nên

iẽB

bị chặn E Giả sử X\ phần tử X e > cho trước Do T liên tục, ta chọn lân cận V Xi E cho Vx € X n V, với y , z e X:

\ ( T ( x ) - T ( x l )ì y - z ) \ < e / 2.

Do T(x) e E', ta có th ể tìm m ột lân cận Vi trong E cho

V x e V i n X : \ ( T { x i ) , x - Xi)\ < e / Do đổ với X € X n V n V\ , ta có

70 C hương M ột sô b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứng d ụ n g Bây ta trở lại chứng m inh định lý cách xây dựng hàm / : X X X — > R bởi f{ x ,y ) := (T x , x — y) T a kiểm tra điều kiện Bổ đề 2.49:

(i) V ới m ỗ i y, h m liên tụ c th e o X ( ta v a c h ứ n g m in h );

(ii) Với X , f ( x , ) hàm affine theo y\

(iii) f ( x , x ) = V i Ẽ X.

Theo Bổ đề 2.49 tồn Xo E X : f ( x 0, y ) = (Tx0, Xo — ỳ) í=; Vy E X □

Chú ý Ta dùng dạng đối ngẫu Bổ đề 2.49.

Định lý sau cung cấp m ột điều kiện cần đủ cho tồn nghiêm bất đẳng thức biến phân

Định lý 2.53 Giả sử c tập lồi đóng X A : c —» X ' đơn điệu liên tục theo tia từ tôpô X vào tôpô yếu* X ' Điều kiện cần đủ để bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm

(2.8) u G c : (Au, V — u) -=Ị với V E c ,

là tồn R > cho nghiệm bất đẳng thức biến phân

UR e Cr : (Au r, V — Ur) í=» với V e Cr, Cr ■= c n {v : ||u|Ị ^ /?},

thoả mãn bất đẳng thức

(2.9) IM I < R.

Chửng minh Rõ ràng tồn nghiệm cho tốn (2.6), u nghiệm (2.8) ||tíỊ| ^ R.

Giả sử UR € Cr thoả mãn (2.9) Khi UR nghiệm (2.6) Thật

vậy, \\uR\\ < R, c h o D ẽ C , w = UR + e(v - UR) e CR v i e > đ ủ nhỏ Do

Ur £ Cr c C : ^ (A(ur ), w- ur) = e(A(uR), V - UR) với V e c,

có nghĩa UR nghiệm (2.6) □

2.4 T oán tử N o n co erciv e

Xét trường hợp sau: X = H - khơng gian Hilbert, (.,.) kí hiệu tích của H (.,.) kí hiệu cặp đối ngẫu H H ' Giả sử a(u, v) dạng song tuyến tính H X H cho

(2 10) o (v , u) ^ với V H. Hơn nữa, ta giả sử

71 C hương M ột sô b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ả n ứ ng d ụ n g và / G H' Xác định toán tử A : H —> H' bởi

(Au, V) = a(u, v).

G ĨẶ sử bất đẳng thức biến phân sau tồn m ột nghiệm

Uq £ c (Au0, V — Uq) í=ĩ (/, V — Uo) với V € c,

hay tương đương

(2.12) uq £ c a(uo,v — UQ) £3 ( f , v — UQ) với V Ễ Ứ

(với điều kiện c bị chặn c không bị chặn v4(-) — / phải thoà mãn điều kiện Định lý 2.53)

Tuy nhiên, điều kiện khơng thoả mãn, nghiệm UQ e c bất đẳng thức biến phân có thẽ không tồn Đẽ xem liệu m ột nghiệm

th ế có tồ n tạ i h a y k h n g , th ì đ ịn h lý sau cho ta m ộ t c âu t r ả lời P h é p c h ứ n g

minh dựa vào m ột phương pháp gọi qui elliptic Đặt

X = {tto e c : (Au0, V — uữ) ^ (/, V — u0) với V £ c } Ta X tập lồi, đóng Tuy nhiên X có th ể rỗng.

Bổ đề 2.54 Giả sử (2.10), (2.11) Khi X tập lồi đóng c Chứng minh Ta viết X dạng

x = {u0 e c : a(u0, V - u0) ^ (/, V - uữ) \/v G c }

Hiển nhiên tập x đóng C\ đó, để chứng minh Bổ đề 2.54, ta cần

ra X lồi Với Ui, 1Ì2 € X với 'ở € [0,1] ta có

a ( Ử U ! + ( — $2) ^2, V — (t9u ị + ( — $2) ^2) ) =

= a{du\^v) + a ((l — i9)tt2, v ) ~ di'dui + (1 — $2)112, $U\ + (1 — $2)^2)

= ứ a ( u i , u ) + ( 1 - - ) a ( u , v ) - iỹ2a ( u ì , u 1) - ( 1 - ’ở ) a ( u i , u ) -

- ứ (l - ứ)a(u2,u i) - (1 - ’ở)2a(u2, u 2)

= ĩ?2a ( u 1, V — I i i ) + 1?(1 — v ) + ( — ' Ỡ)2 a ( u2, V — U2) +

+ ứ (l - ớ)a(w2, v) + ứ(l - ứ)a(u 1 , tí2) - (1 - tf)a(it2, Wi)

= d 2a{ui , v - til) + (1 - d f a { u 2, v - u 2) + ứ ( l - ) a ( u i , u - u2) +

+ ĩ ? ( l - d ) a { u , v - U i )

= + - ứ ] a ( u i , v - Ui) + (1 - ử)[l - + ứ]a(u2,v - u2) +

+ í9(l — 1 — u2) + $(1 — 'ớ)a(u2.U2 — lí])

72 C hương M ột s ố b ấ t d ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứ n g d ụ n g

i=ĩ — U i ) + (1 — d)a{u2,v — u2) (th e o giả thiết ( ) )

Chú ý ta sử dụng phân tích:

a(ui, V — IÍ2) = a(ui,v — Ui + U\ — Ii2), a,(u2, V — Ui) = a(u2, V — IÍ2 + u2 — Wi).

Khi U i , U2 G X A G [0,1], suy Aiti + (1 — A)u2 G X điều chứng

minh Bổ đề 2.54 □

Bây giả sử P(u,v) dạng song tuyến tính liên tục H X H, không thiết đối xứng coercive g e H' Vì tập c lồi đóng nên theo Định lý 2.50

tồn UQ c thoả mãn

(2.13) 0{uo, V — u0) (g, V — Uo) với V e c

Với e > ta xét dạng (chính qui elliptic a 0)

a(u, V) + €0 (u, v).

Rõ ràng dạng song tuyến tính coercive H, theo Định lý 2.50, tồn nghiệm ut bất đẳng thức biến phân

(2.14) u e G c : a ( u t , V — u t ) + cị3(ue, V — ut ) —5 ( / + t g, V — u t ) với mọi V £ c

Chúng ta có định lý sau

Định lý 2.55 Giả sử (2.1), (2.10), (2.11), (2.12) Khi Bài tốn có nghiệm và tồn số L, độc lập với e, cho nghiệm ue (2.13) thoả mãn

(2.15) \\U'\\ ^ L

Trong chứng m inh định lý, ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 2.56 Giả sử c tập lồi đóng X A : c > X ' đơn điệu liên tục

theo tia từ tôpô X vào tơpơ u* X ' Khi u thoả mãn (2.16) u € c : (Au, v - u ) ± i v i V e c

khi thoả mãn

(2.17) u € c : (Av,v - u) í=» với V e c

Chứng minh Đầu tiên ta (2.16) = > (2.17) Do từ tính đơn điệu A,

0 ^ (Av - Au, V - u) = (Av, V - u) - (Au, V - u) với u,v e c. Do

73 C hương M ột sc bất đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứ n g d ụ n g Bây ta (2.17) ==> (2.16) Giả sử w e c với ^ t ^ 1, V = u + t ( w - u ) e c

c

lồi Do (2.17) với

t >

0,

(A(u + t(w — u)), t(w — u)) í=; 0, hay

(A(u + t(ui — u)), w — u) ^ với w ễ C

Vì A liên tục theo tia từ tơpơ X vào tôpô yếu* X 1, cho t — > ta có u e c : {Au, w — u) í=ĩ với w € c.

Bổ đề 2.57 Nếu a(u ,v ) dạng song tuyến tính liên tục tên H cho a(v,v) £3 với

V G H , hàm V a(v, v) nửa liên tục yểu.

Chứng minh Trong chứng minh Bổ đề 2.54 ta cho V = 0, ta có

a{-dui + (1 - ^2) ^2, tiui + (1 - ứ 2)u 2) ^ -ớa(ui,ĩii) + (1 - 1?)a(ií2, “2

)-Do ĩ(v) := a (v ,v ) hàm lồi, từ tập {ư e V : f( v ) ^ A} lồi với A G R Mặt khác / liên tục nên tập đóng Theo định lý Mazur đóng yếu Ta có kết luận Bổ đề

Nhận xét T a nhớ lại định nghĩa hàm nửa liên tục yếu:

Cho F : M c X —*■ R m ột phiếm hàm tập M không gian tuyến

tính định chuẩn X Phiếm hàm F gọi nửa liên tục yếu

F(u) ^ lim infF(un), Vu e M {u„} c M, un —*■ u n —> 00

n—*00

Từ đó, ta có thẻ lý luận bước cuối Bổ đề 2.57 sau: Giả sử /

là nửa liên tục yếu Suy tồn u € M dãy {tí„} c M, un u

n —> 00 cho

/( li) > lim inf/ ( u n)

n—> 00

Do đó, tồn r E : r < f( u ) un e Mr := {u : /(li) ^ r} Vn n0(e) Vì Mr lồi

đóng nên u G MT hay f( u ) ^ r, điều đổ vô lý.

Chứng minh Định lý 2.55. Đ ầ u tiê n g iả sử X Ỷ 0- V ì X m ộ t tậ p lồ i đ ó n g

c c H, nên tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân u 0 € X : 0 { u o , v - u 0) ^ ( g, V - Uq) với m ọi V e ỵ

Hơn nữa, Uo e X, ta có

UQ € X : a(u0, V - u0) *=> (/, V - Uo) với V e c.

Cho V = ut b ất đẳng thức thứ hai V — Uo bất đầng thức biến phân xác định Iie, cộng vế với vế ta

74 C hương M ột sô” b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứ n g d ụ n g

Nhưng a(uo,ut - ti0) + a(uf , u0 - iiỄ) = - a ( u t - u0, ut - u0) ^ Do đó

P(ue, Uo - ue) (g, u0 - ut )

và tính coercive của /?(.,.),

A ) I M | ^ 0(ue, u t ) ^ P ( u 0, u t ) + (g, u - u f )

^ C | | u € | | | | t i o | | + c 2(\\ut \\ + l l u o l l ) ^ C ( + I M ) ,

trong

c

= C(\\uo\\,g,0) Do đó, C||ue|| ^ (Po/2)\\uẺ\\2 + [C2/ {2Ị3q)),

\\ \ \ ^ L = + (C/ P0), trong L độc lập với e.

Bây giờ, giả sử |Ịite|| ^ L, độc lập với e Khi tồn m ột dãy uv ue

sao cho Utj —1 w H Do w G

c

ta chì ra

Định lý sau cho ta m ột phương pháp xây dựng xấp xỉ u0

Định lý 2.58 Giả sử (2.1), (2.10)-(2.12) U Q phần tử X xác định (2.13)

và ut e

c

xác định (2.14) Nếu dãy uf bị chặn ut —> u0 H £ —>

và Uo £ X : P(u0ì V — U o) (g, V — UQ) với V €

X-Chứng minh Vì ||ii£|| ^ L (độc lập với e), X Ỷ từ định lý trước ngược lại Do tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân

Vì ||ue|| < L nên tồn m ột dãy Utj ut cho u-q — w H Trong

phần đầu định lý trước ta chứng minh

và w e ỵ.

□

u0 e X : (3{u0,v - u ) (g, V - u0) với V <E ỵ.

75 C hương M ột sỏ b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứ ng d ụ n g Vì Ị3{v, V) nửa liên tục yếu (Bổ đề 2.57) nên

Tiếp theo ta u€ —* u0 H, theo bước sau

(i) w = u 0;

(ii) Ite —!- u0 H, và

(iii) ut —> u0 H.

Vì u0 e X và ị3(u0, V — u0) (g, V — u0) với V G X và w X, ta có

Khi từ P(w — U Q , W — u0) ^ từ tính coercive Ị3 ta có: ||tư — Uoll = 0;

đó w = Uq.

Vì UQ giới hạn dãy hội tụ yếu ut, ta có Iie —*■ UQ

trong H Phần lại ta hội tụ mạnh T hật vậy,

Po\\ue - Itoll2 ^

0

{ue - U ũ , U c - U o ) =

0

{ut,ue - Uo) - /3 ( u , u ( - u0).

Cho e —> 0, j3(u0,u e — u0) —* Mặt khác,

Trên đây, khào sát số k ết bất đẳng thức biến phân P hần lớn kết chứng m inh lấy từ tài liệu [5], [6] Chúng tơi bổ sung xác lại m ột số chi tiết chưa xác chứng minh gốc Riêng Định lý 2.50, sử dụng kết bất đẳng thức m inim ax để chứng minh Trong ứng dụng lý thuyết KKM hai lĩnh vực có mối quan hệ chặt chẽ T iếp theo cung cấp số ứng dụng kết vừa trình bày

2.5

M ộ t số ứ n g dụng

1 Định lý vể giá trị tru ng gian cho không gian Rn:

Chúng ta áp dụng Định lý 2.52 để chứng minh kết thú vị sau

Định lý 2.59 (Định lý Bolzano-Poincare-Miranda) xẻt hình hộp

0(uo,w - u0) í=Ị ( g , w - u0).

P ( u ( , u t — u o) ^ (g , u e — Uq) —» e — >

Do Iie —* u0 H.

□

Anh xạ f : J * Rn liên tục thoả mãn điều kiện

fi (x )fi(y) ^ x t = 0, Vi = (i = , , n).

Chứng minh tồn x ' e J cho f(x*) = 0. Chứng minh:

• Trường hợp n = 1: định lý Bolzano cổ điển;

• Với e > đủ nhỏ, xét hàm / f := / + eỉ Với i, ta có f l ( x ) = f t(x)

với X có Xi = v ff(y) = fi(y) + e với y có Vi = T

• Nếu fi(y) 0 ta có fỉ(y) > Do giả th iết nên fi(x) ^ 0, f ị ( x ) ^ 0.

• Nếu fi(y) < th ì ff'(y) < (vì ta chọn e > đủ nhỏ) Từ giả th iết suy

fi(x) í=ĩ 0, VI f 'Jx) í=ĩ Tóm lại với i ta có

x = 0 = ! í h°?c m > ° /■(*) <

[hoặc f- ( y ) < f-(x)

• Từ đó, ta xây dựng hàm / c, toạ độ f' = ± /,e, với cách chọn thích hợp dấu, ta có với i: f f ị x ) ^ với X c ó thành p h ần Xi = f ' ( x ) >

với X có thành phần X ị =

Ap dụng Định lý 2.52 cho trường hợp Rn, ta suy tồn x í cho

( f í (xi ), y — £f) 0 với y G J

n

< = > ỉ2 f i [ * e) ( ĩ / - x t k ^ 0

<=> £

f i ( x e) y i + Ỵ f í ( x c) ( y i - l ) + f ĩ f c e) ( y - x *)i

^ 0

(z'),=0 (x£), = l 0<(x')i<l

' - V - " v V

-^ s.h.3

Do f t {xí) 7^ 0, ta chọn y cho s.h.3 < trái với (2.17)

Tóm lại, / £(xf) = 0, đồng thời suy

f ( x c) + e x ( = 0.

Vì J compact nên {xf} trích lưới hội tụ, ký hiệu {xc}, x t —> X*

Cho e —> ta thu f(x*) = □

Bạn đọc có th ể xem cách chứng minh khác phần ũý thuyết bậc hữu hạn chiềuũ Cũng ý Định lý giá trị trung gian m ột dạng tương đưcmg Nguyên lý điểm b ất động Brouwer

2 Điểm bất động ánh xạ không giãn.

Trong mục ta p h át biểu chứng minh mở rộng nguyên lý ánh xạ co sang trường hợp ánh xạ không giãn không gian Hilbert

77 Chương Một sô b ất đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n ứ ng d ụ n g

Định nghĩa 2.8 xạ A : X —> X khơng gian Banach vào gọi là

khổng giãn, nếu:

\\A(x) - A(y)\\ ^ ||x - y||.

Định lý 2.60 Giả sử H không gian Hilbert c c H tập lồi đóng bị chặn {Ỷ 0J- Giả sử F : c —> c ánh xạ không giãn Khi F có điểm bất động.

Chứng minh T a có th ể lấy H' = H cặp đối ngẫu là tích vơ hướng H

Nếu F khơng giãn I — F ánh xạ đơn điệu T hật vậy, Vx, y e c ta có ((/ - F)x - Ự - F)y, x - y ) = ( x - y - (Fx - Fy), X - y)

í=í II® - y\I2 - ||F x - Fy\\.\\x - y\\

í=» \\x - y\\2 - Ị|x - y\\2 = (do F không giãn)

Theo Định lý 2.50 ta suy tồn x0 G c : ((/ — F)x0,y — x 0) £5 Vy G c Chọn

y = F x0, ta có Xo — F x □

Chú ý định lý trường hợp không gian Banach lồi (năm 1965 F E Browder D Gohde chứng minh kết độc lập nhau) Tuy nhiên, định lý cho trường hợp không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc (do w A Kirk chứng m inh vào năm 1965, bạn đọc có thê xem chứng minh sách [12])

3 Bài toán Minimum.

Chúng ta xét Bài toán Minimum sau:

(2.18) F(u) := ~ í ^ ( d j u) - í fu d x = !

G t=1 G

trong

M := {u e W2 (G) : u(x) ^ với hầu hết X G G},

cùng với bất đẳng thức biến phân sau đây:

(2.19) u e M :

í

dM dJv ~ dju )dx -

Í

f ( v - u)dx ^ với V e M

G i=1 G

Mệnh đề 2.61 Giả sử f € L2{G), G tập mở, bị chặn, khác rỗng

jV Í=Ị 1 Khi Bai tốn Minimum (2.18) có nghiêm u, đồng thời

nghiệm bất đẳng thức biển phân (2.19).

78 C hương Một sỏ' b ất đ ẳn g th ứ c b iế n p h ản vả ng d ụ n g

Bổ đề 2.62 Giả sử un > u tro n g L2(G) n —> oo, G tập mở, khác rỗng

trong RN, N 1 Khi tồn dãy {tin'} vị hàm w € L2{G) cho

un/ —►u(x) với hầu hết X £ G,

và | u n ' ( : r ) | ^ w(x) với rí với X e G.

Bạn đọc có th ể xem chứng minh Bổ đề tài liệu [11]

Bổ đề 2.63 (Bất đẳng thức Poincare-Friedrichs) Giả sử G tập mở bị chặn

của RN, N = 1,2, Khi đó, tồn s ơ' c > cho bất đẳng thức sau đúng:

c

í

u2dx ^

ị

^^(dju

) 2 với

u

€ H72 (G). J •

G G J

Mệnh đề Đặt X := w j (G) và

í N

a ( u , V ) : = d j u d j v d x ,

G j =1

b(u) :=

J

G

Ị u d x , với u,v G X.

* Ta a : X X X —> R dạng song tuyến tính liên tục, coercive : ÀA —^ R

là tuyến tính liên tục Đặt

và nhớ

" 1 / 2

11.2 = ụ (v + X ^ V)2) )

G i =

IMb

là chuẩn X Theo bất đẳng thức Schwarz, với V, w G X , ta có

|a ( u ,u ;) |^

Ị'S"\djvdjw\dx

Jo <-> N

79 C hương Một sỏ b ầt đ ẳ n g th ứ c b iến p h â n ứ ng d ụ n g nghĩa là, ặ,.) bị chặn Hiển nhiên, ặ,.) song tuyến tính, a (v,w ) = ăw,v) hay

a ( , ) đui xứng Từ bất đẳng thức Poincare-Friedrichs

c J ( v 2 + ^ 0- + C) J ^ ^ (d j v ) 2dx với V e X.

G j=1 G j =1

D o đ ó C {1 + C ) - I M Ì?,2 ^ a ( u , v ) v i m ọ i V e X , n g h ĩ a l a ( , ) l c o e r c i v e

Phiếm hàm : X —> E Theo bất đẳng thức Schawrz, |f-i(u)l ^

J

ịfu ịd x < | | / | | 2|M |2

G

^ l l / l |2||w ||i,2 với m ọi u e X b(.) tuyến tính b phiếm hàm tuyến tính liên tục.

* Hiển nhiên, tập M lồi Hơn nữa, M đóng Thật vậy, nếu un —> u M n —> oo,

thì tồn dãy {u n'} cho

un> —> u (x ) n' —» oo với hầu hết x e G ,

do Bổ đề 2.62 Do đó, un(x) ĩ=i với hầu hết X G với n, suy u(x) với

hầu hết X E G, u G M

Áp dụng Định lý 2.48 ta thu điều phải chứng minh □

2.6 P h ụ lục: Đ ịn h lý Lax-M ilgram phi tu yến

Chúng ta muốn giải phương trình tốn tử phi tuyến

(2.20) Au = z V e H.

Ta giả th iết rằng:

(Hl) Toán tử A : H —► H đơn điệu mạnh không gian Hilbert thực H, nghĩa

là, tồn số c > cho

(Au - Av, u -v )-~ > c||u - v\\2 với u ,v € H.

(H2) Toán tử A liên tục Lipschitz, nghĩa tồn L > cho

80 Chương Mỏt s ố b ất đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ả n vả ứ n g d ụ n g Định lý 2.64 (Zarantonello, 1960) Với mỏi z cho trước thuộc H, toán (2.20) có nghiệm u.

Chứng minh Phương trình (2.20) tưcmg đương với tốn điểm bất động

(2.21) u = Bu u e H,

trong B u := u — t(A u — z) với t > cố định.

Nếu H = {0}, mệnh đề tầm thường Giả sử H Ỷ 0- Với u ,v € H,

(2.22) IIB u — B v |Ị2 = ||ĩi — v\\2 — 2t(Au — Av, u — v) + í2||j4u — A v\\2 ^ m\\u — uỊ|2,

trong m := — 2tc + t2L 2.

Từ (22), m > Nếu t = t = 2, 771 = Điều kéo theo

k := y/ĩrĩ < với t e ^0, ^ J Do đó,

\\Bu — B v II ^ k\\u — v|| với u ,v € H, nghĩa là, toán tử B k - co với t e (0, !§).

Theo định lý điểm b ất động Banach, to n (2.21) có nghiệm u □ Ngoài ra, từ định lý điêm bất động Banach, ta suy với UQ cho trước thuộc H t cố định thuộc (0, !§), phép lặp

Un + = un - t(Au„ - z), 71 = ,1 ,

hội tụ tới nghiệm u toán (2.20) Hơn nữa, ta có ước lượng sai số ||u - u n || ^ kn(l - /c)_ ||u i - txoll v i n = , ,

Bây muốn tìm u cho

(2 ) a(u, V) = b(v) v i m ọ i V e H

Ta giả th iết

(Hl) Giả sử b H —► IR phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert

thực H]

(H2) Giả sử a : H X H -> R hàm cho, với w e X ,

V I—► a( w, v)

81 C hương Một số bãt đ ẳ n g th ứ c b iế n p h ân ứ ng d ụ n g (H3) Tồn số dương L c cho, với u ,v ,w G H ,

c\\u — 1>|Ị2 ^ a(u, u — v) — a(v, u — v)

và

Ia(u,w) - a(v,w)\ ^ L\\u - f |||M |.

Định lý 2.65 (Định lý Lax-Milgram phi tuyến) Bài tốn (2.23) có nghiêm nhất.

Chứng minh Từ (H2) định lý Riesz, với w e H, tồn phần tử gọi Aw sạo cho

a(w,u) = (A w ,u ) với u £ H. Ta có ánh xạ A : H —> H Từ (H3) ta suy ra

cỊ|u — ĩ;||2 ^ (Au — Av, u — v) với u ,v e H, nghĩa là, A đơn điệu mạnh Hơn nữa,

\{Au — Av, Iư)| ^ L\\u — ullllHI 'rôi m(?i u ,v ,w e H. Do

IIAu - Av\\ = sup \(Au - Av, Iư)| ^ L\\u - u|| với u ,v G H. ||uj||<

Lại theo định lý Riesz, tồn z E H cho

b(u) = (z ,u ) với u G X.

Do đó, tốn (2.23) tương đương vứi phương trình tốn tử

(2.24) Au = z, u e X.

Theo Định lý 2.64, phương trình (2.24) có nghiệm u.

Trong trường hợp đặc biệt a : H X H -* R song tuyến tính, bị chặn, coercive, nghĩa

a(w w) c ||ií; ||2 với m ọ i VJ H c > c ố đ ịn h ,

82 P h n g tr ìn h đ ạo hàm riê n g

C hư ơng

P h a n g p h p to n tử n điệu

3.1 G iới th iêu chun g

Giải tích phi tuyến m ột lĩnh vực tương đối rộng, v ề m ột khía cạnh đó, cho tốn thực tế so với giải tích tuyến tính Vì việc giải tốn phi tuyến khó khăn ta thường sử dụng kết tốn tuyến tính tương ứng Một số phương pháp truyền thống thường sử dụng giải tốn phi tuyến là: Phương pháp hàm Green, phương pháp biến phân, phương pháp bậc ánh xạ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động, phương pháp toán từ đơn điệu Mỗi phương pháp có ưu-nhược điểm mà nắm rõ chúng, ta lựa chọn sử dụng toán cụ thê Trong chương tìm hiểu m ột phương pháp số này: phương pháp toán từ đơn điệu

3.2 B ài to n x u ấ t p h t

Định nghĩa 3.9 Cho tốn tử F : R —► R Ta nói

i) F đon điệu tãng nếu

F(x) ^ F{ý) Vx < y. ii) F đơn điệu giảm nếu

F(x) > F(y) Vx < y. iii) F đơn điệu tăng thực nẽu

83 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu iv) F đơn điộu giảm thực nếu

F(x) > F(y) Vx < y.

v)

F

đơn điệu F đom điệu tăng đơn điệu giảm.

vi) F đơn điộu thực F đơn điệu tăng đơn điệu giảm thực sự.

Định lý 3.66 Cho toán tử F : R —► R liên tục Thế thì điêu kiện cần đủ để phương

trình

có nghiệm ĩ ẽ K với y e R ỉ) F đơn điệu thực sự.

ii) |F(x)| —» oo |x| —» oo.

Chứng minh Điều kiện cần: i) Giả sử ngược lại F khơng đcfn điệu thực Thế tồn

chẳng hạn u < V < X thoả mãn F(u) ^ F(x) ^ F(v) Vì F liên tục nên tổn 2 e (u , V)

sao cho F(z) = F(x) Điều mẫu thuẫn với tính nghiệm phương trình F(x) = y Do F đơn điệu thực sự.

ii) Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Có F liên tục đơn điẹu thực suy F song ánh R Từ ta

có điều phải chứng minh □

Bổ đề 3.67 (Bổ đề bản) Giả sử F : R" liên tục tồn r > thoa mãn

(3.1) F{x) = y

3.3 T oán tử R 7Ỉ

Định nghĩa 3.10 Cho toán tử F : M" - ể R n Ta nói i) F đofn điệu nếu

F{x) x > Vx G IR" : |x| = r.

Khi tồn nghiêm phương trình F(x) = hình cáu đóng

84 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệ u Chứng minh Giả sử ngược lại

F(x) ^ Vx <E ỖT.

Thế ánh xạ

g : Ỗ T B Tí g{x) =

K (*)l

được xác định từ tính liên tục F(x) suy g(x) liên tục hình cầu đóng ỖT

Theo định lý điểm bất động Brouwer tồn X* £ Ỗr cho

g{x*) - X*.

Suy |:r*| = Lợ(z*)| = r D o r = X* ■ X* = q ( x ’ ) • X* = — |F^r ^ F ( x * ) • X* < Điều

vô lý chứng tỏ điều giả sử khơng Ta có điều phải chứng minh □

Định lý 3.68 Cho toán tử F : Rn —» Mn liên tục thoả mãn

(3.2) B , S ĩ L £ = 00

| x | — oo | x |

Thế phương trình

F{x) = y

có nghiệm X € Kn với y e Kn Hơn thế, F đem diệu chặt, tức là

(F(x) - F(y)) ■ (x - y) > 0, Xỹảy

thì nghiệm nhất.

Chứng minh Xét ánh xạ

G : Rn -» Kn, G(x) = F{x) - y.

Vì F(x) liên tục nên G{x) liên tục Mặt khác từ (3.2) suy với y e Rn cố định

G { x ) ■ X = F { x ) ■ X - y ■ X > khi |x| = r đủ lớn. Theo bổ đề tổn X £ B T :

G(x) = hay F(x) = y.

Hơn F đơn điệu chặt, giả sử x u x e R n nghiệm phương trình F(x) = y.

Suy ( F( xi) - F ( x 2)) ■ (an - x 2) = Do X1 = x2 hay nghiệm Định lý

85 C hương P h n g p h áp to n tử đơn đ iệu

3.4 T oán tử k h ôn g gian H ilbert th ự c

Định nghĩa 3.11 Cho X không gian Hilbert thực với tích vơ hướng < *, • > cho mọt toán tử F : X —* X Ta nói

i) F đơn điệu nếu

< F ( x ) — F(y), X — y > > ũ Vx, Ỉ / G X

ii) F đơn điệu chặt nếu

< F ( x ) — F( y) , x — y » Vx, y e X : X Ỷ y

iii) F đcm điệu m ạnh 3c > :

< F(x) — F( y) , x — y > > c\x — y\2 Vx, y £ X.

Bổ đề 3.69 Cho X không gian Hilbert thực Cho toán tử F : X —* X liên tục yếu thoả mãn

(3.3) < y — F( z ) , x — z >> Vz e X.

Thế F(x) = y.

Chứng minh Đặt

z = X ± t u (t > 0).

Thế từ (3.3) suy

* sp < y — F (x ± t u ) , u >> 0. Vì F liên tục yếu nên cho í ị ta có

=F < y - F(x),UJ >> 0. Do

< y — F(x),u> > = Vcj G X. Suy điều phải chứng minh

Định lý 3.70 (Zarantonello-1960) Cho X không gian Hilbert thực tử F : X -» X dơn diệu mạnh liên tục Lipschitz, tức 3L > :

| F (x) - F ( / ) | ^ L |x- ĩ/|

Thế phương trình

(3.4) Fix) = y

có nghiệm X G X với y € X

86 Chương P h ơn g p h p to n tử đơn đ iệu Chứng minh Xét ánh xạ

G : X —» X , G(x) = X — t(F(x) — y) với í > đủ nhỏ cố định.

Dễ thấy nghiệm phương trình F(x) = y điểm bất động G ngược lại Mặt khác từ tính đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz F ta có

IG{x) - G{x)I2 = \x - x\2 - t < F{x) - F { x ) , x - X > +t2\F{x) - F{x)|2

^ ( l - t c + t2L2) \ x - S \ 2.

2 c _

Với t G (0, “ ) ta có k2 = — 2tc + t2L2 < Do G co theo định lý ánh xạ co

Banach ta có G có điểm bất động hay phương trình F(x) = y

có nghiêm X € X với Ị / ẽ X Định lý chứng minh □

Định lý 3.71 (Lax-Milgram phi tuyến) Cho X không gian Hilbert thực Cho

phiếm hàm thực a : X X X —y R b : X R thoả mãn

i) b(-) tuyến tính liên tục.

ii) a(x, ■) tuyến tính liên tục với X Ẽ I iii) Tồn L , c > thoả mãn

a(x, X - y) - a(y, X - y) > c\x — y\2 Vx, y e X.

|a(x, z) - a(y, z )I ^ L\x - y\\z\ Vx, y ,z X. Thế phương trình

(3.5) a( xt y) = b(y) Vy e X

c ó n g h i ệ m d u y n h ấ t X G X

Chứng minh Theo định lý Riesz, từ i) ii) suy tồn í, F(x) X cho

b ( y ) = < t , y > và a(x, y) =< F{x), y > V y e X

Từ iii) ta có

< F(x) - F ( y ) , x - y > = a{x, X - y) - a(y, X - y) > c\x - y|2 Vx, y £ X.

I Fi x) - F{y) I = sup I < F{x) - F{y), z > I

87 Chương P h n g p h áp to n tử đơn đ iệu < £ |® - y | Vx, y e X

Theo định lý Zarantonello suy phương trình F(x) = t

có nghiệm X e X với t e X Do phương trình

a(x,y) = b{y) Vy e X

có nghiệm X 6 X Định lý chứng minh.

□

Định lý 3.72 (Lax-Milgram tuyến tính) Cho X khơng gian Hilbert thực Cho

các phiếm hàm thực a : X X X —> R b \ X —» R thoả mãn

i) b(-) tuyến tính liên tục.

i i ) a ( - , •) l s o n g t u y ê h t í n h l i ê n t ụ c

iii) a coercive tức tồn c > thoả mãn

a(x,x) > c\x\2 Vz € X.

Thề phương trình

(3.6) a(x, y) = b(y), Vy e X

có nghiệm ĩ G l

Chứng minh Ta suy trực tiếp từ định lý lúc này

a(x, X - y) - a(y, X - y) = a(x - y, X - y) > c\x - y|2 Vx, y e X.

|a(x, z) - a(y, z )I = a(x - y , z ) ^ L\x - y\\z\ Vx, y ,z e X.

Ví dụ Xét tốn biên Dirichlet phương trình elliptic cấp 2

Ị - Ế Ể ; ( AiAx)Ề

;)+Ềổj(í)| + C(Ạ =/,

xen,

< ij= * j=l

= n miền mở bị chặn có biên trơn Rn Ký hiệu

aQ:= inf eiA lAx)eJ > 0; bo := sup \ Bj {x)l c0 := inf C{x)

u *€iie€S" J xen ;/=M xì

Giả thiết A ij( x) , Bj ( x ) , C( x ) , f ( x ) bị chặn n Khi nếu ao Co > Ịq

thì tốn có nghiệm yếu không gian

88 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu Chứng minh Ta biết H^(íì) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

< u, v >= Ị n

VùỤvdx.

Nghiỏm yếu toán hàm u e Hq(ũ) thoả mãn

■ Tỉ n

I X ì + X ] B i^ ~ d x v + c (x )uv dx = [ f

vdx-ií Líj=í

J

j=1

j

J

ố

Xét phiếm hàm thực

n

V—-V ỡti dv ^—\ ỡu

,5 ,

AiẢX)^ ; § i

+ £ Bi(l) J | v+C(I)

í j = i J * j = i J

b(v) = Ị f vdx, Vv € Hq(í ì)

n

dx, Vti, V £ Hữ ( f ỉ )

Dễ thấy nghiệm phương trình

a(u,v) = b(v), Vv £ Hq(Q)

là nghiệm yếu toán ngược lại Ta chứng minh a phiếm hàm song tuyến tính đối xứng thoả mãn điều kiện coercive b phiếm hàm tuyến tính liên tục Thật vậy, tính song tuyến tính a bà tính tuyến tính b rõ ràng Từ bất đẳng thức Buniakowski Poincare-Friedrichs ta suy a, b bị chặn

|a(«.»)l < / [ è

+ Ẻ

ã L » j= i j * j - i 3

' ’I'ềĩ‘ ‘

dx

ẳ /‘Ê

+ M

\ J U X j \ J

*j=1 \n / \n

ế W ( / H

, v i

/ \ / \

(£r

+ M Ụ \u\2d x j ^ / h

^ Mn2||u||||v|| + Mn|M|c|M| + Afc2ị|u||||v|

= C|H||M|.

89 C hương P h n g p h p to n tử đơn đ iệ u

M \n\'ĩ Ụ \ v ( dx ^ Mc\\v\\.

Vậy a, b phiếm hàm tuyến tính liên tục Hơn từ bất đẳng thức Cauchy ta có

Do

với

- / Ẹ “« | Ệ |2- 6“E I Ễ “I+C»|U|2

'

n Lj=i

J

3

=1

J J

= J a0|Vií|2 - ò0 ^ J ^ -u | + CoM2 dx

n L = -7

> (a0 — ị0e) Ị ỊVií|2dx + (c0 - ^-) J \u\2dx > (a0 - b0e)\\u

bo ^ ^ aũ

< e < T^

4 Co bo

Vậy theo định lý Lax-Milgram tuyến tính phương trình (3.6) có nghiệm hay tốn có

nghiệm yếu Điều phải chứng minh □

3.5 T ốn tử k h n g gian H ilb ert th ự c tá ch đư ợc

Định lý 3.73 (Browder, Minty) Cho X không gian Hilbert thực tách cho một toán tử F : X -> X liên tục yếu, đơn điệu thoả mãn

< F( x) , x >

(3.7) im - ^ - = 00

| i | —*oo | X |

Thế phương trình

(3.8) F{x) = y

90 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu Chứng minh Vì X không gian Hilbert tách nên tồn sở trực chuẩn {eic}kLi X Đặt X n := span{ek}^=1 Xét họ phép chiếu

n

p„ : X —> x n, pnx = 'Y ' < x , e k > ek. k= 1

và toán tử

Fn : X n -> X n, Fn(xn) = PnF (x n). Từ tính đơn điệu liên tục yếu F suy ra

< Fnx — Fnx, X — X > =< PnF(x) — PnF(x), X — X >

=< F(x) — F(x), Pnx — Pnx >

= < F(x) — F(x), X — X > > V x ,ĩ £

và với Xk —> X trong X n suy Vy e X n

< Fnx k - Fnx , y > = < F{xk) - F( x) , y >-» (k —> oo).

suy IFnXk — Fnx I = sup I < Fnx k — Fnx , y > I —» (k —» oo) Vậy Fn đcm điệu \y\^ 1

và liên tục không gian vectơ hữu hạn chiều X n Với y e X cho trước, đặt

yn = Príy £ X n có

\Vn - y r =

oo ^ oo

Ỵ2 < y , e k > e k = Ỵ2 \ < y , e k > \2 0 (n —> oo).

fe=n+l fc=n+l

nên tồn M > thoả mãn \yn\ < M Vn |y| < M Mặt khác từ (3.7) tồn r > thoả mãn

< F( x ) , x >> M\x\ V|i| > r. Suy \/xn € X n : \xn\ = r

I < Fn(xn) - y n, x n > I = I < F( x n) - y , x n > I > (M - |yn|) K | > 0. Theo bổ đề phương trình

F r j ( - ^ n ) Un

ln có nghiệm x n € X n thoả mãn |xn| ^ r Vì X khơng gian Hilbert nên ta trích từ {xn} dãy ký hiệu {i„} hội tụ yếu X đến X G X Ta

sẽ chứng minh X là nghiệm phương trình F ( x ) — y Thật vậy, với 2 G X đặt

zn = pnz e x n. Ta có

< y — F( z n), x n — zn > = < y ~ F (zn), Pnx n — Pnzn >

= < Pny PnF'(zn) Xn zn >

91 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu

^ -fn(-^n) F'n(zn), x n zn >

>

Cho n —* oo với ý zn —> 2 X , x n —>■X trong X ta được

< y - F( z ) , x - 2 > >

Theo bổ đề 3.69 suy F(x) = y Định lý chứng minh □

Ví dụ Xét tốn biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có cấu trúc diver­ gence

(3.9) — diva(Vu) = / , X e ũ ,

U|ổn =

trong Í2 miền mở bị chặn có biên trơn R", / L2(Q) Giả thiết a : R" —* R" trơn thoả mãn

i) a đơn điệu, ii) 3c > :

(3.10) |a(p)| ^ c(l + M),

iii) a coercive tức 3(1 > 0, /? > :

(3.11) a{p) ■ p > a\p\2 - p.

iv) Toán tử Nemyski a (vẫn ký hiệu a) không gian L2(ũ)

a : L2(Q) -> L2(Q),a(u)(x) = a(u(x))

liên tục yếu tức là với V € L2(Q)

Ị a { u m){x)v(x)dx I a(u)(x)v(x)dx um —> u ưong L2(Q)

n ố

Khi tốn ln có nghiệm yếu Hơn a đơn điệu mạnh nghiệm la

Chứng minh Ta biết không gian HẶ(Q) không gian Hilbert tách với tích vơ hướng

(3.12) < u , v > = Ụu( x)Vv(x)dx.

92 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu Ta nhác lại khái niệm nghiệm yếu tốn (3.9), hàm u e Hị{Vt) thoả mãn đồng thức

/ a( Vu( x) ) Vv( x) dx = í f(x)v(x)dx \/v e ^ Ị(ÍÍ)

n n

(3.13)

Xét phiếm hàm thực HẶ (Í2)

b(-) : Hq(Q) —> R, b(v) = Ị f ( x) v( x)dx

n và với u e HẶ (íĩ)

A{u, ■) : Hq(U) —* M, A(u,v) =

J

a(Vu(x))Vv(x)dx.

n

Từ (3.10) bất đẳng thức Buniakowski, Poincare-Friedrich ta dễ dàng chứng minh được A(u, ■), b(-) phiếm hàm tuyến tính liên tục.

|6(v)|2 ^ Ị'J \ f ( x ) v ( x ) \ d x \

^ Ị \ f ( x ) \ 2dx Ị \v{x)\2dx

n n

< \\f\\ỈHQ)M Ị \ V v ( x ) \ 2dx n

Ế c

<: 2c

^ CIMI2

\ A(u, v)\2 ^ ị ị |a(Vit(x))Vu(x)|dx

\ ũ

í [ \Vv(x)\dx + [ |Vix(z)Vt;(x)|cíx I

Vn n ì

/ |v,,(

a:)|dx + / I Vii(z) Vu(,

V

n

J n

- * *

2\

[ |Vt;(a:)|cỉx + |Vu(x) \7v(x)\dx

J

n n )

< c2 ( |í ỉ| | M I + I M I M )

= c \ \ v f

Vì theo định lý Riesz tồn F(u), G -^ô(^) thoả mãn

93 Chương P h n g p h p to n tử đơn d iệu Đẻ ý u G HẶ(ÍÌ) nghiệm yêu toán (3.9) u nghiêm phương trình F(u) = z.

Ta chứng minh toán tử F Hq(í ì) đơn điệu, liên tục yếu thoả mãn (3.7)

Thật vậy, từ tính đơn điệu a suy F đom điệu vì

< F{ù) — F( v) , u — V > —

J

a(S7u(x) — Vi>(x))(Vu(x) — Vv(x))dx > 0.

n

Từ tính liên tục yếu a suy F liên tục yếu với U m —► u HẶ(Q) kéo theo

Vum -» Vu L2(íì) với V e HẶ(ĨÌ)

F(um),v > = / a( VuTn(x))Vv(x)dx —»

J

a(Ụu(x))Vv(x)dx =< F(u), v >

n íì

< r \ u m),v > = J a{VuTn{x))Vv{x)dx n

Từ tính coercive a suy F coercive vì

< F( u) , u > = F ( u ) , u > = j aị yu( x) ) Vu( x) ( ha( Vu( x) Wu( x) dx Q.

> Ị a \ V u ( x ) \ 2dx - p\n\ n

> a\\u\\2 - (3\n\

Hơn từ tính đcm điệu mạnh a suy F đơn điệu mạnh vì

< F(u) — F(v), u — V > = Ị a(Vit(x) - V (i))(V u (i) - Vv(x))dx

n

> c Ị |Vu(x) — Vu(x)|2dx íì

— _ „l|2

= cỊỊtt — v\\

Vậy từ định lý Browder-Minty suy điều phải chứng minh □

Nhận xét Kết ví dụ ta bỏ điều kiện iv) (xem [13]).

Chứng minh Ta tiến hành bước tương tự chứng minh định lý Browder-Minty Ta có ỈỈQ(n) khơng gian Hilbert tách với tích vơ hướng (3.12) xét sở trực

chuẩn

Bổ để 3.74 (Nghiệm xấp xỉ) Với m e N tồn m số thực {dj}^=l thoả mãn

(3.14) í a ( j V e kdx = Ị Ị e kdx \/k = l,m

94 Chương P h n g p h p to n tử đớn đ iệu Chứng minh Xét toán tử liên tục

V : R m -» R m

’ = /

a

( ê

d’ vei j

V e ‘ - dx

v/c

=

1,

m.

Ta biết vói hàm f e L2(Q), phương trình

- A u = /

có nghiêm u G ữ o(ĩì) thoả mãn ||uỊ|2 ^ c Từ bất đẳng thức Bessel ta có

m

V uS7eidx\

ì

= ^2 \ < u , e j >

3=1

^ IMI2 ^ c. Mặt khác từ bất đẳng thức Cauchy ta có

dx a ,9

/ \

Ị

J

fe-jdx

j

\n /

Suy

Ẹ

i=1 di

J

n

f eJdx

“ i=1

i=1 Vn

/ejdxi

/

Vì từ tính coercive a ta có

v ( d ) - d =

J

a ^ d j V e ^ J ■ - f ( ^ T d j e ^ j

>

f

a ^ d j V e j - 0 d x - i ^ T d j

Ị

f e j d x \

I

_ j=i

J

V=1 n

/

dx

/

ữ TTÌ

n ; =1

> a ||r f ||2 - / ? | f ì | - Ế I

j=i n

Do v(d) ■ d > |d| = r đủ lớn Theo bổ đề suy phương trình v(d) =

có nghiệm d = ( d u , dm) e Km Dễ thấy R } r = i thoả mãn (3.14) Bổ đề

95 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu

BỔ đe 3.75 (Đanh giá lượng) Với m E N, m sơ thực tìm được ở ưên, đặt

Tĩl

um = d3er

j=i Thế ta có đánh giá lượng

(3-15) Ilum|| ^ C( 1 +

||/||z,2(fi))-trong số

c

chỉ phụ thuộc vào n a.

Chứng minh Từ (3.14) suy ra

(3.16) / a (Vum) S7umdx = I f u mdx.

n n

Hơn từ bất đẳng thức Cauchy Poincare-Friedrich ta có

J fum

dx

^

e J u2m

dx + Ị- Ị f2dx

n n n

^ e c j \ V u m\2dx + Ị-\\f\\2L2{n)

Q

.1 1.0 o

— ec||um||2 + Ị^||/|||2(n)-Mặt khác, từ (3.10) suy

= Oi

J

|Vum|2 d x ^

J

a Ợ7um)X7umdx + Ị3\ĩlI

n n

= Ị f u mdx + 0 \Q\

ũ

^ ec|Ịum||2 + — \\f\\2L2(n) +

c.

4e

Vậy, với e > đủ nhỏ ta có đánh giá lượng Bổ đề chứng minh □

Để chứng minh tổn nghiệm yếu ta nghiệm yếu giới hạn yếu HẶ(Q) dãy {um} Điều chứng minh chi tiết sau

Từ bổ đề Đánh giá lượng suy dãy {um} bị chặn khơng gian Hilbert

HẶ(Q) Do tồn dãy {umj.} c {um} v u e cho

96 C hương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu

Vì Hựti ) nhúng compact L2(ũ) nên

(3.18) umj —> u L2(ũ).

Mặt khác từ điều kiện (3.10) suy a(Vtim>) bị chặn không gian Hilbert L2(Í7) Do đó tồn dãy a(\7um.) (coi a(Viim ) mà không làm tính tổng

quát) £ e L2(Q) cho

(3.19) a(V umJ - ^ £ L2(Q).

Kết hợp (3.14) suy

/ = J i z I a (Vum>)V e fcrfx = j f e kdx VA: > 1.

íì íì Q

Do

(3.20)

J

ZVvdx =

Ị

f v dx Vv H^(ũ).

n n

Từ tứih đofn điệu a ta có

J (a(V um) — a(Vw)) ■ (Vum — \7w)dx > Vtư e Hq(ũ)

n

Kết hợp với (3.16) suy

I [ f u m — a( Vum) Vw — a(X7w)('Vum — S7w)}dx > Viư £ Hq(Q)

n

Cho m = rrij —» oo với ý (3.17)-(3.19) ta được

J [/ l i — — a(V tư)(V u - Viu)]dx > Vu; e //ồ ( fỉ).

n

Cho V = u (3.20) thay vào phương trình trẽn ta

J ( Z - a(Viơ))(Vu - Vw)]dx > Vw G H ^ n ) n

Cố định V € HẶ(Q) Đặt w = u - Xv (A > 0) Ta có

J (f - a(Vti - W v ) ) V v d x > 0. n

Qio A ị ta

Ị

{ ị - a{Vu)) Vvdx > V v e H ị {ũ),

97 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu

Thay V bởi - V ta đẳng thức

J

a{V u)V vdx =

J

£Vvdx =

Ị

f v d x Vu € //Ị(O).

« n ỈL

Vậy u nghiệm yếu toán.

Nếu a đơn điệu mạnh, giả sử u, ũ nghiệm yếu toán Ta có

I

a(Vu)'Vvdx =

Ị

a(X/u)Vvdx Vu Hq(ĩì).

n íì

Đặt V = u — u ta suy từ tính đơn điệu mạnh a

Do ta có lí = u HẶ (Q) hay nghiệm Điều phải chứng minh □

3.6 T oán tử k h ôn g gian B anach ph ản xạ

Định nghĩa 3.12 Cho X không gian Banach phản xạ với tác động f ( x ) : = < f , x > Vx G X, f € X*

và cho toán tử F : X —> X " Ta nói i) F đơn điệu nếu

< F(x) - F( y) , x - y >> Vx,y e X. ii) F đơn điệu chặt nếu

< F(x) - F( y), x - y » V x , | / ẽ l : x ^ y iii) F đơn điệu mạnh 3c > :

< F(x) - F{y) , x - y >> c\x - y\2 Vx, y € X.

Định lý 3.76 Cho X khơng gian Banach phản xạ cho tốn tử F : X -> X ’ liên tục, đơn điệu thoả mãn

(3.21) lim

| x | — oo

< F( x ) , x >

= 00.

Thế phương trình (3.22)

có nghiệm X € X vơi mỗi y € X*.

98 Chướng P h n g p h p to n tử đơn đ iệu Chứng minh.

Ví dụ Xót tốn biên phương trình elliptic tựa tuyến tính

□

(3.23)

— n A ( | Dịu\pDiu) + |w|9it = f( x), X € ri,

1=1

=

trong íĩ c Rn miền bất kỳ, p, q > / e Lq+2(Q.) Cho không gian Banach

phản xạ

X = i¥0liP+2( i i ) n L 9+2(ft) với chuẩn

»1 - ( è i i A C ỉ ) +||U |

\i= l /

2 ■ Khi tốn (3.23) ln tổn nghiêm yếu u € X tức ta có

(3.24)

h

\Dịu\pDịuDịV + \u\quv — f v 1=1

dx — Vu g X.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh việc định nghĩa nghiệm yếu hợp lý Ta cần chứng minh tồn tích phân sau

i ) Ị f « b h

ti) J \u\quvdx fi

Hi)

ít

\Dtu\p DịuD.vdx

í 1=1

Thật vậy, với p, q > ta có

1 p + n

(p + 2)* := — J - = ^ p + 2.

1 - ^ P +

1 <7 +

( ằ + ô ã = - r ^ - ĩ + ĩ < , +

99 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iệu

J

||tt|'uv|dx « | | | u | « u | W M | , „ = ll«llỉĩỉll«IU+a < <*>■

n

và

£ / \\DM P DiuD M đx ^ Ề llA u R ỈIIA v llp + 2

1=1 n *=1

Ê ilử<ull£? + r^ õ è

i=l p + ^ i=l

p +

Vây ta xác định ánh xạ

< oo

F : X ^ X \ *, << F ( u ) , v > = Ị í n ịD^ịPDtuDiV + \u\quv dx

h Li=i

Từ khẳng định i) suy / e Lị(£l) xem / € X* với tác động f(v) = Ị Ịvdx

n Dễ thấy nghiệm phương trình tốn tử

F(u) = f, / e r

cũng nghiệm yếu tốn (3.23) ngược lại Vì để chứng minh tồn nghiệm yếu ta cần chứng minh F liên tục, đơn điệu thoả mãn (3.21) Đặt g(x) = |x|px, h(x) = \x\qx Thế ta viết lại hàm F sau

< F( u) , v > —

í

n

~ TI

'^ ^ g (D lu)Dlv + h(u)v

=

-dx

Dễ thấy g, h hàm đơn điệu, liên tục

< g{x) - g{y),x - y > = M P+2 + \y\p+2 - (W p + \y\pìx • y

=ị[(M ” + !!/lp)(W2 + |yl2 -2 z-!/)

+ (W ', - | y | ”) ( |i |2 - M 2)]

>

0

.

F liên tục với um u X ta có

I < F( u m) - F { u ) , v > I = / - g{Diu))DiV

100 Chương P h n g p h p to n tử đơn đ iêu + ( M v ) — h{u))v]dx

- u|Ị||u|| F đơn điộu tính đom điệu g h

< F(u) - F(v), u — V >= ỉ £ > ( A u ) - gíD,v))(D,u - D,v)

n '=>

+ (h(u) — h(v))(u — v))dx

>0.

Đặt

Ta co ||u|| — a + b Khi ||u|| —> oo ta có a + > Do khơng tính tổng quát giả

sừp ^ q

ap+2 _|_ 59+2

a + b

1p+2 bq+2

+

,CL + b J (a + b)p+ 2

>

>

/ _ £ _ y +2 w+ 2

\ a + b J + (a + b)g+2

(a + b)p+1

(a 4- b)p+1

(a + b)p+\

29+1

Suy F thoả mãn (3.21) vì

< F(u), u > n Li=i ĩ Ế Dtu\p+2 + M9+2J dx

\u\ u

>

a P+ _|_ £9+2

Q + b i w r

2«+' 00 Hull —» 00

Vậy theo định lý phương trình

F(u) = /

có nghiệm hay tốn (3.23) có nghiệm yếu Điều phải chứng minh

□

a

3.7 M ộ t số n h ậ n x é t v đánh giá

• *

12Ỉ - Chương P h ơn g p h p to n tử đơn đ iệu (a) Nó đom giản dễ hiểu

(b) Đây phương pháp tổng quát có thê’ giài m ột lớp lớn phương trình elliptic tự a tuyến tính cấp 2m( m > if tro n g miền tổng quát. Những hạn chế phương pháp toán từ đơn điệu

(a) Điều kiện đơn điệu chặt phương trình vi phân nói chung, đạc biẹt la đoi VƠI cac hệ elliptic phi tuyến

102 P h n g trìn h đao hàm riên g

Chương

Lý thuyết bậc Brouwer (hữu hạn chiều)

41 Xây d ự n g b ậ c cù a án h xạ liên tục

Bậc ánh xạ liên tục / : Q -» R 71, n tập mở, bị chặn trong Rn, điem y (khơng nằm ảnh biên díì) R" tập íì hình dung số (đại số) nghiệm phương trình f ( x) = y fĩ Nếu bậc th ì ta chưa k ết luặn nhiều, bậc số khác 0 (chẳng hạn số lẻ) th ì ta chắn phương trình f ( x) = y có nghiệm fỉ.

Có nhiều cách để xây dựng lý thuyết bậc Brower, chẳng hạn tơpơ đại số giải tích đây, chứng tơi dùng cơng cụ giải tích, mà cụ thẽ Định lý Hàm ngược, Định lý Hàm ẩn, Định lý Sard, Định lý Schwarz (về việc đoi thứ tạo lấy đạo

hàm riêng) Đe xây dựng lý thuyết bậc cho ánh xạ liên tục / : íỉ —► R n,

điểm y (không nằm ảnh biên dQ) R 71 ta chia làm ba bước sau:

• ta định nghĩa bậc cho / ánh xạ thuộc lớp c 1^ ; R n) điêm y mà nghịch ảnh khơng chứa điểm có Jacobien 0,

• ta định nghĩa bậc cho / ánh xạ thuộc lớp c 2(Q] R 71) diêm y không năm

trong ảnh biên ỔÍ7,

103 B ài Lý th u y ế t bậc B rou w er

41.1 X ly d ự n g b ậc ánh xạ thuộc lớ p

cl(ũ]

Rn)

Cho Í2 m ột tập II1Ở, bị chặn R n / ánh xạ thuộc lớp C l (Cli R n) Ta

kýhitu s = {x G fì| J/(x ) = 0}, tập nếp (crease) ánh xạ / , tập gơm điểm X nằm Í2 mà Jacobien cua ánh xạ / Khi đó, với điểm y mà khống nằm f { S ) /(Ỡf2) tập / -1(y) gồm hữu hạn phần tử Thật vậy, giả sử khơng phải vậy, / _1(y) c í ỉ l tập đóng, bị chặn (compact)

nên có m ột dãy {:En}ĩĩLi (gồm điểm phân biệt), hội tụ đến X Q e f ~ l ( y)• Có

f ( x o) = y = f ( x n),

và Jị {x q) 7^ hay | I ( / ' ( ^ o ) ) - 11 r •

Do đó,

||(/'(z„))-‘||-‘ ặ lim 1

Ỉ M

ĩM

= (vó lý).

n >0° I Ft 20 II

Từ ta có định n g h ĩa bậc / ánh xạ thuộc lớp c (ù\ R") điểm y không

nằm ảnh biên ỡfi, nghịch ảnh khơng chứa điểm mà Jacobien

Định nghĩa 4.13 Cho Q c R n tập mở, bị chặn, y e R n \ i f {S) u f{dũ)), f <E Bậc ánh xạ / miền Q điểm y xác định sau:

, , , n V = í E * e / - ‘(y) sgn J /(z)> n ế u / _1(y) Ỷ 0)

ữeP ( / > y ) ■ I 0, nếu f 1(y) =

0-Bằng đinh nghĩa ta có thé tính bậc cua sơ tinh xạ đậc biẹt (tuyen tinh) sau

Ví dụ Bậc ánh xạ đồng / : Í2 —> R n, ỉ x = X, đối VỚI tập ũ điêm Ị / R

là ,

(

0, 1, nếu y G n,nếu y ị á .

Ví dụ Bậc ánh xạ tuyến tính khơng suy biến T : n — R n, tập n điểm

y € Rn là

Ị sgn(detT), nếu y € f2,

deg(T, Q, y) •— ị Q ng'u y Q

Ví dụ sau cho ta thấy degư, í), y) = phương trình /( x ) = y vẵn CÓ (số chẵn) nghiệm

Vi d ụ Cho ánh xạ / : (-1 ,1 ) - R / W = *2; £2>(°< ' < = 2x' ° *

°-Đe chuyen sang bước th ứ hai ta can đến cách xác đinh khác bậc Mệnh đề 4.77 Cho ũ c R " tập mở, bị chặn, y e R 71 \ (/(S ) u f { d ũ ) ) , f G

Khi đó, tồn số dương e0 cho với e, ự)t mà

0 < e < eo, <Pt € C “ (R n; R ), suppipi c B(0,e) I ípt (x)dx — 1

JR"

thì

.

de g { f , t l , y ) = Ị ipe( f ( x ) - y ) J f ( x ) d x Jíì

104 _ B ài Lý th u y ế t b ậc B rou w er

Chứng minh. Nếu / - (y) = 0, hay y Ệ f(ũ), ũ tập compact (đóng, bị chặn

ưong R") có f(íì) tập compact, nên tồn sổ' dương eo < p(y, /(Ờ))- Khi đó, vơi

0 < € < e0, X e n có - y) = Do đó, ta có

[ <PÁf(x) - y)Jf{x)dx = = deg{f,n,y).

Nếu f ~l {y) í 0, m y & f ( s ) u / ( ỡ )- nên

/ _ ( y ) = { x \ , - • ■ ^ V i = , , 7

Do Ị ặ C ’ Cn : R 71), với m ỗi i có J f ( x t) Ỷ 0, nên theo Định ]ý Hàm ngược tồn lân

cận mở Ui Xi, lân cận m Vị y cho

f ự V i vi phôi Jf\u, không đổi dấu.

Tồn số dương ei cho B( y, e i) c n ^ V Ị Ta đặt Wt = / _1(B(y,ei)) n Ưị Khi

đó C l\( U ^ W ) tập compact nên tồn số dương e0 < Ci mà f 0 < p{y / ( ^ \

(U^Wj))) Khi đó, với e,tpe mà

0 < e < eo, <Pe e C ° (R n;R ) , S lip p y c B (0,e) [ <pt(x)dx = J R n

thì X ị W i{ v i = , , m ) : p(ĩl, f { x ) ) > to > e, hay ipt { f { x ) - y) = 0; nếu

X € Wị : sgn J f ( x ) = sgn Jf{xi) Ỷ 0, đó

m p

[ ụ>Áf(x) - y ) J f ( x ) d z

= E

L

^ Ơ(I) -

v ) J '<x ) d x

J n t=i J w '

= V sgn JÁXi) [ <PÁỈ ( x ) - y ) JA x )dx

^ J f(Wi) = B(y,ti)

1=

m

= ^ s g n Jf{xi).

1= 1

105 B ài Lý th u y ế t bậc B rou w er

41.2 X ây d ự n g b ậ c ánh xạ th uộc lớ p c 2(fỉ; Rn)

Đe xây dựng khái niệm bậc cho ánh xạ / thuộc lớp c 2(ũ\ R n) tập Q

điém y không nằm ảnh biên dQ ta cần đến mệnh đê sau.

Mênh đề 4.78 Cho ũ tập mở, bị chặn R n, điểm y € R n \ /(ỠQ), (po =

p{yj{dfy) > °)> v ề f e Rn)- Khi đó’ với Ị/i, ị/2 ta có

bt e B(y,po),bi Ệ f {S) , i = 1,2, thì deg(f,tt, yi) = deg(f,Q,V2

)-Chứng minh Lấy < <5 < Po — |y - 2/iị, i = 1,2 Theo Mệnh đề 4.77, tồn số dương

e < ỗ hàm e C'o°(Rn; R), supp(/?£ c 5(0, e), cho với i = 1,2 ta có

ứong đó, w (z) = (/Ồ ịịV Á2 ~ 2/1 + ~ y2))dt){yi ỉ/2

)-Chú ý rằng, với z G 0 < t < có

\\z - (1 - t)yi - ty2II = \\{z -

y)

+ (1 -

t)(y

- yi) + - yrìII ^

ỗ >

e

nên với X G ỡ íỉ Wj(f(x)) =

d e g ' J , ũ , y l) = [ ự>Áfix ) - yl)Jf{x)dx. Có

í d

ipc(z - ỉ/i) - ipt {z - 112) = d t ^ z ~ yi + ^

-7o

= div(w(z)), (4.1)

trong đó, j4jj(x) = (—

thì Vị € CoiR"; R ), supp c f i ,

mà / e c ^ ù ; R"), theo Định lý Schwarz, dlkg = dklg hay cjẠM = <-1)’+ * - ^ , , nên

d A J x ) "

k = 1

Ngoài ra, E r = i ^ Ế p -A y C * ) = < W /( z ) nên từ (4.1)-(4.4), ta có

deg{f,n,yi) - d e g ( f , n , y 2) = Ị {<pe(f(x) - Vl) - <pe(f(x) - y2))Jj(x)dx

= [ div(w{f(x)))Jf (x)dx Jn

r

= I div(v(x))dx

= Ị div(v(x))dx ( V i e Co(Rn; R), supp Vi c fỉ)

J R"

= í í P d x ^ d x ' = 0, (ut(x) = 0,x G d£l).

i=1 J R"-1 J-OC ơx^l>

12^ - B ải Lý th u y ết bậc B rou w er

□

Từ Mệnh đề 4.78, với điểm y không nằm ảnh biên lân cận B(y,po),po = p(y, f(dQ))(p khoảng cách Euclid không gian R"), y trừ tập f ( S ) có độ đo (Định lý Sard), bậc / tập ũ điểm T a có th ể định nghĩa bậc cho ánh xạ / e C2(íĩ;R n) tập Í2 điẽm y Ệ f ( df ì ) sau.

Định nghĩa 4.14 Cho íì c R M tập mở, bị chặn, y e R ” \ /( ô n ), A) = p{y,ỉ(dữ)) > , / € c 2(fj; R") Bậc ánh xạ / miền Q điểm y xác định sau:

d e g{ f , ũ, y ) = deg(f , n, z),

trong đó, e B(y, po) \ f ( S )

Nhận xét Bậc deg(f, n, y) hàm địa phương y tập R n \ /(ô n ). 2 Trên tập liên thông A c R" \ /{ỠÍ7) bậc deg(f, ũ, y ) khơng thay đơi.

41.3 X â y d ự n g bậc ánh xạ th uộc lớ p C(ù; R")

Việc xây dựng bậc cho ánh xạ / thuộc lớp C(SỈ;R") tập n điếm y không nằm ảnh cùa biên X I cần đến Mệnh đè, giống Mệnh

a ề 4.78, cho ta thấy tính hăng địa phương cùa bậc đố với ánh xạ / thuộc lớp

Mẹnh đề 4.79 Cho ũ tập bị chặn R", /, g ánh xạ thuộc lớp c 2(ũ \ R n) vú y điền không nằm ảnh biên d ũ ánh xạ f Khi tồn sô

dương e (phụ thuộc vào sao cho

deg{f + tg, n, y ) = deg{f, n, y ), vo < Ịt| < e

Chứng minh Khi \\g\\oo supxễ\g(x)\ = ta dê dàng có điều phải chứng minh.

Khi Ịlỡlloo > Oi để chứng minh Mệnh đề này, ta chia thành ba trường hợp sau

TH1: ỳ ị f{Cl) hay p = p(y, f {ũ)) >

v« ' = ỉ i f c thì

p( y, Ư

+ t í ) ( â ) )

p ( y < ỉ ( Ã ) ) -

íllslloo ^

2

> °' vo < w < e

nên

deg(f + tg, n , y) = = deg(f, ft, y), vo < |í| < e.

TH 2: y € f{Õ) \ i f ( S ) u f(díì)) c ó f ~ l (y) = { l i , , ! « } , Jỉ(xi) ^ , = , , m

Xét ánh xạ h(t, X) = f(x) - tg{x) - y có

h(0, Xi) = 0, Dxh(0,Xị) = /'{ x ,) ,

mà / € C 2(Õ- R n ), f'(xi) không suy biến, nên theo Định lý Hàm ẩn tồn số dương ct, lân cận mở Ui Xi ánh xạ liên tục ipi o —» ưi cho

¥>i(0) = Xi , h{ t , ự>i { t ) ) = V t G ( - C i , e , ) , V i = l , m >

và {t,<pi{t)) nghiốm phương trình h{t,x) = ( ~ f x,ex) X t/,.

Do / g € C2(Õ ;R n) nên ta thu nhỏ X Ut cho

• Ui đơi rời nhau,

• sgn Jf+tg{x) = sgn Jf(x) = sgn Jf{xi) V(í,x) e (-Ẽi.ẽi) X Ui,

• y ỉ + t g ) ( ù \ ( u t , u , ) ) Vớ (-ô (,ô ,)ã

t e = Ễj, với < |í| < e : 1^ iặ m

( / + t g y ' i y ) = Wh(t), ■ ■ -iVrnit)}

sgn

= sgn JM( t ) ) = sg" i / M

1 * 0

Ví € <-'ãô>

ớf ( / + t j ) ; n ) \ ( ( / + íí?)(5) U Ư + tgK Ỡ ÍI))

Khi đó,

m

d e g + t g A y) = f > g n W W O ) ) = ĩ > n '7' (li) = v0 < |(| <

f-i=l '

lOS

- - -B ài Lý th u y ế t bậc B rou w er

ffl3: y e Ĩ ( S) \ HdSÌ) có B{y, I ) \ f ( S ) cho

í4-5) de9 Ư, n , y ) =deg( f , n, z)

Mà ị e fl(y, f) \ /( ) hay z G /(Õ ) \ (f(S) u f(díì)) nên từ TH2 tồn số dương

£o cho '

(4.6) d e g ự + t g , n , z ) = deg(f, n, z), vo < |t| < e0

Chọn số dương e cho e < m in { e 0>*& jggìll} Vói < |í| < e có

p(v, ( / + tg)(dfì)) í=ĩ p(y f(dQ)) - £5 fyfa’ / W )

4 * ) «

o

p{y, ( / + tg)(díì)) 1 2p(y,z)

do đó, từ (4.5), (4.6) có

< M / + Í0, y) = de0( / + Ể0, n , z) = deớ( / , íĩ, 2) = deP( / , rỉ, 2/).

□

Với / € C (fì;R » ),y £ /(0Í2) Ớ0,Ỡ1 € C2( n ; R"), II/ - 9lIU ^ « ^ =

0,1

deg(gì t íì,y) = deg{g2,íì,y).

Thật vậy, với ^ t ^ có

II/ (so + t(Si 9b))IU $ (1 í)ll/ 90IU + <11/ í ilL « —' Y ~

-mà ớo.ỡo + t(gi - g0) € c 2(ũ\ R") nên theo Mệnh đề 4.79 hàm deg(g0 + t{gi -

9o),tì,y) địa phương theo t tập compact [0,1], đo la trin [0,1]

hay

deg(go, y) = deg(gu n,y).

Do ĩì tập bị chặn nên tập ánh xạ g thuộc lorp C ‘ (Í2; R") mà II/—pỊ loo < — , — khác rỗng, từ ta có định nghĩa bậc cho ánh xạ / thuộc lớp C ( ũ t R") tập n điếm y không nằm ảnh biên dfl nhu sau.

Định nghĩa 4.15 Cho íĩ c R n tập mở, bị chặn, y e R" \ f { d n ) , p Q = P{yJ{dtt)) > / C 2( ủ :R n) Bậc ánh xạ / miền n điểm y xác định sau:

Chú ý. Đối vói trường hợp ánh xạ / m C 1^ ; R n), điểm y e f { ũ ) \ (f(dQ) u f(S)) ta có hai cách xác định bậc sau

• deg{f,0,,y) xác định bước 1,

• deg(f , ữ, y) thơng qua ba bước, xấp xỉ ánh xạ thuộc lớp C2(Q R n) sau xác định theo bước

Tùy nhii^n, hai each đeu cho ta cung kết Điều kiểm tra cách chứng minh TH2 Mệnh đề 4.79

42 M ột số tín h ch ấ t cùa bậc

Như ta định nghĩa khái niệm bậc cho ánh xạ liên tục / từ tập bị chặn íì R n vào R n tập Í2 điểm y khơng nằm ảnh

của biên Hay nói cách khác, ta xây dựng hàm từ tập ba

(/,n,ỉ/), Q m ột tập bị chặn R", / ánh xạ liên tục từ Q vào R", y điểm khơng nằm ảnh biên ƠÍ2, vào tập số nguyên:

IiẠti fiif* b) c h ă n

deg : { { f , ũ , y ) \ f : n ^ R n,ft C R ",y e R" \ / ( a n ) } - z Từ việc xây dựng bậc ta thâý bậc có số tính chất sau

Định lý 4.80 (di) deg(id, n , y ) = 1, y €

(d2) deg(f, rỉ, y ) = deg(f, ũ i , y ) + deg(f, ÍỈ2) y)ì í?! n f t2 = 0, Oi UÍỈ2 c y Ệ

/ ( n \ (ÍÌ! U íĩ2))

(d3) d e g ( h ( t , ) , y ( t ) ) l h m k h ô n g p h ụ t h u ộ c v o t t r ê n [0,1], t r o n g đ ó h : [0,1] X ũ - > Rn,y : [0,1] -> R n ánh xạ liên tục, y(t) Ệ h ( t , d ĩ ì ) y t e [0,1].

(d4) de g( f , n , y) Ỷ r \ y ) Ỷ

0-{dỗ) deg( , ũ, y) hàm địa phương tập ánh xạ hên tục f : ũ — R ma y ỉ f ( d n ý

deg(f , n, ) hàm địa phương tập R" \ f{dQ) Do đó, de g { f , n ,.) hằng sô thành phấn liên thông cu

(d6) deg(g, íì, y ) = deg(f, y ) y & / ( ^ ) > ỉ \ dĩì ~~

9\dĩi-(d7) deg(f, rỉ, y) = d e g ( f , n „ y ) là tập mở a y Ệ ĩ {ũ \ n ,).

ỈỈ2 - - B ài Lý th u y ế t bậc B rou w er Chú ý Người ta chứng minh có hàm

deg : { ( / ,n ,y ) I / : íl R n.fi bi? " R n,y € R n v n m _ z

màthoả mãn ba tính chất (dl), (d2), (d3).

Chứng minh Các tính chất (dl), (d4) dễ dàng kiểm tra.

rinh chất (d.7) suy từ tính chất (d2) cách lấy íì2 = deg(f y) = 0.

Tình chãt (d6) suy tư tính chât (d3) băng cách chọn ánh xa h y sau

h : [0,1] X Ũ -> R 7\ h{t, x) = tf(x) + (1 - t)g(x) y : [0,1] - R " >y(t) = ĩ/.

Tinh chất d(3) suy từ tính chất (d6) cách sau Với t0 e [0,1],

deg(.,tì,y{to)) hàm địa phương tập ánh xạ liên tục / : Q —> R" mà

y{to) ị /(ỡ íĩ), h , y ánh xạ liên tục, y(t0) Ệ h(t0, dn), nên tổn lân cận

Wtg to [0,1] mà

(4.7) deg(h( t , ), n, y( t 0)) = deg(h(t0, ) , n, y( t 0)) V t € w to.

Bằng cách thu nhỏ lân cận wto cho p{y{t),y(to)) < p(y(t0),h(t,d£l)) ta có

(4.8) deg(h(t , ), ũ, y(t )) = deg(h(t,.),'ỉl\y(t0)) Ví e wto.

Từ (4.7), (4.8) ta có

deg(h(t, ), Q, y(t)) = deg(h(t0, ), íí, y{to)) Ví e Wị0

hay deg(h(t, ), n, y(t)) hàm địa phương tập compact [0,1], hàm

Như ta phải chứng minh hai tính chất (d2), (dị).

Ta chứng minh tính chất (d2) Từ giả thiết y Ệ /( f ỉ \ u ÍÍ2)) có

p(y,f(dũ)) £5 p0(= p ( y j ( ũ \ (ÍÍ1 u n 2)))),/>(y,/(ỡni)) ~ P0-P(y-/( ỡ f t2)) = A>-

Khi đó, tồn g e c 2( ũ ), II/ - 0IIOO ^ f >Pi = \ u n2Ỉ) > mà

(4.9) deg(f,{ì,y)=deg{g,ĩì,y)>

(4.10) deg(f,fíi,y) = deg(g,Qi,y), * = 1,2

Theo Định nghĩa, tổn 2 B(y, P\) \ g(S)

(4.11) deg{g,n, y) = deg(g,n,z),

Do pi = p(y & \ (fil u n 2)) > nên 2 Ệ (gựl \ u fỉ2) u g( S)), từ Định nghĩa

có

(4.13) deg{g, n, z) = deg(g,ỉìu z) + deg{g,ũ2,z).

Từ (4.9)-(4.13) ta có

deg{f, n, z) = deg(f, z) + deg{f, n2,z).

Bây giờ, ta chứng minh tính chất {dị) Lấy / e C(ủ), y ị f(dĩì){p0 = p(y, /(ỡfi)) > 0)

Chọn lân cận

U ( í ) = {9 e C ( ã ) | I l / - J i u < ^ }

Ta chứng minh lân cận U(f ) bậc deg(.,fì,y) khỏng đổi Thật vậy, từ Định

nghĩa có ánh xạ gQ £ u ( /) n c2( ù \ R n) cho

(4.14) deg{f, n , y) = deg(c/o, Í2, y).

Với e t / ( / ) có

l l ỡ — 9 11 oo ^ I I / - l l o o + I I / - o \ \ o o ^ - g ^ í

p(y,g(díl))

^ p(í,/(«ỉ)) - II/ - slL “

nên II <7 — ớolloo ^ \piyt d o đ ó th eo M ẹnh đề c ó

(4.15) deg{g, íì, y) = deg{g0, ũ, y).

Từ (4.14), (4.15) có

deg(f,íì,y) = deg(g,n,y) hay deg(.,n,y) hàm lân cận U(f).

Cuối cung, ta chứng m inh de g ự, í ì, ) hàm địa phương theo y hang số thành phần liên thông tập R " \ /( ỡ f ì)

Nếu y Ệ f(Cì) hay p = p(y, / ( ^ ) ) > ta chọn lân cận

U{y) = { z e R n|p{y,z) < p}•

Khi đó, € U(y) f ~ l ịz) = hay

deg(f , n, y) = d e g ( f , n , z ) , V z e { y )

Nếu y e f(Q) \ f ( d ũ ) theo Định nghĩa tồn y0 e D{y f ) \ f { S ) cho

(4.16) de g{ f , n, y ) =

m

V(nz€ B{y, \ f ( d Q ) CÓ

Bài Lý th u y ế t bâc B rou w er

p ( z j ( d n ) ) tz; p ( y , f ( d Q) ) ~p ( y ìZ) £;

p(z, y0) ^ p{z,y) + p ( y , y 0)

4

nôn p{zj {dt y) Í=Ị /9(2, y0) theo Mệnh đề 4.78 có

(4.17) de g { f , ^ z ) = deg{f , n, y0).

Từ (4.16), (4.17) có

de g ( f , n , z ) = deg(f , n, y), Vz B(y, j )

\ /(an).

Viec chứng minh deg(f, .) số thành phần liên thổng tập R n\ f ( dQ)

— - Bài Lý th u y ế t bậc B rou w er

43 Các ứ n g d ụ n g lý thuyết bậc

Đầu tiên, ta dùng lý thuyết bậc để chứng minh số Định lý chẳng hạn Định ly CO rut, Đinh ly điem bât động Brower, Định lý Miranda-Poincare, đậc biệt Định ly Borsuk Đinh ly Borsuk có nhiều áp dụng, Định lý Quả bóng toe (Hairy ball), Đinh ly banh Sandwich, so Đinh lý hấp dẫn khác

Trước het, ta chưng m inh Định lý Quả cầu tóc De chứng minh Đinh lý ta cần Bổ đề sau

Bổ đề 4.81 Với n s ố lẻ, khơng thể có đơng ln

H : [0,1] X S 71' - » S"-1

mà H(., 0) = id, H(., 1) = - id

Chứng minh Giả sử có đồng luân

H : [0,1] X S 71"1 -» S ”- 1

mà H(0,.) = id, H( ,.) = —id. Từ Định lý thác tiển Tietze, ta thác triển đồng luân thành đồng luân

H : [0,1] X B n -» R n.

Mà H{0 ,x ) = x , H ( l , x ) = - X X e s n~l nên theo tính chất (d3), (d6) Định lý

4.80 có

1 = deg{id, B n, 0) = deg(H(0,.), B n, 0)

= d e g (H ( l, ), B n, 0) = deg(-id B", 0) = (-1 )" = -1

Điều vô lý

□

Định lý 4.82 (Định lý Quà câu lóc) với n mộ, sá lé Với trường veclơ bát kỳ mật cẩu đan vị- S*-> úm Irên mật câu s ~ ’ điếm m i lại trng vecíơ CĨ giá trị vectơ 0.

Chúng minh Ta chứng minh Định lý phàn chứng Giả sử có rưong vedo * trén S"-' mà khác (1 điểm trẽn mặt câu S" \ nghla

liẻn tục

114

Xét đồng luân sau

thì

B ài Lý th u y ết bâc B rou w er (ự>(x),x) = o y x e s n_1

<p(x) ỹ£0,Vx<=

sn_1.

H : [0,1] X

sn_1

R n ,

H(t, x) = cos(ĩĩt)x + sỉn(7TÍ)ĩĩM L ^ ( x ))

llv w ll

l|tf(Ể,z)lỉ =

INI

= 1, V(í,x) e [0,1] X

sn- \

H{0,x) = x, H{ l , x) = - x ỳ x

6 sn_1.

Điểu trái với Bổ đề 4.81 □

43.1 Đ ịnh lý Brow er v ề điêm bất đông v m ôt số dang

tư n g đ n g nó

Định lý 4.83 (Định lý co rút) Hình cầu đóng đơn vị B" khơng gian R n khơng tập co rút dược Nói cách khác, khơng thể có ánh xạ liên tục f từ hình cấu đónạ Ẽ" lên mặt cầu Sn_1 mà hạn chế mặt cầu s n_1 ánh xạ nhất.

Chửng minh Giả sử ta xây dựng ánh xạ liên tục / từ hình cầu đóng B"

lên mặt cầu s n_1 m hạn ch ế mặt cầu s n_1 ánh xạ đồng

Khi đó, ta xét đồng luân sau

h : [0,1] X B" —> R n

h(t,x) = tx + (1 - t)f{x).

h(0,x) = f ( x),

h( t , x) = tx + (1 - t)f{x) = tx + {1 - t)x = X ^ o y x e s , Vt (E [0 ,1 ],

nên theo tính chất (d3), (d l) Định lý 4.80 co

degự- B n,0) = degịrd, Bn,0) = 1

do dó, theo lính chất (d4) irong Định lý 4.80 / '(0 ) /

:ómộ' ánh' xac l êr ituc { nà° từ hình cẫ" dónê Ẽ " lín mặt cầu S -> mà han chí

của tren mặt cầu

s

ánh xạ đồng

I - - - - -Bai Lý th u y ết bậc B rouw er

□

Định lý 4.84 (Định lý Brower) Cho f lã ánh xạ lién lục lừ hình cáu đóng B" rào chính Khi đó, ĩ có điểm bất động, nghĩa là

3x e B" : f ( x) = X.

Chứng minh Có nhiều cách chứng minh Định lý ỏ chúng tơi trình bày hai cách chúng minh Thứ nhất, dùng lý thuyết bậc để chứng minh Thứ hai, Hệ Định lý co rút

Cách Nếu có điểm X e S " -1 m f(x) = X Định lý chứng minh

Nếu với X e s n_1 m f ( x ) Ỷ X hay X - t f ( x ) ^ 0, v o ^ t ^ 1. Xét luân sau

h : [0,1] X B n -> R n

h { t , x ) = X — t f ( x )

Có

/i(0, X) = X,

h ( l , x ) = X — f ( x ) ,

h(t,x) = X — t f ( x) 7^ 0, Vx e S "- ,Ví £ [0,1],

nên theo tính chất (cỂ3), ( d l) Đ ịnh lý 4.80 có

deg(id - f , Ẽ n, 0) = deg{id, Ẽ n, 0) = 1 do đó, theo tính chất (d4) Định lý 4.80 (id — f ) ' (0) Ỷ Hay

3x € B n : f ( x) = X

Cách Giả sử ánh xạ liên tục / từ Ẽ " vào khơng có điêm bât động, nghía la f(x) 7^ X, Vx e Ẽ n

Khi đó, ta ln nối X f ( x ) thành tia Tx — {tf(x) + (1 — í)x[f —* 0} có goc tậ X lỉa Tx cắt mặt cầu S " - điểm <p(x) Như vây, ta xây dụng ánh xạ liên tục

ự) : B n —>

s n_1

có tín h c h ấ t ip(x) = X n ế u X G s n _ .p n

Điều trái với Đ ịnh lý co rút Do đó, điều giả sử sai hay ánh xạ liên LỤC J tư ^

116 Bài Lý th u y ế t bậc B rou w er

r n n xẾt Tính chất điểm bất đ0nẽ bất biến đối vớimột phép đồng phôi, nên ánh ự Sên tục từ tập đồng phơi với hình cầu đóng B" vào có điểm bất động Chăng hạn, anh xạ liên tục / từ tập lồi, compact, khác rỗnc D vào có điểm bât động Ta có thẻ chưng minh kẽt Định lý thác triển Tietze, mà khỏng cần xây dựng phép đơng phơi từ hình cầu đóng B 71 lên tập lồi, compact, khác rỗng D, sau Bằng Định lý thác triển Tietze, tồn ánh xạ liên tục

/ : R n —» R nJ \ D = / , / ( R n) c conv(f(D)) c D. Mà D tập compact nên tồn số dương R để D c 5(0, R).

Khi đ ó , Ĩ\b(0,r) '• B {

0

, R) —> (D c ) B (

0

, R ).

Do đổ, ỉ\b{0,r) có điểm bất động hay

3x <E B(0,R) : X = f\B{0,R)(x)

mà /|b(o,/ỉ)(-S(0> R)) c D nên

X € D : X = / |b (0,/ĩ)(z) = ĩ{x). Ta có điều phải chứng minh

Định lý 4.85 (Định lý Miranda-Poincarẻ) Ký hiệu [a, b} = {x e R n|a(,) ^ x(l) ^ b{'Ki =

1, , ĩi}, a = ( a ^ , , a ^ ) , b = , b ^ ) , a ^ < i = ,71 Cho f

là ánh xạ liên tục từ [a, 0] vào R n thoả mãn

x‘">) $

Khỉ đó, tồn X € [a, 6] mà f(x) =

Chú ý Đây mở rộng tự nhiên Định lý Bonzano-Cauchy (Định lý giá trị trung bình)

lên nhiều chiều Tuy nhiên việc chứng minh khơng phải IĨ1Ở rộng tầm thường

Có thể chứng minh trực tiếp Định lý phương pháp quy nạp phải sử dụng thành thạo Định lý Hàm ngược, Hàm ẩn, Sard phép đồng luân, đây, chúng tỏi sử dụng lý thuyết bậc để chứng minh

Chứng minh Lấy Xo = ị(a + b).

Giả sử (1 - t)f{x) = t(x - Xo), với t e [0, l ] ,x € d[a,b}.

Do X e d[a, b] nên có m ột số i cho X - a hoạc x

Nếu = â « « - < 0, fi(x) * nên t = / ( * ) -

Nếu xW = 6(0 X & - ° > 0, f i ( x ) ^ nên t = do f ( x )

117 ' •

- - B ài Lý th u y ết b ậc B rouw er Khi đó, xét đồng luân sau Xét đồng luân sau

h :[0,1] x B " - R "

h(t,x) = ( l - t ) f ( x ) - t { x - x Q).

h(0, x) = f ( x) ,

h(l,x) = x0 - X,

h(t, x) = ( l - t)f{x) - t{x - Xo) Ỷ 0, Vx G d[a, 6], Ví e [0,1],

nên theo tính chât (đ3), (d l) Định lý 4.80 có

deg(f, [a, 6],0) = deg{x0 - id, [a, 6], 0) = ( - l ) n ^

do đó, theo tính chất (đ4) Định lý 4.80 / -1(0) Ỷ

0-Hay tồn X € [a, 6] m f(x) = □

Nhận xét Người ta chứng minh Định lý Brower Định lý Miranda-Poincaré tương đương nhau, đây, dùng Định lý Miranda-Poincaré dể chứng minh Định lý Brower sau

Giả sử / ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng Ẽ n (theo chuẩn max) vào

Với m > 1, xét ánh xạ sau

gm : B" - R n,g?{x) = /,(*) - — Ỉ7Ĩ*<. Nếu X = ( x (1\ , 1,£*‘+1\ ,£*"))

9?(x ) < - v '

771

-

1

< °-Nếu X = (x(1\ >x (i“ 1)>- l >x (i+1)> , a : (T,)) thì

g^(x) > -1 + — Ị - r > 0.

^ v ' m — 1

Do theo Định lý Mừanda-Poincaré tồn x m G B n mà g’ '(xm) = 0.

Mà B” tập compact nên dãy {xm}m=2 c° dãy hội tụ dên x0 <E B"

Lại có, gm hội tụ đến ánh xạ f ( x) - X Ẽ" m m vô cùng. Do đó, f ( x 0) = x 0.

43.2 Đ ịnh lý B orsuk ứng dụng nó

CtóÁ

T ^ l f l ch^ minh Định lý

ta dể

*

™ ■ * ** xa uen

h

, ,8

nhiểu cách để “ ° " * * * » » "hỉns han

' ' :

ì r

L ín * N*°“

« * i

l

nghĩa^a

118

• - - Bài Lý th u y ết bậc B rou w er

nó khác 0, phương trình có nghiệm

chứng minh Ta già sử f e C '(fl;R »),0 ỉ /(dí}) J , ( 0) * Vi níu

kW„g ta xây dựng m ộ ánh xạ lẻ / s C " (fi;R ”),0 í Ị (ă n ) J ( ) / mà

deg(f, 0) = deg(f, íĩ, 0) sau.

Lấy ánh xạ 5! € c 1^ ; R " ) cho II/ — ffilloo số đủ nhỏ (Điểu làm đươc à compact ) Đ ặt

0a(z) =

ị(9i(x) -gi(-x)).

Có 52 e c l {ũ\ R n) ánh xạ lẻ g’2(0) có n giá trị riêng (kể bội) nên ta

chọn số dương A đủ nhỏ mà giá trị riêng g'2 (0) Ta đặt

f ( x ) = 9ĩ{x) - \x,

có

/ € ợ l (ũ; R " ) ánh xạ lẻ, J ị (0) = Jg2_ Ald(0) ^ 0, I I / - /lloo < ị sup ||(p i(x ) - f ( x ) ) - ( g i ( - x ) - f ( - x ) ) + Ax||

^ Ilí?i - /lloo + A su p ||x ||

mà fĩ compact, nên với II Ợ! — / II00 đủ nhỏ, A đủ nhỏ

đeg(f, £2,0) = deg{f,n, 0).

Chú ý rằng, J f (0) 7^ có thè điểm nêp /

Trong trường hợp 0 Ị { S f ) / ánh xạ lẻ nên nêu f ( x) = 0.Jf[x) í thì f{-x) = 0, J f ( —x) = ( - )nJf(x) Do đó, có

deg( f , n, 0) = sgn 7/(0) + E sgn Jf(x)

x e f - H ) \ ỉ )

là số lẻ

Ta xây dựng m ột ánh xạ lẻ g R " ì ma ị (g(Sg) u g(drt)j va

deg(f , n, 0) = deg(g, n,0).0

Chọn tp e c \ R R ) m <p{-t) = -<p{t)Vt € R , p '(0 ) = 0, ự>{t) = t = (chẳng

- - Bải Lý th u y ế t bậc B rou w er

ĩ (~\ f ( x ) ~

h ( x ) = ĩ ^ ĩ )

CÓ /1 Ễ R-") ánh xạ lẻ

DomifiiSfJ) = nên ta chọn yx gần gốc toạ độ ý cho yl Ỉ ^ S ĩ )

Đặt

9l{x) = f{x) - y?(z(1))?/l Do ú(x) = <p(xW)f[(x) nên

• <71 £ C 1( í ĩ ; R n) ánh xạ lẻ,

• 0 # 9i{Sgi n íì i) ,

• gl đủ gần / (khi II2/1ỊỊ đủ nhỏ)

Giả sử ta xây dựng ánh xạ lẻ gk C 1(Q ;R n) ( l ^ k < n) đủ gần / £

/*+,(*) = (Ã +, : {x e ílfc+i|zjc+i # 0} R")

Do m( f k+1(Sf )) = nên ta chọn yk+1 gần gốc toạ độ ý cho yk+ì Ệ

hJsZ)

Đật

9k+ì { x ) = 9k{x) ~~

'>)yk+1-Do ỡ' +1(x) = g>k{x) - ( , , <^/(x (fc+1))ỉ/fc+i, • • •, oỵ Ifc=*° ự > ( x ^ ) f ' M (x) nên

• gk+1 € C ^ Õ ịR 71) ánh xạ lẻ,

• Ể S M (S„„, n { z e í W | z (t+I)^ ° } ) _

X € fifc+i.Xfc+i = gk+ĩ{x) = ỡ*(x) va ỡfc+i(x) ỠA:/’

do Ệ gk+i(Sgk+1 n ũk+1),

• gk+ĩ đủ gần / (khi WinII, , llz/Ar+ill đủ

nhỏ)-Như vậy, quy nạp ta xây dựng ánh xạ g = gn e c l ( ũ t R n) cho

120

Bài Lý th u y ẽ t bậc B rouw er 0Ệ 9n (S g n n ^ n ) >

1 e Q \ Q n , n g h ĩ a X = ổ ; ( ) = g'k ( 0) = / ' ( )

do Ệ

gn{s9n

n fỉ),

gn đủ gần / (khi llỉ/ill, , ||yn|| đủ nhỏ) hay

deg(gn, ữ ,0) = deg{f , n,0).

□

Sau vài ứng dụng Định lý Borsuk

Định lý 4.87 (Định lý Borsuk- Ulam) Cho ip : B" -► R" ánh xạ liên tục Khi đó, tồn X e Bn mà f ( — x ) = f ( x )

Chứng minh Áp dụng Định lý Borsuk cho ánh xạ sau

iỊ> : Ẽ n - R n,

= \ {v{x) - ¥>(-*)).

là hàm liên tục, lẻ tập bị chặn, đối xứng, chứa gốc toạ độ

Nếu ị ^(S 71-1) deg(ĩp, B n,0) số lẻ, khác 0, nên tồn X G BTI mà ĩp(x) =

\(y{x) - <p{-x)) = hay ịp(x) = <p(-x).

Nếu G nghĩa tồn X e Ễ n mà ĩp(x) = \{ịp(x) - ọ{ - x) ) = hay

<p{x) = <p(-x) □

Định lý 4.88 (Định lý bánh Sandwich) Cho A u , A n tập bị chặn, đo R" Khi đó, tồn siêu phẳng H = {y E R"| (y, a) = 6}, ( Í Ĩ ( ig R " Í ) ễ R

là cố định, chia Aị, i = 1, , n theo độ đo, nghĩa là

m( A i n H +) = m ( A n r ) , V í = ,n,

trong đó, H + = { y e R n| (y,a) = {y e R"| (ĩ/,a) ^ &}■

Chứng minh Ta có nhận xét sau

Bn = {x R n| 3x{"+1) ^ : (x,x(n+1)) € s n} môt tâp compact, đối xứng chứa gôc toạ đọ

Với X € B n có x(n+1) ^ mà (x X "+I ) G S", ta đật

121 _ _ Bài Lý th u y ết bậc B rouw er H+ = { y e R "| (y,x) í=;x(n+1>}.

X , Aây dựng ánh xạ sau

tp: B" -» R n, cPi(x) = m(Ai n Ẹ+).

Déthấy V? thoả mãn Đ ịnh lý Borsuk- Ulam, nên tồn x0 e Ẽ n mà <Pi(-xo) = ự>i(x0), Vĩ =

1, , n hay

m(Ai n i/+0) = m(Aị n H~0),Vi = 1, ,n.

□

Tron' Lý thuyết Phương trinh elliptic có điều thú vị sau Trong khơng gian có số chiều lớn 3, toán tử vi phân Ỵ2 aaD° elliptic bậc m phải

|a|<m

là Số chẵn Điều nghĩa với n í=ĩ 3, đa thức sau

P ( = aa(°,aa e c

| a | = m

khơng có nghiệm £ £ R n \ {0} bậc m cua Ĩ1Ĩ so chan ^ ^

Chú y rằng, hẹ số aQ cac số thực dễ dàng chứng minh Tuy nhiên^ờ

các hệ số àa số phức không hiên nhiên Bời V I , khi n = điều

khơng cịn đúng, chẳng hạii đa thức sau

p2( , ) = + ( 1)1/2^

-Định lý 4.89 Với n ^ 3, đa thức sau

£ c M=m

khơng có nghiệm z € R n \ {0} bậc m sơ chẵn.

Chứng minh Ta chứng minh Định lý phản chứng Giả sư m la so le.

Xét ánh xạ

/ : R -» R

/ ( Í i , Í

2

) #

0

, V | |

6 ||2

+ ||C

2

| P /

0

,

122 B ài Lý th u y ẽ t bảc B rouw er

nen theo Định lý Borsuk deg(f, B{0 ,1),0) số lẻ. Với h > xét ánh xạ

ỉh : R - R 2,

= (R e P ( t i , &, h , o , , ) , i mP( t u t2, h , , 0)).

Với h > đủ nhỏ f h đủ gần / nên theo tính chất (dị) Định lý 4.80 có deg(fh,B( 0,1), 0) = deg(f,B{ 0,1), 0)

là số lẻ, khác 0, nên tồn ( , ) e B(0,1) cho A ( , ) = hay

P ( É , & ,M , >0) = với .0) G R n \{0}

Điếu trái với giả thiết hay m số chẵn □

Định lý m ột Định lý thú vị giải tích nhiều chiều Khi số chiều việc chứng m inh khơng khó Nhưng số chiều lớn việc chứng minh khơng cịn đơn giản

Định lý 4.90 Cho f : R n — > R n ánh xạ liên tục, đơn ánh ỉhoả mãn ||/(x )|| —» oo

||x|| —►00 Khi đó, f đồng phôi.

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh / tồn ánh Khi đó, từ giả thiêt, / có ánh xạ ngược

Để chứng minh / toàn ánh, để ý R" tập liên thông, ta chứng minh / ( R") vừa đóng, vừa mở

Lấy y £ R n cho có dãy trong R n mà f { x n) —► y n —> 3C.

Dãy là dãy bị chặn khơng có dãy x nk —> oc, theo gia thiet thi

/( i„ J khi n k oo Điều mâu thuẫn với việc f { x n) - y n - oa

Khi đó, {Xn}0^ ! CÓ m ộ t dãy x nic —> X e R " , m / liên tục, f { x rtk) — f ( x )

Uk -> 00 Do đó, y — f ( x ) hay y e / (

R")-Do đó, / ( R n) đóng y

Ta chứng minh / ( R n) mở, nghĩa với mối lo e R ” la ptói chi sô dương r R sao cho B ( f ( x 0), RỊ C m x o r )

Ta ch i c n c h ứ n g m in h d iề u n y đ ó i vớ i đ iể m *0 = v h m / m / ( ( ) ) = V ì n í u

khơng ta xét hàm

_ _ _ B ài Lý th u y ế t bậc B rou w er • / : R" lt- ^ R n,||/ ( x ) || -> oo ||xỊI -» oc,/(0) = 0

• 5(0, r) + x ữ = B ( x0, r), B{0, R) = B( f { x 0), R) - f ( x ữ)'

Do / đơn ánh nên /Iã» : B" -> /( B ,J) song ánh.

Xét đồng luân

H : [0,1] X Bn -> Bn,

H(t,x) = / | ẽ " ( — — -x) — / |b " ( j + f x) Có

1 ) i f ( , x ) = / | b - ' ( z ) , = / | b « ( | ) - Ĩ \bẢ=ỉ ),

2)nếu H{t,x) = 0, (t,x) £ [0,1] X S 71-1 / |fin (jị-x ) = / | b " ( ĩ ^ z ) ^rtx = -=ỆịX

hay X = (vô lý), nên H(t, X) = 0, V(í, x) € [0,1] X s n_1,

3) H( x) ánh xạ lẻ nên theo Định lý Borsuk deg(H( 1,.), B", 0) sỏ' lẻ.

Khi đó, theo tính chất (d3), (đ5) Định lý 4.80 có sơ dương R cho deg(f\ăn, B 71, y) = deg( f \Ẽn, B", 0) = deg(H( 1,.) B ", 0), Vy e B(0, R), là số lẻ hay 5(0, R) c / ( B").

k ế t

l u ậ n

Đẻ tài nghiên cứu Bài tốn biên đoi với phương trình hệ phương trình elliptic khơng uyển tính" đê cập đên vấn đề quan tâm nghiên cứu nhiều tiế giới, nước chưa nghiên cứu nhiều

Khác với phương trình đạo hàm riêng tun tính, tính đa dạng phức tạp lớp ihương trình hệ phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính nói khơng có nơt phương pháp chung cho việc nghiên cứu toán biên chúng

Trong đê tài vân đê đặt là: Áp dụng phương pháp giải tích )hi tuyến để xét to án biên elliptic khơng tuyến tính

về nội dung khoa học chúng tơi hồn thành khối lượng cơng việc nghiên c i sau lây:

- Các phương pháp chung giải tích phi tuyến việc áp dụng chúng vào phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính trình bày dạng chun đề nhàm cung cấp kiến thức cho sinh viên, học viên cao học cần quan tâm đến chuyên ngành giải tích

- Hoàn thành bốn báo khoa học đề cập đế nội dung nghiên cứu tôn tại, khơng tồn tính nghiệm cùa tốn biên lớp hệ phương trình ellpitic nửa tuyến tính tựa tuyến tính tương ứng Do đặc thù riêng cùa lớp phương trình elliptic khơng tun tính đưa mà moi trường hợp chúng tơi chọn phương pháp thích họp cho tốn

về đỏng góp cho lĩnh vực đào tạo, có hai học viên cao học khóa 2004 - 2006 hoàn ‘hành bảo vệ luận văn vào tháng 10/2006, là:

T rịn h T h ị M in h H ằ n g vữi đề tài “Áp dụng phư n g p h p biến phâ n nghiên círu hệ phương trinh elliptic tựa tuyến linh có phàn chinh tốn ni p - Laplace A„ với mìu

kiện Neumann khơng íhn nhât mien giơi nọi cua R

Nguyễn Thành Chung vói đề tài "Ấp dụng phvong pháp biến phân nghiên ch,

tốn biên đ i với hệ p h u m r trình elliptic n i,a ,„yến ,m h V * điều kiện D lrichle, không

ịlĩ

t ó ,uá má đề tài nghiên cứu chua nhiều nhmg d5 gai mo mộ, hllớng nghiên círu

DHC q r n tâm nhiều mà anh em cán nghiên cứu mái vào nghề, sinh viên học viên

cao học theo

Còn nhiều vấn đề cần nghiên cứu tiếp tục, chẳng hạn

như-t Bài như-toán biên cho phưong như-trinh ellipnhư-tic không như-tuyến như-tinh cho miền không bị chạn n c

R”.

+ B i toan bièn elliptic phi tuyển không dẫn đến trường hợp phiếm hàm liên kết với tốn khơng khả vi liên tục mạnh

Chúng toi chan cam cm tài trợ cùa quỹ nghiên cứu khoa học cùa Trường Đại học Khoa học Tự nhien cung cua Đại học Quôc gia Hà Nội giúp chúng tơi thực chương trình nghiên cứu

12ế

Phương trìn h đạo hàm riên g

Tài liệu th a m khảo

[1] A Ambrossetti, P.H Rabmowitz, Dual variational methods in critial point theory and applications, J Fund A n a l 14 (1973) 349-381

[2] A Ambrossetti, K c Chang, I Ekeland, “ Nonlinear functional analysis and applications to diff6renticil equations' , Proceedings of the second school ICTP, Triest, Italy, 1997

[3] F E Browder, On a new generalization of the Schauder fixed point theorem, Math Ann., 174 (1967), 285-290.

[4] K Fan, “ A m inim ax inequality and applications”, inequalities, Vol Ill, (edited by Shisha), Academic Press, New York (1972), 103-113

[5] D Kinderlehrer, G Stampacchia, ”An Introduction to Variational Inequalities and th f’T Applications”, Academic Press, New York 1980

[6] J L Lions, G Stampacchia, ’’Variational Inequalities”, Comm Pure and Appl Math, XX (1967), 493-519

[7] Michael Struwe, “ Variational methods” , Springer-Verlag, 2000

[8] L Nirenberg, “ Bài giảng giải tích hàm phi tuyến (bản dịch), NXB ĐH THCN, Hà noi, 1986

[9] S Simons “ Two-Function Minimax Theorems and Varianonal Inequalities f o r F u n c t i o n s o n C o m p a c t a n d N o n c o m p a c t S e t s , w i t h S o m e C o m m e n t s o n Fixed-Point Theorem s”, Proc Symp Pure Math, 45 (1986), 377-392.

[10] w Takahashi, Nonlinear variational inequalities and fixed point theorems, J Math Soc Japan., 28 (1976), 168-181.

[11] E Zeidler, “ Applied Functional Analysis”, vol 108-109, Springer-Verlag, New York 1999

[12] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà, “ Các định lý điểm bát động Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà nội, 2003

B ài Lý th u y ết bậc B rouw er

[13] Trần Đức Vân, “ Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng” , NXB

O N A C L A S S O F D I F F E R E N T I A L E L L I P T I C E Q U A T I O N S O N A N U N B O U N D E D D O M A I N

Hoang Quoc Toan In tro d u ctio n

In t h e p r e s e n t p a p e r w e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g D i r i c h l e t p r o b l e m

A u + q(x)u =ou + 0V + h{u,v) in n (1-1)

- A v + q{x) V =Su + 7V + / 2(u, v)

u \dũ =0,u|an =

u(x) -> 0,v(x) -+ as |x| -> +oo (1-2)

w h e r e Í2 is a o p e n u n b o u n d e d d o m a i n w i t h s m o o t h b o u n d a r y ỠÍỈ in a R , a Ị3 Ỗ7 are g i v e r e a l n u m b e r s , 0 > 0, 5 > 0; q(x) is a f u n c t i o n d e f i n e d in Í2, f^u, v), f 2(u, V) are nonlinear functions for u, V such that

q(x) G C ° ( R ) , a n d 3<7o > 0,g(x) > <7o Vx e Q, ( - ) q(x) —> + o o a s |z| —> + o o

fi(u,v) a r e L i p s c h i t z c o n t i n u o u s in K w i t h c o n s t a n t s kt(Ỉ — , ) :

Ifi(u,v) - fi(u,v)\ < fciflu - ũ\ + |v - ũ|) (1-4)

V ( u , v), (ũ, v) £ M

T h e a i m o f t h i s p a p e r is t o s t u d y t h e e x i s t e n c e o f w e a k s o l u t i o n o f t Ik p r o b l e m ( l - l ) - ( l - ) u n d e r h y p o t h e s i s ( - ) , ( - ) a n d s u i t a b l e c o n d i t i o n s fo r

the parameter a, (3, Ỗ, 7

-T h r o u g h o u t t h e p a p e r , a n d n il d e n o t e s t h e u s u a l s c a l a r p r o d u c t a n d th e n o r m in L ( Í ) ; H \ n ) a r e t h e u s u a l S o b o l e - s s p a c e s

2 P relim in aries an d N otations

W e d e f i n e in C o ° ( f ỉ ) t h e n o r m ( a s in [1])

IM kn = a n d t h e s c a l a r p r o d u c t

(J

\Duị2 + & 2d * ỳ , V u £ C Ị * ( Q ) ( - )

a j u v ) =(u,v), = I (Du Du + qu.v)dx

J n

/ ỡ ụ ỡụ_ 0v_\ , CJC(Q)

w h e r e Du = { d x i > QX2' - Of

(2-2)

Then we in tr o d u c e the sp a c e t;;'i<ỉì ilriiiH’d as flic conipÌKion of c f Hi) with

r e s p e c t t o t h e n o r m F u r t h e r m o r e , t h e s p a c e e w i t h w e i t g h t

respect to the norm II - llo.il- ,, , , f, I:- 1

P r o p o s i t i o n ( ™ l Ị Ì ) v ; m « a f f i l t e r t space r i r t Ú d e n e , m i = * ( n )

a n j t t e em b ed d in g o f V f { Q ) in to L 2{tt) i s co n tin u o u s and com pact.

We define by the Lax- Milgram lemma a unique operatior Hq in L2(Q) such

that

(Hq U , v ) — aq(u, v) Vu £ D ( H q) y v G V!°(Q)

w h e r e D ( / / q ) = { u e v r9° ( í ì ) : H qu = ( - A + ợ ) u G L 2(n)}.

It is obvious that the operator

Hq : D(Hq) c L2(n) -> L2(Q)

is a linear operator with range ) c L2(f2)

Since ợ(z) is positive, the operator Hq is positive in the sense that:

(Hqu,u)L2{n) > ' i u e D { H q)

and selfadjoint:

{ H qu , v ) L,2(n) = (■u , H qv ) L2{n) Vu,t» e £> (//,).

Its inverse i / " define on /í( //t/| n Z/2(fi) with range D{Hq), considered as an operator into L2(fỉ) By proposition 2.1 it follows that H~l is compact operator in L2(f2) Hence the spectrum of Hq consists of a countable sequence

of eigenvalues each with finite multiplicity and the first eigenvalues

Ai is isolated and simple:

0 < Ai < A2 < • • • < Afc < • • • , At —>■ +00 as k —» +00

Every eigenfunction 'A-(j-) associated with Afc (k — , 2, - - ) is continuous and bounded on Q and there exists positive constants Q and ị3 such that

\ipk(x)\ < a.e~^x] for |x| large enough.

Moreover eigenfunction y?i(x) > in n (spp [ll■)

Proposition 2.2 (Maximum principle, see ỊỉỊ) Assume that q(t) satisfies

the hypothesis (1-3), and A < Ax- Then for any g(x) in L'(Q), there txists a unique solution u(x) of the following problem:

Hqu - Xu =g{x) in ft

u\dQ = , u[ x ) -> as |j| -■> + 0

Furthermore if g(x) > 0, g{x) ^ ill n then u( j ) > 111 Q

By proposition 2.2 it follows that with A < Ai, thp operator H - A is

invertible, D ( H q - A) = D ( H q) c v j m and its inverse ( H - A) : L -(O ) -

D ( Hq) c z ? ( n ) is considered as an operator into L - í > ■ it follows from p r o p o sition 2.1 t h a t (Hg - A) " 1 is compact operator.

Observe further that

X -.-— T - 1- ; ■■■

D e f i n i t i o n A P a * Ị U I v ) € V Ị m X V ' O ( f i ) t s c a l l e d a w e a k s o l u t i o n o f t h e

problem, (1-1), (1-3) if:

aq(u, tp) = a ( u , ự>) + P(v, ip) + ( / , (u, v), ip) (2-4)

aq(v, if) =<5(u, ip) + 7(u, y>) + ( / 2(U) u )t ^ Vv? e c ỏ ° ( f ỉ )

I t i s s e e n t h a t i f t h e w e a k s o l u t i o n u , v c ( f ỉ ) t h e n ( u , v ) IS a c l a s s i c a l s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m

3 Existence of p^^íộ^elsolutions for th e Dirichlet problem 3.1 Supose that

7 < m in ( g , A ])

where Ai is the first eigenvalue of the operator Hq.

Let UQ be fixed in Vq{ũ) We consider the Dirichlet problem:

{ H q - m ) v = ổ u + f { u , v ) m Q ( - )

u|an = 0,u(x) —> as |x| -> +oo

First, we remark that since < min(<7o, A]) q(x) - > in Í1 Then Hq -

is positive, selfadjoint operator in L2(Q) Furthermore the operator Hq — is

invertible and

(Hq -

7)_1 :

L2(ũ)

—>

D(Hq)

c L2(fỉ)

is continuous compact in L2{il) Hence the spectrum of Hq — consists of a

countable sequance of eigenvalues where A* = Afc - :

0 < A i < A2 < ■ • • < A t ■ ■ ■

Besides we have J

|| (/f, - t ) 1IIz,2(rỉ) < A] — ;x

-Under hypothesis (1-4), for V fixed in V^°(f2),/2(^0, 1’) G L2{Q). Then the

problem

(Hq —7)iư =<5uo + /2(^0, u ) in ^ (3-2)

w|dfi =0, u;(-T) lx l ^ + °°

has a unique solution w = w(uo, v) defined by

u, = (//, - t)_1 [**o + v)]

-Thus, for any u fixed in V°(Q), there exists a operator -4 = A(u0) mapping from V'7°(Ỉ7) into D(Hq) c Vq (Q),

,4ĩj = A(uo)v = m = (Hq - i ) " 1^ + / 2(«0 »■’)]■ (3-3)

P r o p o s it io n For all V, V VỊ*(Í1) „ e have the following eshmate:

3 ^ 1 » -511 (3.4)

where II-II the norm in L2(Q).

Proof For v ,v £ v^°(ii) we have

IIAv - Av\\ =\\{Hq - 7) - [f2{u0,v) - f2(u0, ũ)] II

By hypothesis (1-4) it follows that

11/ 2(^0) V) — / 2(^0, 0)11 < k2\\v — D||

Prom that we obtain the estimate (3-4) □

Theorem 3.2 Suppose that

7 < in in (< 7o,A i), — ;' < 1 (3 -5 )

Ai - v '

T h e n f o r e v e r y u f i x e d i n V Ọ° ( Q ) t h e r e e x i s t s a w e a k s o l u t i o n V = v ( y n ) o f t h e

Dirichlet problem (3-1).

Proof. Form (3-3), (3-4) and (3-5) it follows that the operator

A = A(uo) : L 2(Q) D V ° ( Q ) - > D (H q) c L 2(ii)

such that for V e Vg°(fi),

Av = (Hq - 7)-1 [<5u0 + / 2(^0, V)]

is a contraction operator in L 2( f l )

Let Vo £ Vg°(fi) We denote by

Vi = Av0, vk = Avk-1, k =

1,2, Then we obtain a sequence in D{Hq) Since A = A(uo) is a con­

traction operator in L2(il), is a fundamental sequence in L2(Í2)

Therefore there exists a limit lim Vk = V in L ÍĨ) or ill other words: k— > + oc

lim IIVk - i'll = (3-G)

A'H+cc

Moreover V is fixed point of the opnatoi 4:7' A 111 /

On the other hand for all k,ì Ể N we liavi

By applying the Schwartz’s estimate we get

Iaq{vk - v h <p)\< \\vk - Vl\\.\\Hqụ>\\, V(yO £ C0°(i7).

Letting k,l —> +00, since lim ||yfc - = 0, from the last inequality we

obtain that

lim aq{vk - v h ip) = Vy? £ C0°°(Q).+00 r u \ /

Thus {ujfc}£Li is a weakly convergent sequence in the Hilbert space

Then there exists V £ V q ( Q ) such that

fclim aq{vk,tp) = aq(v,ip) ip e C™(Q) (3-7)

Since the embedding of Vg°(Q) into L2(Q) is continuous and compact then

the sequence weakly converge to V in L2(Q) From that it follows that

V — V.

Besides, under hypothesis (1-4) we have the estimate: Wf2(u0,Vk) - f 2{u0,v)\\ < k2\\vk - u||

By using (3-6), letting k —►+00 we obtain

lim Ỉ2{uữ,vk) = / 2(u0lv)|| in L2{ũ) (3-8)

fc-> +oo

In the sequel we will prove th a t V defined by (3-6) is a weak solution of the

problem (3-1)

For any íp G Co°(fỉ),

¥>) = ( H qv ki if) = [ { H q - 7)ufcl + (Vfc vO

= ( v k l (Hg - 7)y>) + j ( v k, ự)

= (Hg - 7)</>) + 7(vk,<p)

= ( ( # ,

-

7)-1

[<fao + /

2

(uo, Vfc-i)] (tf? - - vO

= ^ốuo + /2(^0, V7) + i ( vk,ụ>)

= ổ ( u 0,ip) + [f2(uo,Vk-i),'P') + 7( ^1^ )

Letting fc —> +00 under (3-6), (3-7) and (3-8) we get

a,(v,<p) = <5(uo,¥>) + ( f v ' ) + ( /2( « o t ' ) , ^ ) , - e m

3.2 Under hypothesis (3-5) accordingto the theorem 3.2 for anv u e V°(Q)

there exists a weak solution V = v(u) of the Dilichlct problem (3-1) *

Let us denote B as an operator mapping from into DÍH Ì c I '0/'CM

such that for every u e V'Offi} ‘ q’ ~ q

Bu = V = (Hq - 7) - [6u + f 2(u, Bu)} (3-9)

P r o p o s i t i o n 3 For every U, Ũ6 VỊ(Ũ) we have the following estimate:

IIBu - Bull < - _ ^ ||U - 8|| (3 10)

Proof For u , ũ £ Vq(Q) we ha.ve

IIB u - B ũII =11 (Hq - ) - [5(if - ũ) + / 2(u> Bu) - f 7{ũ, Bũ)] II

— ^ ~ ^ l l u — ^11 + kĩịịu — w|| + kĩịịBu — Bũ\\ j

Ỗ 4- k2 „ k)

- ÁI - - ủ l l + Aị - 7 - Bũ\\.

Under (3-5), Ai — — /C2 > 0, it follows that

( l - h2_ )\\Bu - Bủ\\ < ị +_k2 IIu - ũ||

\ A! - 7/ A! -

From that we obtain the estimate (3-10)

3.3 Assume that a < min(ợ0;Ai) where A! is the first eigenvalue of the

operator Hq.

For any u e V°(Q),Bu e D{Hq) c V°(Q), where D is operator defined

by (3-9) Under hypothesis (1-4) fi(u,Bu) £ L2(Q) then ỈBu-\- Ị \ ( u , B u ) €

L2( h )

Therefore for every u £ Vq(Q) the variational problem :

( H q - a ) U = B u + M u , B u ) in ft (3-11)

ơ |a n =0, ( x ) -> as x\ - » + 0

has a unique solution

£/ = (//(i- ^ ) _1M/i" + /i Thus, there exists an operator

T

: —>

D(Hq)

c V,°(Í2' such that for every u G Vq'{Q)

I / = r « = ( W , !J B" II I" ’ 11"':

is a solution of the problem 3-111 Vs.ng a M.mlar p p ™ ! as for prop,,si ion 3.3 we get the following proposition

\\Tu - 7u|| < /i.||u - ũỊI (3-13) where

P rop osition 3.4 For a ll u, Ũ e I ;;'l <!) we h m the estlmate:

h — [Ẻ — ki)(ã + ^2) + kiịXỵ — -y - fc2)

(Ai - a)(Aj - ry - k2)

Remark that T considered as an operator into L2(Q), is an contraction operator if

^ _ ( + ki)(ỗ + ^2) + fci(Aj — — fc2)

(Ai - Qf)(Aj - - k2) <

It is clear that this inequality satisfies if only if

\ ; ^ n J { 0 ^l)(^ 4" ko)

Ai — a — fci > and — ^ ^ u - 1 < (3-14)

(Ai - Q - fc1)(A1 - - k2)

Theorem 3.5 Suppose that the conditions (3-5), (3-14) are satisfied.

Then there exists a weak solution u in Vq°(Q) of the following variational problem:

(Hq - a)u =0Bu + fi(u, Bu) (3-15)

w|an =0,u(x) -> as |x| —> +oo.

Proof Under conditions (3-14), the operator T is defined by (3-12) is a con­

traction operator in L2(Vt).

Let Uo G Vq°(£i)- We denote by

Uị = T u0, u k - T u k- I , k = 1,2, ■ • ■

Then we obtain a sequence {uk}kLi in D{Hq) Since T is contraction operator

in L2(ii), is a fundamental sequence in L2(Q) Therefore there is a

limit : lim life = u in L2(Q), or in other words:

fc—>+oo

lim — u|| = (3-16)

Ic—t + oo

Moreover u is fixed point of the operator T : u — Tu in L (Q).

By using a similar approach as for proof of the theorem 3.2 it follows that

the sequence is wpakly convergent, in Vq(£l) and there exists u £ \ q (rỉ)

such that

lim aq(uk, V?) = 'M "■ r ) '■ r € Co ( f i) (3

k—>+oo

Besides, under hypothesis (1-4), inequality (3-10) we have ||/,(u t, flu*) - f,(u, B n )II < fc, ( iK - “ II + I But - B u ")

and

IB ,, - 0.11 <

- i - b

'■'l '!

-Letting k -> +00 from (3-16) it follows that

= Bu in L2(fỉ) (3_18)

= -Mu> -^u) in L2{Vl).

Furthermore for any ự}(x) e Cg°(f2)

a q(u ki v ) — ( H q U k , ip) — (lifc, //qV?) = (ilk, ( H q — o ) ^ i + a(ujfc, </?)

— ((Hq ~ °0 (pBuk- 1 + fi(uk-i, Buk-i)), [Hg — at)ự)j + a(uk, f)

= ịj3Buk_i + fi ( u k - i ,B u k-i), p j 4- a(ufc) /?)

= ( { B u k- I,ự>) + Ự i ( u k-1, Buk - i ) , J + a ( u k, p )

Letting k —> +00 under (3-17), (3-18) we get

aq(u,<p) = 0( Bu, <p) + Ụ ị ^ B u ) , ^ + a(u,<p) Vyr € C£°(fi).

Thus, u is a weak solution of the problem (3-15).

3.4 T heorem 3.6 Suppose that tile conditions (3-5), (3-14) ore satisfied

T h e n t h e r e e x i s t s a w e a k s o l u t i o n ( i t o , v o ) E V g ° ( Q ) X I ' 9° ( i ) o f t h e D m r h h t

problem, (1-1)- (1-2).

Proof. Under hypothesis (3-5), from theorem 3.2 there exists an operator

B

: V°(Q) — >

D(Hq)

c v.°(ii) such that for every u G Vq(Q),

Bu = (Hq — 7) + /2(^1 B u )\.

On the other hand by theorem 3.5 under hypothesis (3-14) the variational problem (3-15) has a weak solution UQ £ Vq°(Q).

By denote v0 = B u Then (u0, V0) IS a weak solution of the problem

(1-1J-(1-2)

References

[1] A Abakhti Mchachti and J Fleckinger-Pelle’: Existence of positive solutions for non cooperativos semihnear elliptic1 system defined on an un­ bounded domain Partial Differential Equations Pitman research Notes in Mathematics Series 273, 1992

[2] D G DeFigueiredo-E Mitidieri: A maximum principle for an elliptic system and applications to semilinear system SIAM Journal in Mathematical Analysis, 17, (1986), p 836-899

[3] G Diaz, J I Diaz, G Barles: Uniqueness and continuum of foliated solution for a quasilinear elliptie equation with a non lipschity nonlinearity Commun In partial differential equation, 17 (1992)

[4] L.c Evans, Partial Differential Equations, American Math Society,

1998

[5]

c

Vargas and M Zuluaga: On a nonlinear Dirichlet problem type

at resonance and bifurcation Partial Differential Equations Pitman research Notes in Mathematics Series 273, 1992

[6] Louis Nirenberg: Topics in nonlinear functional analysis, Nowyork, 1974

E X I S T E N C E O F P O S I T I V E S O L U T I O N F O R A S Y S T E M O F S E M I L I N E A R E L L I P T I C D I F F E R E N T I A L

E Q U A T I O N S O N A N U N B O U N D E D D O M A I N

HOANG QUOC TOAN AND NGÓ QUỐC ANH

Ab s t r a c t In t h i s p a p e r w e s t u d y t h e e x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u ­ t i o n o f D i r i c h l e t p r o b l e m for a s y s t e m of s e m ilin e a r e ll i p t i c e q u a ­ t i o n s o n a n u n b o u n d e d d o m a in T h e pr o o f is bas ed on tin Mip- a n d s u p e r - s o l u t i o n m e t h o d

1 In t r o d u c t io n

In t h is p r e s e n t w o r k w e a re in te rested in tho s tu d } ' o f th e follow ing problem

— Au + q(x)u = au + ỔV + f(u v),

— A t - q l x ) v = ỖU + J V + q ( v ) ,

J • vv / “ ; J

u (x) > , V (X) > w i t h X Í Ì ,

lỡn = v Ian = 0,

where Q, /3, 7 , 5 are given real n u m b e rs ; /3 > 0, Ỏ > 0; ũ c K" (n > 3) is a n unbounded c o n n e c t e d open set s u b je c t to D irichlpt b o u n d a r y conditions

S e m i l i n e a r s y s t e m s like ( ) n a t u r a l l y a rise iri th e s t u d y o f v a rio u s k in d s o f n o n l i n e a r p h e n o m e n a such as p o p u l a t io n e v o lu t io n , p a t t e r n

formation, chemical reaction, etc., being u and V the concentrations

of different species in the process (see also [8] and references therein)

Visibly, the interest in the study of the various qualitative properties

o f ( ) h a s s t e a d i l y in c r e a s e d in recent tim es

We firstly notice that the problem (1.1) have been studied in main papers, see [8] (and references therein) Existence resul s were recently obtained in bounded domains [12, 13] In [1], the authors ha\p consid­ ered the problem in the case when f (u, v) = f (u) is a function of onh

Date: O c t o b e r , 0

2 0 M a t h e m a t i c s Subject Classification. 35.160 35JG5.

K e y w o r d s a n d phrases. P o s i t i v e s o l u t i o n , u n b o u n d e d d o m a i n , m a x i m u m p r in ­ c ip le , s u p - a n d s u p e r - s o l u t i o n

2 H O A N G Q U O C T O A N A N D N G Ó Q U Ố C ANH

10 '2005

V ỉ í I 0- They have pr0ved the “ toence of positive solutions

of the problem

We make the following assumptions (qO) q ( x ) e c ° (Rft

(ql) there exists a positive constant q0 such that q ( t ) > <7n for all

X

E

(q2) q(x) -» +oo as |x| -> +oo. For the nonlinearity / we assume

(fO) / (u, v) e c ° (R2) and / (it, v) > for all tt > 0, r > 0;

For the nonlinearity g we assume

(gl) g (u) is increasing for all V > and g( 0i > 0;

(g2) there exists a positive constant k such that lim sup — < /.• The aim of the present work is to study the existence of positive solutions of the problem (1.1) under the above hypothesis and suitable conditions for parameters

Our paper is organized as follows

Section provides some preliminaries and notations before stating our main results In Section 3, we consider the case whm ÍÌ is ail unbounded domain Our main result for such case is Theorem 3.4

In order to state the main achievements of the paper we need some preparatory stuff

We define in

C£° (Cl)

the norm (see [1])

(gO) g(u)

e c°

(R), q (0) = 0;

/

2 P r e l i m i n a r i e s a n d N o t a t i o n s

and the scalar product

10/2005 EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTION FOR 3

where

D u = ( Ễ Ĩ L Ệ L

\ỞXi dx2’ dxnJ '

with u = u(x 1, 22,

Then we introduce the space Vq° (Ũ) defined as the completion of C0 (Í2) with respect to the norm || ||9Q Furthermore, the space V/0 (ÍÍ) can be considered as a Sobolev-Slobodeski’s space with weigh*

L e m m a (See [1]) V® (Q) is a Hilbert space whi ch IS d e n s e in L? (ÍỈ) and the embedding of Vq (fi) into L2 (fỉ) is continuous and compact.

We define by Lax-Milgram theorem a unique operator Hq in (ÍÌ) such that

( Hqu, v) = aq {u v ) , Vu 6 D [Hq), Vi' e v f (Q ),

where

D (Hq) = { u e Vg° (<}) IHqu = (-A + «7) u € ữ (Q)}

It is obvious that the operator

Hq : D (Hq) c L2(Q) - L2(Q)

is a linear operator with range R (Hq) c L2 (ÍỈ).

Since ợ(x) is positive, the operator / / ? is positive in the sense that

( t f , u , u ) i2(n) > , V u e D ( H q)

and self-adjoint as follow

( H qu , = (u, H qv)L , Vu, V £ D ( H q )

Its inverse defines on 7? (Hq)PiL2 (Ũ) with range D (Hq) considered

as an operator into L2 (il) It is easily to check that Hq is compact

Hence, the spectrum of Hq consists of a countable sequence of eigen­

values J with finite multiplicity and the first eigenvalue A] IS

isolated and simple, i.e,

0 < Aj < A2 < -^3 s — •"

w h ere Ak —> + 0 as k —* + 0

Every eigenfunction ự>k(x ) associated with xk (k — 1Í r

t i n u o u s a n d b o u n d e d in Ũ a n d t h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s Q a n d 3

such that

Iifk (x)| < ae_;?|T| for 1*1 larse

L e m m a 2 2 (Maximum principle) A s s u m e t h u t q ( x ) sat i sfi es the h y ­ pot he s i s ( q O - q l - q S ) a n d A < A, Then f o r a n y g { x ) in L2 (Q) there

e x i s t s a u n i q u e s o l u t i o n u (X ) o f t h e f o l l o w i n g p r o b l e m

Ị H qu - Xu = g ( x ) in Q,

Ian = 0, u (x) —» as |x| —* +oo.

F u r t h e r m o r e , i f g ( x ) > a n d g ( x ) ^ i n n t h e n V ( x ) > 7TÍ n

It follows from the cibovc l6mm& thcit with A < A] the operator

Hq - A is invertible D {Hq - A) = D {Hq) c V'9° (ÍÌ), and its inverse,

(Hq - A ) - : L2(n) ^ D( Hq) c L2(n),

is considered as an operator into L2 (f2) Moreover, this is a compact

operator

Observe further that

( Hq - A)- ifk (x) = ự}k ( j ) , for all A- > 1.

At — A

L e m m a S u p p o s e t hat f u n c t i o n h (x) satisfies the f ol lov'inq c o n d i ­ t ions

( ) h ( u ) e C ° ( R ) , A ( ) = ;

( ) h (u ) i s i n c r e a s i n g f o r a l l u > a n d h i ) > ;

(3) lim sup “ < k.

t —> + oo

Wi t h A < A], w e defi ne an o p e r a t o r B ITÌ L (Q) such that B u = ( H i - A)-1 h (it), f o r all u e L 2 (.Q).

T h en B is a c o n t i n u o u s c o m p a c t in L2 (Q) Moreover, i f u1 (x) U‘2 (?■) €

L ( Í ) a n d < l i ] ( i ) < V'2 ( x ) ỉ o r a l l X € Ũ t h e n < B u ( x ) <

Bu2 (x) in n.

Proof By assumption (3) and h (0) = we follow

/?, (/:) < at + c for all t > 0,

with a < k and c > This yields h (u) e L2 (H) for cach u e I (H) and operator

B := ( H q - A)_I /ỉ (•) : (ft) "* D (H<i) c £ 2 ÍH) is continuous and compact in L2 (H)

Suppose that It] (x ) (x) £ ^ suc^ ^ ia*

0 < w Ce) < »2(rỉ for a11 x e n

Then But =: (H - A )- h („,) and = („ , - A)-' ft Hence

Bui,Bii2 € D (Hq) and

f (-^9 ~ Ằ) { B u — B ui) = h ( u 2) — h [ u i ) in Q,

< Bu2 Ian - Bu-i Ian = 0,

[ Bu2 {x) - Bit] (x) 0 as |x| —> +00.

Since h is increasing for all u > then with < Uj (x) < u2 (r)

we have h { u \ ) ^ / i ( u 2) in Q By Maximum Principle it follows that

0 < Bu\ (X) < Bu2 (x) in n □

3 E x i s t e n c e r e s u l t s i n u n b o u n d e d d o m a i n s

In this section, let if I be the normalized positive eigenfunction cor­ responding to the first eigenvalue A] of the problem

fịu Ian = 0.c A„” ’ <*»

It is readily to verify the following lemmas

L e m m a S u p p o s e t h a t < A ] w h e r e A] IS t h e f i r s t e i g e n v a l u e o f

o p e r a t o r H q T h e n o p e r a t o r Hq — "f IS i nvertible a n d its i n v e r s e defines

on L? (Q).

Let u be fixed in L2 (Ũ). Observe that, assumption (g2) implies

g ( t ) < at + c for all t > 0,

with a < k and c > This implies g{u) e L2 (Q).

Let us denote by B the operator mapping from L2 (ĨÌ) into L (Ỉ7)

such that

B u = V = { H q - 7)_I i 6u + 9 (ô)) ã (3-2)

w h ere V is t h e u n iq u e s o lu tio n o f th e D irich let p rob lem

ị { H q - ) v = ỏ u + g { u ) in ÍĨ, f3 3)

[v lỡíỉ = 0, which is defined by

v{ x) = ( Hq - i V l (ỖU + g (u)) ■

In fact, operator B is nonlinear, continuous, compact in L [A) lore

over, for u(x) G L2 (ÍÍ), u{x) > in Ũ we have

g { u ) > g ( ) = ,

ỗu + g ( u) > 0.

Hence Bu > Furthermore for (x),u2(x) e L2 (ũ) and <

«1 (a:) < u 2 (a:) for a ll X e n w e have B u , < ế u 2 in n.

Assume a < Xỵ and B is an operator defined by (3.2) we consider

t h e f o l l o w i n g v a r i a t i o n a l p r o b l e m

/ { H q — a ) V = f3Bu + f (u, Bu) in f l

\ w | a n = (3 )

T h e o r e m S u p p o s e that

(1)

a < A] a n d - - — -Ỉ > 64 (8.5)

m (2)

g, (0) > ( A , - o K A, - ) _ (30)

T h e n t h e r e e x i s t s u b - s o l u t i o n ụ ( x ) a n d s u p e r - s o l u t i o n Ti ( i o f t h í j n o b

lem

(3.4)-Proof. By our hypothesis we have

i:„ 9{s) , , nX „ (A, - a) (A) - ) ,

lim —— = g 0) > - -J -1

■S—*4-0 p

Thus, there is a constant So > such that

g ( s ) > (Ai - a ) (Aj - ) _ s for all 0 < <s < S(t

s 0

From that it follows

g (s) > ^ [(Aj - a) (A] - 7) - <5^1 s for a11 < s < ?<)■

Let us denote ỵ,(x) = cự>i (x) where (Pi (x) is eigenfunction associated with the first eigenvalue A] of operator Hq and c is a constant chosen so small enough such that

0 < Of I ( x ) < So for all J Ễ n

Then _

g (op, (x)) > [(A, - ữ) (A, - ->) - S3] rv, (.r) p

Thus, we have

6 HO AN G QUOC TOAN AND NGỎ QUỐC ANH 10 '2005

10/2005 EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTION FOR

-Moreover

( ^ ~ 7 ) {cự>Ị ( x ) ) = -C( ( x \ _

A] - 7

which gives

(Hq - 7)"1 9 (cy>, (x)) > - [(A, - a) (A, - 7) - 60] (I)

” A) — -V

From that we obtain

B&fk (x) = (Hq - )-1 [ỗap, (x) + g (op1 (x))]

= 7 — ^ 1 (a;) + (Hq - j)~] g (cy?! ( x ) )

^ /

Ố 1

^ \ _ CiPi (x ) + ft [(^1 - a ) (A] - 7) - ỖÍ3\ T—-— ('Vi (*) ■

A1 — p A1 — *y

It follows that

13B cự}I ( x ) > (A] - a) cự>} (x) = ( H q - a ) Cipi ( t )

By assumption (fo), / («/>] (x) , Bcựi (x)) > we get

{ H q - a ) c p i ( x ) < P B a p i (x) < P B c i f i (x) + / (fY>i ( x ) 5cv?i (t))

T h u s, w e h ave p ro v e d th a t the function V (x) = cự>] (X) wi t h a constant

c choosing small enough is a sub-solution of the problem (3.4)

Let now n be a natural number We denote Ũ [x) = 77.1^1 (r) It follows from (g2) that

g (ntpi) < knifi for n large enough.

Therefore, we get

0Brupi (x) — p {Hq — 7) 1 [ỗtì^Pì {x) + g {n<Pi (1))]

- 06 (Hq - i r 1 (nựi (x)) + 0{Hq - 7)"1 (’V i (*))

< p (ỏ + k) (Hq - ) ' (x))

Ỗ + k ,

= P-7— n ^ i ( x ) , Ai - 7

which yields

nự?i + Bnựi ^ , I + fr $ - - + Ã T ^ y On the other hand by condition (f2) we have

8 H O AN G QUOC TOAN AND NGÔ QUỐC ANH

Then

1 /2005

lim / (r cy > i B r u p i ) _ ^ / / [níp u Bntpi) + B n

n n i P ĩ T1 - + 0 \ niy?! + B n y n ^ p i

It follows from (3.5) that

(Aj - a) - ~ + k > 0. A] -

Thus, there exists a natural number no large enough such that for every n > no we have

From that we have

(Hq - a) nify > 0Bmp1 + / {nự>u Bnipj) for n > no,

w h i c h g i v e s t h e f a c t t h a t ũ{x) — (x) is a s u p e r - s o l u t i o n o f the

problem (3.4)

Under assumptions (g0-gl-g2), for u L2 (fỉ), we follow / (u, Bu) £

L2 (Q) This assertion let us to d e n o te by T an o p er a to r from L (ÍĨ)

to L2 (ft) such that for every u e L2 (ÍÍ)

where w is a unique solution of the variational problem, for each u e

L2 (ÍÍ),

Tu = w — {Hq - a ) - 1(pBu + f {u, Bu) ), (3.7)

(3.8) which is defined by

w [X] =

-We have the following lemma

Lemma 3.3 T is nonlinear, continuous and compact operator in L2 (Q) Moreover

T ( [ u , ũ ] ) c ị ỵ , ũ } ,

where u{x) and ũ(x) are sub- and super-solution of the problem (3.8)

and

[u, ũ ] = { u ( x ) <E L 2 (ÍĨ ) \u ( x ) < u ( x ) < ũ ( x ) , x € í ì }

Proof Recall that the operator B : L2 (H) —* L2 (fỉ) satisfying, for

each u e L2 (Q),

B u = (Hq - a ) _1 (ỖU + g ( u) ) ,

is n o n lin e a r , c o n t in u o u s a n d c o m p a c t in L2 (ÍĨ).

On the other hand, for each u e L2 (Q) and Bu e L2 (Q) we have

f ( u , Bu) e L? (ÍÌ) Hence, the operator

T = ( / / , - a ) - (/?£* + /(.,£?.))

is also n o n lin e a r , c o n tin u o u s an d co m p a c t o p era to r in L2 (Í2).

Assume that U] (x), u2 {x) G L2 (ÍÌ) such that

u (X) < It] (x) < u2 (x) < Ũ ( i ) , for all X e rỉ It follows that

(x ) < B u (x) fo r all X € Í1

Furthermore, by condition (fl), we have

f {uu Bui) <- f (u2, Bu2) f o r a l l X € n.

Hence

B«1 + /( u i,5 u ! ) < £ u + / ( u 2,£u2) for all X e n. Thus, we obtain

Til 1 < T u2 in n.

On the other hand for sub-solution u(x) it holds that

(Hq - a ) u < 0Bu + / (u, u ) ,

which gives

ỵ < { Hq - ữ ) - ' ( B u + f ( ỵ , B ỵ ) ) ^

In other words, this means u <Tu Similarly, we have 717 < u Thus,

for all u ( x) e L 2 (Q ) s a t is f y in g u ( x) < u (x ) < V ( z ) in ft- it h o ld s th a

u i x ) < T u { x ) < u { x ) < T ũ { x ) < ũ { x ) i n í ì

' □

which gives the assertion

In this section, our main result is as follows

T h e o r em A s s u m e t h a t the condi ti ons ( f O - f l - f i - g O - g i - g i ) a n d (3

5-l i r n i f hen there eI“ is pos'!'v‘ (% '») of the

problem ( 1) 1

Proof Under hypothesis of the theorem, for every u (i) <E (Ũ) there exists a unique solution

w = Tu = (Hq — a) - (PBu + f (u, By))

of the variational problem (3.8)

Furthermore, by Lemma 3.3, the operator T = ( H q - a ) - i (0B + f(.,B.))

ie nonlinear, continuous and compact in L2 (Q) and 7([y.ũ]) c lit ũ]

where u and u are sub- and super-solution of problem (3.4).

On the other hand, [u ũ] is a closed bounded convex set with respect

to the norm in L2(Q). By Schauder’s Fixed Point Theorem, there

exists at least one fixed point for T in In other words, there

exists Uo (X) £ [u, ã] such that

u0 (x) = Tu0 (x) = (Hq - a )-1 (0Buo (X) + f (u0 ( r) , Bu„ (j))). Observe further that Uo (x) > u{x) = op I (X) > in rỉ It is clear that

Uo ( x ) is a p o s i t i v e s o l u t i o n o f t h e p r o b le m ( 1 )

Putting

v0 (x) := Buo {x) = (H„ - a)-1 (Su0 (x) + g (tto (x))).

Hence v0(x) is a solution of the problem (3.4).

Moreover, since u0 (X) > 0, g (u0 (x)) > in n, by Maximum princi­ ple, we deduce that Do (x) = Buo (x) > in fl.

Thus (iio,fo) is a positive solution of the problem (1.1) □

Ac k n o w l e d g m e n t s

The authors would like to thank the Referee for his comments and suggestions on revising this article

Re f e r e n c e s

[11 A ABAKHT1-MCHACHT, and J FleCKINGER-Pelle E^tenoe of Posit™

solution, for non.Zr,ra,,vcs ,m ,t.ncar ell.pt.c sy'lem ~ r ” ,

Z Z e d domain, Parl.d w £«»>■■ Hmm,‘ N°'” 273

( )

10/2005 E X I S T E N C E O F P O S I T I V E S O L U T I O N F O R 11

[2] M o h a m e d B e n a l i l i a n d Y o u s s e f M a l i k i , a r e d u c t io n m e t h o d for p r o v ­ in g t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s t o e ll ip tic e q u a t i o n s i n v o lv in g t h e p - la p la c ia n Electron J Diff Eqns Vol 0 (2003), No 106 1-10.

[3] G D i a z a n d J I D i a z a n d G B a r l e s , U n iq u e n e s s a n d c o n t i n u m o f foliate d s o l u t i o n for a quasihri6cir e llip t ic e q u a t i o n w ith a noil l ip s c h it v n o n lin e a r it y C o m m , in P a r tia l Diff Eqns. ( 9 ).

|4] D G D e F i g u l i r e D O a n d E M i t i d i e r i , a m a x i m u m p r in c ip le for an e ll iptic s y t e m a n d a p p l i c a t i o n s t o s e m ilin e a r s y s t e m , S I A M .1 in Maths Anal ( ) , - 9

[5] L c E v a n s , P a r t i a l D iffer e n tia l E q u a t io n s , A m c n c a n Math Sot 1998.

[6] Gi o v a n n i M a n c i n i a n d En z o Mi t i d i e r i, P o s i t i v e s o l u t i o n s o f s o m e c o e r a v e -

a n t i c o e r c i v e e l l i p t i c s y s t e m s , Anal, (ic la fucull lies xnrncc.'i dr Toulouse 5' s n c T o m e N o ( - ) , -2

[7] L N lR E N B E R G , Topics in nonlinear Functional Analysis, N o w York 1974.

[8] VICENTIU D R a d u l e s c u , Nonlinear I’artial Differential Equations oỊ Elliptic

Type, M o n o g r a p h , 0

[9] c V a r g a s a n d M Z u l u a c a , Oil a non lin ear Diric hlet p r o b l e m t y p e at res­ o n a n c e a n d b i r f u c a t i o n , P(L"litil DiJJ Eqns., I’llmal Ềp.srarch Notes 1T1 Maths 2 ( 9 )

[10] JlANFU Y a n g , N o n t r i v i a l s o l u t i o n s o f sc m ili n w ir < IliptK' s y s t e m s Electron J Diff Eqns Conf. ( 0 ) -3

[11] JlANFU Y a n g , M u l t i p l e s o l u t i o n s o f swniliiK'iir e ll i p t i c s y s t e m s , C o m m m t Math Univ Carolinac ( 9 ) - 2(>8.

[12] M a r i o ZULUAGA, N o n z e r o iind P o s it iv e s o l u t i o n s o f a SuperliiK'iir ell iptic s y t e m , A rc h i v u n i M ath cm a ticu m (RIINO), l o m u s ( 0 ) , G3-70

[13] M a r i o ZULUAGA, a n o n l in e a r e ll ip tic sysUyji ill resoiiimct! D ynam ic Sys mid

Appl (1994), no 4, 501-510.

[14] M a r i o Z u l u a g a , N o n z e r o s o l u t i o n s of ii n o n lin ea r e ll i p t i c s y s t e m at reso­ n a n c e , N o n l in e a r Anal. T M A (1 9 ) , No / , '1'15-lj'l

Ho a n g Qu o c To a n

De p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s, Me c h a n i c s a n d In k o i i man c s Co l l e g e o f Sc i e n c e, V i i V r Na m Na t i o n a l Un i v e r s i t y

HÀ N Ộ I, Vi ệ t Na m

Ngỏ Quốc Anh _ _

De p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s, Me c h a n i c s a n d n f o r m a t i c s Co l l e g e o f Sc i e n c e, Vi ệ t Na m Na t i o n a l Un i v e r s i t y

HÀ N ộ ] , Vi ệ t Na m

Elsevier E ditorial S y s te m (tm ) fo r J o u rn a l o f M a th e m a tica l A na lysis and A p p lica tio n s

Manuscript D ft

Manuscript N u m be r:

Title: N O N -E X IS T E N C E A N D M U L T IP L IC IT Y O F P O SITIVE S O LU T IO N S F O R Q U A S IL IN E A R E L L IP T IC PROBLEMS IN B O U N D E D D O M A IN S

Article Type: R e g u la r A rtic le

Section/Category:

Keywords: p o sitive s o lu tio n s , p -L a p la c ia n , q u a s ilin e a r ellip tic problem s

Corresponding A u th o r: A u th o r T n Tat Dat,

Corresponding A u th o r's In s titu tio n : H a n o i U n iv e rsity of Science

First Author: T n T a t Dat

Order of A uth ors: T n T a t D at; T rin h T hi M inh Hang: Hoang Q u o c Toan

Manuscript k e g io n o f o r ig in :

C o v er Letter

December 5th, 2006

D e a r E d i t o r o f t h e J M A A ,

E n c l o s e d i s a p a p e r e n t i t l e d " N O N - E X I S T E N C E A N D M U L T I P L I C I T Y O F P O S I T I V E S O L U T I O N S F O R Q U A S I L N E A R E L L I P T I C P R O B L E M S I N B O U N D E D D O M A I N S "

Please a c c e p t It as a c a n d id a te fo r p u b lic a tio n in the "Journal of Mathematics Analysis and

Applications B e l o w a r e o u r r e s p o n s e s t o y o u r s u b m i s s i o n r e q u i r e m e n t s

/ Title and the central theme of the article

P a p e r t i t l e : " N O N - E X I S T E N C E A N D M U L T I P L I C I T Y O F P O S I T I V E S O L U T I O N S F O R Q U A S I L I N E A R E L L I P T I C P R O B L E M S I N B O l N D E D D O M A I N S T h i s stud> e x t e n d s

t h e r e s u l t s o f J F e r n a n d e z B o n d e r :

J F e r n a n d e z B o n d e r , M u l t i p l e p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r q u a s i l i n e a r e l l i p t i c p r o b l e m s w i t h S i g n - C h a n g i n g n o n l i n e a r i t i e s , Asbtract and Applied Analysis ( 0 ) , N o 12 , - (

t o a q u a s i l i n e a r e l l i p t i c s y s t e m

2 Names, addresses, telephone fax numbers, and email addresses of corresponding author

T r a n T a t D a t

H a n o i U n i v e r s i t y o f S c i e n c e , V i e t n a m N a t i o n a l I m v c r s i t v 3 th N g u y e n T r a i , T h a n h X u a n , H a n o i

T e l : - - 8 1 5 t a t d a t S ( t f v a h o o c o m

F i n a l l y t h i s p a p e r i s o u r o r i g i n a l u n p u b l i s h e d w o r k a n d It h a s n o t b e e n s u b m i t t e d t o a n v o t h e r

journal for reviews.

N O N -E X IS T E N C E AND M U LTIPLICITY OF

PO S IT IV E SO LU TIO N S F O R QUASILINEAR ELLIPTIC PH O D EMS IN BOUNDED DOMAINS

TRINH THỈ MINH HANC; HOANf, (Jl'of TO A 1

Abstract Ill tlie prt'st-m |j;ip<.T by using vaiiiHÌDiial JIL^IUIR'IIIS UT piovc till' null

e x i s t e n c e , m u l t i p l i c i t y o f p o s i t i v f s o l u t i o n s i n a SVSH IU III p - L n p l a r r j l r | i m h M i i * , #

gradient, form w it h n o n l i n e a r hrinnd ary miwlnirms

1 INTRODUC'l ION

In a recent paper [15], K PeirMri liH.s sl.1 nÌi<j< l)Y Iising VHiiiiiiona] ;Ir'J,M111 *‘ 1 s

th e e x i s t e n c e , m u l t i p l i c i t y , a n d n o u -e xisK iK T o f p o s it iv e so lu tio n s til U]f )Iiìli>\\ IIr q u a s i l iu e a r e l l i p t i c p r o b l e m

w h e r e n i s a s m o o t h b o u n d e d d o m a i n ill It At,u — <liv( V :|' * \ II I* I h r ]’-L a p l a c i a n , < 11 < -TO, A is a p o s i t i v e p u i m H e i .Mill /(.I II) ÌN ( 11.111 !»■< M i< IV

funcl.ion 011 íì X [0, DC)

T h e y p r o v e d t h a t t h e r e a r e A a n d A <• \ <r X s we ll t h a t p r o b l e m ( ] l ) li IN 111)

p o s it i v e s o l u t i o n for A < A Mild al leasl I.1VII p u s i i i w s o lutio n s iiW A \

M o r e r e c e n t l y , in 110] J FPi'll mikIpx B tm d e r liii-s e x i e m l e d I liHSH rrsull-s I<J I 111 li-

let p r o b l e m f o r a g r a d i m i svstl’ ni OÍ p-La|)lfi('p Pfjiiiit.nms:

and for the quasilincnr elliptic problem with nonlinear boundary

(1.1) — Ay/i/

= XJ(j Ii) III !!

0 = (111 <I[(111

(1.2)

(1.3)

1 svsii 1ỈI

Date: D c a ’in ljc r 1, 20(Jii

h e ụ words (inti p li rast-fi. posiiivr sol lit urn.** !->

WOO M a t h v n u i ỉì c s Sub f i t I C 'h t s 't J tntinnts- Ô'

p o s i i i v i s o ln t u m v p - L Ill ,'1.ã(ô.!ằ

f ( ' It isri I U í t ỉ n n i * o M 'jn * *1 »<j í ' |í'

w i t h n o n l i n e a r h o u n i l a r v m e n t i o n s a s f o l l o w s

- A„rj - ||,|»’ -\| g 0 ]n (,

- \ v + = I) ;| o

( -4 ) l w H j = A / ( , , ! , ■ ) ( Il l n o

Vi

M r lF — - A</(./ ,1 ) 1, , - o

Ơ~Ị

where n is a smooth bounded domain ill 1\"‘ n 1 ỊI.,) X p a r a m e te r

U n d e r t h e follu wii™ h y p o t h e s e s

H I ) : G ( u - v v ) is a O;i.ni!,l)p(><]o]-y l u n r l i o n III! (Ị X Q "V ✓

C ( r •, ■) is c l for i I :r c n and

( i „ ( I I I r ) = / (,/ 1/ r ) ( (.J I I r I = I/I.I I/ ■

a r c C a r a t h e o d o i v f u n c t i o n s o n í j ị ỉ ■ [(> X > (I X I

H ) :

i,*(j <1 (Tj = /(J I)) = ,,!./ II, III - (I

I'll f { r II i) + r<y(.r II I ■) I ( ' t u ' - I Ifi'f.i I/ r)| ^ C7 </'' I f o r s o m e Cons i ui l u >

H ) : T h e r e I HIM I]VP n u m b e r s íi I, sue li lli.il 11II ill / - I Cj'i.i I/ r ) ÍỈ till ||| - ||

Cl.r I I)

H ) : l i m s u p - - Í iMiimi m h III.;

-V + -

D e f i n i t i o n 1.1 A pail ( I/ r) t n 1 ''(! ! ' I I *1 ■ '

p r o b l e m (1.4) if ( II v) satisfies:

- B ' ' 11 nil MIM1 | | \ \ ( 111) \ \ f r 1(, , „ Hi.-n

/

■ r ' <!

B \ u s i n j ; v a i i a l i o i m l HM'lliucI \VIJ sli.ill p m v r I ■■ I I

T h e o r e m 1.1 Supỉ><m Hull lilt u-'ltiniihnn* I IIỊ

c r i s i s a p o s i t i v e m n i b i 1! A M / c / i J<» - /' ■ "

T h e o r e m 1.2 i J W r r III! pttons H \ ) H

I lull problem (1.4 )_/ôằã' ' " p ' ' " ' s", "/ -H ''Hi) fo r \ " A.

Tile I'pst of tli(' JMJO'I' 1-' ; ’■

iiiid in S c r t i o n :i vv p i" ' 1 n , '"u 1:1 1

T _ I

\ IS ;i Ị )I M f l v r

| ( ) \ I Mi l [| l l - l l

t'r.lk srf 1111 ]‘ >i: 1.1

H O í ì l '1 1V K S O M 11 l ( ) \ s H ) U ( J I I \ S 1I I \ K \ H K U I P M „ , , „ s M , H , , „ , M N1

^1#

2 PROOF OF THEOREM 11

Fir st ly, w c n o t i c e t h a t th e f o l lo w in g I'ig m a l i i c p io M c m (se e I'j jTj)

Í

- A, II + ||/.|’ - -H = in ()

|V « r 2^ = A|«r „ m m

(1 < r < + 3C)

h a s i h e first p o s it iv e e i g e n v a l u e A] criven hi

I ( Vi/f - Ị(/|' )(l.r

mil) -i / = -i r ' " ( ! ! ) \ < r (! I) J | //| 'i/iT

>

Now for ^ /J,(/ < + x we den ote

= m in { \ i ;> Aw }

Then we obtain:

f(\Vu.\>‘+\Vv\" + W + \,rH*

( 2 ) x " " f " J T j ^ F " I ' I " ) , / -(in

S u p p o s e that, (u., 1’) € II •/'f r ỉ ) X H r/(í Ì J IS , 1 piisMive Miliitioii (if ]>t<»1 >]| n ( 1 ; M u l t i p l y i n g t h e first pq uiili on o f (1.4) liy II anil t l if sc-rrinil |->v I inU'L'iiii 1 1 1' IIV |>.iri a n d a d d i n g u p , vvc g e t

ÍỈ

= / ỉ ( i v i / r - - ^ > - ( V , f' - — i/-T

/ ih ' '■

ớ!ỉ

- A I { n C : „ ( X II. I I I /-Í-' " ‘I

I

m

From that., hv hvpolhesis I I 2) we h a w the e>'mi;iii

(2.3) y ( Ị V ( í | " + M ’' + | V i f ' + | r | " I A \ c I | | ( » r + M 1'! / "

a

From (2.2), (2.3) it follows lli.it

/I]V»|' - IV.p + l r - i' \'i J i x ’“ r TTM'7 lit'"''"

.)W

T h u s w i l l , A = ^ „ „ , 1 , , , Í A i l l I - " ’" - " - - I

IHIN'II 1111 M | \ | | 11 \ \ ( ; | | < I \ \ ( ; f^i ( If • J i j \ \

:i P R O O F OF T H E O R E M 2

F o r the p r o o f o f T h e o r e m 1.2 \vc use critical point tlieo rv s t f:t.r II

-u < or V < 0, lifiR'e a ls o /(.?: a V) = (jl.1 II. »•) = II fill II < I or V < u U n d e r h y p o t h e s e s / / ) //-1) w e consider I Ilf r | i u n a i o n i l assorMto.l Tr, |,I

(1.4)

(3.1) G \ ( u v ) =

Ị m,.m

u fj

(IM') (II’ '\<ỉ) X II and we have

(3.2) ( D G x {v, v) ( v <■■)) = Ị u V n ự - - v v , • \Vr[<

1

+ I + l l ’l’^ ^ r c (fi.J A I 1/ 1.1' V I )T- - g { x u r i l if/rr

n 'I\ì

for(u r) (y- I/O e n / II '1(H)

II is well known Uial Ilie (wcilk) solutions Ò1 problem (l.-l runt-'.ipniiil 1(1 I III- c poinl.s of G\ To prov(j TliPOfPin 1.2 wr iiPfil some H)lliI\v 111” fill Is

Proposition 3.1 if (».!') u 1''!<)) / H MPi SI/'/ hull pimii I I I <■

II -> 0, t ~ỹ ill ÍÌ

P i n o L o t ( « '■') b f p o i n t of ( ! \ Di'H'Hi Iiv

» “ ■*= MI i ] { II } l ll ll l{ r

Remark that.

I ( IJ f i x II r) f r 'lỉ ĩ II r\)ilr II

tin

W e l m v e

0 = ( D G \ ( í i r) iu r )}

= j ( \ V t t \ ' - - V ’i V u + | V f - - V r V ' - l»r + 't' '•'<

u

- A

Ị

("

1

I II r ) -4- > rj(.i II r ) ) i J r

• I

= Ịi \Vu f

i i

I p v r - p +-I" + i- I

- I I " II" ' -■(!!) ■ l | r I'H s!

_ (I I - 11 u I I 11 I ill'

llrnc-p |||/ llnr' I'-Ii) proof IS roll] pit Icil

Remark 3.1 I.tl (».'■' !" " Ilnrnarks nif/jiitiJilII I M'l 1”

There fo r e , non-t-vnml '< ' 1

Proposition 3.2 (’ A f-s 1

I I ' (111: *

I I I ( )

I) ic*»

ll iloill

I I ' l l a l

III! n

P O S I T I V K S O I U J I O N S m u qii.vsn | \ K M I I - I U T ’ I K m m i I M S l \ I B M ' l i H I I X p i M V s

P r o o f. B y a s s u m p t i o n s / ) a n d 1]4), for a n , A > .) tliei-p exists, a c onst an t r , .1

w h e r e Ĩ ) d e n o t e s 1.1 )*■ Lclx's^ue iiK'ii.suii1 III ilM So <!\ IS riH'Kivi' ■1 1>I IH.1IInl<■<] f r o m b e lo w

Remark 3.2 By proposition Ì.2 and (IS I I IX (1« 111'III h’li'i trIiuctiiilunion-, 'ft

I M a i n a ylobnl m im m ia r r f i / | i ' ] ) o f C x iti < ) I I I Ẽ 1 r °

P r o p o s i t i o n 3 Tlicrr in a ụositivt lunniit'i X such I'll1 I<‘I \ 1J|I ( ’ ( “ ■' I * and hence ( v i t-'i) I ( , )

P r o o f. T a k e t h e c o n ^ n i ' f m i l l i o n s »„(■'■) = /„ r, (.» = 1 ■ wlieTf I, .1 1 ;i- in u : TliPH, w e ohl.ain

s u ch t h a t

H e n c e

^ / | V u | " + ? /|" 3 J p <11 + ỊỊ

IVi'l" + M '

w u

> Ị ] V u T H « r f/r I ■ j V i f + \>r

<)(( 'HI

!)

F r o m t h a t it f o l l o w s (3.3)

h c n c c t h e r e is a n u m b e r A 0 su ch th a t I At

F r o m t h a t it f o l l o w s 1 hill _

i n f G a ( u i - ) í C , \ (k. < «) for A A So r \ | » I) w :tft A A 11| 1)< r

(11.c)

Proposition Ỉ IS proved

P r o p o s i t i o n Thi or It/in (II 11

IV ’(0)

n THI VII 111! MINI I IUm; |,r> \V(; J, n Proof Let r = {, € Ml + |, f., ,!■/ , J „„ in u I

So C’te |.r ) V(M)) s ior ,• ỉ dn I' |iam.c .V , J „ u.,lh v

0

T h e r e f o r e for A :> A > 0

Gx{u v) = -||u|irv nn) + -||r||;'r, „(0| - A I (;<J u.r),lrr - \

Ị

t.'M „

<A\ r r

^ " I j ] j + ~ I l''’lí ú I / ( ( I ) 1 I < ■II 1-ulrr

B v 1 ) , H o l d e r ’ s i n e q u a l i t y n n r l S f ) l ; o ] p v t r m - p n i i b c M n i " V , | l ; l v r

w h e r e

ilil v find Soljolov tirirp ojulM'fiiliii" U'<

Ị C:(.r. 7/ v)(ìa s I ( •( |»|" ,,lr

-r r

- U t i; ', / ' I D 1- ' !

(" - )/> , ,

« — - II !> < I I : 11 ] ( I ,1 |> / ) p

1 n I)(]

11 < II m i l l I r/ if </ /

n II

So ill Older lo finish I lie it sufl ies lo show I lull / / ' r -II ■ ,y I' (I

B Il'HI'/,- .,fSi) —

We recall that

/Í|V „|"+ M" +

li , , , ,

- - ' \ , I I I t I I \ A \ , I

I (|f/|y' + |t’|r' )dn

J lieti

p i i f r * ! ! - W I - ,.u , ^ V /

m " -

M " > A

J X "‘ 1

1 '1" ■ Ju

Ỉ A,,,, I i'f/fT - V I

Now //(F) — ‘ when Ml'' , Min

1 leiire (7,\ (II, r) > ũ \ (0 II) w Ilf]] l| III I'n , , 11 ,, T h i s c o m p l c t c s t h e p r o o f

P r o p o s i t i o n G ' \ s a l s J K' x t h e v-.s < I ‘

P r o o f L e t { : 1«' r \ , ! i i s S m a l l s I ' M ■>! <; It

W c h a v e t h e n >1 A 1<)I 111' I I '< •

Due to Proposition -Ỉ.2 ( i \ Is < H'i'nve ml )X•!Ill*l< < 1' i:i '

r;A(»,„.»■»,)! > 7-11"- Ki lv | r #-7 Ilonre (f/,„.r,„) is ,1 lil'Mii led ■SCI' 1CI111' 111 II

s u b s c q u c n c c { } '■

\

■ uirt

1V 1-"(í2 ) x M * - * ( ỉ ) We shall pmvp that hVKH;^ M.onvlv t„ „ in H7* ’’(Sì) X vr> 'i(il)

Fil-sly, by Rellicli-Konmarhov theorem ( s c ] p i l l ill,, -nil H ' n \ s IV f' ( i2) into ỉ f ( n ) X //'(!>) i.s continuous iiinl < 111 11 I i ì |( 11 11 )r<7> ill!' sc(|iirn< (■ t t m r v >nj )}j converges strongly lo Ítif r.J 111 ■ [<>) ✓ / M i ) This implie- 1 ' < p

s e q u e n c e { u , U j , v t l l j ) } i s W i n d e d f n / J ' l f l ) y l ' H i i l i i ' u o í h*- <

{K„,l k„, ‘<

i s b o u n d e d i n L ’’ ( ĩ ì ) y L '1 ( f ! ) w h p i p p — — -— 11 - — — .S,I t i l , I

l> - I V -

(3.5) lim / ( h ' m , Í11 ,„ II M Ir ■■ II

i —- + •>• /

SI

On the other hand from hypotheses 112) it follows 111 ,1 f I II,, I, ) I S tX>1 1 1>Ir■[I 111

L p an d g(' J' w,„ IS,,,) <s VmiKk-d ill L" , liencq'

P O S I 11V H S O M 1 1< I \ s H ) U ( ^ I ’ A S I I I N ' K A H K l J l h M K ' P N I li'.i i ' M > | \ l i u l H ' l ' | M ] M \ |\S

11111 I , J "I

I —-+•>• /

SI

O n t h e o t h e r h a n d f r o m h y p o t h f s e

L p an d r / ( y - M ,„, I'm,) is bound**!

(3.0) lim I [(»„, in„).f(:r I -+o I

~AI

B e s i d e , WP l i i i v e

(3.7) lim ) ill

By appying t.lie equality (3.2; we liavt*

I {\Vuự' -VnV;

- Vif' -T v /

!>(■

I (||||''“'"> 1 w

Ị \^f(:r 11.

II, , r „ I I I r , „ I l l / i r II,, ỉ l' ỉ n (I

=

+p Ị \íf ]{:r 11 r) I f/(r II > <

for iu " ‘ " • 11

w i t h (/ = Util v — — «»), '

Ị

(|Vu„,, I*' *v V (/ ) - 'Vi'

— J H II '

- I(I"

I

1

S!

+ A 1(1/,„ p ' / < '

»„)

MÌ'

LeUiutf - t-o: h< | | (■'! r‘

T H I N H T H I M I N I I Ĩ I A \ ( ; I I O A M , ( i | i ( K 1 ( M N

Using a similar appoíirh VVP get

( ) j ( I V í / r ^ q p ,UuI \7nnV ( u mi - Uu ) f | y r „ | - ' - - v , , , v ( l ,.u ) ) , / , = ,,

(3.1

f o r a n y A’, s RTi ( p r o p o s it i o n 2 , [ ])

A p p l y i n g ( ; w i t h .s = ( V ? : , ( l j ) •* = V i , „ ( V ( I \v Ịỉ lo b t a i n t h e e s i m i n t r

B e s i d e s (ỉ/,,, , v , rl ) — “ ((/„ v„) in U ‘( ĩ l ) y i! fdllmv l.lial th e NịiiciK (' ((//, !■,,, )Ị

convc-rgcs st.ronglv to (ií„,7'„) ill li ' '’(P.) X n 'rựĩ) IÌK’ proof ot Proposition ') IN

c o m p l e t e d

Now \vc arc in posiiion to finish the pmul lit I licucm 1

P r o o f. B y P r o p o s i t io n and P r o p o r t i o n i.-l <\ saM*ihcs t h e r*;i 1 a ]S-S n I;j-Lf lull I]

tion in X IT1 'Mil) (lie or] »111 (0 ()) is ii Sind lociil mmnni/rr lit

<

>\

mil

C?A( 0 ) ■ M o r e o v er , fr o m Pro posil 1 1 ■ i and KtMiiiiik :i ('• liii** •' "lulcil II

i m iz c r ( t i l I’] ) Ỷ ( ) , Ga ( u i J ' i ) < Now a p p l v m g the i ii o u n u ,1 1-pass 1

( T h e o r e m 10 [18]) th e r e e x is t s ii crilitfU 1 J<»H]t (|/J > ' I' ''(Hj ' I I P ' "f

which is not- of minimize!' type J lius> ("2' <'2} ^ ("I <'11 heon.'Hi I!- |>](AC||

+

f

( F i s „ , r 2Vr„„ - I V ■ V

I',,

)(V

I I -

Uli/j

/ -* X.

P O S I T I V E S O U U K A S K O H < * t A S I I I X K A H K I I I H K ■ P l < U I I M > D K n l .1) 111 I X M M V ,

n p f p i p n i !•>

1 Adams It A Solinlcv At nt l nnl r r Hi r** X, - - ­ 2 A AinljriiKsc-lii, A Hiiliiinnviiz Diuil \ MI'IMI IÍJ|];|| II, 11, I li , ! „

F i n i r t A n n ! 4 ( :M!) |N1.

;i A Ainhni sscrn K c Cliiiv I Ekcl;inH Nniilim ir fmii ti,,] I \*|S Applir.1' - 111! I

<’C | u a t ] i / n s P r o c r d w r fI n f t h r u n A i r h n a l K ' T P T i ■/< /■> h , 1 p'l"

4 A A n a n c i M u d c (Ich V i l l e i n s j j i u p r c s ct (It* lit 1 <"'( ỈI111 i'll II 'I ’ |H II |K I.IH'IM j) l i p l n I ’111)

UnivciS'tc Libre tic Bruxelles V p A c u S u P u t f , S n ! 'I n t li ill" 111 I ]'IM7| 72V72S

5 I B a b i i s k a , J O s h o n E g t ' i u a l i i r - P i n l i l ^ m s H n i i i l l m r i l , / \ A n u l Y , , l 11 N n i i H , t i L B o o n i H o n G d f F i g u r i n r l n S n m r i T m a r k s (111 a s v i i f i n ,,l , | i i : i s i l i n c i o] j 11 It ir 41111 1 ,1 V

/1(1«/ N o ( 0 ) , - 3

7 E il l B o i i t ' i l o t t o c ’1 * ■ l u i ’iil r u g u l i i r i t V o l VVCilk s o l u t i n l j s >,ị j< Ijt I j I ITI I [ 11 )l 11 - 1 11 t •' r I

P r e s s N e u Y u r i ' ■ S u n F r a n r i.s c o - L o iifU n t No X i lí i v T ' > - N” IJ

8 J t c r n a i u i e z U c h k I l t J I.) 1 ỉ I iixiMCllCC* I ( 'Mills In i ill*' ]>-],! I il 11 1.111 W il li III III IJ IK'.] I ln i i ii nl i l' , »

t ions, Ma t h Ann I Appl 2()3 (2001) M.V22:<

!) F r r n n n r i r z B o n d e r I D I t o s s i A M i i n l i i i c í i i ' « 'ij j <N\ i ]i i' } Ji • 11 i h ' 11 ] w i t h l i n l t' l m i l l U'l , ‘j h f - n l i t i l •

I h e S o I j u I c v l r a c e c n i l i u d i i i ụ , 1‘ util M i t t 4 6(2 0 2) '221 J t-j

10 .1 F e r n a n d e z D o i i f l c i M u l t i p l e p o s i t i v e s o l u t i o n * I n i I] J11 ])1 1« | i K | i ] r n i > u n l i SiL-1 < '11.1,1

n o n l i n r i i r i r i r s A s b f r n c t t i i i f l A j i j i h t ' f l A n n l ỉ Ị S}s 0 Nil l i 11)47 H)riii

II p I j i n d q v i l , O n t h r f r|1 i n t i n n c l i v ( I j J Ụ | / ) — A — Í) ỉ ' \0< A n n r n i n t h s',», l i f j

1 - 0 y \ d c k ' i i ( i i n n : F t O f A t a r i M a t h S t H ] l l j I ' J m I ' l ' L V

1 S M a r t i n e z .1 D H o s s i l ii uliii.inii a n d s i l l ] p i 11 i i \ l o t i h f l i i s i « i'J■ ■ ]I \ J111 Ill tin |) l.ipl II) II ' I

n o n l i n e a r b o u n i l i L r v c u i i d j l l u l l A b s l r Aị i ị iÍ Ai ii iI 7 ( JI JD J ; -Nil V :>7 'J'I.'l

13 c -Vlava, 11 Sliivaji, Mull iplf |»)S|I I\r solut |(I| iiihi.-sul < *i 111111' linuii II I III I

I n n s , N o n h n c n r A i t f t l ( 1M*J*JJ Ni l I S r r : \ T h c n n M i i h '1'1- i'17 )

] ] M ; iri;inci Ciiigiii n tii C i n i M ’p p c M u i l i r ; i l m S d i i c r k , ^ ‘/1/ / » >MIÌI I i/I M J | N t i l l l i l t n l u - <•! I f , |v

10 K F c r c r a Mu l t i p l r j j o s i i i Lf suliiiKMi.s l o i 1 c liixs til -il II’.IJ <1 K I II' I'

E l e c t r o n J D i J f e r m l t u i I Ũ Ị i u i h í H i 0^ (2 0^1 N u 117 *1

Hi P H Kahinowitz Ml MI11I.'IX mn 1IIM Is 111 nil ir;i I I mini 11 in It V W1111 I )| I 11 H Ills til Mil'll nii.it « ' I' I

P h i h l i s h t ' d f o r t h e C n n j r t n t n l i t u i r d o f t h f M n l h t nul l It III V « " ■> II 1 n u j f i'11 / X I

17 N I ' l T K l i l i g t ’i- O n I l a n i i i L k l y j j f u i c c n i a l i t i o .111-1 t h i l l l Ị i p l i ' ill Hi I " 11 l u l l i n ' .11 ' l l i p i i ' -

C o i ì i ì i P u r e A p p l M a t h (r.l(>7j, 721-7-17

18 M S t r u w e V a r i a l i n u a l M r l l i u i l s , A I> pli r n ti( ) i i h ) K o n h n i III I ' m h i l l u > t ! > i i t m l t >1 nt It. I o n i a n S y s l e n u s y p r i n ụ c i ('200(1)

19 P T o l k w l o r f O n t h e D i n < l i l r i p i u l j l c m f o r q n a s i l m 11 r.,11 1) ii I ^ I’ ll Ml p o i n r s , C o m m P u r A p p l M n t h & ( l! Hi 7) J - 7-J7

2 J L V a z i i u c z A s l r o n ụ I i i i i v i m i i n i H i t i p k -f u r M ) H H * .11 r lii piH 1/-,»/ w ‘ » ' H ;

1 ( S ) N n 191 -2 02

21 X i a n W n K n k - K f t m p T : m Í )n i - M Ni r -n r c n n l m u l l i p h i 11 \ " I — p í | i i í ì t i n n s , M n n h t ' O i A i m h / I t•> (ĨT» : JI)ll(i) I.-t 1-1-1.5-1

T l i n i l T i l l M i n i i H a ll- t il l j i l u i i i i i l h s Il.ti:.'- I r

P h o n g , H a n o i V i e t n a m

E - m a i l n d f l n s s - t r i n h d a n g x d Q y a h o o c o m

1 loiing Qikk ] h'jI.H Mui’iil <»J M.nlifiii;iUt> II.IIH'1 I III

V i o l n a m

E l s e v i e r E d i t o r i a l S y s t e m ( t m) f o r J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d

Applications

Manuscript D r a f t

Manuscri pt N u m b e r :

Title: M u l t i p l e s o l u t i o n s f o r i n h o m o g e n e o u s D i r i c h l e t p r o b l e m s f o r a s y s t e m of

s e r a i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n s

A r t i c l e T y p e : R e g u l a r A r t i c l e

S e c t i o n / C a t e g o r y :

Keywords: V a r i a t i o n a l m e t h o d s , m o u n t a i n p a s s t h e o r e m , i n h o m o g e n e o u s e l l i p t i c p r o b l e m s

C o r r e s p o n d i n g A u t h o r : Mr N g u y e n T h a n h C h u n g ,

C o r r e s p o n d i n g A u t h o r ' s I n s t i t u t i o n : Q u a n g B i n h U n i v e r s i t y

F i r s t A u t h o r : N g u y e n T h a n h C h u n g

Order o f A u t h o r s : N g u y e n T h a n h C h u n g ; H o a n g Qu o c To a n

Man u s c r i p t R e g i o n o f O r i g i n :

Cover Letter

March i f , 20 7

D e a r E d i t o r o f t h e J M A A ,

E n c l o s e d i s a p a p e r , e n t i t l e d “ M U L T I P L E S O L U T I O N S F O R I N H O M O G E N E O I s D I R I C H L E T P R O B L E M S F O R A S Y S T E M O F S E M I L I N E A R E L L I P T I C E Q l A T I O N S " P l e a s e a c c e p t it a s a c a n d i d a t e f o r p u b l i c a t i o n i n t h e "Journal Mathematics Anaìysi and

Applications”. B e l o w a r e o u r r e s p o n s e s t o y o u r s u b m i s s i o n r e q u i r e m e n t s :

1 Title and the central theme of the article

P a p e r t i t l e : “ M U L T I P L E S O L U T I O N S F O R I N H O M O G E N E O D S D I R I C H L E T P R O B L E M S F OR A S Y S T E M O F S E M I L I N E A R E L L I P T I C E Q U A T I O N S " T h i s s t u d \ e x t e n d s t h e r e s u l t s o f M C a l a h o r r a n o a n d H M e n a :

M C a l a h o r r a n o a n d H M e n a , M u l t i p l e s o l u t i o n s f o r i n h o m o g e n e o u s n o n l i n e a r e l l i p t i c p r o b l e m s a r i g i n g i n A s t r o p h y s i c s Electronic Journal of Differential

Equations ( 0 ) , N o , -

to a s e m ilin e a r e l l i p t i c s y s te m

2 Name, addresses, telephone/fax numbers and email addresses of corresponding

author

N g u y e n T h a n h C h u n g

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s Ọ u a n g B i n h U n i v e r s i t y 3 lh L y T h u o n g K i e t , D o n g H o i , V i e t n a m

Tel: -0 -8

n t c h u n s j @ v a h o o c o m

F i n a l l y t h i s paper i s o u r o r i g i n a l u n p u b l i s h e d w o r k a n d It h a s n o t b e e n s u b m i t t e d t o a n y o t h e r J o u r n a l f o r r e v i e w s

S i n c e r e l y ,

M U L T IP L E SOLUTIO NS FO R INH OM OGEN EOUS D IR IC H LE T P R O B L E M S F O R A SYSTEM OF SEM ILIN EA R E L LIPTIC

EQUATIONS

NGUYEN THANH CHUNG HOANG QI/OCT(MN

Abstract Using variational technique Wf prove the rxislrmr ami nmlliplit Itv of solutions for inhomogcnco# Dirichlol problems for a system of scn.ilmrnr ,-lhp!,, equations in a bounded dorrmin SỈ with smooth bnund.in ill R” T/

-1- í>(T )ll

-At' +

u(t)

v(t)

Xftu vị. II.il. A<7( VM. Ml12 /i| (.r) f IIIin 1 M:r) Oil in 1

1 INTRODUCTION

In this paper, we consider ihe following Dinclilci problem

(1.1)

1

r — A v + a ( j ' ) v

- 4- 3{x) V u ( t )

{ v ( r )

= A f ( u v )

= Aff(u.i').

= h i(z ),

= M - t )

Ill n

in Q, on a n , oil f)Q.

where n is a bounded domain with smooth boumlan Ill K' u / n(.11 1ị.ĩ a n

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s in ÍĨ q ( x ) > ; ? ( x ) > for J *£ u 11 1 ( t>i ‘ ) fi n ịịivcii f u n c t i o n s o n ) n , f { n T) , g(u.T' ) are noi)lin®ir funrtirms for 7/ 7' A IS II p os itive p;i r a m eter.

W e firstly notice that in [G] M Criliihoranno and II Mrna hin< thr

b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m

i - A v + C(r)« = A/(J- 1-1 Ill n.

( ) I 1j( :i ) = h { : r ) o n H Í Ì

Under suitable hypotheses for functions f i x v) and h ị r ) the authors are >iwr.’sU'«l in finding an interval (Ạ.Ã) c R_ such ti.at for any A € (A \ ) there ■•xists at leiLsi three positive solutions of (1.2) This result is also proved for the problem (1.2) th

c a se n = R " = R " ' X R

-v a r i a t i o n a l H , p n r p r ° , ) l r m s

Note that the p r o b l e m (1.2) is a generalization of an astrophvsical gravitv-free model of sola flares in the half plane given in [12] 113] namely

j - A w = Af ( u ) in R2.

I u ( x , 0) = h ( x ) , f o r i e R

More recently in [7] the authors have extended the results obtained in '6' for a problem with “ w eig h t”.

T h e a i m o f t h i s p a p e r is to e x t e n d t h e results o b t a in e d in [G] to the problem ( l l j

for a system of nonlinear elliptic equations Assume that

H i ) f ( u , v ) , g ( u , v ) are continuous functions in R2 and there is a constant I >

such that

f ( u , v) > 0, g{u, v) > for (u v) € (0 /) X (0 /),

/ ( u , r) = 0 g( u, v) = for (u v) ị (0 21) X (0 21)

H2 ) There exists a function F ( v V) e C ’ fR2) such that

F( u , v ) > for (v v) ( ,2 /) X (0.2/);

0-^ = f ( u v ) , m ^ = y ( u , v ) („,,■)<= R2.

EV,, ^ _L i„hP IV7EV,, I ti.lI

2 * G U Y E N T H A N H C H U N G H O A N G Q U O Ị Ị T O Ạ V

t ì a) F ( v i ' ) < c ( | u | 4 - | t ' | ) r ; IV F ( u , * ’) | < (■ ( | u | -r | r | t fl f o r { v 1 ' t K w h e r e (

is a p o s i t i v e c o n s t a n t ; < ]) <

I I ) / | J ( ) ■ ) / ( ) a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s g i v e n o n >) í l h ( I ) > 0 o i l /H ị 11IKÌ

su p /i,(a ) < /0 < /, {1 — 1,2). Bỉ

Let Ti (x), t2( x ) b e u n i q u e s o l u t i o n s o f f o l l o w i n g D i r i r h l c t p r o b l e m s

-(1.3)

(1 )

— A t i ( t ) + o ( j : ) T ] ( j ) = i n n

T j (x) = o n dft

- A t2( i ) + 3 ( j - ) t ( t ) = i l l f t

r2(x) = I)2 (a-) oil (HI By the m a x im u m principle it follows that

0 < i n f h , ( x ) < T , ( x ) < s u p /1 , ( ) < / ( ) < / ■ I € -2' ÍÍ — )

an G>S!

Si*t Uf\ = tl — T] u>2 = 1' — T2- T ~ ■ W2 ' Then the problem (1.1) is equivalent to lilt" problem

I — A w i + a ( x ) u ' i = A / ( u ' -I- T ) i n n I “ A w J2 + 3{ x ) u J2 = A s ( u ị r - f r ) , 111! !

(L5) uJlix) = 0, on«D

W2(.t) = 0, o n *

J _ o „ 1 „„, n r,\ indpad of (1 1) Bv variational techniques

Thus we m ay consider the problem (1.5) ins' ỊỊj ' ‘ "7 "

■ \ I \ fi / ) < i such that the probien, :i 5]

we prove that there exists an interval (^\ A) n - ■ _ is

h a s a t l e a s t t h r e e n o n t r i v a l s o l u t i o n s i n H ^ ( ĩ ì ) X O ' - ) r ■

small enough.

_ _ r - t / n t „ v ) a n d F l u v ) s a t i s f y i n g t hí a s s u m p

-R e m a r k 1.1 T h e r e arc f u nc t i ons / ( u v) g[v Ĩ h a

Hz-MULTIPLE SOLUTIONS FOR A SYSTFM n r CFKifit I\»T' ¥■>

A SYbrEM OF SEMI LINEAR ELLIPTIC EQUATIONS

E x a m p le Take I = 1, n = p = 4, c = 64 and

F { u v ) = 11/2(2 - ")2,,2(2 - v )2 i f (n r) p (0 ) X CO 2)

We have

/(u, „) = = / 4“(1 - *)(2 - ^ 2(2 - r)2 ,/ (,, ,.) f0 2) * ro 2)

( M l 1 _

I o t h e r w is e

and

g ( u , v ) = = { “ 2(2 - « ) 21'0 - r)(2 - r) i f ( v r ) (0.2) X (0.2).

olhcnmsc

I t IS e a s y to show that the f unc t i ons f ( v v), f j (y, v), F { v v) sat i sf y I h r a s s u m p t i o n *

Hu H2,H3 ■

2 DIRICH LET PROBLEMS IN BOUNDED DOMAINS

In this section by variational arguments we consider the existence and multiplicity of solutions to the problem (1.5).

Let H y ( i i ) be a Sobolev space with norm defined hv

(2-6) IH

%n) = j

SI

For A > t(x) = (rj ( x ) T2( t ) ) w h ere T ] ( T ) r2(T) arc so lu t io n s o f th e proble m s

(1 3), ( 4) ill Hị( Í2) X / / ( j ( i Ỉ) W e d e f i n e a c1—f u n c t i o n a l a s s o c i a t e d l o t h e |)rol)l('ii] (1.5) : H Ặ ( ) X H Ặ { ) - K as follows

(2.7) 4 ' a t M = ị

J

( |V w |2 + a ( x ) \ ^ \ ' + l T ) \ ^ \ 2) d r - x j r u - + r m

n n

for w = (wi,u>2) £ ^ ( í ĩ ) X W(Ị(Í2), and we havp

<ỉ>;t TM(yr)

= J

(Vw.Vf+ấ].^i + (^ '^

2

)

4

*

n

- X I \J{uj + f )-V>j.J+ </(-■ + r) V"2] flfe- ỈỈ

for w = (iJy , U)?) tr = (^l ■ (p2) £ ^ d ( ^ ) * HẶ

It is well known that the weak solutions of the problem (15; correspond to thr critical points of

#A,T-To consider the functional T we begin with the following proposition

P r o p o s it io n 2.1 S uppose that the hypotheses H, - H< arc satisfied Then the f u n c ­

tional <!>> r IS coercive, bounded jrorn hclou' und sat i sj y the P a l a u - S n m k condition in HẶ{n ) X H Ậ ( n ) f o r all X non-negative.

Pr oof We have

N G U Y E N T H A N H C H U N G H O A N G Q U O T T O A N

for UJ e H ị { S l ) X HẶ(í l ).

From Hu H it follows that

0 < sup F ( u t ) = M < +aa

( u , t ) ) € R2

Hence

*a.t(u/) > ịllw|!ĩ,,(u), w,f||) - X M f j ( i i )

where denotes the Lebesgue measure of n in 5?1

T h ' ! ! Ĩ m i C° m i o a n d b o u n d e d f r o m b e l o w »* K ' n j X « fỊ ( f i ) a * 1(| < * f o r a n y u ) £ H { ] ( i l ) X f / {j ( n ) , w e h a v e

^ A t Í ^ X V ’) =

J

<fi -r- J(t)u.2 ý “2 )dj

n

~ ^ J

+

T)"£i + p(w + r) ^

2

]

dx

n

= +

Ị

- AVFfu; + 7-)]

^Hr

i i

w h e r e ( v l H j [ n ) x H j ( [ i ) d e n o t e s a s c a l a r p r o d u c t in H Ặ i í ì ) X W(Ị ( Í Ỉ ) , >1(3) IS a y 2 - m a t r i x

/a(z)

'4(T) “ V tffc j

)

Thus — uj + G (u>), whore G(uj) = 4(j)u-'-A V F(u.'+ r) By tlie hypothesis // |

we gel

| G H I < n ( M + | V T ( ^ + r ) | )

< C] ộu;| + c (1^1 + T]| -H |uJ2 + ^ l ) ’ j

<f, (M+C2(M"-’ + M”- ’))

Using the Young inequality—e, we have

H < clwl1- +C(f)

Then we obtain

| G ( w ) | < Cl [ e | ^ | 7' “ + C ( ) + C2 M ' ,_ + t e l r ) ! ' ' - ]

< c3 (1 + M p- ] ) , 2 < p < j f c n > 3

From this it follows that the map u> >-* G(ui) is continuous from u ‘U) X L ’ ÍỈ) into L ^ { n ) X L ^ ( f l ) (see [19]) Hence by Sobolev e m b e d d i n g theorem the map

u; G(uj) is compact from HẶ(ÍÌ) X HẶ{íl) into / / - ‘ (íĩ) X H ~ l (rt) It implies

that the functional í 1* T satisfies the Palais-Smale condition in H (ĩì) X HịỊỈĨÌ) The proposition is proved.

R e m a r k 2 F rom the proposition it follows tlmt the ỊuncixonaI <ỉ>,\ - attains its

g l o b a l i n f v n u m a t i , e H Ặ ( H ) X W K n j / o r A > ,5« W c7, c« / /1, p r w W r

( ) a n d t h e n t h e p r o b l e m ( ) l i a s (1 u i r a k s o l u l w n m H u { ) y H Ặ H )

MULTIPLE SOLUTIONS FOR A SYSTEM o r SEM1UNLAR ELLIPTIC EQUATIONS r

T h e o r e m 2.3 As sume that H x - H arc satisfied Then f o r r IS small cncmgh there

exists an in te rval (A, A), < A < A such that f o r every \ A l ) the problem 1.5 I has at least three solutions in ĩỉỳ ( f ! ) X H ị ( n )

T o p r o v e T h e o r e m 2.3 w e grit t h e sim ila r a r g u m e n t s as in [5Ị [G] for v h i r h firstlv w e n e e d s o m e f o l l o w i n g l e m m a s

L e m m a T h e re exists = (W0 1.W0 2) € HẶ(ĨÌ) X H ị (n ) , 0^0, (j-) > 0 in 0

(i = 1,2) and a number Ạ > such that f o r all A > A and r > r(i^c) < 0.

P ro o f. Let Xo ẽ Í1 a n d R > sucli t h a t an E u c lid ea n ball B fíị j;{í)w :ih cen ter at X(|

and radius R is contained in n Then for (5 : < <5 < R, p = R - & BfJ.xu) c Br(to) w e d e f i n e

Í /, if I f - x | < p.

j ( ? - I:r - !!.■()I) if f> < |.j - (|Ị < ì ì (/ = ) ,

0 if |a- - > R.

an d ) = (u-rti (a-),

uJsii?))-B y d e n o t i n g m a x ( s u p q ( t ) s u p ( i ) I = ịi- w e h a v e

V !1 u /

t( ^ó) = - Ị ( | V u ; ổ | + n ị i- ) | u ; j i | 4- l i ị i) Iu^'<52 12 J ~ ^ I ^ U' |S +

u "

< / ( l ^ - s l + v M 2) dx - X

Ị

F{uj6 + T )(l:r

f! »

< i

j

| V ^ |

2dx+^ J

M

Bk(i0 ) Bk(i o)

<I>A

2d x - A J F ị l + T ị i + T-2 ) d j

B,.(t n)

A p p l y i n g t h e P o i n c a r e i n e q u a li t y for the se cond inte gr eal

ị \ ^ d X < I M arfx<fl2 f

0„(.u) ’ /J" "J

w h e r e u/„ d e n ot es t h e v o l u m e of th e unit ball in Kri S o

5 ( + / '» ’ ) / " BBhh((x ux u))

<1(1 + /J/?2} I / F ( / + Ĩ I + T2 )d x

For / 0 g i v e n 1 1 I I4 w e d e n o te

7 = S U P { F ( U V) : / / < « < / + ' / *0 < V < ' M

-S in c e < s u p r , ( l < s u p M r ) < z0 < / h e n c e 0 < I - k, < I + T l x > < I - k * 21

~ — an

0 n e t ; u ^ o i l J j I \ v

n ail

T h e n < F ( / + r , I + T o ) < ->()■ S o that

/2

li Vni’YEV 'niAYII n i t ' \ c IIOAVC Ql-OOTfMN

T h e n <I>a,t(w<í) < for all A > A((5), w h er e

&Ó) = ! l {i + - (X - «)ri\

I Ĩ ÕĨ Ệ - (5)"

Se t s = 1R , < 1 < t h e n w e g e t

m

=

M

R) =

- " !

-mW

D e n o t e s b y v » ( = 1 >' IS clear th at t ( l ) - + TC w h e n I - + O!

Í — - H e n c e i Ị : ( i ) a t t a i n s i t s m i n i m u m at /] € (0 ] ) a n d ) / ) ( / , ) = m i l l I >

tệ( 1)

Finally, for (5] - f]/?, we obtain W() = u/,5, = (uirf,! , 0/(5,2 ) and X = A(ri'i) Then

^ a.tÍ^o) < for all A > X — A((5)).T] > 0,T2 > This completes the proof R e m a r k 2.5 W i t h 77 > we lwve

ll^ullrt^njx = v í k ) ; / í V -Í - -i-LI

whCM R —> + OO.

L e m m a 2.6 T here fTists n number \ > ™r/( thnt f m (J! \ <~\ (liifi fm u.-'j-'i e W ý (í2 ) X /-/(Ị(S2) t / j j j / i M l w (Ị i n ) x / / (Ị(n ) ; r wh e r e T = 1,1-ịU)- h n i ’1

4>a,t(w) >

P roof. B v 77;j for U/' € //(ì ( r?) X W(Ị(n) w e liavp

T (t^'} = ~

J

( | ^ U-,| * + Q'(3') |k-M 12 \u}212 J (Ỉ2' — X J Ì' {uj -+ T ) d y

n n

^ - *c J (\uJi + Tj \ + |u,2 + T2\ f d x

0

> ~ - M l k i l L p m ) + ll'r r /-'•(!?> + ^2 i.f’t n , + ll'r2 }' Applying Sobolev embedding theorem we obtain

* a,t(w) > ^ I M I ^ j n j x w ' m ) - A c ? ( c l k l l H > ( f i ) x H > (n) + IMIi -(i i )><z -(Hj)

> ị l M l ^ n ) * " ^ ) - ^ 2? ( c , ! M k ' (n)*/v‘ <w) + rf

w h e r e r-_, is S o b o l e v ’s c o n s t a n t of e m b e d d i n g Iỉfì(£ì) i^t'0 M ^

T h i s s h o w s t h a t f o r UÙ £ Hq( Q) X w , ( H ) w i t h ^ >/ x H 'd ! — r w < l>a ' i

h \ > r f2 ~ &C-2 - f l + (■*)' r ’

By setting à = Ã(r) = * r 2- ' \ it follows that for all A u < A < A.

a n d fo r u e / y cỉ ( ổ ) X i i j ( f i ) w i t h I k :W>(H)X w.'.m, = r 4’* t M > T h e L e m m a £

proved.

R e m a r k 2.7 Since à = fcr2- J’ it follows à -> +OC r - 0.

MULTIPLE SOLUTION'S FOR A SYSTEM OF SEMIUNEAR ELLIPTIC EQUATIONS

-Proof. F i r s t l y , since F[u,v) > fo r ( u v ) e R*, w e have 4»A.T(0) = -XjF(r)dr < 0 F u t h e r m o r e f o r w = ( w , , w ) V = ^ ) € H1 ( n ) x H, ( n )

$ Á r M M = 2 / ( V o j V v ? -t- V?1 - 1- 3( x ) * j2 s2) ( Ì t

w

- A

Ị

YPi / Í U - ’ + t ) + i / > c / ( u ; + - ) | r f x

h Hence

4>a,t( ) (vO — - a/ [<£i- / (t) + r/(T)] da­ rt

N o t e t h a t s i n c e < r , ( x ) < / i n f t (v = ) , h e n c e / ( r ) y ( r ) > F r o m t i n s It

f o l l o w s t h a t >'At( ) ( <p) < f o r al l ^ e / ( H ) X > in

n (i = 1, 2) This completes the proof.

L e m m a 2.9 Fo r all A : < A < Ã There exists w, w,‘ (n) X W{Ịín ) t/iito

11^1 IIHẶ( Í Ì ) X H ịỊ( ÍÌ) < r suc/i t l i t 'ỉ'x,t(u i) < * ^ T(W ]) =

Proof By L e m m a 2.8 for A > 0, <Ĩ>A T(0) < 0 and <ỉ>^ T(0) í 0.

Let V be pseudo-gradient vertor O l d for <}>* J in t.hr sot of regular points of <)>> in W(Ị(fí) X /-/(](£!) with A.o < A < Ã (see Ị19]).

We consider a system of differential equations

= -A '(o (0 ).a (/) = (o,(/).a,(/)) |a(0) =0

S in c e <1’a t v e r i f i e s t h e P a l a i s - S m a l e c o n d itio n and is b o u n d ed fr om bclov by

TheorPm 5.4 in [15] we have

i) Q : [0 +0 0) —* ( n ) X H ị ị y i ) is c o n tin u o u s ; ii) <J>A T( a ( l ) ) is strictly decreasing in t € |0 + o c )

iii) a{1) 1-t U»1 = (U1 W1 ) e HẶị í l ) X HẶ(tt) when t — r X and <]>'A T(u-'i) - 0

It is obvious that since *i*A t ( « ( ) *s decreasing in I hence

* A r ( < » ( ) < * A r ( o ( ) ) = * A r ( ) < V/ >

Letting t —* + 0 we obtain

- *A.t(wi) < *A.t(0) <

So (oji ) < for A > _

Now we claim that 11^1 |lwMfi)Xôã'(!!) < T- Indeed from Lemma 2.6 for < A < A

'• ll^illHA(H)x/y'((!) = r thpn ^ > _

On the other hand, if ||u»i V 'in iK H j in ! > r -sinCP s continuous II and a { t ) -* Wi when t - + OC there exists u > such that ||a ( i ,)

Moreover since q ( ) = there exists again h € (0 / , ) such that ' W i n , -r By Lemm a 2.6 * y r ( a ( l 2)) > for A : < A < A It contradicts the fact ,

ha-4>>iT( a ( ) ) = <J>7r(0) < a n d 4>*.T( ' ( /) ) IS strictly t e a s i n g .n / € u 4- ) á I g

Proof of Theorem 2.3 B y L e m m a 2.4 t h e r e e x i s t s X > 0 a n d = V c

HẶM X HẶ(n) s u c h t h a t ^ < 0, for_A > J a n d T = T ' ‘ 111 ~ ,f:)

Moreover from Remark 2.7 the constant à = Ặ ( r ) given in Lemma 2.6 converges to + 0 when r - Hence there is n > such that for all r < r, A = Mr ) > A '

S u p p o s e t h a t t h e f u n c t i o n s hi0(x) e C(dữ) hi0(x) > o n on (,■ = ) w i t h

su p hio{x) is sm all enough such that

an

r = lk o llz > ( n ) x L p r n ) < m in ( t - ị | L ' u | l „ , ( ii y H } [ u 'j

w h e r e T0 ( x) = ( r i o ( r ) , r ( r ) ) T ( x ) , T2 (.'J) a r e s o l u t i o n s o f t h e D i r i c A J p t n r o b -

lems (1.3), (1-4).

_ Thus one has < A < Ã(r0) and r0 < I k n l l Li t A : A < A < A(ro) By Lemm a 2.9 there exists to* HẶ(ỉl) X f í ■(()) i i , , < r„ and

*A.r0(Wl) < ^ A T u ^ l ) =

S o w = u)) is a solution of the problem (1.5) and it is clear u; ỹí U!U If (wo) = we have the second solution u>2 = Uiu of (1.5).

I f ^ Á r o ^ o ) ^ t h e n w is r e g u l a r p o i n t o f 4>v t„- W e c o n s i d e r t h e f o l l o w m f i problem

ị ị m = _ x ( m ) ) 3(i) = (B1(i).lhU))

\ỡ(0) =«0,

w h e r e X is p s e u d o - g r a d i e n t v e cto r field in th e set of regular p o in ts of <J>A T|, 1

H u (n ) X Hq(Q) By Theorem 5.4 in [15] the solution fi(i) satisfies lilt- following

conditions:

i) : [ , + o o ) —» H Ặ ( ĩ l ) X HẶ( Ũ) is continuous;

ii) <t>,\ T0 ( / ? ( ) *s s t r i c t l y d e c r e a s i n g i n i € [ , + o c ) ;

iii) 0(1) H-» U}2 W(j(n) X when t —> -foe and <J>'V_T(1 (uJ2 ) = 0.

So ll = is the second solution OÍ the problem (1.5)s Now WI‘ claim I hill

> / a n d <I>A.TU( ^ ) < 0.

I n d e e d , s i n c e <Ỉ>A is s t r i c t l y d e c r e a s i n g i n * > h e n c e f o r al l i > OIK* h a s * A T ,,(/ ? (/ )) < - 4>a.t„(wo) < 0

L e t t i n g t —* + O C , b y t h e c o n t i n u i t y o f T„ w e h a v e

8 N G U Y E N - T H A N H C H U N G H O A N G Q U O C T O A N

( / ?( <) ) - * 4>A,T0 (W2) < Í > Vto( ^o) < 0.

B e s i d e s i f I k | | w i (n ) x « i ( n ) = r , b y L e m m a < K t „ ( u ’2 ) > If | | u « | H ' t i i < i'o, since 3( t ) is continuous in |0 -foo) and 3 { t ) —* Uf2 when t — + OC- tlieie exist.s

/•3 > s u c h t h a t II/ ( / ) II//> (r ĩ) X / í (O ) < r

°-Furthermore since r0 < — 11^(0^ w<i(i!>xHn(i! ience iere exis

/ , ( o T ) s u c h t h a t T h e " f ° r^ L “ T z

r o W i U ) ) > It contradicts the fact that $>.T0 (/5(0)) > - <I>A.T0( - ’u) < u and

^x.ToiPụ)) is d e c r e a s i n g i n t € [0, + o o )

T h i s i m p l i e s t h a t | M I H(Í ( Í Ỉ ) XHi(ii) > ' a n d ^ é ~ _ _ q ,

Finalv to finish the proof we use the Mountain Pass leorem see Let c = inf supôl>A T0(u.') wherô â is t.he set of paths:

7€© UỄ-,

MULTIPLE SOLUTIONS FOR A SYSTEM OF SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS

Applying the M o u n t a i n P a s s T h e o r e m there is ^ 6 HẶ(íl) X / / > ( n ) such that

Q x t o M = c a n d = 0_and u = w is a s olution to (1.5).

So that for all A : A < A < A the problem (1.1) w i t h hi(x) = h,o(r) (j = ] 2) has at least three nonzero s o l u t i o n s in H Ặ ị ĩ ì ) X H Ị ị ( Q )

10 N G U Y E N T H A N ] ] C H U N G H O A N G Q U O C T O A N

References

1 Ailiim* f c A S n b o lr i- * im c i* A m c l n m r r P i ,- * New York Sa„ Fr.n S' L.>11 0 ~

2 A Ambrossctti, A Rabinowitz Dual variational methods ,n critical |mi,b ,hra, Ind Ippl.canotLs /

F u n c t A n a l (197 3) 349-381,

3 A Ambrossctti, K c Chang, L Ekeland, N o n lin e a r J u n c t i o n a l a n a ly s is a n ti A p p lic a t io n s to d i f f e r e n t i a l e q u a t io n s , Proccdings of the sccond school ICTP, Trieste Italy 1997

4 Aubin, J.P., Ekeland, L , A p p l i e d N o n li n e a r A n a ly s is , Pure and Applied Mathematics Wilcv and

Sons, New York, 1984.

5 Calahorrano, M., Dobarro, F “ Multiple Solutions for lnhoniogcnroii> Ellipúc Problems Arising in Astrophysics”, M a t h M o d a n d M e t h o d s A p p lie d S c ie n c c s , (1993) 219-233

6 Calahorrano, M Mena, H., ‘Multiple Solutions for Inhomogcnoous Nonlinear Elliptic Problem' Ansinc in Astrophysics”, Ì Ì D E 49(2004) 1-10.

7 Calahorrano M-, Mena, H “ Remarks on Inhomogcnecm.s Elliptic Problem* Ari-SHIR 1M Astrophysics"

E Q u a l i t a t i v e T h e o r y o f D i f J E q u 19 (2005) 1-12

8 Dcimling K., N o n l i n e a r F u n c t io n a l A m l y s i s Springer Bcrlin-Hcidclbcrg-Now York-Tcikyo 1985 9 Evans, L c., P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t io n s , AMS Press New York, 1998

10 Gasinski, L Parageorgiou, N s N n n s m o o th c r i t i c a l p o in t t h e o r y a n d n o iứ in c a i b m m d a ry m tu c p ro b le m,v Vol CRC Press, Company, New York, 2005.

11 Gilbarg, D., Trudingcr, N c., E l l i p t i c P a r t i a l D i f f e r c n t i a l E q u a t io n * o f s e c o n d o r d e r Sccond Edition

Springer-Verlag, Berlin, 1983

12 Hovvacrts, La.sry, M Srhntzmaii M Wit.omski, p ‘ A nonlinrnr ciRonviilnr problems in nil unbounded domain”, L r r ỉ lir e N o t e s w M a t h c a t ic S p n n q n -V c rla y 782 1980 Hid-191.

13 Hcyvacrt-S Liisry, M., Sclmtzman M Witoinski p Blowing up of Im dimensional inapnrto hydrostatic Equilibra l>y an incrcasr of elcctnc current OI presssurr" A a ir m i a n d A x lr p h q u ] 1] (1982 104-112.

14 Nircnberg L “ Variational and topology methods in nonlinear problems” D u ll A m c r M a th S o c

(1981) 267-302.

15 Palais R s "Ljustcrnik-Schnirclman theory on Banach manifolds T o p o lo g y (196G) 115-132

16 Palais R s., Smalc s., ' A genera]ized Morsr theory" B u ll A m r r■ M a th S o c 70 (19G4) 165 17]

17 Pucci.P Scrrin ,1 “ Extensions of the Mountain Pass Theorem" ./ F u n d A m i 59 (1984) 18,r)-21i 18 jlabiiiowitz p H M i n i m a l m e t h o d s a n d l l i e v a p p lic a t io n s to P a r t ia l D i J J n m t u i l E q u a tio n - Nonlmc.n

a nal ysi s, a c o lle ct io n of piipcrs in h on o r of Erich Rotlic Academi Press, Nrw York 1978

19 Struwe M V a r i a t i o n a l M e t h o d s , Second Edition, Springer-Vcrlaft 2000.

20' Taylor M P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , Vol ill, Springer-Vcrlag 1997

2 1. Zcidler E N o n l i n e a r F u n c t io n a l A n a ly s is CLĨUÌ its a p p lic a t io n s Vol Ill, Spring™ \trlag, 1985.

Nguyen Thanh Chung Department of Mathematics, Quang Binh University 312 Ly hnonp Kiel Donp Hoi, Vietnam

E - m a i l a d d r e s s ntchung820yahoo.com

Hoang Quoc Toan Department of Mathcn.at.cs, Hano, University of Sciencc 334 Nguyen Tra Hanoi Vietnam.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

************

T rịn h Thị M inh H ằng

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP

BIỂ

n p h â n n g h iế n cứu BẰI to n b ể n

Đố\ VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

KHƠNG TUYỂN TÍNH PHỤ THUỘC THAM

SốVớl

to n tử p - LAPLACIAN

Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 1.01.01

LUẬN VÃN THẠC s ĩ KHOA HỌC

N G Ư Ờ I H Ư Ớ N G DẪN K H O A H Ọ C

PGS.TS Hoàng Quốc Toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Nguyễn Thành Chung

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẼN PHÂN VÀO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬ/V TUYẾN TÍNH VỚI

ĐIỂU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHÔNG THUẦN NHÂT

C huyên n g àn h : Phương trìn h vi phân tích phân

M ã sô" : 1- 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Hoàng Quốc Toàn

PHIẾU ĐĂNG KÝ KÉT QUẢ NGHIÊN c ứ u KH-CN

leĩT dé tài (hoặc d ự án):

-Sài tốn biên elliptic nừa tuyến tính phương trình hệ phương trình

Mã s ố : Q T -

“chủ trì đẽ tài (hoặc dự án): Hồng Quổc Tồn

Địa chỉ: Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội

Tel: 8.586.342

Cơ quan quản lý đế tài (hoặc dự án):

Địa chỉ: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội

Tel:

Tổng kinh phí thự c chi: 20 000.000V N Đ Trong từ ngân sách nhà nước:

-Từ kinh phí trư ng : 20.000.000V N Đ -Vay tin dụng:

■Vốn tự có: -Thu hồi:

Thời gian nghiên u: 0 n ă m

Thời gian bắt đầu: 03/2006 Thời gian kết thúc: 03/2007

Tên cán phôi hợp nghiên cứu:

Sỏ đăng ký đề tài: Số chứng nhận đăng ký kết nghiên cứu: Bảo mật:

Ngày: a Phổ biến rộng rãi ^

T o m tit kết qua nghiẽn cứu:

Nghiên cứu tồn tại, tính nhất, tính đa nghiệm tốn biên hệ

elliptic khơng tuyến tính miền bị chặn khơng bị chặn Rn với biên trơn

Kiến nghị ve quy m địi tư ợ n g áp dụng nghiên cứu

Chủ nhiệm đề tài Thủ trường quan chủ trì đề tài

Chủ tịch hội đồng đánh giá thức

Thủ trường quan quản lý đề tài

Họ tên Hoàng Q uốc Toàn

N fjU fh t e

Ịiẹa

\

Học hàm học vị PGS TS. « Ạ &

Ký tên đóng dằu

' ể ẳ ễ ẩ

Ị1 “ ' KHOA HOC

TU |V H I£ N

I3WJ