Dãy phân số viết theo quy luật GV Nguyễn Minh Trí CHUN ĐỀ VÀI DẠNG TỐN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I Dạng 1: Tính tổng phân số Khi giải toán phân số, ta thường gặp tốn tính tổng mà tử mẫu phân số thường viết theo quy luật Nếu nhận biết quy luật chúng, ta tính tốn cách nhanh chóng Ví dụ 1: Tính tổng: 2 3.5 5.7 97.99 Ta nhận thấy phân số có tử khơng thay đổi hiệu hai thừa số mẫu Hơn nữa, thừa số cuối mẫu trước thừa số đầu mẫu sau Phương pháp chung để giải dạng toán ta sử dụng công thức tách: n 1 a b n a b n Ví dụ 2: Tính tổng: a) A 1 1 1.2 2.3 3.4 49.50 Ta nhận thấy = – = – = – = … = 50 – 49 Do ta biến đổi tổng sau: 1 50 49 A 1.2 2.3 3.4 49.50 50 49 1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 49.50 49.50 1 1 1 1 1 49 2 3 49 50 50 50 11 11 11 11 b) B 1.2 2.3 3.4 199.200 Ở câu b, ta thấy tử số hiệu hai thừa số mẫu số Nếu ta đặt 11 làm thừa số chung phân số lại dạng tổng câu a 11 11 11 11 1.2 2.3 3.4 199.200 1 11 199.200 1.2 2.3 3.4 B 1 1 1 1 11 199 200 1 2 3 199 2189 1 11 11 200 200 200 Ví dụ 3: Tính tổng: 1 1 A 3 3 Ta có: 1 1 A 3 3 3 1 A 3 Facebook: Giang Tử Minh Dãy phân số viết theo quy luật GV Nguyễn Minh Trí 1 1 A 3 3 Suy ra: 3A A 1 1 6560 1 6561 6561 6560 6561 3280 A 6561 2A Ví dụ 4: Tính tổng: A= A= Ta có A = A= A= A= = 81 Ví dụ 5: Tính A 1 1 1 2.5 3.5 3.7 4.7 19 10 19 A 10 2.3 2.3 3.4.7 3.4.7 10.19 9.10 19 A 19 2.3 3.4.7 10.19 A 1 2.3 3.4 10 A 1 1 1 3 10 A Ví dụ 6: Tính tổng: 4 4 4 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 41 1 1 1 1 1 M = 5 8 11 11 14 14 17 17 20 M Facebook: Giang Tử Minh Dãy phân số viết theo quy luật M = 41 20 M = Ví dụ 7: Tính A = 8400.( 1 5.9 + 9.13 + + + ) 13.17 17.21 21.25 4 4 4 = 2100.( + + + + + ) 1.5 5.9 9.13 13.17 17.21 21.25 1 1 1 1 1 1 = 2100.( – + – + – + – + – + – ) 5 9 13 13 17 17 21 21 25 1 24 = 2100.( – ) = 2100 = 2016 25 25 Ví dụ 8: Tính: 1.5 + GV Nguyễn Minh Trí 2.4 4.6 6.8 48.50 = ( ) 2.4 4.6 6.8 48.50 1 1 1 1 1 25 24 = ( ) ( ) ( ) 2 4 6 48 50 2 50 50 50 50 Ví dụ 9: Cho A = 1 1 1 1 B = 1.2 3.4 5.6 2015.2016 1008 1009 1010 2016 Tính B – A Ta có : 1 1 1 1 1 ) 2( ) = (1 + 2015 2016 2016 2016 1 1 = 1009 1010 1011 2016 A = Do : B – A = 1008 Ví dụ 10: Tính tổng 10 10 10 10 56 140 260 1400 10 10 10 10 5 5 5 3 3 56 140 260 1400 28 70 130 700 4.7 7.10 10.13 25.28 51 = 28 28 14 Ví dụ 11: Tính: 1 1 10 40 88 154 1 1 1 1 1 1 20 3 ( ) 3 ( ) 5 8 11 11 14 14 A 3 Các toán tương tự: Facebook: Giang Tử Minh Dãy phân số viết theo quy luật 2 2 2 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15 7 7 b) 10.11 11.12 12.13 69.70 1 1 + c) 25.27 27.29 29.31 73.75 a) GV Nguyễn Minh Trí e) 15.18 f) 25.27 g) 15 90.94 32 32 32 + + + + 197.200 8.11 11.14 14.17 II Dạng 2: Tính tích phân số Ví dụ 1: Tìm tích 98 số hạng dãy: + + + 18.21 21.24 87.90 + + + + 27.29 29.31 73.75 + 15 + 15 + + 15 146.150 98.102 94.98 + d) 1 1 1 ; ; ; ; 24 15 35 Ta viết lại số hạng dãy: 25 16 36 ; ; ; ; 24 15 35 22 32 42 52 62 hay ; ; ; ; 99 Số hạng thứ 98 có dạng: 98.100 Gọi A tích 98 số hạng dãy: A= (2.3.4.5 99).(2.3.4.5 99) 2 32 99 = (1.2.3.4 98).(3.4.5.6 100) 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 99 99 = = 100 50 Ví dụ 2: Tính nhanh: 2011 1 1 1 A 1 1 1 1 2012 2012 2012 Ở ví dụ trên, ta thấy cần tính số ( ) ta nhận quy luật phân số dãy 12 22 32 992 99 1.2 2.3 3.4 99.100 100 100 C 1 1 1 1 1 1 1 10 15 21 28 36 1 1 1 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 10 18 28 40 54 70 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 12 B Các toán tương tự: a) 22 32 42 992 1.3 2.4 3.5 98.100 b) 12 22 32 992 1.2 2.3 3.4 99.100 Facebook: Giang Tử Minh Dãy phân số viết theo quy luật 1 c) 1 1 1 2014 2015 GV Nguyễn Minh Trí 1 1 1 d) 1 1 1 1 1 4000 5000 III Dạng 3: Tìm x Ví dụ 1: CMR: Với n ta ln có: 1 1 = n 1 66 176 (5n 1)(5n 6) 5n Biến đổi vế trái ta có: 1 5 5 1 1 = 66 176 (5n 1)(5n 6) 1.6 6.11 11.16 (5n 1)(5n 6) = 1 - - - 6 11 11 16 5n 5n 1 5(n 1) n = 1 = VP đpcm = = 5n 5n 5n Ví dụ 2: Tìm x biết: 20 20 20 20 a) x= 11.13 13.15 15.17 53.55 11 20 20 20 20 x= 11 11.13 13.15 15.17 53.55 2 x= 10 11 53.55 11.13 13.15 15.17 1 1 1 x= 10 11 53 55 11 13 13 3 1 1 x= 10 = =1 11 11 55 11 11 b) 1 2 = 21 28 36 x( x 1) 2 42 56 72 x( x 1) 1 1 1 1 x x 1 6 7 8 6 x 1 1 1 x 18 x + = 18 x = 17 1 1 c) x x x x 1 2.3 3.4 4.5 49.50 1 x 1 49.50 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 x. 49 50 2 3 4 5 Facebook: Giang Tử Minh Dãy phân số viết theo quy luật GV Nguyễn Minh Trí 1 x 50 24 50 x x 50 24 Các toán tương tự: a) 1 101 5.8 8.11 x x 3 1540 1 1991 1 x x 1 : 1993 1 1 c) x 2 2013 12 2012.2013 13 21 31 43 57 73 91 d) x 10 12 20 30 42 56 72 90 b) IV Dạng 4: So sánh Ví dụ 1: CMR: 1 1 a) A = < 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Ta có: 2 2 A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 1 1 1 = 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 189 = 189 = 1.2 19.20 380 760 189 189 Mà A < 760 756 b) B = 36 36 36 36