Chuyên đề Hàm Số Mũ - Logarit

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ . 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: . Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm: So sánh các luỹ thừa . 2. Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Căn bậc n: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: . Lũy thừa với số mũ thực 1.Khái niệm: . 2. Tính chất: 3.Ứng dụng vào bài toán thực tế - Tính lãi kép theo định kì: Một số ví dụ: . LOGARIT . 1.Định nghĩa: Hệ quả: Công thức đổi cơ số: . 3.Logarit thập phân và ứng dụng: Định nghĩa: Tính chất: Bài tập: Ứng dụng: . *Tính các phép tính liên quan đến lũy thừa *Tìm số các chữ số của 1số trong hệ thập phân: Bài tập: BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên 1/Khái niệm: . Bài tập: Lãi kép liên tục và số e: . 2.Logarit tự nhiên: . *ĐN: . *Tính chất: Hàm số mũ . 1.Định nghĩa 2.Một số giới hạn liên quan . 3.Sự biến thiên 4. Bài tập hàm số mũ . A.Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình B.Áp dụng hàm số để tính diện tích của hình phẳng . Hàm số logarit 1. Định nghĩa: 2.Tính chất : 3.Một số giới hạn liên quan . 4.Sự biến thiên Tịnh tiến đồ thị Hàm số lũy thừa 1.Định nghĩa: 2.Tính chất: 3.Đạo hàm của hàm số lũy thừa: . 4.Sự biến thiên: Phương trình mũ . 4.Dạng cơ bản : . 2.đưa về cùng cơ số : 3.lấy logarit hai vế (logarit hoá): . 4.đặt thừa số chung, đưa về phương trình tích: . 4.Đoán nghiệm duy nhất : . 5.pp đặt ẩn phụ: . Phương trình logarit 1.Đưa về cùng cơ số 2.chứng minh nghiệm duy nhất . 3.pp đặt ẩn phụ: . Hệ phương trình mũ- logarit 1.Phương pháp chung : 2.Giải các hệ sau 1.Giải dựa vào số mũ: . 2.Giải dựa vào cơ số . 3. Phương pháp đồng nhất . Pp1: biến đổi đưa về cùng cơ số, làm mất cơ số, đưa về hệ đại số quen thuộc . Pp2: dùng pp thế : . Pp: đặt ẩn phụ Pp: đưa về . Pp: dùng khảo sát hàm số Pp: dùng tính chẵn của ẩn Pp: điều kiện cần và đủ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ . 1.Kiến thức cơ bản: 2.Một số ví dụ một số dạng toán thường gặp: a.Dạng đưa về cùng cơ số: . b.Dạng dùng phương pháp đặt ẩn phụ: c.Dạng lấy logarit hai vế: d.Dạng đoán nghiệm: . B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: 1.Kiến thức cơ bản: 2.Một số ví dụ: . a.Dạng đưa về cùng cơ số: . b.Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: . Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho số thực a, số nguyên dương n n n thuaso 1 a a.a .a (n 1) a a = > = 14 2 43 Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm: Với a 0,n 0≠ = hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số n a xác định bởi 1 1 1 1 0 0 2y 1 1 y 2y 1 1 y 2 3y 0 (2y 1)(1 y) 1 2 y hay y 1 2 3 > > ⇔ − > − − − − − ⇔ > − − ⇔ < < > * CHÚ Ý: 1) Các kí hiệu 0 n 0 ; 0 (Với n nguyên âm) không có nghĩa. 2) Với a 0 ≠ và n nguyên, ta có: n n 1 a a − = So sánh các luỹ thừa Cho m, n là những số nguyên. Khi đó: 1) Với a>1 thì m n a a> khi và chỉ khi m > n 2) Với 0< a <1 thì m n a a> khi và chỉ khi m < n i. Hệ quả 1: Với 0 < a < b và m là số nguyên thì: 1) m m a b< khi và chỉ khi m > 0 2) m m a b> khi và chỉ khi m < 0 ii. HỆ QỦA 2: Với a < b và n là số tự nhiên lẻ thì: n n a b< 2. Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Căn bậc n: * Định nghĩa 2: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho: b n = a. * Nhận xét: 1) Căn bậc 1 của số a chính là a. 2) Căn bậc n của số 0 là 0. 3) Số âm không có căn bậc chẵn vì luỹ thừa bậc chẵn của 1 số thực bất kì là số không âm. 4) Với n nguyên dương lẻ, ta có: n n a 0 khi a 0; a 0 khi a 0. > > < < 5) ( ) n n a khi n 2k 1 a k a khi n 2k. = +   = ∈  =   ¢ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Định nghĩa 3: Cho a là 1 số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử m r n = , trong đó m là 1 số nguyên còn n là 1 số nguyên dương. Khi đó, luỹ thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi m r m n n a a a= = . Ví dụ1: đơn giản các biểu thức sau: 5 5 5 5 5 8. 4 8.4 2 2= = = 4 4 4 4 1 81 3 3 5 16 16 2 2   = = =  ÷   3 5 3 3 5 3 3 5 5 27 3 3 3= = = 6 63 6 64 8 8= = Ví dụ2: so sánh 3 2 & 3 Ta có: ( ) ( ) 6 3 6 2 3 2 2 8 3 3 9 = = = = 3 3 3 30 & 63+ Ta có : 3 3 3 3 3 3 1 3 30 4 64 63 30 27 3  >  ⇒ + > = >  > =   3 3 7 15 & 10 28+ + Ta có: 3 3 3 7 8 2 7 15 6 15 16 4  < =  ⇒ + <  < =   Ta lại có: 3 3 3 10 9 3 10 28 6 28 27 3  > =  ⇒ + >  > =   Ví dụ3: cm: 4 2 3 4 2 3 2+ − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 VT 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 = + − − = + − − = + − − = Lũy thừa với số mũ thực 1.Khái niệm: Cho a là số thực dương ,α là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ r 1 ,r 2 ,…, r n , mà lim r n = α Lũy thừa của a với số mũ α (kí hiệu là a α ) n r x a lim a α →+∞ ⇔ = Chú ý: i) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ âm thì cơ số phải khác 0. ii) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. 2. Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực (của mộ số dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. 3.Ứng dụng vào bài toán thực tế - Tính lãi kép theo định kì: N C A(1 r)= + Với: A:Số tiền gửi ban đầu C:Số tiền cả vốn lẫn lãi sau N kì r:Lãi suất mỗi kì N:Số kì Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 2 8 2 2 1 1) A (0.5 ) 1 2) B a ( ) a − = = Giải: 2 8 2. 8 4 1 1) A (0.5 ) (0,5) (0.5) 16 = = = = 2 2 1 2 2 1 1 2) B a ( ) a .a a a − − + = = = Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 x x 2+ = Giải: 4 x x 2+ = Đặt 4 t x(t 0)= > phương trình (1) trở thành: 2 t 1 t t 2 t 2 =  + = ⇔  = −  Vì t >0 nên 4 t 1 x 1 x 1= ⇒ = ⇔ = Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 10 x 2≥ Giải 10 10 10 x 2 x 2 x 2  ≥ ≥ ⇔  ≤ −   Ví dụ 4: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1năm với lãi suất 7,56% Một năm.Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền ngưới đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu trệu đồng? Giải: Áp dụng công thức tính lãi suất,ta được lãi suất sau 5 năm là: 15.10 6 .(1+7,56%) 5 =21,595,000(đồng) LOGARIT 1.Định nghĩa: Cho 0 a 1< ≠ , b 0> : số thực α để a b α = được gọi là logarit cơ số a của b. Kí hiệu: a log b a b α α = ⇔ = Chú ý: i) 0 a 1< ≠ và b 0> . ii) Do a 0, α > ∀α∈ ⇒¡ không có logarit của số 0 và số âm. Ví dụ: 2 10 -2 10 log 100 2 vì 10 100; 1 1 log 2 vì 10 . 100 100 = = = − = Hệ quả: ﻩ a log 1 0= , a log a 1= ; ﻩ b a log a b, b= ∀ ∈ ¡ ; ﻩ a log b a b, b , b 0= ∀ ∈ >¡ . Ví dụ: 2 3 3 10 10 2 log 100 log 10 3 = = ; ( ) ( ) 3 3 3 2 log 4 log 12 log 4 2 2 9 3 3 4 16.= = = = SAI [ 12 2 = 144] 2.Tính chất: a) So sánh 2 logarit cùng cơ số: Cho 0 a 1 < ≠ , b,c 0> . Ta có: a a a a i) Khi a 1 thì log b log c b c; ii) Khi 0 a 1 thì log b log c b c. > > ⇔ > < < > ⇔ < Hệ quả: Cho 0 a 1 < ≠ , b,c 0> . Ta có: a a a a i) Khi a 1 thì log b 0 b 1 ii) Khi 0 a 1 thì log b 0 b 1 iii)log b log c b c > > ⇔ > < < > ⇔ < = ⇔ = Ví dụ: So sánh: 0.5 0.5 5 5 1 1) log 4 & log 16 2) log 125 & log 25 Giải 0.5 0.5 0.5 0.5 5 5 5 5 1 1) log 4 & log 16 0 0.5 1 1 Do nên log log 4 1 16 4 16 2) log 125 & log 25 5 1 Do nên log 125 log 25 125 25 < <   <  <   >   <  <   [s] b) Các quy tắc tính logarit : Cho 0 a 1< ≠ , b,c 0> . Ta có: ( ) a a a a a a a a a a log c log b i) log b.c log b log c b ii) log log b log c c iii) log b log b iv) b c α = +   = −  ÷   = α = Hệ quả: a a n a a 1 i) log log b b 1 ii) log b log b n   = −  ÷   = Ví dụ: ( ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 5 1 log 3 log 12 log 50 log 3 log 2 3 log 50 2 3 log log 50 2 3 1 1 log log 50 log 50. 2 2 log 25 log 5 2 − + = − + = +   = + =  ÷   = = = Công thức đổi cơ số: Cho 0 a,b 1< ≠ , c 0> . Ta có: a b a a b a log c log c hay log c log b.log c log b = = Hệ quả 1: Cho 0 a,b 1< ≠ , ta có: a a b b 1 log b hay log b.log a 1 log a = = Hệ quả 2: Cho 0 a 1< ≠ , c 0> và 0α ≠ , ta có: [...]... chỉ t  0 ex − 1 lim =1 x →0 x Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thi hàm số y = au(x) có đạo hàm trên J và ( au(x) )’= u’(x) au(x) lna f( x) = 5x 6 5 4 y = ax ( a > 1) y = ax ( 1 > a > 0) 3 2 1 -8 -6 -4 O -2 2 4 6 -1 -2 -3 -4 3.Sự biến thiên 4 Bài tập hàm số mũ A.Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình Đề: 1)Cho 0 < a < 1 Với giá trị nào của x thì hàm số y = a x a) Nằm phía trên đường... Vẽ hàm số y = log 2 ( x − 1) − 2 rr Ta vẽ hàm số Y = log 2 X trên hệ trục ( I,i, j) với I ( 1; −2 ) Hàm số lũy thừa 1.Định nghĩa: Cho α ∈ ¡ Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y = x α Chú ý: 1 1 Đẳng thức n x = x n chỉ xác định khi x > 0 Do đó hàm số y = x n không đồng nhất với * hàm số y = n x ( n ∈ ¥ ) 2.Tính chất: Hàm số y = x n , n ∈ ¢ + ⇒ D = ¡ n − Hàm số y = x , n ∈ ¢ ∨ n = 0 ⇒ D = ¡ \ { 0} Hàm. .. Định nghĩa: Với a là một số dương và khác 1 Hàm số dạng y=logax : hàm số logarit cơ số a (hàm số lôgarit) Chú ý: y=logx (hoặc lgx) :hàm số lôgarit cơ số 10 y=lnx : hàm số lôgarit cơ số e y=ex : còn kí hiệu là y=exp(x) 2.Tính chất : Miền xác định: ( 0; +∞ ) Miền giá trị : R Liên tục trên R*+ a>1: hàm số tăng: x1 > x 2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x 2 0 0 ⇔ log a x1 < log a x 2... 2 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 -2 -3 Ta có phần diện tích cần tính là tổng diện tích 2 tam giác cong, mà diện tích mỗi tam giác dùng tích phân để tính 2)Vẽ đồ thị hàm số (C) y = log 0.5 x Dựa vào đồ thị giải các bất phuơng trình sau c) log 0.5 x > 0 d) -3 ≤ log 0.5 x ≤ -1 Đồ thị (C) chính là đồ thị hàm số y = − log 2 x nên ta có nghiệm kết luận từ đồ thị : Hàm số logarit 1 Định nghĩa: Với a là một số dương... (con) b/Lượng VK lúc sau tăng gấp đôi: ⇒ 200 = 100.e ln 3 t ln 3 t 5 ⇒e 5 =2 ln 3 ⇒ t = ln 2 5 ln 2 ⇒ t = 5 ≈ 3.15h ≈ 3h9 min ln 3 Hàm số mũ 1.Định nghĩa Với a là một số dương khác 1thì hàm số dạng y=ax là hàm số mũ cơ số a (hàm số mũ) 2.Một số giới hạn liên quan Hàm số y= ax liên tục trên ¡ thỡ : t t  1  1 lim 1 + ÷ = e; lim 1 + ÷ = e x →+∞ x →−∞  t  t Chứng minh : 1 1 t 1 ln(1 + x) lim... y = x n , n ∈ ¢ + ⇒ D = ¡ n − Hàm số y = x , n ∈ ¢ ∨ n = 0 ⇒ D = ¡ \ { 0} Hàm số y = x α , α ∈ ¡ ⇒ D = ¡ + 3.Đạo hàm của hàm số lũy thừa: α Nếu hàm số u = u ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y = u ( x ) cũng có đạo hàm trên J và ( u ( x ) ) ' = αu ( x ) u ' ( x ) α 4.Sự biến thiên: α−1 Phương trình mũ 4.Dạng cơ bản : b > 0  f ( x) với 0 < a ≠ 1 ta có: a = b ⇔ f x = log b ... xét hàm số ( t > 2) 1 +1 > 0 ∀t > 2 t ln 3 ⇒ f ( t ) là hàm tăng trên ( 2; +∞ ) f ( u ) = f ( v) ⇔ u = v f '( t ) = ⇔ 2x 2 + 4x + 5 = x 2 + x + 3 Do đó: ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0  x = −1 ⇔  x = −2 Hệ phương trình m - logarit 1.Phương pháp chung : Hệ phương trình mũ chủ yếu dựa vào công thức a = 0 a = a ⇔ a = 1  x = y  x y sau đó đưa về phương hệ ẩn là x, y Một số phương pháp : - Căn cứ vào hệ số mũ. .. đường thẳng y = a b) Nằm phía dưới đường thẳng y = a Đs: x < 1, x > 1 2) Vẽ đồ thị hàm số (C) y = log 0.5 x Dựa vào đồ thị giải các bất phuơng trình : a) log 0.5 x > 0 b) -3 ≤ log 0.5 x ≤ -1 Đồ thị (C) chính là đồ thị hàm số y = − log 2 x nên ta có nghiệm kết luận từ đồ thị : B.Áp dụng hàm số để tính diện tích của hình phẳng Đề: Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = 1) 1 x và x ,... 10 CS M127 có 39 CS M1398269 có 421 CS Bài 2: Năm 1992, người ta biết số p = 2756839 − 1 là 1 SNT Nếu viết trong hệ thập phân, SNT đó có bao nhiêu chữ số? ĐS:228 chữ số BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên 1/Khái niệm: 1 e = lim (1 + ) x x →+∞ x e là số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 2,718281828 x log e = ln x :Logarit cơ số e của x hay Logarit tự nhiên của x VÍ Dụ: Cho a=ln2; b=ln5 Tính theo a&b: a/ln500:... là bao nhiêu S = Ae Nr = 5926,5e10.0,0132 ≈ 6762,8 (triệu người) Giải: 2 .Logarit tự nhiên: *ĐN: Logarit cơ số e của 1 số nguyên dương a gọi là logarit tự nhiên của số a và Kí hiệu là lna *Tính chất: Đầy đủ tính chất của logarit cơ số lớn hơn 1 *VÍ Dụ: Sự tăng trưởng của 1 loại vi khuẩn tuân theo công thức: S=Ae rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r: tỉ lệ tăng trưởng(r>0), t là thời gian tăng . ≈ ≈ Hàm số mũ 1.Định nghĩa Với a là một số dương khác 1thì hàm số dạng y=a x là hàm số mũ cơ số a . (hàm số mũ) 2.Một số giới hạn liên quan Hàm số y=. ) 2 x f x = y = 5 Hàm số logarit 1. Định nghĩa: Với a là một số dương và khác 1 Hàm số dạng y=log a x : hàm số logarit cơ số a (hàm số lôgarit) Chú ý: