MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH VA BAT PHUONG TRINH CHUA CAN THUC

Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết [r]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I Một số dạng phương trình, bất phương trình chứa thức Phương trình a)  f  x  0 f  x   g  x    f  x   g  x  b)  g  x  0 f  x  g  x     f  x   g  x   Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng Ta có  1 x  3x   x   1 f  x  g  x    Vậy nên ta giải sau  x  0  2  x  3x   x  1  x 1  x 1  x   S  1 Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn: Ta có  2  x  x    x  3x  12 x  x    x  x  12  x  x  0  2  x  x   x  x  12  x  1  x   0  3 x  x  0    x 1    x 4 8   x 2  x    x      8 S    6 Vậy  2 Bất phương trình a)  g  x   f  x  g  x   0  f  x    g  x   b)   g  x      f  x  0 f  x  g  x     g  x  0    f  x    g  x   Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) x    x  1  14  S   1;  x    x  x  b) , Hướng dẫn a) Ta có : x    x  1  x    x  0   x  x  0  2  x  0  x  1 2  x  1 0     x      x 3   x     x 1 Vậy tập nghiệm  x    x 3  S  1;3    1  b)Ta có 2x    x  4x  Giải (1)  x   1    x  1  x 3 Giải (2)  2 x      x  x  0  2 x  0    x  5   x  x    1  2  x    2   5 x  24 x  28    x  14   x     x  14   14  S  1;   5 Từ đó suy tập nghiệm bất phương trình là II CÁC PHƯƠNG PHÁP Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình dạng không còn chứa thức Tuy nhiên bình phương hai vế phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải phương trình hệ sau đó thử lại kết quả, còn bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Ví dụ Giải phương trình x   x    x Hướng dẫn: 3x  0  1 2 x  0    x 6 2 6  x 0  Điều kiện Với điều kiện trên ta có 3x 1   2x    x 3x 1   x  x   x  6  x  x    x x   x  2  x x   x    x 2x   x 2   x  x   x  13x   x  17 x  10 0  x 5   x 2  l   Vậy S  5 Ví dụ Giải bất phương trình Hướng dẫn x 3  x  0  x   Điều kiện 9  x 0 Với điều kiện trên ta có  2x  2  2  2      2x  2  x  3    x     2x 4 16 x  48 18  x   x x  18 x  64 0 x  33 3  x    x  33 9   x  32  x  32   x     28  x 4 81x  576 x  1008 0  x      x 4  9 S  4;   2 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình dạng là dạng đã biết cách giải Từ nghiệm phương trình, bất phương trình ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu Chú ý: Phương trình, bất phương trình không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình và ngược lại t  f  x Dạng Đặt ẩn phụ thấy các biểu thức có dạng giống Đặt , đưa x phương trình, bất phương trình theo biến phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)) Ví dụ Giải phương trình Nhận xét: x  x   x  x  7 Ta thấy biểu thức dấu có số hạng x  x , và đây là biểu thức chung, chú ý chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn có thêm số không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn t 3x  x , để đưa phương trình dạng bản, nhiên để bài toán gọn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt t  3x  x  Ta giải bài toán này sau: Đặt t  x  x  điều kiện t 0 Khi đó thành 3x  x   t  Phương trình trở t   t 7  t  7  t  t    t    t  t  14t  49 t 3  dk t 7  Với t 3 ta có x  x  3  x  x  9  x  x  0   22 x     22 x     22  22  S  ;  3   Vậy Ví dụ Giải bất phương trình Hướng dẫn: Ta có:  x  1  x     x  1  x    x  x  28 x  x  28 x  x   x  x  28  Đặt t  x  x  28 điều kiện t 0 Khi đó bất phương trình trở thành: t  24  5t t  5t  24   3t 8 Kết hợp với điều kiện ta có  t  (1) Với t  ta có:   x  x  28   x  x  28 0    x  x  28  64 Với t   x    9x4  x  x  36   x  x  28   x   (3) Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm bất phương trình là Ví dụ Giải bất phương trình: Hướng dẫn: S   9;  x  x  1   x  x  2 x  x  1 2  t  1 Đặt t  x  x  , điều kiện t 0 , suy  2 Bất phương trình trở thành:  t  1   t  2t  t    t   l   t 1 x0 x2  x 1   x2  x 1   x2  x     x 1 Với t  ta có Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;0    1;   Dạng Các phương trình, bất phương trình có biểu thức A  B là số Khi đó đặt t  A  B , suy trình bất phương trình ẩn t A  B m AB đó t2   A  B AB  Đưa phương x    x  ( x  2)(5  x) 4 Ví dụ Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện   x 5 Đặt t  x    x (điều kiện t 0 ) t 7  x   x 7  Suy Khi đó phương trình trở thành:  x  2   x  t2  4 t  2t  15 0 t   t   l    t 3  n  Với t 3 ta có: x    x 3   72  x  2   x   x  2   x  1   x  3x  0 9  33 x    3 x    n  n t2   x  2   x       S  ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình là Ví dụ Giải bất phương trình: Hướng dẫn  x  Điều kiện 2x 1   2x  Đặt t  x    x (điều kiện t 0 ) Suy Bất phương trình trở thành t  10 t   13  3t  2t  56    x  1   x   x  1   x   13  t  10 14  t   l    t   n  Với t  ta có 2x 1   2x    x  1   x   x  1   x     16 x  x  0x4  10   16 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là Dạng Các phương trình có dạng m A  n B  p AB Khi đó đặt B 0, B 0 ) 4 Hoặc đặt u  A , v  B Tính u theo v Ví dụ Giải phương trình x 1  x2  x  x  Hướng dẫn Điều kiện    x  0  x      x 2  x 2  x  0  x  x  0  x      x 2 S  0;4  t 4 A B (xét 4 Đặt a  x  1, b  x  điều kiện a, b 0 ab a b   2 2 2a  Khi đó phương trình trở thành  a  2b 2b  ab 0   a  b  2 x   x  2  x  4  x    x 3 Với a 2 b ta có 1 4 a  b x   x   x   x  0   ta có Với Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  3 x  3x  2x   x   36 Ví dụ Giải bất phương trình Hướng dẫn 2 x  0   x 1  x  0 2 x  3x    Điều kiện Ta thấy x 1 là nghiệm bất phương trình Xét x 1 , chia hai vế bất phương trình cho 4 x  x  ta có 2x  x 1  4  x 2x  Đặt Với t 4 2x   x x 1  x  t (Điều kiện t  ) Khi đó bất phương trình trở thành  16  t  l  6 3t    6t  t  0   t   t   n  t ta có 4 2x  2x   x 5     0   x 5 x x 4  x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  1;5 Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình x3   x 1 Ví dụ Giải phương trình: Hướng dẫn t3  t  2x 1  x  Đặt  x3  2t 3 t  2 x Khi đó ta có hệ  Lấy (1) trừ (2) ta có:  1  2 x  t 2t  x   x  t   x  xt  t    x  t  0   x  t   x  xt  t   0  x  t 0 t  x  xt  t   x    t   2  (Vì ) Với t  x ta có 2 x3  2 x  x3  x  0   x  1  x  x  1 0   x   1  x    x 1       S  1; ;  2    Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 9Giải phương trình: Hướng dẫn x  34  x  1  * u  x  34  u  v3 37  Đặt: v  x   *  u  v 1 u  v 37  1  u  v 1  2 Ta có hệ:     u v   3 , sau đó thay vào  1 ta có:  v  1  v 37  v 3   v   v 3  x  3  x 30  v   x    x  61 Ví dụ 10 Giải phương trình: Hướng dẫn x  x   14 x  3x  17 x  13  *  *   x  3x  3  17 x  13  14 x  3x  17 x  13 u  13  x  u 17 x  13 17     2 v  x  3x   v 0  v  u  13    u  13    u  25u  373      17 17 289     Đặt:  * trở thành 4v  u  14v u 7 4v  u 14v  u  1   u  25u  373 v   2 289 Ta có hệ:   1  49  4v  u   14v  u   49u 28uv  u  u  u  28v  49  0  u 0   u 49  28v 13  u 0  x  17  u 49  28v Thay vào  2 :  49   28v   25  49  28v   373 v 289 2  289v 784v  2044v  1549  495v  2044v  1549 0   x 1    x 2  x  3x  1  v 1        x  746 1549 1549 v   495   x  3x   495 495   2231 x  495  Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm:  746 13  S  ; ;2 495 17   Vậy x 2, x  746 495 Chú ý:  Từ phương trình ta suy hệ, nên giải nghiệm ta phải thử lại  Phương pháp này hiệu việc giải phương trình, còn bất phương trình thì khó sử dụng Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 11 Giải phương trình x   10  x  x  12 x  40 Hướng dẫn Đặt: t  x   10  x , t    t2  x   10  x BCS   1   x  10  x  16 2  t 4  t 4 Dấu " " xảy  x   10  x  x 6 Mặt khác:  x  12 x  40  x    4 , dấu " " xảy  x 6 x   10  x  x  12 x  40 S  6 Vậy Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn Điều kiện: 3 x  6 x    x   x x    3;6 Đặt t   x   x , x    3;6 t  1 6 x  3 x    x  x   x   x t  0  x   t 3 2 Ta có:  x   t 3  x 6  t 3 và t   3 x   x  9    x   x Bảng biến thiên: x t’ 3 + - t 3 m  t   3;3  Xét t2  f  t  t  , t   3;3   f  t  1  t ,  f  3 3, f 3  Bảng biến thiên: t 3 – f  t  f t 2 9  m   3;3    thì phương trình có nghiệm  Vậy BÀI TẬP ÁP DỤNG I Giải các phương trình sau: 1) x   x   x   x  5 x  14 x 5 3 x  x  2) x2  3) x 4) 2x   4x   x  0 x2 7)  x 1  x  26  x  x  8 1 x  x 1 2 9)  10) x x  2 S   3 S  1  1 S  ;   2 1   S     1   x x x 1 x  S  2 S  1; 2 8) S  3;14    17  21  S  ;  2   5) x  x  5 6) S  1;10   x  2 x II Giải bất phương trình  24  S   ;0   25  1) 3x  2 x 2) 2x2  x   x4 3) x 2  x 3  4) x  3x   x  x  2 x  x  2 x 2 S   ;1 1 8 S   ;     ;   7 S   2;   2x    2 2  S   1; ;1       3x  1 2  x  x 5) x 6) x x2    5 S  1;    5 x    x   1  x  5    x  x2  x   x 2  9) 10) 5x   x 11) III Tìm m để: 1) 2) 3)  x  5;     8  S   5;    S   1;1 S  2;10  x   2x   x  16    3   S   1;  ,1       2 7)  x    x 8) S  1   4;   7 x x S  4;   x   x   x  x  m có nghiệm 12  x2 2m  x có hai nghiệm x   x   m  x2  2x  có nghiệm chứa  0;1 4) x   m x  2 x  có nghiệm 5) x  mx  2 x  có nghiệm phân biệt IV Phương trình và bất phương trình chứa thức các đề thi đại học gần đây x 1) (D – 2002) Giải bất phương trình 1  S   ;     2   3;   2   3x  x  3x  0  x  16  2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) x  x  7 x x S  4;   3) (B – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m   x    x  2  x   x   x 4) (A – 2005) Giải bất phương trình x   x   2x  5) (D – 2005) Giải phương trình: x   x   x  4 Đs:  m 1 Đs: x  10 Đs: S  3 6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt Đs: m x  mx  2 x  2 x   x  3x  0 7) (D – 2006) Giải phương trình Đs:  S  1;   8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   m x  2 x  Đs:  1 m  9) (B – 2007) Chứng minh với giá trị dương tham số m , phương trình sau có x2  x   m  x  2 hai nghiệm thực phân biệt: Đs: m  10) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt x  x   x   x m Đs:  m 3  V Các bài các đề thi dự bị đại học 1) Giải phương trình x   x  4 x   3x  x  (Dự bị B – 2006) Đs: S  2 2) Giải phương trình x   x 2 x    x  x   Đs: S  4;5 3) Tìm m để bất phương trình (Dự bị A – 2007) Đs: 4) Tìm m để phương trình m  m x2 1   x  x    x   x  0 có nghiệm x   0;1   x m có nghiệm (Dự bị B – 2007)  m 1 x   x   x  x   m có đúng hai nghiệm (Dự Đs:  m 4 5) Tìm m để phương trình bị D – 2007) 6) Tìm m để phương trình sau 2007) x  13 x  m  x  0 có đúng nghiệm thực (Dự bị A – Đs: m  , m  12