CHUYÊN đề dãy số

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI THIỆU MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi Số khơng đổi gọi cơng sai ÷ u1 , u2 , , un Ký hiệu Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai b) Nhận xét: Dãy xác định bởi: (là số thực) cấp số cộng c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt: CSC có Nhận xét: mà: (Thường dùng chứng minh CSC): Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số cộng đặt: Có Hay Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số không đổi Số không đổi gọi cơng bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội b) Nhận xét: q= u u2 u3 = = = n u1 u2 un −1 Dãy xác định bởi: (là số thực khác không) cấp số nhân c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt: CSN có Nhận xét: mà: Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số nhân đặt: Có II BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP u1 = 11  un +1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ N ( un ) Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho xác định : Xác định số hạng tổng Hướng dẫn giải Ta có: u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + un = 10 n + n ( 1) Dự đoán: Chứng minh theo quy nạp ta có ( 1) u1 = 11 = 101 + , công thức với n =1 ( 1) Giả sử công thức với n=k ta có uk = 10k + k uk +1 = 10 ( 10k + k ) + − k = 10 k +1 + ( k + 1) Ta có: ( 1) Cơng thức với n = k +1 un = 10n + n ∀n ∈ N Vậy , ( un ) Ví dụ Cho dãy số xác định bởi: u1 = (n ∈ N , n ≥ 1)  un +1 = 15un − 14n + un Tìm Giải: Giải Ta có f(n) = - 14n + đa thức bậc nhất, λ = 15 ≠ nên ta chọn u*n = an+b Thay vào phương trình cho ta được: a(n+1) + b= 15 (an+b) – 14n +1 un0 = qλ n Suy a=1, b=0 Vậy u*n = n ( với q số) nghiệm tổng quát là: u1 = un = q.15n + n , mà nên q = Vậy : un = 7.15 n + n ( un ) Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt dãy số Giải: f(n)= - 2n - đa thức bậc nhất, λ xác định bởi: = nên ta chọn u*n = n(an + b) Thay vào ta được: (n + 1)[a(n + 1) + b] = n (an + b) – 2n – un = q − n , mà u1 = 99 ⇒ u1 = 99 (n ≥ 1)  un +1 = un − 2n − ⇒ a = -1 ; b = ⇒ u*n = - n2; un0 = q ⇒ q = 99 Vậy un = 99 – n2 DẠNG 2: SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN (un ) Ví dụ 1: Cho dãy số biết u1 = −2  un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un = 3un −1 − ⇔ un − = un − Đặt 1 = 3un −1 − ⇔ un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 1 −5 ⇒ v1 = u1 − = 2 (1) ⇒ = 3vn −1 , ∀n ≥ q =3 (vn ) Dãy cấp số nhân với công bội = v1.q n −1 = Nên un = + Do −5 n −1 −5 n −1 = + , ∀n = 1, 2, 2 ( un ) Ví dụ 2: Cho dãy số un tổng quát theo n u1 = 1; un +1 = un , ∀n ∈ ¥ * 2un + xác định bởi: Tìm công thức số hạng Hướng dẫn giải un +1 = un > 0, ∀n ∈ ¥ * Ta có Khi = n∈¥ , * Với đặt un 1 ⇔ = 2+ 2un + un +1 un ⇒ v1 = 1; +1 = + 2, ∀n ∈ ¥ * un ( ) Suy ra, dãy số Do đó, v1 = cấp số cộng có cơng sai = v1 + ( n − 1) d = 2n − 1, ∀n ∈ ¥ * d = 1 = 2n − un = Vậy u1 = 1; un +1 = 2un + 3n , ∀n ∈ ¥ * (un ) Ví dụ 3: Cho dãy số un tổng qt theo n xác định bởi: Tìm cơng thức số hạng Hướng dẫn giải Với n∈¥* , ta có un +1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = 2(un − 3n ) +1 = 2vn = un − 3n , ∀n ∈ ¥ * (vn ), Xét dãy số với Ta có: q=2 −2 nhân có công bội số hạng đầu (vn ) Do đó, dãy số cấp số = v1.q n −1 = −2n Suy un = + 3n = 3n − n Vậy DẠNG 3: SỬ DỤNG CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Cho dãy số(un) xác định sau: tan a) Chứng minh: π = −1 u1 =   un + − un +1 = − ( − 1)un  (∀n ≥ 1, n ∈ ¥ ) u2015 b) Tính: Hướng dẫn giải π π π π  = tan = tan  + ÷ =  8  − tan π ⇔ tan π + tan π − = 8 tan a) Ta có:  π  tan = − ⇔  tan π = − − ⇒ tan π = −  8 tan (Vì π dương) π = tan(a + π ) u2 = π − tan a.tan tan a + tan u1 = = tan a b) Đặt , ta có: π π tan(a + ) + tan 8 = tan( a + π ) u3 = π π − tan tan( a + ) 8 Ta chứng minh: , π un = tan( a + (n − 1) ), ∀n ≥ 1, n ∈ ¥ (*) n = u1 = tan a Với : Giả sử (*) với Ta có: π π tan(a + (k − 1) ) + tan uk + − 8 = tan( a + k π ) uk +1 = = − ( − 1)uk − tan( a + ( k − 1) π ).tan π 8 Vậy (*) với Cho n = k k ≥1 , , hay ta có: π uk = tan( a + (k − 1) ) n = 2015 n = k +1 , ta có: Vậy π un = tan( a + (n − 1) ), ∀n ≥ 1, n ∈ ¥ π 3π 3π u2015 = tan(a + 2014 ) = tan( a + + 251π ) = tan( a + ) 4 π −1 π = tan(a − ) = = ( − 1) = tan +1 Ví dụ 2: Cho dãy số xác định sau: u1 =  u = un + −  n +1 + − u n  ( Hướng dẫn giải ) ( n∈¥ ) * u2014 Tính π π − tan π π π  = −1 = − tan = tan  − ÷ = 12   + tan π tan π + 3 tan Ta có: π 12 un +1 = π − un tan 12 un + tan Nên từ giả thiết ta có: π 12 = tan  α + π  u2 =  ÷ π 12   − tan α tan 12 tan α + tan = tan α ⇒ u1 = tan α Đặt , suy Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: π   un = tan  α + ( n − 1) ÷, ∀n ∈ ¥ * 12   π  π   u2014 = tan  α + 2013 ÷ = tan  α + 168π − ÷ 12  4   Suy ra: π tan α − tan π   =1 = tan  α − ÷ =  + tan α tan π  ( un ) Ví dụ 3: Cho dãy số u1 = Giải: Ta có π π 2π = cos ; u2 = 2cos − = cos 3 un = cos Dự đoán xác định bởi:  u1 = (n ≥ 1)  u = 2u − n  n +1 2n −1.π , ∀n ≥ Chứng minh phương pháp quy nạp thấy ; un Tìm BÀI TẬP: ( un ) Bài : Cho dãy số a) c) xác định Tìm số hạng tổng quát dãy u1 =  un +1 = 3un − 6n + u0 =   n  un +1 = 5un − ; b) u1 =  un +1 = un + n ; d) ; u0 =   n  un +1 = 2un + n + ; ( un ) Bài : Cho dãy số xác định Tìm số hạng tổng quát dãy un + − 5un +1 + 6un = 8un + − 6un +1 + un = n b) a) un + − 3un +1 + 2un = 5n + 2n3 + 3n + un + − u n+1 + 2un = n c) d) Bài Cho dãy (xn) xác định sau:  x1 = 7, x2 = 50   xn+1 = xn + xn−1 − 1975 Tìm x2016 un Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số( a)  u1 =  u = 2u − n  n +1 b) ) cho u1 =    un +1 = 2un − ; c)  u1 =  u = 4u − 3u n n  n +1 BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn dãy - Một số tốn khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = 2017; un −1 = n2 ( un−1 − un ) với n ∈ ¥ * , n ≥ Tìm giới hạn dãy số ( un ) Lời giải: Từ công thức truy hồi dãy ta       1    un = 1 − ÷un −1 = 1 − ÷1 − u = = − − ÷  ÷ 1 − ÷u1 n −  ÷ 2   ÷ ÷  n   n   ( n − 1)   n   ( n − 1)    un = ( n + 1) ( n − 1) ( n − ) n 4.2 3.1 2017 = n + 2017 n2 2n ( n − 1) 32 22 Do Từ ( un ) Ví dụ 2: Cho dãy số Tính xác định sau:  u12017 u22017 un2017  lim  + + + ÷ u3 un +1   u2 u1 =   un +1 2017  u = + un , ∀n ∈ ¥ , n ≥  n Lời giải: un +1 = + un2017 ⇔ un +1 = un + un2018 ⇔ un +1 − un = un2018 un Ta có: u 2017 1 ⇔ − = n un un +1 un +1 Suy ra: lim un = un2017 u12017 u22017 1 + + + = − = 1− u2 u3 un +1 u1 un +1 un +1 lim un = +∞ ⇒ lim Ta chứng minh cho  u12017 u22017 un2017  lim  + + + ÷= u3 un +1   u2 Vậy: =0 un 2017 un Ví dụ 3: Cho dãy số xác định sau: u1 =    2n + ( ∀n ∈ N ; n ≥ 1) un +1 = un + n  lim un Tìm ( un ) Lời giải: Ta thấy dãy số un2+1 + dương nên từ giả thiết ta có: 2(n + 1) + 2n + = un2 + n −1 n 2 = un2 + Đặt: 2n + ; ∀n ≥ 2n −1 un = − +1 = = = v1 = thì: 2n + 2n + = − n −1 ; ∀n ≥ ⇒ lim un = n −1 2 Suy ra: Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định : lim Tính  u1 =    u * n un +1 = , ∀n ∈ N un +   2017(u1 + 1)(u2 + 1) (u n + 1) 1009n Lời giải: un +1 = u1 > ⇒ un > 0, ∀n ∈ ¥ * Do Ta có un 1 ⇔ − = ⇒ un = un + un +1 un n +1      n+2 n+2 ⇒ ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) =  + 1÷ + 1÷  + 1÷ = =     n +  n + Suy  2 2017 1 + ÷ 2017 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2017 ( n + )  n  = 2017 lim = lim = lim 1009n 2018n 2018 2018 lim Vậy 2017 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2017 = 1009n 2018 BÀI TẬP LUYỆN TẬP ( un ) Cho dãy số lim ĐA : xác định bởi: un = n2 A = lim , với n∈¥ lim * Tính un n2 ( un ) Cho dãy số u1 =  u2 = u = 2u − u + n +1 n  n+2 : u1 =  un  un+1 = u + , n = 1, 2,3, n  ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) ĐA u1 = 2020   un + = 2un +1 − un + n = lim A = lim Tính n+1 =1 n ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) n ...2 Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi Số không đổi gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ... qt để tìm giới hạn dãy - Một số toán khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = 2017; un −1 = n2 ( un−1 − un ) với n ∈ ¥ * , n ≥ Tìm giới hạn dãy số ( un ) Lời giải:... TỔNG QT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP u1 = 11  un +1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ N ( un ) Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho xác định : Xác định số hạng tổng