Chuyen de day so cap so toan 11 hay co dap an

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN PHẦN I: DÃY SỐ 1, Lý thuyết + Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số) + Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định tập m số nguyên dương (m số nguyên dương cho trước) dãy số hữu hạn + Dãy số tăng: (Un) dãy số tăng n�N* :U n1  U n + Dãy số giảm: (Un) dãy số giảm n�N* :U n1  U n + Dãy số bị chặn trên: (Un) gọi bị chặn  M cho U n �M,n�N* + Dãy số bị chặn dưới: (Un) gọi bị chặn  m cho U n �m,n�N* + Dãy số bị chặn: (Un) gọi bị chặn vừa bị chặn 2, Bài tập Dạng 1:Xác định số số hạng dãy số.Xác định số hạng tổng quát dãy số: Bài 1: Viết số hạng đầu dãy số (Un) biết: 3n2  a) Un= n (1)n b) Un= n8  sin(n ) c) Un= n -n d) Un= cosn  U1  U  � n  2,n�N* e) � U n  U n1  U n2 � Bài 2: Cho dãy số xác định: (Un)={1;2;-3;-4;5;6;-7;-8 } Thiết lập công thức cho số hạng tổng quát Un cho công thức phù hợp với số hạng ban đầu cho dãy: Giải : Gọi    phần nguyên số  (là số nguyên lớn không vượt  ) 1 1� � 3 1� �  1� �  1�  1� �  1� �  1� � � Khi đ?: � �=0; � �=0; � �=1; � �=1; � �=2; � �=2; � � �2 � � � � � � � � � � � � � 8 1� � =2; � �=3 �2 � n1� � �  số hạng dãy số thoả măn công thức Un= (1)� �2 � n U1  � n�N* Bài 3: Tìm số hạng tổng quát dãy số: � U n1  2U n � Giải: U1=3 U2=2U1=3.2 U3=2.U2=3.22 Dự đoán: Un=3.2n-1.Sau khẳng định quy nạp U1  � n�N* Xác định số hạng tổng quát Bài 4: Cho dãy số (Un) xác định : � U n1  U n  � Giải: Do Un=Un-Un-1+Un-1-Un-2+ +U2-U1+U1 =2 + + .2 +U1=2n+1 U 3 � �1 * Bài 5: Cho dãy số xác định � n�N Tính Un theo n U n1  U n � � U n U n1 U .U1  ( )n1.U1  n1 Giải: Do Un= U n1 U n2 U1 2 � U1  � n�N* Tìm Un theo n Bài 6: Cho dãy số xác định bởi: � U n1   U n �   Giải: U1=  2.cos  2.cos    U2=  U1   2.cos  2.cos  2.cos  Dự đoán: Un= 2.cos n1 Khẳng định công thức quy nạp Dạng 2: Xét tính tăng, giảm (bị chặn) dãy số Cách giải : Cách : Lập hiệu : U –U + Nếu U –U >0 n N  (U ) tăng + Nếu U –U 0 n N Lập tỉ số + Nếu >1 n N (U ) tăng + Nếu 0 n N Lập = ( 1+ ) Vì 1+  n N ( 1+ ) U  (U ) tăng Dạng 3: Xét tính bị chặn dãy số Phương pháp chung : Xác định số M, m thông qua đánh giá sử dụng biến đổi bất đẳng thức Bài 1: Xét tính bị chặn dãy số sau: a) U =3cos b) U = Bài 2: Cho dãy số (U) xác định n N a) CMR (U) bị chặn b) CMR (U) tăng  (U) bị chặn PhÇn II: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN 1, LÝ thuyÕt *Định nghĩa *Số hạng tổng quát Cấp số cộng + dãy số + U=U+d (n N, n 2) -d : công sai cấp số -d=const + U=U+(n-1)d Cấp số nhân + dãy số + U=Uq (n N, n 2) -q : công bội cấp số -q =const + U=U.q *Tính chất *Tổng n số hạng đầu + U= (k 2, kN) + S= + S= + U=U U (k 2, kN) + S= U 2, Bµi tËp A/ CẤP SỐ CỘNG: Dạng : Xác định cấp số cộng 1> Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Xác định công sai cấp số cộng đó? a) Dãy (a) xác định a=1, a=3+ a n b) Dãy (b) xác định b=3, b=b-n n c) Dãy (c) xác định c=c+2 n d) Dãy (d) xác định d=8n+3 2> Cho dãy số (U) xác định U=a, U=5-U n 1, aR; xác định giá trị a để (U) cấp số cộng Dạng 2: Xác định yếu tố cấp số cộng: d, U, U 1> Cho cấp số cộng (U) có U-U =9 U- U=153 Hãy xác định số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 2> Cho cấp số cộng (U) có d>0, U+U=11 U+ U=101 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng 3> Cho cấp số cộng tăng (U) có U+ U=302094 tổng 15 số hạng 585 Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng Dạng 3: Các tốn có liên quan đến tổng S 1> Cho cấp số cộng (U) có U+ U=90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu cấp số cộng 2> Cho cấp số cộng (U) có U+ U=42, U+ U=66 Hãy tính tổng 346 số hạng cấp số cộng Dạng 3: Các dạng tốn có liên quan 1> Tìm điều kiện tham số m để pương trình sau có nghiệm lập thành cấp số cộng: x-3mx+ 2(m-4)x+ 9m–m=0 HD: Giả sử phương trình có nghiệm x, x, x Vì nghiệm lập thành cấp số cộng nên x+x+x=3m -> x=m Thế x=m nghiệm phương trình ta m–m=0  + Với m=0 ta x=x=x=0 (loại) + Với m=1 ta x=-2,x=1,x=4 Kết luận m=1 2> Tìm điều kiện tham số để (C) : y=ax+ bx+ cx+d (a≠0) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng 3> Tìm điều kiện tham số m để phương trình x– 2(m+1)x+ 2m +1=0 có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng HD : Đặt t= x (t 0) Với điều kiện giả thiết ta tìm t=9t (t, t nghiệm phương trình ẩn phụ t) Áp dụng Viet ta tìm 4> Tìm điều kiện m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (C)=x-5x+4 A, B, C, D phân biệt mà AB=BC=CD 5> Tìm điều kiện m để (C) : y= x+2(2m+1)x-3m cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 6> Cho dãy số a, a,a, , a với n 3, thoả mãn điều kiện: + + + = CMR dãy số lập thành cấp số cộng B/ CẤP SỐ NHÂN: Bài 1: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 u6 = -486 Tìm số hạng công bội q cấp số nhân Bài 2: Tìm u q cấp số nhân (un) biết: Bài 3: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số có số hạng có tổng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài 4: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng 21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số lập thành cấp số nhân Tìm ba số Bài : Ba số lập thành cấp số nhân Nếu số hạng thứ hai cộng thêm ta cấp số cộng Sau cộng thêm với số hạng thứ ba ta lại cấp số nhân Tìm ba số ĐS: ; - ; Bài : Giả sử phương trình: x + ax + bx + c = có nghiệm x1, x2, x3 Chứng minh nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số nhân b3 = ca3 Bài :Độ dài cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh : Tam giác khơng thể có góc lớn 600 Bài 8:Với điều kiện số liên tiếp cấp số nhân độ dài cạnh tam giác Bài 9:Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = cosA + cosC Bài 10:Tính tổng: + 55 + 555 + \x\bo(555 5) Bài 11:Tìm m để phương trình : x3-(3m+1)x2+(5m+4)x-8=0 c? nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân C/ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH cos  cos3 x 1 (1�x �70) Tìm tổng nghiệm Bài 1: Cho: cos 2x  tan x  cos x phương trình Bài 2: Cho phương trình: x8 + ax4 + a4 = Tìm a để phương trình có nghiệm thực phân biệt lập thành cấp số cộng Bài 3: Cho phương trình: x13 + ax7 + ax4 = o Tìm a để phương trình có nghiệm thực phân biệt lập thành cấp số cộng Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 5: Với giá trị a b phương trình: x3 + ax + b = có nghiệm phân biệt khác lập thành cấp số cộng Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2m(m – 4)x + 9m2 – m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm cách Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3ax2 + 4a3 Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị điểm phân biệt A, B, C Với AB = AC Bài : Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + Tìm điều kiện a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị điểm phân biệt A, B, C Với B trung điểm AC Bài : Cho hàm số : y = x4 + ax2 + b Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng: 9a2 – 100b = Bài 10: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm với hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 11: Giả sử phương trình: x3 + ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2, x3 Chứng minh nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số nhân b3 = ca3 D/CẤP SỐ CỘNG,CẤP SỐ NHÂN VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A B C Bài 1:A, B, C góc tam giác Chứng minh rằng: Nếu: tan , tan , tan lập 2 thành cấp số cộng cosA, cosB, cosC lập thành cấp số cộng Điều ngược lại có không ? A B a b Bài 2: Trong tam giác ABC biết: tan tan  CMR :c  2 A B C Bài : Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có góc cho cot ,cot ,cot theo 2 thứ tự lập thành cấp số cộng cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Bài : a, b, c cạnh tam giác, thoả mãn điều kiện a < b < c lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng: ac = 6Rr Bài : Độ dài cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng 3r C A Chứng minh công sai cấp số cộng ( tan  tan ) 2 Bài 6: Số đo góc tam giác ABC lập thành cấp số cộng thoả mãn đẳng thức: 3 sinA + sinB + sinC = a Tính góc A, B, C b Biết nửa chu vi tam gíc 50 Tính cạnh tam giác Bài 7: Độ dài cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh : Tam giác có góc lớn 600 Bài 8: Trong tam giác ABC đặt a = BC, b = CA, c = AB Giả sử: 4A = 2B = C Chứng minh rằng: 1   a b c Bài 9: Với điều kiện số liên tiếp cấp số nhân độ dài cạnh tam giác Bài 10: Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = cosA + cosC cos A  cos B  cos C  E/ ÁP DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG Bài 1:Hãy biểu thị giá trị Sn theo n ( n �N * ) tổng sau: a Sn = + 2+ 3+ … + n b Sn = 12 + 22 + 32 + … + n2 c Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3 d Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1) e Sn = 1.2.3 +2.3.4+….+n(n+1)(n+2) 1    f Sn = 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 1    g Sn = 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n  2) 555 Bài 2: Tính tổng: + 55 + 555 + n E/ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân vấn đề lý thú, chúng có nhiều ứng dụng thực tế đa số học sinh lĩnh hội tốt khái niệm Trong viết ta đưa ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm cơng thức tổng qt vài dãy số đặc biệt Ta xét số toán cụ thể sau: Bài toán Dãy số (un) có tính chất: U = U +d n N gọi cấp số cộng có cơng sai d Tìm (un) theo u1 d Giải Ta có: U=(U – U)+ (U- U)+ +(U – U)+ U =d+d+d+ +d+ U =U+(n-1)d Bài tốn Tính tổng n số hạng cấp số cộng (un), cơng sai d Giải : Ta có : U+ U=U-d+ U+d= U+ U= = U+ U Với n=1,2,3 Vậy U+ U+ U + + U = [(U+ U)+(U+ U)+ +(U+ U)]= n(U+ U) Hay U+ U+ U + + U = [U+(n-1)d] Bài toán 3: Dãy số (U) có tính chất U= Uq, n  N gọi cấp số nhân có cơng bội q Tìm (U) theo U q Giải : Ta có : U = Uq= Uq= = Uq Bài toán : Tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân (U) công bội q ≠ Giải : Ta có : (1-q)(U+ U+ + U)= (U+ U+ + U)- (U+ U+ + U)= U- U = U- Uq = U(1- q)  U+ U+ + U= U Bài toán : Cho U=1, U=2 U +1 Tìm U Giải : Trong toán ta bị lúng túng khơng phải cấp số cộng hay cấp số nhân biết Vậy có cách để tìm U khơng ? Làm để số vế phải để cấp số nhân ? Ta viết lại : U+1=2(U+1) Và thấy thay U +1 = V (V) cấp số nhân Từ ta có : V = V =  U = -1 Bài toán : Cho U=1, U- U = n+1 Tìm U Giải : Ta viết : n+1=(n+1)[a(n+1)+b]-n(an+b) Đồng hệ số theo n ta tìm a=b=  U- (n+1)(n+2)= U- n(n+1) Đặt V= U- n(n+1)  V=1-1=0 Từ V = V n  V =0 hay U= n(n+1) Mặt khác U=(U- U)+(U- U)+ +(U- U)+ U, ta : n+(n-1)+(n-2)+ +2+1= n(n+1) Chú ý : Bằng cách làm tương tự ta tính tổng : S= 1+ 2+ + n Bài tốn : Tìm dãy (U) có tính chất U- U = (n+1) , n  N Giải : Ta viết : (n+1) =a[(n+1)– n]+ b[(n+1) - n]+ c[(n+1)-n] Cho n giá trị 0, 1, ta hệ phương trình a  b  c 1 � � 7a  3b  c  Giải hệ ta : a= ; b= ; c= � � 19a  5b  c  � Từ : U- (n+1)(n+2)(2n+3)= U – n(n+1)(2n+1) Đặt V =U – n(n+1)(2n+1) ta V = V n hay V = V n  U = n(n+1)(2n+1)+ V = n(n+1)(2n+1)+ U-1 U = (U – U)+(U- U)+ +(U- U)+ U= n+(n-1)+ + 2+ U Vậy n+(n-1)+ + 2+ 1= n(n+1)(2n+1) Bài toán : Cho U=1 ; U-3U=2 , n  N Tìm (U) Giải : Tìm số  cho = 2– 3 Ta  =-1 U + =3(U + ) Đặt V = U + ta : V =3 V , V =3  V = Vậy U = - Bài toán : Cho U=1, U= n  N Tính (U ) Giải : Từ giả thiết ta có : = +2 Đặt V= ta V = V +2, V =1  V =1+(n-1)2=2n-1  U = Bài toán 10 : Cho U =1, U =2, U-3U+2U=2n-1, n  N Tìm (U) Giải : Viết lại (U- U)- 2(U- U)=2n-1 Đặt V=U- U, ta : V-2V=2n-1=[-2(n+1)-1]-2(-2n-1)  V +2n+3=2(V +2n+1), V =1 Đặt W =V +2n+1 ta : W=2 W, W=V+3=4  W =  V= 2-2n-1  U – U = 2-2n-1  U – U = -(2n-1) U =(U – U)+(U – U)+ +(U- U)+ U= 2+ 2+ + 2-[(2n-1)+(2n-3)+ +3]+1 = 2–n-2 ... Chứng minh rằng: Nếu: tan , tan , tan lập 2 thành cấp số cộng cosA, cosB, cosC lập thành cấp số cộng Điều ngược lại có khơng ? A B a b Bài 2: Trong tam giác ABC biết: tan tan  CMR :c  2 A B... dài cạnh tam giác Bài 10: Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = cosA + cosC cos A  cos B  cos C  E/ ÁP DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN... dãy số xác định bởi: � U n1   U n �   Giải: U1=  2.cos  2.cos    U2=  U1   2.cos  2.cos  2.cos  Dự đoán: Un= 2.cos n1 Khẳng định công thức quy nạp Dạng 2: Xét tính tăng,