CHUYÊN đề dãy số bồi DƯỠNG HSG THPT CHUYÊN lý tự TRỌNG cần THƠ

WWW.VIETMATHS.COM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ NHÓM THỰC HIỆN: Bùi Tấn Phương Trần Mỹ Hoa Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh Trần Thị Thanh Huyền Lê Thanh Tú Nguyễn Anh Lộc Dương Minh Quân Bùi Tuấn Anh Tống Trung Thành Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh -1- WWW.VIETMATHS.COM -2- WWW.VIETMATHS.COM LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình tốn học THPT, tốn liên quan đến dãy số vấn đề quan trọng phần đại số giải tích lớp 11 Dãy số dạng toán phức tạp, cần rèn luyện, học tập thường xuyên giải nhanh tốt Vì thế, dãy số thường xuất kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả tư học sinh Do để học tốt mơn dãy số, ta cần luyện tập giải toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm phương pháp hay để giải toán dãy số cách hợp lý Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 tổng hợp biên soạn số vấn đề liên quan đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên để nghiên cứu dạng tốn lí thú Chun đề gồm phần: : Định nghĩa định lý dãy số Các dạng dãy số đặc biệt Một số phương pháp xây dựng dãy số Phương trình sai phân tuyến tính Dãy số vấn đề liên quan đến giới hạn -3- WWW.VIETMATHS.COM PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa dãy số: Dãy số: hàm số f : S → ¡ S= { 1; 2;3; ; n} dãy hữu hạn S= ¥ dãy vơ hạn bắt đầu số S= ¥ * dãy vô hạn bắt đầu số Với dãy f: S → ¡ n a f (n) Ký hiệu: ( un ) ; { un } ; với un= f(n) Trong đó: + u0 hay u1 gọi số hạng đầu + un gọi số hạng tổng quát +n gọi số số hạng Dãy sớ có thể được cho theo cách sau đây: 1)Cho dãy số bởi công thức số hạng tổng quát: VD: Cho dãy số ( un ) với un = n + 10 2n − 2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi: u1 = 20 VD:  un = 2un + 95( n ≥ 2) 3)Cho dãy số bởi phương pháp liệt kê phần tử VD: dãy 0;1;2;3;4;5;…… II)Tính chất: 1)Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng với n ta có: un < un +1 Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm với n ta có: un > un +1 Dãy số tăng hay dãy số giảm coi dãy đơn điệu VD: Xét tính đơn điệu dãy số sau: un= n + ( Giải: ∀n ∈ ¢ + Ta có: un+1- un= (1- n ) với ∀n ∈ ¢ + 1 > ⇒ (un) dãy tăng n ) + 2n+1 2)Dãy số bị chặn: -4- WWW.VIETMATHS.COM * Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: ∀n ∈ ¥ , un ≤ M Số M nhỏ gọi cận ( un ).Ký hiệu sup un * Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: ∀n ∈ ¥ , un ≥ m Số m lớn gọi cận ( un ).Ký hiệu inf un Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức tồn số m số M cho ∀n ∈ ¥ * m ≤ un ≤ M VD: Xét tính bị chặn dãy số sau: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ + Giải: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ +; -1 ≤ cos n ≤ ⇒ -2 ≤ (-1)n + cos n ≤ Ta có: Vậy (un) bị chặn Chú ý: Mọi dãy số ( un ) giảm bị chặn bởi u1 Mọi dãy số ( un ) tăng bị chặn bởi u1 3) Dãy dãy tuần hoàn: Dãy con: Cho dãy (un) ∀n ∈ ¢ + Lập dãy (V nk ) với số hạng: V n1 , V n2 ,… , V nk ,…… Trong dãy (nk) số tự nhiên tăng vô hạn Dãy (V nk ) gọi dãy (un) Nhận xét: (un) dãy với nk=k VD: Cho dãy (un) xác định bởi: 0 ≤ u1 < với ∀n ∈ ¢ +  un +1 = un (un − 1) CMR: dãy (u2n+1) dãy giảm dãy (u2n) dãy tăng Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy đpcm Dãy tuần hoàn: Dãy tuần hoàn cộng tính: Dãy (un) gọi tuần hồn cộng tính ∃l ∈ ¢ + cho un+l = un ∀n ∈ ¢ + Số l gọi chu kì sở dãy (un) Đặc biệt: (un) tuần hồn cộng tính, chu kì l=1 dãy -5- WWW.VIETMATHS.COM VD: Dãy số (un) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hồn với chu kì 6: 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…… Dãy tuần hoàn nhân tính: Dãy (un) gọi tuần hoàn nhân tính ∃l ∈ ¢ +, l>1 cho un.l = un ∃n ∈ ¢ + Số l gọi chu kì sở dãy (un) Bài tập: 1) Cho dãy (un) với un= n(n + 2) , n ∈ ¥ dãy (xn) xác định bởi xn= u1.u2.u3…un (n + 1) a) CMR dãy (un) tăng, (xn) giảm b) CMR xn= n+2 2(n + 1) 2) Dãy (un) xác định bởi: u1 = u2 = u3 = , ∀n ≥  un = un −1 + un −3 CMR: dãy (un) tăng ∀n ≥ 3) Xét tính bị chặn dãy un: un= (1+ n ) ∀n ∈ ¢ + n 4) Dãy (un) xác định bởi: 0 < un <   + CM: dãy (un) tăng bị chặn un +1 (1 − un ) > ∀n ∈ ¢ 5) Dãy (un) xác định bởi: u1 =  + un  u = n +  + un  với ∀n ≥ CM: dãy (u2n+1) tăng dãy (u2n) giảm 6) Cho k ∈ ¤ \ ¢ CMR dãy (un) xác định bởi: u0 =  u1 = −1 u = ku − u ∀n ∈ ¥ * n n −1  n +1 Khơng dãy tuần hồn -6- WWW.VIETMATHS.COM PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: Định nghĩa: Dãy gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi Số không đổi gọi cơng sai Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai Nhận xét: - Dãy ( xác định bởi: số thực) cấp số cộng Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: CSC có Chứng minh: … -7- WWW.VIETMATHS.COM Suy ra: Nhận xét: mà: (Thường dùng chứng minh CSC): Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số cộng đặt: Có Hay Chứng minh: Có Nhận xét: Ví dụ: Chứng minh theo thứ tự lập thành cấp số cộng tự lập thành cấp số cộng (giả sử Giải: -8- ) theo thứ WWW.VIETMATHS.COM theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tức theo thứ tự lập thành cấp số cộng Cấp số nhân: Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi Số khơng đổi gọi cơng bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội Nhận xét: - - ( Dãy xác định bởi: số thực khác không) cấp số nhân Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: CSN có -9- WWW.VIETMATHS.COM Chứng minh: … Suy ra: Nhận xét: mà: Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số nhân đặt: Có Chứng minh: Có Tổng số hạng CSN lùi vô hạn: CSN gọi lùi vô hạn công bội Dãy CSN lùi vơ hạn với cơng bội Có - 10 - thỏa WWW.VIETMATHS.COM giới hạn không hữu hạn, b > a > dãy phân kì tới +∞ Cuối b > 1− b a < , dãy phân kì tới −∞ 1− b Giải a) Ta có: n n k + 6k + 11k + (k + 1)(k + 2)(k + 3) − lim ∑ = lim ∑ x →∞ x →∞ (k + 3)! (k + 3)! k =1 k =1 n 1  = lim ∑  − ÷ x →∞ (k + 3)!  k =1  k ! 1 1 1 1 1 1  = lim  − + − + − + − + + − + − ÷ x →∞ 1! 4! 2! 5! 3! 6! 4! 7! ( n − 1)! ( n + 2)! n! ( n + 3)!   1 1 1  = lim  + + − − − ÷= x →∞ 1! 2! 3! ( n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!   n k + 6k + 11k + 5 lim = Vậy : x→∞ ∑ (k + 3)! k =1 b) Ta có : n lim ∏ x →∞ k =2 n k3 −1 ( k − 1)( k + k + 1) = lim ∏ k + x→∞ k = (k + 1)(k − k + 1) (k − 1)[(k + 1) − (k + 1) + 1] = lim ∏ x →∞ (k + 1)(k − k + 1) k =2 n  (2 − 1)(32 − + 1) (3 − 1)[42 − + 1] ( n − 1)[( n + 1) − ( n + 1) + 1]  = lim   x →∞ (2 + 1)(2 − + 1) (3 + 1)(32 − + 1) ( n + 1)( n − n + 1)   1.2.[(n + 1) − (n + 1) + 1] 2( n + n + 1) = lim = lim = x →∞ x →∞ 3( n + n) (22 − + 1) n( n + 1) 3 n k −1 = Vậy : lim ∏ x →∞ k =2 k + 1 k ∞ Bài 44 Cho dãy số ( xn ) với xk = 2! + 3! + 4! + + k + ! ( ) n x n + x n + + x n Chứng minh xlim 1999 →∞ Giải Ta có k +1 > ∀k ∈¥ ( k + 2) ! > xk > , ∀ k ∈ ¥ xk +1 − xk = ⇒ xk +1 - 130 - WWW.VIETMATHS.COM (k + 1) − 1 k Mặt khác k + ! = k + ! = k ! − k + ! ( ) ( ) ( ) 1 1 + − + + − 2! 2! 3! k ! ( k + 1) ! = 1− ( k + 1) ! ⇒ xn = − n n n n n Ta lại có x1999 < x1 + x2 + + x1999 < 1999 x1999 (*) Áp dụng xn = − k + ! vào (*) ta ( ) n n     n n n 1 − 2000! ÷ < x1 + x2 + + x1999 < 1999 1 − 2000! ÷     1   n ⇔ 1− < n x1n + x2n + + x1999 < n 1999 1 − 2000! 2000! ÷     1− Vì xlim →∞  n    ÷ = xlim  1999 1 − ÷÷ = − →∞ 2000!  2000!   2000!   n x n + x n + + x n Theo định lý kẹp ta xlim 1999 = − →∞ n x n + x n + + x n Vậy xlim 1999 = − →∞ 1 2000! 2000! Chú ý: Thay 1999 bởi 2003, ta có đề OLP sinh viên năm 2003 Ví dụ Tìm quy luật biểu diễn dãy số sau:1, -1, -1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55 Giải y = f(x) : -1 -1 11 19 29 41 55 ∆y : -2 10 12 14 ∆2 y : 2 2 2 2 Do sai phân cấp không đổi nên giá trị dãy cho bởi đa thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ Cho x = 0,1,2 ta được:  c =1  a =1    a + b + c = −1 ⇔ b = −3 4a + 2b + c = −1  c =   Vậy: Số hạng tổng quát dãy un = n2 -3n + 1, n = 0,1,… ,9 - 131 - WWW.VIETMATHS.COM n ∑x Ví dụ Tính x =1 Giải Ta có: ∆n (x3) = x3 – (x-1)3 = 3x2 -3x + n Do đó: ∑ (3x x =1 n − 3x + 1) =∑ ( x ) = n3 x =1 n n x =1 x =1 3 Suy ra: 3∑ x = n + ∑ x − n = n + n Vậy: ∑x = x =1 3n(n + 1) −n n(n + 1)(2n + 1) Ví dụ Tìm dãy số biết un = 7un-1 - 11un-2 + 5un-3 (1) , u0 = 0, u1 = 1, u2 = Giải Phương trình đặc trưng (1): λ − 7λ + 11λ + =  ( λ − 1) ( λ − ) = Như vậy: λ1 nghiệm bội λ2 nghiệm đơn Công thức tổng quát dãy: Với n = 0, 1, 2: −1  C1 = 16 C1 + C3 =      C1 + C2 + 5C3 = ⇔  C2 = C + 2C + 25C =   1  C3 = 16  n 3n -1 + Vậy: un = 16 ( Ví dụ ) Cho dãy số (an), n = 0, a0 = 20, a1 = 100, an + = 4an +1 + 5an + 20 (1), n = 0,1, 1, 2, … xác định Tìm số hạng tổng quát dãy Giải (1) khơng phương trình sai phân Đặt an = bn + c Khi đó: ( 1) ⇔ bn+ + c = ( bn +1 + c ) + ( bn + c ) + 20 ⇔ bn + = 4bn +1 + 5bn + 8c + 20 ( 2) Chọn 8c + 20 = ⇔ c = bn + = 4bn +1 + 5bn −5 (2) trở thành phương trình sai phân tuyến tính - 132 - bởi: WWW.VIETMATHS.COM  −1 có phương trình đặc trưng λ − 4λ − = ⇔ λ =  5 Công thức tổng quát bn = C1 5n + C2 ( −1) Lấy n = 0, 1: n 5   C1 + C2 = b0 = a0 + = 20 + 125 10 → C1 = , C1 =  6 5C − C = b = a + = 100 + 1  2 Suy ra: an = bn − 125 n 10 n = + ( −1) − 6  n+2 n  ( − 1) , n chaü = n +  ( − ) , n leû  n Ví dụ Tính ∑ sin ix i =1 Giải Ta có: 1 1 1 x    ∆ cos  k + ÷x = cos  k + ÷x − cos  k − ÷x = −2sin kx.sin 2 2 2    1  −∆ cos  k + ÷x 2  ⇒ sin kx = x 2sin  1 x  ⇒ ∑ sin kx = − ∆ cos  k + ÷x − cos ÷ =  x 2 2  k =1 2sin  n sin n +1 n x.sin x 2 x sin  x0 = a, y = b  Bài toán 1: Cho hai dãy ( xn ) , ( yn ) , n = 0,1, 2, thỏa:  xn = α xn−1 + β yn−1 y = γ x +δ y n −1 n −1  n Trong α , β , γ ,δ cho trước β δ > Xác định công thức tổng quát dãy Giải Ta có: - 133 - WWW.VIETMATHS.COM xn + λ yn = ( α + λγ ) xn −1 + ( β + λδ ) yn −1 γ ≠0 ∆ = ( α − δ ) + 4βγ > → ∆1,2 = α −δ ± (α −δ ) + 4βγ 2γ Ta chọn λ cho: β + λδ = ( α + λγ ) λ ↔ γλ + ( α − δ ) λ − β = (1) Theo giả thiết β δ > nên γ ≠ ∆ = ( α − δ ) + βγ > → (1) có nghiệm phân biệt ∆1,2 = α −δ ± (α −δ ) + 4βγ 2γ Khi đó: xn + λ yn = ( α + λγ ) ( xn −1 + λ yn −1 ) = ( α + λγ ) ( xn−2 + λ yn−2 ) = Suy ra: n xn + λ1 yn = ( α + λ1γ ) ( a + λ1b ) xn + λ2 yn = ( α + λ2γ ) n ( a + λ2b ) Do đó: n n α + λ1γ ) ( a + λ1b ) − ( α + λ2γ ) ( a + λ2b ) ( yn = λ1 − λ2 xn = λ1 ( α + λ2γ ) n ( a + λ2b ) − λ2 ( α + λ1γ ) ( a + λ1b ) n λ1 − λ2 α xn −1 + β Trong α , β , γ ,δ cho γ xn −1 + δ trước β δ > Xác định công thức tổng quát dãy  yn = α yn −1 + β zn −1 a (n = 0,1, 2, ) Giải Đặt   zn = γ yn −1 + δ zn −1 Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) , n = 0,1, 2, thỏa x0 = a, xn = Thì yn , zn xác định theo công thức ở toán và: yn −1 +β yn α yn −1 + β zn −1 zn −1 = = zn γ yn −1 + δ zn−1 γ yn −1 + β zn −1 y0 yn Ta có x0 = =a xn = z0 zn α Do - 134 - WWW.VIETMATHS.COM λ (α + λ2γ ) (a + λ2 ) − λ2 (α + λ1γ ) n ( a + λ1 ) xn = (α + λ1γ ) n (a + λ1 ) − (α + λ2γ ) n (a + λ2 ) xn−1 + α Ví dụ: Dãy (xn) thỏa x0 = a, xn = với αβ > β xn−1 + n Thì phương trình (1) ở toán trở thành βλ − α = ⇔ λ1,2 = ± α β Số hạng tổng quát dãy xn = λ1 (1 + λ2 β ) n (a + λ2 ) − λ2 (1 + λ1β ) n ( a + λ1 ) (1 + λ1β ) n (a + λ1 ) − (1 + λ2 β ) n ( a + λ2 )  u1 = 1, u2 = un + = 3un +1 − un Bài Cho dãy số (un) xác định bởi:  (n = 1, 2, ) Chứng minh với n = 1,2,… ta có bất đẳng thức: un + + un ≥ + un2+1 , ∀n = 1, 2, un Giải Trước hết ta cần đến nhận xét sau: Với n = 1,2,… ta có hệ thức: un + 2un ≥ un2+1 + (1) Ta thấy un > 0, un+1 > với n ≥ từ (1) suy ra: un + = un2+1 + un (2) un+2 > Mặt khác u1 = > 0; u2 = > nên từ (2) lập luận suy ra: un > với n = 1,2,…(dễ dàng chứng minh quy nạp) mà un + ≥ (AM-GM) un ⇒ u n + + un = un2+1 + u2 u2 + un = un + + n +1 ≥ + n +1 un u n un un Đó điều phải chứng minh Bài Cho dãy số (an) xác định bởi a0 = 2, an+1 = 4an + 15an2 − 60 Chứng minh số ( a2 n + 8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp với n = 1,2,3, Giải Từ giả thiết: an +1 − 8an an +1 + an + 60 = 2 Thay n bởi n − ta được: an − 8an −1an + an −1 + 60 = Trừ (1) cho (2) ta được: ( an +1 − an −1 ) ( an +1 − 8an + an −1 ) = 2 - 135 - (1) (2) WWW.VIETMATHS.COM Do dãy tăng nên: an +1 = 8an − an −1 Phương trình đặc trưng có dạng: t − 8t + = ( ) n Với hai nghiệm t = ± 15 Ta xác định công thức tổng quát dãy (an) ( an = + 15 ) +( 4− n 15 ) n ( a2n + 8) ln biểu diễn dạng tổng bình phương số Bây ta chứng minh nguyên liên tiếp Thật vậy, với n ≥ 1, ∃k ∈ ¥ để ( ) − ( − 15 ) = 15k ⇒  ( + 15 ) + ( − 15 ) ÷ = 15k   Hay ( + 15 ) + ( − 15 ) = 15k + 1 Do vậy: ( a + ) =  ( + 15 ) + ( − 5 aa + 15 n n n n 2n 2n 2n 2n 15 ) 2n + ÷ = 3k + = ( k − 1) + k + ( k + 1)  Ta có đpcm  x1 = 7, x2 = 50 Chứng minh x1996 M1997  xn+1 = xn + xn−1 − 1975 Bài Cho dãy (xn) xác định sau:  (T6/251) Giải Đặt xn = Vn + 1975 , ∀n ⇒ xn+1 = 4xn + 5xn-1 – 1975  Vn+1 – 4Vn – 5Vn-1 = Xét phương trình đặc trưng: x2 – 4x – =  x = -1 x = ⇒ Vn = a.(-1)n-1 + b.5n-1 Do ta được: ⇔ ⇒ Vn = - 2005 1747 n-1 (-1)n-1 , ∀n 12 24 ⇒ xn = - 2005 1747 n-1 1975 (-1)n-1 + 12 24 ⇒ x1996 = - 1747 1995 9935 + 24 24 = (-1747.51996 + 49675):120  120x1996 = - 1747(51996 – 1) + 1997.24 - 136 - WWW.VIETMATHS.COM Theo định lí nhỏ Fermat: 51996 ≡ (mod 1997)  51996 -1 ≡ (mod 1997) ⇒ 120x1996 M1997 mà (120,1997) = Vậy: x1996 M1997 (đpcm) Bài Cho dãy số Fibonacci (un): u0 = u1 = 1; un+2 = un+1 + un với n = 0,1,2,3,… Đặt f(n) = 1985n2 + 1956n + 1960 Chứng minh tồn vô hạn số hạng un dãy cho f(un) M1989 Giải Đặt h(n) = 4n + 33n + 29 ⇒ f (n) + h(n) = 1989(n + n + 1) Từ suy ra: f ( n) M 1989 ⇔ h(n)M 1989 v0 = −1; v1 = (n = 1, 2, ) vn +1 = + −1 Xét dãy (vn):  Nói khác đi, dãy dãy sinh bởi dãy Fibonacci thêm vào trước dãy Fibonacci số hạng -1, 1, Gọi ri phần dư phép chia vi cho 1989 (i = 0,1,2,…) Như ta có ≤ r ≤ 1988 Xét dãy cặp số sau đây: ( r0 , r1 ) , ( r1 , r2 ) , ( r2 , r3 ) , Vì số ri nhận 1989 giá trị Vậy cặp khác tối đa 1989 Từ theo ngun lí Dirichlet 19892 + cặp có hai cặp trùng Giả sử cặp là: ( r , r ) ,( r p p +1 p +α , rp +α +1 ) , p, α ∈ ¥ Điều có nghĩa là: rp = rp +α ; rp +1 = rp +α +1 Theo cách xác định dãy, ta có: v p −1 = v p +1 − v p ⇒ rp −1 = rp +1 − rp Tương tự, ta có: v p +α −1 = v p +α +1 − v p +α ⇒ rp −1 = rp +1 − rp Từ suy ra: rp −1 = rp +α −1 Tương tự, ta có: rp − = rp +α −2 ; … r2 = rα + ; r1 = rα +1 ; r0 = rα Từ r0 = rα , r1 = rα +1 +1 = + vn−1 suy ri = ri +α , ∀i = 0,1, 2, - 137 - WWW.VIETMATHS.COM Do vậy: r0 = rα = r2α = r3α = = rkα , ∀k ≥ 1, suy ra: h(vkα )1989 A + h(−1) = 1989 A Rõ ràng vkα , ∀k = 1, 2,3, số Fibonacci, suy có vơ số số hạng dãy Fibonacci thỏa đề Bài Chứng minh dãy Fibonacci có tính chất : a) Với i.j : ai+j = aiaj-1 + ai+1aj b) Với k, n: akn Man c) Hai số hạng liên tiếp nguyên tố Dùng tính chất , tìm USCLN u1998 u1960 Giải a) Ta chứng minh qui nạp Với i.j : ai+ j = aiaj-1 + ai+1aj (1) Giả sử j không đổi (j > 0) Với i = VT(1) = aj VP(1) = a0aj-1 + a1aj = aj (do ao = 0, a1 = 1) Giả sử (1) đến i = n Ta chứng minh (1) với i = n +  an +1 = an a j −1 + an +1 a j  a( n −1) + j = an −1 a j −1 + an a j Theo giả thiết quy nạp  Cộng theo vế lại an+l + a(n-1)+j = (an + an-j)aj-1 + (an + an+1)aj = an+1.aj-1 + an+2.aj Lại có an+1+l = an+l + a(n-1)+l Vì an+1+l = an+1.aj-1+an+2.aj hay (1) với k = 0,1,2,… Xét với i;j Với j = (1) với i Giả sử (1) với i j ≤ m Xét (1) với i j = m theo (1) suy đpcm b) Cố định n Với k = khẳng định hiển nhiên Giả sử khẳng định đến k = m tức amn Man Xét k = m + Ta có uk(m+1) = ukm+m Theo phần a) an(m+1) = anman-1 + anm+1an +Kết hợp giả thiết quy nạp suy an(m+1) Man Vậy khẳng định c) Kết hiển nhiên Theo a) u1988 = u1960.u27 + u1961.u28 (1) Đặt r = (u1988, u1960) suy u1988 Mr u1960 Mr Do u1988 u1960 chia hết cho u28 tính chất b) nên r ≥ u28 > (2) suy u1961, u28 Mr Theo c) (u1960, u1961) = mà u1960 Mr Vì u28 Mr hay u28 ≥ r (3) Từ (2) (3) suy ƯSCLN (u1998; u1960) = u28 = 317811 Các bổ đề tính tốn đề dựa công thức tổng quát dãy số Fibonacci: - 138 - WWW.VIETMATHS.COM  +   −     ÷ −  ÷ ÷  (n > 0)  ÷      n un = n ïì u = 3; u = 17 Bài Cho dãy số ( un ) xác định bởi: í u0 = 6u - u ( n >1) Chứng minh với n ïïỵ n n- n- 2 ta có ( un - 1) M2 thương số phương Giải Xét phương trình đặc trưng phương trình sai phân cho: éx = + 2 x - x +1 = Û ê ê ëx = - 2 ( ) ( n Do đó: un = a + 2 + b - 2 ) n Theo đề ta có: ìï ïï a = + 2 ïí ïï b = - 2 ïïỵ ( ( éa + b = Û ê3 + 2 a + - 2 b = 17 Û ê ë ( ) ( ) n +1 n +1 1 3+2 + - 2 Ta có: 2 n +1 n +1 é ù + 2 2 ú un - ê ú =ê ê ú 2 ê ú ë û ( Nên un = ) ( ( ) ) ) ) ( ) Ta chứng minh ( ) với v = n ( 3+2 ) n +1 ( - 3- 2 ) n +1 dãy số nguyên quy nạp 2 Với n = 0, v0 = số nguyên .Giả sử vk nguyên (k > 0) hay: v = k ( 3+2 ) k +1 ( - 3- 2 ) 2 k +1 Ta chứng minh vk+1 nguyên Thật vậy: v = k +1 ( +2 2) =3 ( k +1 ( 3+2 ) k +2 ( - 3- 2 ) k +2 2 ( - 3- 2 ) k +1 2 ( + 3+2 k +1 ) ( 3- = 3k +1 - Ck1+1 3k 2 + Ck2+1 3k - 2 - 2 ( ) k +1 Vì + 2 ) ( + 3- 2 Do + 2 k +1 ( ) ( ) ) k +1 = 3k +1 + Ck1+1 3k 2 + Ck2+1 3k - 2 + ( ) n +1 ( - 3- 2 ) ) n +1 ( ) có dạng 2 M (M nguyên) kết hợp giả thiết qui nạp ta vn+1 nguyên (đpcm) - 139 - WWW.VIETMATHS.COM Vậy với n ta có ( un - 1) M2 thương số phương  x1 = 7, x2 = 50 Chứng minh x1996 M1997  xn+1 = xn + xn−1 − 1975 Bài Cho dãy (xn) xác định sau:  (T6/251) Giải Đặt xn = Vn + 1975 , ∀n ⇒ xn+1 = 4xn + 5xn-1 – 1975  Vn+1 – 4Vn – 5Vn-1 = Xét phương trình đặc trưng: x2 – 4x – =  x = -1 x = ⇒ Vn = a.(-1)n-1 + b.5n-1 Do ta được: ⇔ ⇒ Vn = - 2005 1747 n-1 (-1)n-1 , ∀n 12 24 ⇒ xn = - 2005 1747 n-1 1975 (-1)n-1 + 12 24 ⇒ x1996 = - 1747 1995 9935 + 24 24 = (-1747.51996 + 49675):120  120x1996 = - 1747(51996 – 1) + 1997.24 Theo định lí nhỏ Fermat: 51996 ≡ (mod 1997)  51996 -1 ≡ (mod 1997) ⇒ 120x1996 M1997 mà (120,1997) = Vậy: x1996 M1997 (đpcm) Bài 28 Cho số nguyên a, b Xét dãy số nguyên ( an ) xác định bởi: a0 = a, a1 = b, a2 = 2b − a + ( n ≥ 1)  an+3 = 3an+ − 3a2+1 + an c) Tìm cơng thức tổng qt ( an ) d) Tìm tất số a, b để an số phương với n ≥ 1998 (VMO 1998 bảng B) Giải a) Phương trình đặc trưng: - 140 - WWW.VIETMATHS.COM ⇔ x − 3x + 3x − = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x =1 Công thức tổng quát dãy: n n n an = α ( 1) + β n ( 1) + γ n ( 1) với n = 0, 1, 2, … an = α + nβ + n 2γ Theo đề ta có: a0 = a α = a α = a    ⇒ α + β + γ = b ⇔ β = b − a − a1 = b a = 2b − a + α + 2β + 4γ = 2b − a + γ =    2 Vậy an = a + n ( b − a − 1) + n 2 b) Giả sử an = n + ( b − a − 1) n + a = u aaa ( n ≥ 1998, u > ) Từ đó: 4u = 4n + ( b − a − 1) n + 4a 4u =  2n + ( b − a − 1)  + 4a − ( b − a − 1) 2n + b − a − = v 2 Đặt  , ta có: d = 4u − v = ( 2u − v ) ( 2u + v ) 4a − ( b − a − 1) = d Với n đủ lớn v = 2n + b − a − > Nếu d ≠ 2u − v ≠ Và d = ( 2u − v ) ( 2u + v ) ≥ 2u + v ≥ v = 2n + b − a − 2 Với n đủ lớn d = số lớn v Do đó, d = 0, suy 4a = ( b − a − 1) ⇒ a phương Đặt a = t wwww ( t > 0, t ∈ N ) ⇒ 4t = b + t + − 2bt + 2t − 2b ⇔ b + t + − 2bt − 2t − 2b = ⇔ b − ( 2t + ) b + t − 2t +1 = ⇔ ∆ ' = ( t + 1) − ( t − 2t +1) = 4t 2 b1 = t + + 2t = ( t + 1) ⇒ b2 = t + − 2t = ( t − 1)  2 2 2 Đảo lại, với a = t , b = ( t + 1) an = n ( t + 1) − t − 1 n + t = n + 2tn + t phương 2 Với a = t , b = ( t − 1) an = ( n − t ) phương - 141 - WWW.VIETMATHS.COM a = t  2 Vậy an = u ⇔  b = ( t + 1)    b = ( t − 1) Bài 29 Cho dãy ( un ) u1 = u2 =  un2−1 + với n = 3, 4, 5, … xác định sau:  un = u n−2  Chứng minh số hạng dãy số nguyên Giải Xét bổ đề: Cho dãy ( un ) xác định bởi u1 = m , u2 = p , u3 = q (m, p, q > ) un + = un2+1 + c , ∀n ≥ un Trong c = mq − p Khi ( un ) dãy truy hồi tuyến tính cấp dạng un + = aun +1 − un Với a = Chứng minh: Ta có: c = unun + − un2+1 (1) Thay n bởi n – 1, ta được: c = un +1un −1 − un2 (2) Từ (1) (2) suy ra: ⇔ un +1un−1 − un2 = unun + − un2+1 ⇔ un +1 ( un −1 + un+1 ) = un ( un + + un ) ⇔ un −1 + un +1 un + + un = un un +1 Thay n bởi 1, 2, 3,……, n – 1, n – 2: u +u u +u q + m u3 + u1 = = = n −1 n +1 = n+ n p u2 un un − Suy un + = aun +1 − un Bổ đề chứng minh * Trở lại tốn, ta có: m = u1 = p = u2 = a= ⇒a= +1 = 12 + q = u3 = =3 3.1 − 12 = mq − p = , ta có: un = 4un −1 − un − Áp dụng bổ đề với c = Dễ thấy u1 , u2 ∈ ¢ nên u3 ∈ ¢ Bằng quy nạp tốn học, ta chứng minh dễ dàng un ∈ ¢, ∀n ∈ ¥ Vậy số hạng dãy cho nguyên - 142 - q+m p WWW.VIETMATHS.COM Bài 37  a0 = 1, a1 = 45 với n = 0, ,2, …  an + = 45an +1 − an Cho dãy (an ) xác định sau:  a) Tính số ước dương an2+1 − an an + theo n b) Chứng minh 1997 an2 + 4.7 n +1 số phương với n (VMO năm 1997)  a0 = 1, a1 = 45 với n = 0, 1, 2, …  an + = 45an +1 − an Giải a) Xét dãy số nguyên  Thử với n = 0, để dự đoán hệ thức: an2+1 − an an + = n +1 (*) Ta chứng minh hệ thức ∀n ∈ N phương pháp quy nạp toán học 2 * Với n = 0, a1 − a0 an + = 45 − 1.(45.45 − 7) = k * Giả sử (*) với n = k (k ∈ N ) , tức ta có: ak − ak −1ak +1 = Ta phải chứng minh (*) với n = k +1, tức chứng minh: ak2+1 − ak ak + = k +1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp hệ thức truy hồi, ta có: VT = ak2+1 − ak ( 45ak +1 − 7ak ) VT = ak2+1 − 45ak ak +1 + ak2 VT = (7 ak2 − ak −1 − ak +1 ) + (ak2+1 − 45ak ak +1 + ak −1ak +1 ) VT = 7(ak2 − ak −1ak +1 ) + ak +1 ( ak +1 − 45ak + ak −1 ) VT = 7.7 k + ak +1.0 VT = k +1 Vậy (*) ∀n ∈ N (*) ⇒ Số ước số dương an +1 − an an + ( n + 2) b/ Từ (*) có: an2+1 − an (45an +1 − an ) − n +1 = ⇔ an2+1 − 45an an +1 + an2 − n +1 = 0, ∀n ∈ N Điều chứng tỏ pt: x − 45an x + 7an2 − n +1 = có nghiệm nguyên nên: ∆ = (45an ) − 4(7 an2 − n +1 ) =1997a 2n + n +1.4 phả i làsốchính phương - 143 - WWW.VIETMATHS.COM MỤC LỤC Lời nói đầu Định nghĩa tính chất dãy số Một số dạng dãy số đặc biệt .6 Các phương pháp xây dựng dãy số 20 Phương trình sai phân tuyến tính .30 Dãy số vấn đề liên quan đến giới hạn 39 Bài tập tổng hợp .90 Tài liệu tham khảo 138 Mục lục 139 - 144 - ... môn dãy số, ta cần luyện tập giải toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm phương pháp hay để giải toán dãy số cách hợp lý Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 tổng hợp biên soạn số vấn đề. .. quan đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên để nghiên cứu dạng tốn lí thú Chun đề gồm phần: : Định nghĩa định lý dãy số Các dạng dãy số đặc biệt Một số phương pháp xây dựng dãy số Phương... WWW.VIETMATHS.COM * Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: ∀n ∈ ¥ , un ≤ M Số M nhỏ gọi cận ( un ).Ký hiệu sup un * Dãy số ( un ) gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: ∀n ∈ ¥ , un ≥ m Số m lớn gọi