CHUYÊN đề dãy số bồi DƯỠNG HSG THPT CHUYÊN lý tự TRỌNG cần THƠ

Nếu với các số và trong dãy Farey nào đó với thì được gọi là mediant của và 3.. WWW .VIETMATHS.COMVô cùng bé, vô cùng lớn: Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùn

WWW VIETMATHS.COM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ

Lê Thanh Tú

WWW VIETMATHS.COM

WWW VIETMATHS.COM

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một trong nhữngvấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11 Dãy số là dạng toán khá phức tạp, cần rènluyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được Vì thế, dãy số thường xuất hiện trongcác kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tư duy của học sinh Do đó để có thểhọc tốt môn dãy số, ta cần luyện tập giải các bài toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm ranhững phương pháp hay để giải toán dãy số một cách hợp lý nhất

Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 đã tổng hợp và biên soạn một số vấn đề liên quanđến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên cứu về một dạng toán khá líthú

Chuyên đề gồm các phần:

:

1 Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số

2 Các dạng dãy số đặc biệt

3 Một số phương pháp xây dựng dãy số

4 Phương trình sai phân tuyến tính

5 Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn

WWW VIETMATHS.COM

PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐI)Các định nghĩa về dãy số:

Dãy số: là hàm số :f S  

S= 1;2;3; ; n đối với dãy hữu hạn.

S= đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 0

S= * đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 1

Với dãy f: S  

n f n( ).

Ký hiệu:    u n ; u ; với u n n = f(n).

Trong đó:

+u hay 0 u được gọi là số hạng đầu.1

+u được gọi là số hạng tổng quát n

+n được gọi là chỉ số của các số hạng

Dãy số có thể được cho theo các cách sau đây:

1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát:

VD: Cho dãy số  u với n 10

n

n u n





 2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi:

1)Dãy số tăng, dãy số giảm:

Dãy số (u ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có: n u n u n1

Dãy số (u ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: n u n u n1

Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi là dãy đơn điệu

VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: u n= n + (1

WWW VIETMATHS.COM

Dãy số (u ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số n M sao cho: n *,u n M

Số M nhỏ nhất được gọi là cận trên đúng của (u ).Ký hiệu sup n u n

Dãy số (u ) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số n m sao cho: n *,u n m

Số m lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của (u ).Ký hiệu inf n u n

Dãy số (u ) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn n

tại số m và số M sao cho  n * m u n M

VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: u n= (-1)n + cos n,   n +

Giải: u n= (-1)n + cos n,   n +;

Ta có: -1 cos n  1  -2 (-1)n + cos n  2

Vậy (un) bị chặn

Chú ý:

Mọi dãy số (u ) giảm luôn bị chặn trên bởi n u1

Mọi dãy số (u ) tăng luôn bị chặn dưới bởi n u 1

3) Dãy con và dãy tuần hoàn:

Dãy con:

Cho dãy (u n )   n +

Lập dãy (Vn ) với các số hạng: V k n1

, Vn2 ,… , Vn k

,…….

Trong đó dãy (nk) là các số tự nhiên tăng vô hạn

Dãy (Vn k

) được gọi là dãy con của (un)

Nhận xét: (un) là dãy con của chính nó với nk=k

VD: Cho dãy (un) xác định bởi:

1 1

CMR: dãy (u 2n+1 ) là dãy giảm và dãy (u 2n) là dãy tăng

Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy ra đpcm

Dãy tuần hoàn:

Dãy tuần hoàn cộng tính:

Dãy (u n) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi   l + sao cho u n+l = u n   n +

Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n)

Đặc biệt: (u n ) tuần hoàn cộng tính, chu kì l=1 là dãy hằng.

WWW VIETMATHS.COM

VD: Dãy số (u n) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6:1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,……

Dãy tuần hoàn nhân tính:

Dãy (u n) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi   l +, l>1 sao cho u n.l = u n   n +

Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n)





  và dãy (x n ) xác định bởi x n = u 1 u 2 u 3 …u n

a) CMR dãy (u n ) tăng, (x n) giảm

b) CMR x n= 2

2( 1)

n n

n

u

u u

CM: dãy (u 2n+1 ) tăng và dãy (u 2n) giảm

6) Cho k    CMR dãy (u\ n) xác định bởi:

WWW VIETMATHS.COMPHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT

Ví dụ:

Chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì theo thứ

tự cũng lập thành một cấp số cộng (giả sử )

WWW VIETMATHS.COM

Giải:

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

Tức là khi và chỉ khi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

Tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn:

1 CSN được gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội thỏa

2 Cho dãy số xác định bởi và với mọi Chứng minh

rằng dãy số xác định bởi với mọi là một cấp số nhân Hãy cho biết sốhạng đầu và công bội của cấp số nhân đó

Giải:

Từ công thức xác định dãy số và , ta có:

với mọi Từ đó suy ra dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội

4 Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất

và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân

1.1 Định nghĩa: Dãy xác định bởi:

được gọi là dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê:

Cho là dãy Fibonacci:

Số hạng tổng quát của dãy là:

Hệ quả:

a Khi thì:

b

a Nếu và là các số kề nhau trong dãy Farey với thì

b Nếu với nguyên dương và thì và là các số kềnhau trong dãy Farey bậc Max

c Nếu với các số và trong dãy Farey nào đó với thì ( được gọi là

mediant của và )

3 Dãy Lucas:

Định nghĩa: Dãy xác định bởi:

Dãy Lucas viết dạng liệt kê:

b Tính chia hết giữa các số Lucas

chia hết cho nếu m là số lẻ

c Mối liên hệ với các số Fibonacci:

1 Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

Hoặc tổng quát hơn là công thức sau:

WWW VIETMATHS.COM

Dãy được gọi là cấp số nhân cộng nếu như , ta có:

là các hằng số)Đặc biệt:

dãy là CSN công bội là

dãy là CSC công sai là

Dãy số thực:

Định nghĩa:

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ , trong đó là tập hợp số tự

nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó Khi đó thay

cho ta dùng kí hiệu

Nếu là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:

Ngược lại nó được xem là vô hạn:

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử dãy thường được ký hiệu:

với là phần tử thứ

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1

với là phần tử thứ

Ý nghĩa thực tế:

WWW VIETMATHS.COM

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu Các dữ liệu thuthập có thể gồm nhiều số từ Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (

), số thứ 2 ( ) và các số tiếp theo

Biên của dãy:

Cho dãy Tập hợp các giá trị của dãy:

được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự Ví dụ, cho dãy , có biên là {-1,1} Nó có 2 phần tử thay đổi là

1 và -1

Dãy số thực đơn điệu:

Định nghĩa

Cho dãy số thực với x n là các số thực Nó là

Tăng khi và chỉ khi ,

Giảm khi và chỉ khi ,

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ: với dãy

WWW VIETMATHS.COM

Suy ra là dãy tăng

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng

Ví dụ như cho dãy Xét hàm số:

với

Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:

Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi Điều này xảy ra với mọi , nên dãy là dãygiảm

Dãy số thực bị chặn:

Dãy bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại ở đó , Số được gọi là giá trị

chặn trên.

Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại ở đó , Số được

gọi là giá trị chặn dưới.

Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ: dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương

WWW VIETMATHS.COM

Giới hạn của một dãy số thực:

Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất

Cho dãy số thực và một số thực Khi đó nếu:

thì được gọi là giới hạn của dãy Khi đó ta cũng nói dãy hội tụ

Giới hạn của dãy thường được kí hiệu:

Hoặc

(khi )

Các định lý cơ bản

1 Nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn

2 Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn

WWW VIETMATHS.COM

Vô cùng bé, vô cùng lớn:

Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé Nếu :

thì dãy được gọi là vô cùng lớn Khi đó ta cũngviết:

Dãy tuần hoàn:

1 Dãy tuần hoàn cộng tính:

Dãy được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi sao cho

Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy

Đặc biệt: tuần hoàn cộng tính, chu kì là dãy hằng

2 Dãy tuần hoàn nhân tính:

Dãy được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi sao cho

Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy

nó bị chặn

Ví dụ: Cm dãy tuần hoàn cộng tính chu kì 2 khi và chỉ khi có dạng:

Giải:

PHẦN 03: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ

Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình

Có thể xây dựng dãy số hội tụ về một số xuất phát từ một phương trình có nghiệm là theo cáchsau:

WWW VIETMATHS.COM Ví dụ 1: Xét = , là nghiệm của phương trình 2=2 Ta viết lại dưới dạng và

ta thiết lập dãy số thỏa mãn Nếu dãy này hội tụ thì giới hạn sẽ là .Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dáy số tiến về căn bậc của như sau:

Cũng với giới hạn cần đến là , ta có thể xây dựng dãy khác theo “phong cách” như vậy:

Một cách tổng quát, ta có thể dùng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Newton để xây dựng các dãy

số Để tìm nghiệm của phương trình phương pháp Newton đề nghị chọn tương đốgần nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi:

Khi đó dãy sẽ dần đến nghiệm của phương trình

Ví dụ 2:Xét hàm số -2 thì = và ta được dãy số

Xây dưng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai

WWW VIETMATHS.COM

Chúng ta thấy, từ hai nghiệm của một phương trình bậc 2 có thể xây dựng ra các dãy truyhồi tuyến tính bậc 2 (kiểu dãy số Fibonacci) Tương tự như thế, có thể xây dựng các dãy truy hồituyến tính bậc cao từ nghiệm của các phương trình bậc cao Trong phần này, chúng ta sẽ đi theomột hướng khác: xây dựng các dãy truy hồi phi tuyến tính bậc nhất từ cặp nghiệm của phươngtrình bậc 2

Xét phương trình bậc 2: có hai nghiệm là và Xét một số thực bất

Từ đó suy ra dãy số thỏa mãn công thức truy hồi

Ví dụ chọn , ta có bài toán: Tìm công thức truy hồi của dãy số được xácđịnh bởi

Tương tự như vậy, nếu xét thì

Từ đó suy ra dãy số thỏa mãn công thức truy hồi

Ví dụ xét , là hai nghiệm của phương trình , ta được bài toán:Tìm công thức tổng quát của dãy số được xác định bởi Hoàn toàntương tự, có thể xây dựng dãy truy hồi phi tuyến dạng đa thức bậc 4,5 Bằng phép dời trục, ta cóthể thay đổi dạng của phương trình này

Nếu , là các số thực thì trong hai số có ít nhất một số có trị tuyệt đối lớn hơn 1, vì vậydãy số không hội tụ (trừ trường hợp hai nghiệm đối nhau và dãy là dãy hằng) Tuy nhiên, nếu chọn , là cặp số phức liên hợp có môđun nhỏ hơn hay bằng 1, ta có thể tạo ra các dãy tuần hoàn hoặc

nếu thì là dãy hằng; nếu thì

Dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n

Xét một phương trình =0 Nếu với mỗi n, phương trình =0 có nghiệm duynhất trên một miền nào đó thì dãy số đã được xác định Từ mối lien hệ giữa các hàm

a) Chứng minh dãy {xn} hội tụ

đủ Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < xn < 1 Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút đến mốiliên hệ giữa fn(x) và fn+1(x):

, trong khi đó fn+1(0+) > 0 Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0,

xn) có ít nhất 1 nghiệm của fn+1(x) Nghiệm đó chính là xn+1 Như thế ta đã chứng minh được xn+1 <

xn Tức là dãy số {xn} giảm Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn

Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0 Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộcsau: 1 + > ln(n)

(Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+ ) <

WWW VIETMATHS.COM

Thật vậy, giả sử lim xn = a > 0 Khi đó, do dãy số giảm nên ta có xn  a với mọi n

Do 1 +   khi n   nên tồn tại N sao cho với mọi n  N ta có 1 +

Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = 0

Bài toán 2 (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có đúng một nghiệmdương duy nhất

b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

Lời giải Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +) Dễ dàng nhận thấy 0 < xn

< 1 Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn Tương tự như ở những lời giải trên, ta xét

fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xn + … + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1

Vì ta đã có fn+1(1) = a10 + n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh axn + 1 < a là sẽ suy ra xn < xn+1 < 1.Như vậy, cần chứng minh xn < (a-1)/a Thật vậy, nếu xn  (a-1)/a thì

1 10

1 1

1 1

(do a – 1 > 1) Vậy dãy số tăng {xn} tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ

Nhận xét: Một lần nữa mối liên hệ fn+1(x) = xfn(x) + 1 lại giúp chúng ta tìm được mối quan hệ giữa

xn và xn+1 Từ lời giải trên, ta có thể chứng minh được rằng

lim xn = (a-1)/a Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1, theo tính toán ở trên thì

fn(c) – fn(xn) = kcn (với k = (a-1)((a-1)9 – 1) > 0)

Theo định lý Lagrange thì : fn(c) – fn(xn) = f’()(c – xn) với  thuộc (xn, c)

Nhưng f’() = (n+10)a10n+9 + nn-1 + …+ 1 > 1 nên từ đây suy ra: kcn > c - xn

Từ đó ta có : c – kcn < xn < c Và có nghĩa làm lim xn = c

Bài toán 3 (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình

WWW VIETMATHS.COM

Bình luận: Việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất xn > 1 là hiển nhiên Mối liên hệ

fn+1(x) = fn(x) + 1/((n+1)2x-1) cho thấy xn là dãy số tăng (ở đây

Nên từ đây |xn – 4| < 9/4n, suy ra lim xn = 4

Trong ví dụ trên (và trong phần nhận xét ở bài toán 3) chúng ta đã sử dụng định lý Lagrange đểđánh giá hiệu số giữa xn và giá trị giới hạn Ở ví dụ cuối cùng của bài viết này, ta tiếp tục nếu raứng dụng dụng định lý này trong một tình huống phức tạp hơn

Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình nghiệm nguyên

Một dãy truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên và các số hạng đầu đều nguyên sẽ chứa toàn

số nguyên, đó là điều hiển nhiên Thế nhưng có những dãy số mà trong công thức truy hồi có phân

số, thậm chí có cả căn thức nhưng tất cả các số hạng của nó vẫn nguyên, đấy mới là điều bất ngờ.Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúng có một mối quan hệ rất trực tiếp

Chúng ta hãy bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau: Chứng minh rằng với mọi số hạng của dãy

Chuyển về và bình phương công thức truy hồi, ta được

Thay n bằng n-1 ta được

Từ đây suy ra , là hai nghiệm của phương trình

Xét phương trình Giả sử phương trình có nghiệm không tầm thường

và ( là nghiệm cơ sở của phương trình Khi đó, nếu xét hai dãy

Từ hệ phương trình trên ta có thể tìm được

và như vậy đã xuất hiện hai dãy số nguyên đươc cho bởi một công thức không nguyên

số nguyên sau đây:

Cuối cùng, chú ý rằng ta có thể tạo ra một kiểu dãy số khác từ kết quả là hai nghiệm

Trên đây: Theo định lí Viete thì , suy ra

và ta có bài toán: Cho dãy số xác định bởi và Chứng minh rằng nguyên với mọi

Bài tập xây dựng hệ thống bài tập dãy số

Bài 1:Cho phương trình Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì

Giải

Bài 2:Dãy số {an } được xác định bởi a 1 > 0, a 2 > 0 và a n+1 = Chứng minh rằng dãy

số {a n } hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.

Giải

Xét dãy số {Mn} với Mn=max{an, an+1, 4}

 Nếu Mn=4 thì an, an+1 , suy ra an+2 , từ đó Mn+1=4

 Nếu Mn=an+1 thì an+1 an, an+1 Khi đó

Suy ra Mn+1 = max{an+1, an+2, 4} = an+1 = Mn

đó với mọi > 0, tồn tại N sao cho với mọi n N thì Chọn n N sao cho

Mn+2 = an+2 (theo các lập luận ở trên và do M > 4 thì tồn tại chỉ số n như vậy) Ta có

.Mâu thuẫn vì M > 4 và có thể chọn nhỏ tùy ý

Do đó , suy ra dãy đã cho cũng hội tụ tại 4

Bài 3:Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {an } xác định bởi a 0 = 1, 2 3 2 2

Bài 4:Cho dãy số {xn } xác định bởi x 1  (1, 2) và x n+1 = 1 + x n – Chứng minh rằng {x n } có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó

||

2

|

|221

|

|2

|

2 1

n n n

x x

x x

WWW VIETMATHS.COM

Tiếp theo ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 1 < xn < 3/2 với mọi n = 2, 3, … Từ đó, do

< 2 nên suy ra lim xn = 2

Chứng minh rằng a n +b n >2 ,

Giải

Ta có a2b2=(a1+1/b1)(b1+1/a1)=2+a1b1+1/a1b1 4

a3b3=(a2+1/b2)(b2+1/a2)=2+a2b2+1/(a2b2)>6

= 1 Thật vậy, giả sử a > 1 Khi đó xn  a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: xn  an > 3 và

Dễ thấy giá trị a, nếu tồn tại, là duy nhất Tương tự như ở bài toán 2, có thể chứng minh được rằng

xn ~ 1 + ln(3)/n Từ đó có dự đoán là a = 2 Định lý Lagrange sẽ giúp chúng ta đánh giá hiệu xn –

xn+1 và chứng minh dự đoán này

WWW VIETMATHS.COM

)3ln(

)(

lim

)3ln(

33)(

lim

)3ln(

3)(lim)(

lim

)3ln(

3)()

(

lim

)3ln(

3)1)(

1(

lim))(

(

lim

1 2

1 2

' 1 1

2

' 1 1 2

2 1

n

n n

n

n n n n

n

n n n

n

n n

n n

n n n

n

x x

n

x x

n

n

c P x

x

n

n

c P x x

n

x x

x n x

Dễ thấy các dãy này đều dương Ta sẽ chứng minh rằng:

Thật vậy, xét Mk, từ giả thiết ta có:

WWW VIETMATHS.COM

Từ đó suy ra và suy ra đpcm

PHẦN 04: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT:

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng:

u 1=  , au n+1 + bu n = f(n) n * (1), trong đó  , a 0, b0 là các hằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước.

Ta giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

 Giải phương trình đặc trưng: a  + b = 0 để tìm 

 Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng: au n+1 + bu n = 0

dưới dạng un

= c  n ( c là hằng số).

 Tìm nghiệm riêng u* ncủa phương trình không thuần nhất

 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1): u n = u* n + un

.

WWW VIETMATHS.COM Các phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 01:

Trường hợp 01: Nếu f(n) = P m (n) là đa thức bậc m đối với n.

Khi đó:

Nếu  1 thì ta chọn u*n = Qm(n) cũng là đa thức bậc m đối với n.

Nếu  1 thì ta chọn u*n =nQm(n) trong đó Q m (n) cũng là đa thức bậc m đối với n.

VD1: Giải phương trình sai phân:

Suy ra a=1, b=0 Vậy x* n = n còn xn

= C.15n ( với C là hằng số) và nghiệm tổng quát là: xn

= C.15 n + n, mà x  nên C = 7 Vậy phương trình có nghiệm: x0 7 n = 7.15 n + n.

VD2: Giải phương trình sai phân: 0

WWW VIETMATHS.COM

VD4: Giải phương trình sai phân:

0

1 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x n = (101 + n).7 n

Trường hợp 03: f(n) =  sinnx +  cosnx ( +  0; x  k ; k  ) Khi đó, ta chọn u* n = A.sinnx + B.cosnx với A; B  là các hằng số

VD5: Giải phương trình sai phân:

n

Thay vào điều kiện biên x0 = 1 ta được C = 0 Vậy

phương trình đã cho có nghiệm xn = cos

m k k

x



 trong đó xnk

tương ứng là nghiệmriêng của phương trình sai phân (1) với vế phải là ( )f n k

VD6: Giải phương trình sai phân:

0

2 1

WWW VIETMATHS.COM

Vậy ta chọn xn

= an 2 + bn + c + d.n.2 n Thay vào phương trình đã cho ta suy ra được: a = 1, b

= c = 0, d = 3 Vậy: x n = C.2 n + n 2 + 3n.2 n , mà x 0 = 17 ta được C = 17 và do đó nghiệm của phương

trình sai phân đã cho là: x n = 17.2 n + n 2 + 3n.2 n

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI:

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng:

u 1=  , u2 

, au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) n * (1), trong đó  ,  , a, b, c là các hằng số a 0, c

0 và f(n) là biểu thức của n cho trước.

Giải phương trình thuần nhất tương ứng

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) dưới dạng:

u n = u* n + un

.

Giải phương trình thuần nhất tương ứng:

au n+1 + bu n+1 +cu n = 0.

Giải phương trình đặc trưng: a  + b  + c = 0 (2) để tìm  2

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.

Trường hơp 01: Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt:  = 1,  = 2 thì:

WWW VIETMATHS.COM

n n,

n

u A B trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2

Trường hơp 02: Nếu (2) có hai nghiệm kép:  = 1= 2 thì:

2 2( ) ,n

n

u  A Bn  a b trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2

VD1: Giải phương trình sai phân: 0 1

2

 + 8  - 9 = 0  1 hoặc 9Suy ra n

n

x x = A + B.(-9)n

Mà x0 2;x18 nên suy ra A = 1; B = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: xn = 1 + (-9)n

VD2: Giải phương trình sai phân: 0 1

Giải: Ta tìm được 1= 2= 4 nên giải theo trường hợp 02.

Các phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 02 không thuần nhất:

au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) với vế phải có dạng đặc biệt.

f(n) = P k (n) là đa thức bậc k đối với n.

Khi đó:

Nếu phương trình đặc trưng (2) không có nghiệm  = 1 thì ta chọn x n

= Q k (n), trong đó

Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu (2) có nghiệm đơn  = 1 thì ta chọn x n = nQ k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu (2) có nghiệm kép  = 1 thì ta chọn x n = n 2 Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

VD3: Tìm một nghiệm riêng x n của phương trình sai phân:

2 4 1 5 12 8

WWW VIETMATHS.COM Giải: Phương trình đặc trưng:

2

 + 4  - 5 = 0   = 1 hoặc  = -5 ; f(n) = 12n + 8

Chọn x n = n(an + b) Thay vào phương trình đã cho ta suy ra: a = 1 ; b = 0

Suy ra phương trình đã cho có một nghiệm riêng là x n

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là x n = -n2 + 4n -10

Do đó phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:

x = Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số cần được xác định.

Nếu  một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta chọn x n

= nQ k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu  một nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) ta chọn x n = n 2 Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

VD5: Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau: