MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC pot

Bất phương trìnha b Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: Hướng dẫn a Ta có : Vậy tập nghiệm bTa có Giải 1 Giải 2... Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trìn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.

1 Phương trình

a)

b)

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn:

Nhận xét: Phương trình có dạng nên ta giải như sau

Ta có

Vậy

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn: Ta có

Vậy

2 Bất phương trình

a)

b)

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

Hướng dẫn

a) Ta có :

Vậy tập nghiệm

b)Ta có

Giải (1)

Giải (2)

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

II CÁC PHƯƠNG PHÁP

1 Phương pháp bình phương liên tiếp

Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với

phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu)

Ví dụ 1 Giải phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện

Với điều kiện trên ta có

Vậy

Ví dụ 2 Giải bất phương trình

Hướng dẫn

Điều kiện

Với điều kiện trên ta có

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.

Chú ý:

Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại.

Dạng 1 Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau Đặt , đưa phương trình, bất phương trình theo biến về phương trình bất phương trình theo biến (Chú ý đặt điều kiện cho biến (nếu có)).

Ví dụ 1 Giải phương trình

Nhận xét:

Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức

là đặt

Ta giải bài toán này như sau:

thành

Với ta có

Vậy

Ví dụ 2 Giải bất phương trình

Hướng dẫn:

Ta có:

Đặt điều kiện Khi đó bất phương trình trở thành:

Kết hợp với điều kiện ta có (1)

Với ta có:

Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 3 Giải bất phương trình:

Hướng dẫn:

Đặt , điều kiện , suy ra

Bất phương trình trở thành:

Với ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Dạng 2 Các phương trình, bất phương trình có biểu thức trong đó

trình bất phương trình về ẩn

Ví dụ 4 Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Điều kiện

Suy ra

Khi đó phương trình trở thành:

Với ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 5 Giải bất phương trình:

Hướng dẫn

Điều kiện

Bất phương trình trở thành

Với ta có

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là

Dạng 3 Các phương trình có dạng Khi đó đặt (xét

)

Hoặc đặt Tính theo

Ví dụ 6 Giải phương trình

Hướng dẫn

Điều kiện

Khi đó phương trình trở thành

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 7 Giải bất phương trình

Hướng dẫn

Điều kiện

Ta thấy là nghiệm của bất phương trình

Xét , chia hai vế của bất phương trình cho ta có

Đặt (Điều kiện ) Khi đó bất phương trình trở thành

Với ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Dạng 4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 8 Giải phương trình:

Hướng dẫn

Đặt

Khi đó ta có hệ

Lấy (1) trừ (2) ta có:

(Vì ) Với ta có

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Ví dụ 9Giải phương trình:

Hướng dẫn

Đặt:

Ta có hệ:

, sau đó thay vào ta có:

Ví dụ 10 Giải phương trình:

Hướng dẫn

Đặt:

trở thành

Ta có hệ:

Thay vào :

Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm:

Vậy

Chú ý:

 Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại

 Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng

3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 11 Giải phương trình

Hướng dẫn

Đặt:

Dấu xảy ra

Vậy

4 Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 12 Tìm để phương trình sau có nghiệm:

Hướng dẫn

Điều kiện:

Đặt

Ta có:

và Bảng biến thiên:

x

t’ + 0 -

t

3 3

3 2

Xét

Bảng biến thiên:

3

–

Vậy thì phương trình có nghiệm

BÀI TẬP ÁP DỤNG

I Giải các phương trình sau:

1)

2)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

II Giải bất phương trình

3

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

III Tìm để:

IV Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây

1) (D – 2002) Giải bất phương trình

2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11)

3) (B – 2004) Xác định để phương trình sau có nghiệm:

Đs:

6) (B – 2006) Tìm để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

Đs:

8) (A – 2007) Tìm để phương trình sau có nghiệm thực Đs:

9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số , phương trình sau có

10) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

Đs:

V Các bài trong các đề thi dự bị đại học

(Dự bị A – 2007) Đs:

4) Tìm để phương trình có nghiệm (Dự bị B – 2007)

bị D – 2007) Đs:

6) Tìm để phương trình sau có đúng một nghiệm thực (Dự bị A – 2007)

Đs: