Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Ước lượng tham số tìm hiểu về ước lượng điểm và ước lượng khoảng. Để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức, mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.
BÀI ƯỚC LƯỢNG Ợ THAM SỐ TS N TS Nguyễn ễ M Mạnh h Thế v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Để ước lượng phế phẩm dây chuyền sản xuất mua lại, công ty Thiên An kiểm ể tra ngẫu ẫ nhiên 100 sản phẩm ẩ nhà máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, ước ượ g tỷ lệ ệ p phế ế p phẩm ẩ nhà máy áy đó Nếu ếu muốn uố độ cchính xác ác lượng 0.03 phải lấy tối thiểu sản phẩm? Câu hỏi gợi mở Câu 1: Nhà sản xuất cần p phải xem chất lượng ợ g dâyy chuyền y sản xuất Vấn đề đặt làm để nhà quản lý ước lượng tỷ lệ phế phẩm bình quân dây chuyền? Câu 2: Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm nhà máy giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng 95%? Câu 3: Để khoảng g ước lượng ợ g có độ ộ xác cao ((cỡ 0.03)) cần phải tốn tiền? Biết chi phí điều tra 01 mẫu 10.000 VNĐ v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kết luận Khoảng ước lượng hai phía p là: Trong phân vị u / f(1 f) f(1 f) pf u / ;f u / n n tìm từ bảng phân phối chuẩn Nếu cho trước độ xác 0 f(1 f) Khi cỡ mẫu tối thiểu cần có là: n0 u / 0 v1.0012107210 MỤC TIÊU • Ước Ư lượng điểm; ể • Ước lượng khoảng khoảng Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X với tham số θ chưa biết, dựa vào thông tin mẫu (X1, X2, …, Xn) ước lượng th tham số ố θ θ v1.0012107210 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Khái niệm: Thống kê * G(X ( , X , , , , X n ) dùng làm ước lượng cho tham số θ gọi ước lượng điểm cho θ Với mẫu ẫ cụ thể (x iá trị t ị ủ * * G(x ó thể ( , x , , x n ), giá G( , x , x n ) có lấy tương ứng cho θ Ví dụ: n Thống kê X Xi ước lượng n i1 điểm cho E(X) ( ) Giá trị ước lượng điểm là: x v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Show ‘Next Slide’ Button: Completion Button Label: Anytime Don't show Next Slide ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Khái niệm: L;U L U L(X1 , X , X X n ); ) U(X1 , X , X Xn ) gọi ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy 1– α P L(X1 ,X X2 , ,X Xn ) U(X1 ,X X2 , ,X Xn ) Chú ý: Độ tin cậy - α thường lớn 90% Khoảng ước lượng hai phía ((l;u) ; ) L(x ( , x , , , , x n );U(x ); ( , x , , , , xn ) Khoảng ước lượng trái (l; ) L(x1 , x , , x n ); Khoảng ước lượng phải (;u) ;U(x1 , x , , x n ) Xác định cỡ mẫu v1.0012107210 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2 ) mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2, Xn) có giá trị (x1, x2, xn) Tham số chưa biết T ườ Trường hợ 2 biết: hợp biết X ~ N( , 2 / n) X n ~ N(0,1) với độ tin cậy - a ta tìm điểm u / cho (u / ) Ta khoảng: • Ước lượng hai phía: (x n • Ước lượng trái: (x • Ước lượng phải: (; x Trong đó: n u / ; x n 2 u / ) u ; ) n (u ) u ) Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: normsinv(1-α/2) Tham khảo phần phụ lục v1.0012107210 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập Số hộ 11 11,5 11 11,6 11 11,7 11 11,8 11 11,9 12 1 Hãy ước lượng giá mứctrịthu tốinhập thiểutrung giábình trị tối đa vùngmức với độ thutin nhập cậy trung bình 95%, vùng σ=0,2 với độ tin cậy 99% σ=0,2 Giải: Giải: Gọi XX làlà thu thu nhập nhập của một hộ hộ gia gia đình đình trong vùng, vùng,X ~ N( : 0,22 ) Gọi có: TTa có ó x 11,672 Ta 99% 0,01 tra bảng ta rút u u0,01 2,33 (u / ) 0.975 u0,025 1, 96 0,2 (11 672 2,33; 33 ) (11,579; (11 579 ) Kh ả tin Khoảng i cậy ậ 2phải hải (11,672 0,2 0,225 (11,672 1, 96;11,672 1, 96) (11,594; 11,75) 0,2 25 trái (;11,672 25 2,33) (;11,765) Khoảng ước lượng 25 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv (1-0,01) v1.0012107210 10 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Trường hợp chưa biết Thố kê T Thống X n ~ T( T(n 1) ' S Ta tìm phân vị t n/12 cho: (x s' n t n/12 ; x s' n t n/12 ) t n/12 tìm từ bảng phân phối student • Ước lượng giá trị tối thiểu: (x s' • Ước lượng giá trị tối đa: (; x t n1 ; ) n s' n t n1 ) Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: tinv(α,n-1) Tham khảo phần phụ lục 12 v1.0012107210 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập Số hộ 11 11,5 11 11,6 11 11,7 11 11,8 11 11,9 12 1 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 95%, 95% biết thu nhập biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Giải: Gọi X thu nhập hộ gia đình vùng T có: Ta ó X ~ N(; ) 24 x 11, 672, s'2 0,0188, s' 0,137 tra bảng rút t n/12 t 0,025 2,06 Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình: Khoảng tin cậy phải (1,625; ) , )với Khoảng g ước lượng ợ g trái (;;11,719) Chú ý: Hoặc dùng lệnh tinv(0.05,24) v1.0012107210 24 t n1 t 0,05 05 1,71 13 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Xác định cỡ mẫu: Cho khoảng ước lượng u / ; x u / ) (x n n • Nếu σ biết trước: Nếu cho trước độ xác ước lượng 0 cỡ mẫu tối thiểu n0 u / ký hiệu [ ] phần nguyên • Nếu σ chưa biết: Cỡ mẫu tối thiểu với độ xác ước lượng 0 s ' n 1 n0 t / 0 v1.0012107210 15 2.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên X : N(; 2 ) (n 1)S '2 T có Ta ó thống thố kê x 2 có phân phối bình phương với n-1 bậc tự (n 1)S'2 2 P x1 / 2,n 1 x x / 2,n 1 '2 '2 (n 1)S (n 1)S P 1 x1 / 2,n1 x / 2,n1 '2 '2 (n 1)s (n 1)s 2 ; • Ước lượng hai phía: x x1 / 2,n 1 / 2,n1 (n 1)s '2 • Ước lượng giá trị tối thiểu: ; 2 ,n (n 1)s '2 • Ước lượng giá trị tối đa: 0; x1 ,nn 1 Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: chiinv(p,n-1) Tham khảo phần phụ lục v1.0012107210 17 2.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo may đóng bao tự động đóng ta có phương sai hiệu chỉnh s '2 0,0153(kg)2 Hãy tìm ước lượng khoảng tối đa cho độ ộ í xác ủ trọng lượng bao gạo với độ ộ tin cậy ậ 95% Biết ế trọng lượng bao gạo máy tự động đóng biến ngẫu nhiên có phân p p phối chuẩn Giải: Gọi X trọng lượng bao gạo X ~ N(; 2 ) Ta có: s '2 0,0153, 0, 95 0,05 Tra bảng phân phối bình phương ta có x 20,95,19 10,117 (20 1)s '2 19.0,0153 0; 0; 10,117 x 0,95,19 2 (0; 0,17) Chú ý: Hoặc dùng lệnh chiinv(0.95,19) v1.0012107210 18 2.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên A với xác suất p chưa biết Thực n lần thử biến cố A, m số lần A xuất Xác định khoảng ước ợ g cho p với độ ộ tin cậy ậy 1-α lượng m Ta có tần suất biến cố A: f n Ta có thống kê U f p f(1 f) n ~ N(0;1) Vậ tta có Vậy ó khoảng kh ả ước ướ lượng lượ hai h i phía hí ủ p f(1 f) f(1 f) pf u / ; f u / n n Tương tự ta có khoảng ước lượng phía p f(1 f) u ; • Ước lượng giá trị tối thiểu: p f n f(1 f) • Ước lượng giá trị tối đa: p ; f u n v1.0012107210 19 2.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT (tiếp theo) Víí dụ: Kiểm ể tra ngẫu ẫ nhiên ê 100 sản ả phẩm ẩ ộ nhà máy sản ả xuất ấ thấy ấ có 12 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ phế phẩm nhà máyy Giải: Gọi p tỷ lệ phế phẩm nhà máy, máy ta có n=100; n 100; m=12; m 12; f = m/n = 12/100 = 0,12 0.95 / 0,025 Tra bảng phân phối chuẩn ta có u0,025 025 1, 96 p (0,12 0,12.0,88 100 p (0,056; 0,184) 1,96; 0,12 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv(0.975) v1.0012107210 0,12.0,88 100 1,96) 20 ... KHOẢNG CHO XÁC SUẤT Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên A với xác suất p chưa biết Thực n lần thử biến cố A, m số lần A xuất Xác định khoảng ước ợ g cho p với độ ộ tin cậy ậy 1-? ? lượng m Ta có tần suất biến... hải (11 ,67 2 0,2 0,225 (11 ,67 2 1, 96; 11 ,67 2 1, 96) (11,594; 11,75) 0,2 25 trái (;11 ,67 2 25 2,33) (;11, 765 ) Khoảng ước lượng 25 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv ( 1-0 ,01) v1.0012107210... phối chuẩn ta có u0,025 025 1, 96 p (0,12 0,12.0,88 100 p (0,0 56; 0,184) 1, 96; 0,12 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv(0.975) v1.0012107210 0,12.0,88 100 1, 96) 20