Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO Chun : Tốn Giải tích ngành Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Nhân, luận văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính quy nghiệm phương trình elliptic với hệ số BMO” thực nhìn nhận tìm hiểu thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, thừa kế kết báo, luận văn nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan nội dung kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019 Học viên thực Nguyễn Thị Tuyết Mẫn LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn thạc sĩ không nhờ vào nỗ lực, cố gắng thân mà cịn nhờ nhiều vào hướng dẫn nhiệt tình Thầy, Cơ; ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình bạn bè Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho đề tài trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành tốt luận văn Bên cạnh tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tồn thể q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên Phòng sau đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình ln bên, động viên, ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp 1.2.2 Bổ đề phủ Vitali 1.2.3 Định nghĩa không gian BMO 1.2.4 Một số định nghĩa kết liên quan đến biên Lipschitz 1.2.5 Bổ đề 1.6 Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC 2.1 Bổ đề phủ Vitali 2.2 Các định nghĩa bổ đề 2.3 Tính quy 19 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 22 3.1 Bổ đề phủ Vitali 22 3.2 Các định nghĩa bổ đề 24 3.3 Tính quy 37 Chương BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 42 4.1 Các định nghĩa bổ đề 42 4.2 Tính quy nghiệm .53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x  x ', xn  Một điểm điển hình R Khơng gian R R  Quả cầu mở R B  r Quả cầu mở có thêm B r Nửa cầu B Nửa cầu có thêm r Quả cầu mở Br B Biên Br Ma trận A cấp T r Hàm u Hàm f  c  aij  A u :  R f :  Rn Giá trị trung bình Gradient u Divergence f f Không gian hàm u  C  có giá compact  u  u x1 divf x    C MỞ ĐẦU Bài tốn tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm Gần số kết toán cho phương trình với hệ số BMO nghiên cứu phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali cơng cụ giải tích điều hịa Luận văn tập trung khảo sát số đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cụ thể khảo sát tính quy nghiệm phương trình elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Tài liệu nghiên cứu [1], [3], [5], [8] Nội dung tập trung khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng divergence Từ ứng dụng vào tốn cụ thể với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên Neumann Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, định nghĩa bổ đề quan trọng để bổ trợ cho chương sau Chương 2: Bàn luận tính quy cho gradient nghiệm phương trình elliptic dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cơng cụ Bổ đề phủ Vitali Và phương pháp đánh giá tính quy nghiệm chương tảng cho phương pháp hai chương sau Chương 3: Mở rộng đánh giá chương trước để nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu lên biên toán Dirichlet với hệ số BMO miền Lipschitz Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO miền Lipschitz Chương mở rộng đánh giá chương trước Kỹ thuật chương từ Bổ đề 3.1 Chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, số định nghĩa bổ đề cần thiết để nghiên cứu chương sau Tài liệu tham khảo chương chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] [9] 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence Phương trình elliptic dạng divergence: Lu  a u ij xj , thuộc Giả thiết hệ số phương trình elliptic, khơng gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ:  A AyAB (1.2) r 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood Cho hàm khả tích địa phương Khi đó, hàm cực đại Hardy-Littlewood f x   sup r 0 Định lý hàm cực đại Hardy-Littlewood (i) Nế u (ii) f ếu f  p  L f ữa, (1   LR p n n x  R :f x     n 3) 48 u k   u  h k  L2 B4   u k  u L2 B4  u k  u0   h L2 k L2 B4  B   C A k B 4 4  A0 Từ đánh giá này, (4.8) (4.9): Nhưng điều mâu thuẫn với (4.6) (4.14) Mục tiêu ta u  v đủ nhỏ thích hợp A f Hệ 4.6 Cho   nghiệm yếu u với điều kiện biên Neumann T5 B5 , (4.15) tồn nghiệm trơn v  div thỏa  (4.16)  B Chứng minh Theo Bổ đề 4.5 (4.15), tồn nghiệm trơn Neumann T4 B 4 u  v dx với với điều kiện biên Đầu tiên, ta chứng minh   u  v nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T4    divA  div f  A  49 Để có điều đó, ta chọn  Khi  đó, từ định nghĩa nghiệm yếu, ta có  H1B    c 0 với :  B  v.dx từ đó, ta có (4.18) Theo Bổ đề 4.4, ta có đánh giá sau:   f   B B  f B Trong đó, ta sử dụng Do đó, ta có  Vậy từ đánh giá này, (4.17) (4.15) ta có điều cần chứng minh Bổ đề 4.7 Cho số N1  div  Au   divf  và    dx đó:        nhỏ u Neumann yếu f x  :u xN B B  Chứng minh 12   50 Theo (4.19), tồn điểm (4.21) r  Từ B5 n  (4.22) đó, Tương tự, ta có: B 0  B5 Theo Hệ 4.6, (4.22), (4.23) (4.19), tồn nghiệm trơn điều kiện biên Neumann T4  div cho:  v với  Tồn số dx Ta đặt N12  max 4 N02 ;2n chứng minh: x  B  : (4.25) (4.26)  x    (4.27) N02 Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng: 51 (4.28) Với (4.29) r (4.30) Với Br Khi đó, từ (4.29) (4.30) ta có: (4.31) Từ (4.28) (4.31) ta có khẳng định (4.27) Theo (4.27) yếu loại  xB  Theo đánh giá này, (4.25), (4.22) (4.19) ta có kết luận (4.20) Phần chương gần giống chương trước nên nêu rõ điều sau mà không chứng minh, ngoại trừ Định lý 4.11  Kể từ giờ, ta giả sử B7r Hệ 4.8 Giả sử u  H B7r  nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann  divAu   divf B7r với Khi đó, có tính chất sau: x  B  r : u N B B , 2 r  r T7 r 52  r  B  x Bổ đề sau quan trọng mục tiêu ta Bổ đề 4.9 Nế u nghiệm yếu u   div    có tính chất sau:  với  u  u    Các cầu để phủ Bổ đề phủ Vitali lựa chọn cẩn thận Bổ đề 4.10 nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann Giả sử u  H  div Au   divf B với     T7 B    Cho k số nguyên dương 1  210 x  B :u N    1i  12k x  B  : 53 4.2 Tính quy nghiệm Đầu tiên ta cần tồn nghiệm yếu Định lý 4.11 Phương trình (4.1) có nghiệm yếu sai khác số Chứng minh Ta chứng minh Bổ đề Lax-Milgram Trước hết, ta định nghĩa dạng song tuyến:   dx u , v        Khi đó, tồn số  ,      Vậy dùng Bổ đề Lax-Milgram để tìm hàm u  H thỏa mãn: Khi đó, ta kết luận u   H    Hoàn thành chứng minh Định lý 4.12 [1]       Cho p số thực với  p  Tồn     p  nhỏ cho với A thỏa 54 ; f thỏa f  Lp B7 ; Rn  Nếu u nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann th ì T7 p u thuộc L  u  B đó, số C độc lập với Cuối cùng, ta có định lý chương Định lý 4.13 [1] Cho số thực p với  p Tồn     p  cho với A  thỏa L elliptic đều;  với  thỏa :,1 Lipschit , z với f thỏa f  Lp ; Rn  Nế u u nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann  div   divf , Au  u  W1, p  với đánh giá u đó, số C độc lập với u f Chứng minh 55 Trường hợp suy từ Định lý 4.12 đánh giá phần (xem Chương 2) với phép đổi biến, vị tự,… Trường hợp 56 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày cách chi tiết đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục, cụ thể phương trình với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Đồng thời đạt mục tiêu tìm hiểu việc khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng divergence đạt được: Mục tiêu thứ nhất: Tìm hiểu kỹ thuật quy nghiệm sử dụng Bổ đề phủ Vitali Byun Mục tiêu thứ hai: Tìm hiểu kết tính quy nghiệm cho phương trình elliptic dạng divergence với hệ số khơng liên tục có chuẩn BMO nhỏ Tuy nhiên, mục tiêu thứ ba: Định hướng quy nghiệm cho phương trình Stokes, chưa đạt thời gian chưa cho phép Tác giả mong muốn sau nghiên cứu thêm để hồn thiện đề tài mà theo đuổi 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sun-Sig Byun (May 2003) Optimal Elliptic And Parabolic Equations University of Iowa, Iowa city, Iowa [2] L A Caffareli and X Cabre (1995) Fully nonlinear elliptic equations, volume 43 of American Mathermatical Society Colloquium Publication American Mathermatical Society, Providence, RI [3] L A Caffareli and I Peral (1998) On equations in divergence form Comm Pure Appl [4] G Di Fazio (1996) equations with discontinuous coefficients Boll Un Mat Ital A(7), 10(2): 409-420 [5] F John and L Nirenberg (1961) On function of Bounded mean oscillation Comm Pure Appl Math, 14:415-426 [6] Juba Kinnunen and Shulin Zhou (1999) A local estimates for nonlinear equations with discontinuous coefficients Comm Partial Differential Equations, 24:2043-2068 [7] Norman G Meyers (1963) An solutions of second order elliptic divergence equations Ann Scuola Norm Sup Pisa(3), 17:189-206 [8] Lihe Wang A geometric approach to the Calderon-Zygmund estimates Acta Mathematica Sinica, 2:381-396, 2003 Enghlish Series [9] D S Jerison, C.E Kenig (1981) The Neumann problem on Lipschitz domains Bull Amer Math Soc, 4:203-207 ... sát số đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cụ thể khảo sát tính quy nghiệm phương trình elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO. .. Giải Tích với đề tài: ? ?Tính quy nghiệm phương trình elliptic với hệ số BMO? ?? thực nhìn nhận tìm hiểu thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, thừa kế kết báo, luận văn nhà khoa học với trân...    C MỞ ĐẦU Bài toán tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm Gần số kết tốn cho phương trình với hệ số BMO nghiên cứu phương pháp sử dụng Bổ đề