Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO

Chuyên ngành Mã số

: Toán Giải tích: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Nhân, luận

văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính chính quy nghiệm củaphương trình elliptic với hệ số BMO” được thực hiện bởi sự nhìn nhận và

tìm hiểu của chính bản thân tôi.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế nhữngkết quả trong các bài báo, luận văn của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn Tôi xin cam đoan các nội dung và kết quả trong luận văn được tríchdẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Tuyết Mẫn

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành được luận vănthạc sĩ này thì không chỉ nhờ vào sự nỗ lực, cố gắng hết mình của bản thânmà còn nhờ rất nhiều vào sự hướng dẫn nhiệt tình của các Thầy, Cô; cũngnhư sự ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình và bạn bè.

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS NguyễnThành Nhân, người đã giới thiệu cho tôi đề tài này và trực tiếp tận tình hướngdẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt luậnvăn.

Bên cạnh đó tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình đến toàn thểcác quý Thầy, Cô của khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố HồChí Minh đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong suốtkhóa học Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học,cũng như Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành bài nghiên cứu củamình.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình đã luôn ở bên, động viên, ủng hộ,giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn.

Trang phụ bìaLời cam đoanLời cảm ơnMục lục

Danh mục các ký hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence 2

1.2 Một số khái niệm 2

1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong Lp 2

1.2.2 Bổ đề phủ Vitali 3

1.2.3 Định nghĩa không gian BMO 4

1.2.4 Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz 4

1.2.5 Bổ đề 1.6 6

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCEVỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC72.1 Bổ đề phủ Vitali 7

2.2 Các định nghĩa và bổ đề 8

2.3 Tính chính quy 19

Chương 3 BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊNMIỀN LIPSCHITZ223.1 Bổ đề phủ Vitali 22

3.2 Các định nghĩa và bổ đề 24

3.3 Tính chính quy 37

Chương 4 BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN

u  u x1 , ,uxn 

divf x   

n  fi

Không gian R

với các điểm có xn  0 Quả cầu mở trong R

với tâm O, bán kính r

Quả cầu mở có thêm x

Nửa quả cầu.

Nửa quả cầu có thêm x

Quả cầu mở Br với các điểm có x.n  0

Biên của Brmà các điểm trong đó có xn  0 Ma trận A cấp n  n.

MỞ ĐẦU

Bài toán về tính chính quy nghiệm của các phương trình đạo hàm riêngđược các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm nay Gần đây một sốkết quả về bài toán này cho các phương trình với hệ số BMO được nghiêncứu bằng phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali và công cụ trong giải tíchđiều hòa Luận văn này tập trung khảo sát một số đánh giá về tính chính quynghiệm của một lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ sốkhông liên tục Cụ thể là khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trìnhelliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO rất nhỏ Tài liệu nghiên cứuchính đó là [1], [3], [5], [8].

Nội dung tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trìnhdạng divergence Từ đó ứng dụng vào các bài toán cụ thể với điều kiện biênDirichlet và điều kiện biên Neumann Nội dung luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Bước đầu giới thiệu về phương trình

elliptic dạng divergence, các định nghĩa và bổ đề quan trọng để bổ trợcho các chương sau.

Chương 2: Bàn luận về tính chính quy cho gradient của nghiệm phương

trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục Công cụ chínhđó là Bổ đề phủ Vitali Và phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệmcủa chương này là nền tảng cho phương pháp của hai chương sau.

Chương 3: Mở rộng đánh giá của chương trước để nghiên cứu về tính

trơn của nghiệm yếu lên biên của bài toán Dirichlet với hệ số BMO trênmiền Lipschitz.

Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO trên miền Lipschitz.

Chương này mở rộng đánh giá trong chương trước Kỹ thuật chính củachương này là từ Bổ đề 3.1 trong Chương 3.

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạngdivergence, một số định nghĩa và bổ đề cần thiết để nghiên cứu các chươngsau Tài liệu tham khảo của chương này chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] và [9].

1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence

Phương trình elliptic dạng divergence:

Giả thiết chính đó là các hệ số của phương trình elliptic, A  

không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ:

là một hàm khả tích địa phương Khi đó, hàm cực đại

r 0

Định lý cơ bản của hàm cực đại Hardy-Littlewood

1i đó:

L

f Lp  C f Lp

x  R n :f x    C  f p dx.

(1.3) được gọi là mạnh loại p  p và (1.4) được gọi là yếu loại 1 1.

Bán kính của B bị chặn trên Vàtồntại các quả cầu rời nhau

 B sao cho:i1

với 5Bilà quả cầu với bán kính gấp năm lần bán kính của Bi Khi đó, tacó:

A 

 

B i

Choflà hàm khả tích địa phương trênRn Khi đó, ta nóikhông gian BMO nếu

Thay quả cầu B ở trên bởi

BMO Hơn nữa, ta có thể mở rộng

Định nghĩa hàm liên tục Lipschitz

Định nghĩa miền Lipschitz

Với mỗi điểmx0  tồn tại r 0, R nhỏ và hàm liên tục

và sup   x '     y '

x ' y 'x '  y '

-Lipschitz nếu với mọi

R với Lip    sao

x0 , tồn tại một hàm liên

cho   Br0 x0   x x ', xn

với mọi   1  n

(iii) Các phép nhúng ở trên là compact nếu bất đẳng thức ngặt (1.5) và (1.6) được thỏa.

1.2.5 Bổ đề 1.6

Giả sử rằngCho các hằng số 

trong đó C>0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào  , p và N1

Bổ đề trên cho ta biết cách xác định một hàm là hàm thuộc Lp Vậy ta đã nhắc lại một số kiến thức quan trọng cần thiết như là Bổ đề phủVitali, hàm cực đại Hardy-Little Wood, chuẩn BMO,… để việc tìm hiểu các chương sau được dễ dàng hơn.

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC

1, p

1 Trong chương này, ta sẽ xét trên W

phương trình elliptic dạng divergence sau:

Lu   div A  x  u

  đánh giá nghiệm

u của

(2.1)Giả thiết chính đó là ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ.

Nội dung được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [4], [8].

2.1 Bổ đề phủ VitaliBổ đề 2.1

(2.7)

Đánh giá I1 Theo điều ki

cho uk là nghiệm yếu của

với bất kì nghiệm v C B

.

kBk 4

0  0  0 

   div

 div Ak B4   u 0  hk 0 trongB4 (2.21)Với bất kì   H 01B4,

thì tồn tại nghiệm trơn

 A AB5

2dxB

Ta chứng minh bổ đề quan trọng sau.

2 

của divAB4v  0 trong B4 sao cho:

   u  v 

Theo đánh giá này và (2.32) ta có kết luận (2.28).

Từ Bổ đề 2.7 và các phép đổi biến, vị tự, ta có bổ đề sau.

Bổ đề 2.8

Giả sử rằng u là nghiệm yếu của (2.1) trong miền   B7 Nếu u 2 N12 B   B , khi đó:

i1Chứng minh.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo k

Với k1 thì kết luận trên đúng theo Bổ đề 2.7 và Bổ đề 2.1 với

Theo giả thiết đặt ra ở trên, ta có:

x  B1 : u 2  N12k 

x  B1 : f 2  2 N12k

i  1k x  B1 : u 21.  1i

i1

Ta viết lại bất đẳng thức trên như sau:trong đó:

 x  B :    N2k

1  1  1  

 2N2k i   kx  B :u 2 1 ta có:

I 2 1ixB1

i1 

2  1  1   1 

là nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic

khi đó: u thuộc LpB1 với đánh giá u

do đó,

Theo Hệ

N22 x  B :k 0

 1   ,

 N2k

1, p

1  p   của phương trình sau:nghiệm trong W

với miền mở bị chặn 

  div A  x  u   divf trong 

Tài liệu tham khảo chủ yếu của chương này là [1].

3.1 Bổ đề phủ VitaliBổ đề 3.1

Cho 0 1 vàCDB1  là hai tập đo được với

(3.2)(3.3)

Brx   B1  Bre1 B1  B r  2  n1 Br

x

Do đó, ta có (3.7) Cuối cùng, theo (3.6), (3.7) và (3.3), ta có:

2 10hoàn thành chứng minh.

trênT1 là nghiệmyếu của

22  0  1

 u dx , C  B

 Theo Định nghĩa 3.2, ta có:Lưu ý rằng uH 0B1

B1 Au.  2u dx   B1 f2u dx.

Ta viết lại đẳng thức trên như sau:

 2Au.udx,I

i1,2,3:

f dx   udx , C



n tại nghiệm trơn

Do đó có

 A   bị chặn, nên có dãy con mà ta kí hiệu là A  , sao cho:

4

Nhưng khi đó, theo (3.11), ta có:

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng u0 là nghiệm yếu của

 div  A0u0  0 trong B4 với u0  0 trên T4 (3.17)

Để được như vậy, ta lấy H 1B và mở rộng

4, nên Ak uk ⇀ A0u0 trong

.

 

AB

Hệ quả 3.5

Với bất kì  0,   0 nhỏ sao cho với mỗi nghiệm yếu u của

 div  A u   div f trên B5

thì tồn tại nghiệm trơn vcủa   4  4

f 2  A AB52dx

BB

  

Theo (3.2

1

2 2n

1 211 2

x  B :  u  N 2  x  B :  u  v N2

Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng:

x1   x  B1 :   u  v 2x   N02.Với r2 , Brx1   B3 và theo (3.35), (3.33), ta có:

(3.35)

Với1

Nếu u là nghiệm yếu của

 div  A u   divf trong B7

u  0 trên T7

và có tính chất sau:với mọi

x ',0

.  B x B

7 126 r18 rr 1

Theo Hệ quả 3.7, cho quả cầu B18rx ',0 với  được thay bởi  :18n

Cho k là một số nguyên dương và 1

Trường hợp k1, kết luận có được từ Hệ quả 3.7 và Bổ đề 3.1 với

Vì kết luận đúng với k 1 nên: 

x



Do đó, kếtluận đúng với

Với bổ đề trên, ta có thể đưa ra cách chứng minh đơn giản và sơ cấp tính

divergence với điều kiện biên Dirichlet.

Tồn tại  p0 sao cho mọi A thỏa

 ABMO   và L elliptic đều;

 :  ,1  Lipschitz ,

và mọi f thỏa

Tồn tại  p 0

B52 dx   ;

p 

; Rn.

f  L B

nhỏ sao cho với

Nếu u là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng elliptic

khi đó, 

L B



Mục tiêu tiếp theo của ta là cho thấy tại sao cần giả thiết biên của miền 

là một đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitz nhỏ Ta chọn bất kì điểm

 Khi đó, ta giả sử rằng:  B

rx0   x  Brx0: xn   x '

với r 0 và  : R n 1 R mà Lip  1.Ta định nghĩa:

div  Au   divf trên .

là nghiệm yếu của

 x

Đánh giá này, chính xác là điều ta cần.

Bây giờ, ta đưa ra chứng minh của Định lý 3.10.

Chứng minh.

Ta thiết lập biên Lp cho gradient của u trên B1 trong Định lý 3.11, tacó được chứng minh bằng cách dùng các phép đổi biến, phủ và đánh giá phầntrong, và phép lấy đối ngẫu.

Chương 4 BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊNMIỀN LIPSCHITZ

Trong chương này ta xét tính chính quy của bài toán Neumann trên miềnmở bị chặn mà miền này có biên là đồ thị địa phương và có hằng số Lipschitznhỏ Ma trận hệ số chính của phương trình elliptic được giả sử có nửa chuẩnBMO nhỏ Ta quan tâm đến yêu cầu chính quy tối thiểu của bài toán

Tài liệu tham khảo chủ yếu của chương này là [1].

Ta cần bổ đề sau để sử dụng cho bổ đề xấp xỉ sau đó.

với điều kiện biên

 0 trên  c BR .

Bổ đề 4.3

Giả sử rằng u là nghiệm yếu của divAu  

 divf trong B1 với điều kiện

biên Neumann trên T1 và lấy C0 B1  là hàm cắt tiêu chuẩn mà 0   1.Khi đó:

B122 dx,B1

u2 dx  C f 2 dxB1 u 2

trong đó, hằng số C phụ thuộc vào các hệ số của A.

2Au.udx,I

Chọn  

klà nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên T5 của

 div Ak u k   divfk trên B5

và fk sao

k 1

(4.4)

u k  uk⇀ u0 trong H

 u

k 

là bị

 k 1

4Vì A  bị chặn nên có dãy con mà ta kí hiệu là

Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng u0 là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên T4 của

Để được như vậy, lấy 

 0 trên c

và bằng 0 ngoài

Khi đó,theo (4.4) ta có:

Bây giờ, ta mởBfkdx;

(4.12)

, nên A u

kk

và vì thế, ta có:

 h

 0

Nhưng điều này mâu thuẫn với (4.6) bởi (4.14).

Theo Bổ đề 4.5 và (4.15), tồn tại nghiệm trơn

Neumann trên T4 của div AB4vdivf trên B 4 sao cho:

với điều kiện biên

B4 u  v 2 dx 1 với

1B5 f 2  AB5 2 dx 1. (4.17)B

kiện biên Neumann trên T4 của

 divA  div f   A AB4vtrênB4 (4.18)

đó, từ định nghĩa nghiệm yếu, ta có

Theo Bổ đề 4.4, ta có đánh giá sau:

  B7 với

 2,

2với mọi r 0.

2  6n

dx   2;5 

(4.27)Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng:

Theo đánh giá này, (4.25), (4.22) và (4.19) ta có kết luận (4.20).

Phần tiếp theo của chương này gần giống như chương trước nên chỉ nêu rõ các điều sau mà không chứng minh, ngoại trừ Định lý 4.11.

Giả sử rằng u H1B7r là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên

của  divAu   divf trong B7r với 1 B A AB5r 2 dx   2

5

nếu x  B7 r :   

x  B

B x  Br

 

  0

  .

Định lý 4.12 [1]

Nếu u là một nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên

 div Au   divf trong B7

Cho số thực p với 1

với mọi  thỏa

. Tồn tại   

   p  0 sao cho với mọi A thỏa và L elliptic đều;

:,1 Lipschitz,

và với mọi f thỏa

f  Lp; Rn.

Nếuu là nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann trên 

Trường hợp p  2

được suy ra từ Định lý 4.12 và đánh giá phần trong (xem Chương 2) cùng với

có được khi ta lấy đối ngẫu.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận văn này đã trình bày một cách chi tiết các đánh giá về tính chính quynghiệm của một lớp các phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence vớihệ số không liên tục, cụ thể là phương trình với ma trận hệ số có nửa chuẩnBMO nhỏ Đồng thời cũng đạt được mục tiêu chính là tìm hiểu việc khảo sáttính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence trong đó đã đạtđược:

Mục tiêu thứ nhất: Tìm hiểu kỹ thuật chính quy nghiệm khi sử dụng Bổđề phủ Vitali của Byun.

Mục tiêu thứ hai: Tìm hiểu kết quả về tính chính quy nghiệm chophương trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục và có chuẩnBMO nhỏ.

Tuy nhiên, mục tiêu thứ ba: Định hướng chính quy nghiệm cho phươngtrình Stokes, vẫn chưa đạt được do thời gian chưa cho phép.

Tác giả cũng mong muốn sau này sẽ được nghiên cứu thêm để hoàn thiệnhơn về đề tài mà mình theo đuổi.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1, p

Regularity Theory Of

Elliptic And Parabolic Equations University of Iowa, Iowa city,

[2] L A Caffareli and X Cabre (1995) Fully nonlinear elliptic

equations, volume 43 of American Mathermatical Society ColloquiumPublication American Mathermatical Society, Providence, RI.

[3] L A Caffareli and I Peral (1998) On Westimaties for elliptic

equations in divergence form Comm Pure Appl Math, 51(1):1-21.

equations with discontinuous coefficients Boll Un Mat Ital A(7),

10(2): 409-420.

oscillation Comm Pure Appl Math, 14:415-426.

[6] Juba Kinnunen and Shulin Zhou (1999) A local estimates for

nonlinear equations with discontinuous coefficients Comm Partial Differential

Equations, 24:2043-2068.

[7] Norman G Meyers (1963) An Lp estimate for the gradient of

solutions of second order elliptic divergence equations Ann Scuola

Norm Sup Pisa(3), 17:189-206.

estimates Acta Mathematica Sinica, 2:381-396, 2003 Enghlish Series.

domains Bull Amer Math Soc, 4:203-207.