Chuyên đề dãy số ôn hsg

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ A - DÃY SỐ Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Dãy số u : *   n  u (n) Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* un 1 1 u n  un+1 – un > với  n  N*  với n  N* ( un > 0)  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N* un 1 1 u n  un+1 – un< với  n  N*  với n  N* (un > 0) Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* B - CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) Số hạng tổng quát: un u1  (n  1)d Tính chất số hạng: uk  Tổng n số hạng đầu tiên: với n  uk   uk 1 với k  Sn u1  u2   un  n(u1  un ) n  2u1  ( n  1)d  2 = DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  Dãy số (un ) cấp số cộng  un 1  un d không phụ thuộc vào n d công sai  Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng  a  c 2b  Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu công sai Do đó, ta u thường biểu diễn giả thiết tốn qua d DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng  a  c 2b C - CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) n Số hạng tổng quát: un u1.q với n  2 Tính chất số hạng: uk uk  1.uk 1 với k  với q 1  S n nu1  n  S  u1 (1  q ) với q 1  n 1 q Tổng n số hạng đầu tiên: DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: un 1 q un  Dãy số (un ) cấp số nhân không phụ thuộc vào n q công bội  Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân  ac b  Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu cơng bội Do đó, ta u thường biểu diễn giả thiết toán qua q  DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:  a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân  ac b II – CÁC VÍ DỤ Phương pháp quy nạp tốn học Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp: n n 1  (n  1) n , n  N , n 3 Giải: - Với n 3 : Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 81  64 (đúng) - Giả sử bất đẳng với số tự nhiên k tùy ý ( k 3 ), tức là: k k 1  (k  1) k Ta chứng minh bất đẳng thức cho với n k  , tức k 2 k 1 chứng minh (k  1)  (k  2) (1) Thật vậy: k k 1  (k  1) k  Từ giả thiết quy nạp, ta có: k k 1 1 (k  1) k Do đó, để chứng minh (1), ta cần chứng minh: (k  1)k 2  (k  2) k 1 (k  1) k 2 Ta có:   (k  1)  k k 1 (k  1) k (2) k k 1 k 1  (k  2)  (k  1) k    k (k  2)  k (k  1) k 1 k 1   k (k  2)  k 1  (k  2k  1) k 1  (k  2k ) k 1 Suy (1) đúng, hay bất đẳng thức cho với n k  (đúng) Vậy bất đẳng thức cho với số tự nhiên n thỏa mãn n 3 n n 1 Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n, số  chia hết cho n 2 không chia hết cho Giải: n Đặt An =  Với n = A0 =  = chia hết cho 31 mà không chia hết cho 32 k Giả sử Ak =  chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (Ak = B.3k+1, với B ngun, khơng chia hết cho 3) Ta có: k 1 Ak+1 = Ak+1  k   23   Ak Ak2  23 k     23k  k   23    k  23   = B 3k 1   B 3k 1   23  = 3k 2  B3 32k 1  B 23  k k k k 1 Dễ thấy B chia hết cho mà B 2 không chia hết cho (vì B khơng chia hết cho k 2 k 1  23 không chia hết cho 3) nên B Suy Ak+1 chia hết cho 3k+2, khơng chia hết cho 3k+3 Tìm số hạng tổng quát dãy số n * Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un  , n   Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n Giải: n n 1 n * Với n   , ta có: un 1 2un   un 1  2(un  ) Xét dãy số (vn ), với un  3n , n  * Ta có: vn1 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội Suy v1.q n n q 2 số hạng đầu   2n n n Vậy un vn  3  u1 11  u 10u n   9n, n  N Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:  n 1 Tìm cơng thức tính un theo n Giải: Ta có: u1 11 10  u 10.11   102 100  u 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán: un = 10n + n (1) Chứng minh: Với n = 1, ta có: u1 = 11 = 101 + Cơng thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta có: uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) với n = k+1 Vậy un = 10n + n, n  N Ví dụ 5: Tìm cơng thức tổng qt dãy số thỏa mãn: Giải: u1 1  un 1 3un  6n  u vn  3n Thay vào công thức truy hồi dãy  un  , ta được: v  Đặt dãy n cho: n vn1   n  1 3   3n   6n   1 3vn  v1 u1     v 3vn  2, n 1  Suy xác định bởi:  n 1 v  yn  1, n 1 Thay vào công thức truy hồi dãy   , ta y  Đặt dãy n cho n y  3  yn  1   yn 1 3 yn được: n 1 y v     công bội q 3 y  Suy n cấp số nhân với số hạng đầu 1 yn  3.3n   3n   3n  n Vây un    3n Bình luận: Đối với dãy số này, ta thấy có dạng phương trình sai phân bậc Vì vậy, ta khéo léo đặt dãy số phụ để đưa dãy số cấp số nhân Ví dụ 6: Cho dãy số (un) với un + = a.un + b, n 1 , a, b số thực dương cho trước Với n 2, tìm un theo u1, a, b n Giải: " n ³ 1, un+1 = aun + b Þ un+1 - un = a (un - un- ), " n ³ v = un+1 - un , n ³ Þ = avn- , n ³ Suy (vn ) cấp số nhân có cơng bội Đặt n a n- v = (a - 1)u1 + b Ta có: " n ³ 1, = v1.a ; Vậy ta có: " n ³ 2, un = (un - un- ) + (un- - un- ) + + (u2 - u1) + u1 = v1 (a n- + a n- + +1) + u1 = u1.a n- + b( a n- + a n- + +1) 3 n4  * u1 1; u n 1   un   , n  N un   2 n  3n   Ví dụ 7: Cho dãy số xác định bởi: Tìm cơng u thức số hạng tổng quát n dãy số theo n Giải: * Với n   , ta có: n4 )  2un 1 3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 2un 1 3(un  3 3 ) 3(un  )  un 1   ( un  ) n2 n 1 n2 n 1  2(un 1  Dãy số (vn ), un   3    2 n 3 q v1  n  cấp số nhân có cơng bội 1 3  1    , n  *  un     n 1    2 n , n  * u1 4  2un  u  , n 1 n   un  u    n Ví dụ 8: Cho dãy số thỏa mãn: Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số cho (Đề thi HSG tỉnh Quãng Ngãi năm học 2018 – 2019) Giải:  Nhận xét: un 0 với n  N u 4  n   u u un n  n Ta có: 1  Đặt un 1 1  Do đó: 1 1  1   2vn , v1 1  1  1  2vn 2    2 2  , ta được: 1 1 1    2    22      2n  v1   2 2 2    3 1  2n   2n   2 hay 2 Suy Vậy un  3.2 n  Bình luận: Đối với dãy số này, ta thấy u n nằm mẫu thức nên, ta chuyển dãy số ẩn phụ nghịch đảo Ví dụ 9: Cho dãy số  un  u1 4   un1 9 un    2un xác định bởi:   n  N * Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số Giải: Đặt xn   2un , n  N * , ta có xn 0 xn2 1  2un , n  N * xn2  un  hay Thay vào giả thiết, ta được: xn21  1  xn2   2     xn   xn21  xn2    xn   xn 1   xn   9  n  N * (do xn 0 , n  N * ) hay 3n1 xn1 3n xn  4.3n , n  N * Suy ra: 3xn 1 xn  n * n Đặt yn 3 xn , n  N , ta có: yn 1  yn  4.3 , n  N Từ yn1  y1   3n  3n    3 , n  N * * n 1 hay yn 1  y1   2.3 n Theo cách đặt, ta có: x1 3  y1 9  yn 3  2.3 Suy ra: xn 2  , n  N * , n  N * n 1  un    n  n  , n  N * 2 3  Do đó: Bình luận: Cái khó dãy số chứa Tuy nhiên bậc Do vậy, đặt thức dãy số phụ Tổng số hạng dãy số Ví dụ 10: Tìm số hạng tổng qt tính tổng 100 số hạng dãy số định  un  xác u1 2013, un 1 2un  1, n 1 Giải: Ta có: un+1 =2(un +1)−1 ⇔ un+1 =2(un +1)−1 ⇔ un+1 +1=2(un +1 ) v =u +1 , n≥1 , ta có dãy { v n } cấp số nhân với v =u1 +1=2014 , n n Đặt công bội q = Ta có: S n =u1 +u + +u100 =( v 1−1 )+( v 2−1 )+ +(v 100 −1) = q100 −1 (v +v + +v100 )−100=v −100=2014 (2100 −1)−100 q−1 99 ⏟.9 Ví dụ 11: Tính tổng S = + 99 + 999 + …+ 50 so Giải: Ta có: S = + 99 + 999 + …+ 9.9…9 = (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + … + 1050 – 50 = 10 + 102 + 103 + …+ 1050 – 50 Với S50 = 10 + 102 + 103 + …+ 1050 tổng 50 số hạng đầu cấp số nhân có u = 10, cơng bội q = 10 1050−1 10 ( 50 ) 10 = 10 −1 10−1 Suy ra: S50 = 10 ( 1050−46 ) Khi đó: S = S50 – 50 = Bình luận: Các số hạng chuyển hiệu nhận thấy có cấp số nhân dễ dàng  a   (n  N,n 2)  a n  a n  2n.a n    Ví dụ 12: Cho dãy số (an) xác định sau:  Tính tổng: S a1  a   a 2016 (Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn năm học 2015 – 2016) Giải: b n  b1 2 a a  0,  n  n n Ta có nên đặt a n an   b n b n   2n  b n n  n  1 2n.a n   an  Suy ra: Vậy: 1   n(n  1) n n  S a1  a   a 2016  2015 2016 Ví dụ 13: Một bóng cao su thả rơi từ độ cao h = 18 m Sau lần chạm đất, bóng lại nảy lên cao độ cao lần rơi trước Giả sử bóng rơi nảy theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài quãng đường bóng di chuyển từ lúc thả đến lúc không nảy (Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2018 – 2019) Giải: h1  h Tiếp theo bóng rơi xuống Sau lần chạm đầu tiên, bóng nảy lên độ cao h2  h1 h quãng đường Lần chạm thứ hai bóng nảy lên rơi xuống quãng đường h2 … Cứ đến lần chạm đất thứ n bóng hn  hn nảy lên đến độ cao rơi xuống quãng đường hn q h , h , h , , h n cấp số nhân lùi vô hạn với công bội Ta thấy dãy