Tải Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

Häc sinh th­êng ¸p dông sai c«ng thøc tÝnh giíi h¹n cña tæng vµ tÝch c¸c d·y sè... Chøng minh d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn hoÆc gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi..[r]

Phần Một số vấn đề nguyên lý Quy nạp toán học Dãy số I.Phương pháp quy nạp toán học

Sau ba dạng ngun lí quy nạp tốn học thường dùng những bài toán THPT.

1 Định lí 1 Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự

nhiªn nn0

Nếu: 10 P(n0) mệnh đề

20 Nếu P(k) P(k+1) với số tự nhiên kn0

Khi mệnh để P(n) với số tự nhiên nn0

VÝ dô Cho d·y số (un) xác đinh bởi: un = n2

CMR tồng n phần tử dÃy tính: ( 1)(2 1)

n

n n n

S   

Chứng minh Với n = Đẳng thức

Giả sử ĐT với n = k ( k ≥ 1), tức có: ( 1)(2 1)

k

k k k

S   

Ta chứng minh ĐT với n = k+1, tức CM:

( 1)( 2)(2 3)

k

k k k

S     

ThËt vËy Ta cã 2

1

( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2 3)

( 1) ( 1)

6

k k

k k k k k k

S  S  k     k    

Vậy ĐT với số nguyên dương

2 Định lí 2 Cho p số nguyên dương dãy mệnh đề: P(1), P(2), …, P(n),… Nếu: 10 P(1), P(2), …, P(p) mệnh đề

20 Với số tự nhiên k p mệnh đề P k( p1), P k( p2), , P k( )

đúng, suy mệnh đề P(k+1) Khi mệnh để P(n) với số nguyên dương n

Ví dụ Cho v0 2,v13 với số tự nhiên k có đẳng thức: vk1 3vk2vk1

CMR: vn 2n1

- Giả sử với số tự nhiên k2 mđ với n = k n = k –

Tøc lµ cã:

1

2k 1, 2k

k k

v   v    

-Ta chứng minh mđ với n = k +

TV Theo CT truy håi 1

1 3(2 1) 2(2 1) ( )

k k k

k k k

v  v  v          dpcm

Vậy toán chứng minh

3 nh lớ 3 Cho dãy mệnh đề: P(1), P(2), …, P(n),… Nếu: 10 P(1) mệnh đề

20 Với số tự nhiên

1

k mệnh đề P(1), P(2), , P k( ) đúng, suy mệnh đề P(k+1)

Khi mệnh để P(n) với số nguyên dương n Dạng quy nạp mạnh dạng thứ hai bước quy nạp

Ví dụ Cho dÃy số (un) xác đinh bởi:

* *

1

1

, ,

 n    

n n

U x n N x N U Z

x

CMR (un ) lµ d·y số nguyên

Chng minh Vi n = mệnh đề hiển nhiên

Giả sử với số tự nhiên từ đến k, uk số nguyên Ta CM uk+1 nguyên

TV 1

1 1 1

1 1

( )( ) ( )

 

             

k k k

k k k k k k

u x x x x u u u Z

x x x x

II Một số vấn đề dãy số.

2.1 Dãy số tăng, giảm (đơn điệu)

§N D·y số (un) gọi dÃy tăng với *

nN ta cã un < un+1 D·y sè (un) gọi dÃy giảm với

*

nN ta cã un > un+1

Dãy số tăng dãy giảm gọi chung dãy đơn điệu 2.2 Dãy bị chặn

§N +) DÃy số (un) gọi dÃy bị chặn trên, tồn số M cho

*

,

  

n

u M n N

+) Dãy số (un) gọi dãy bị chặn dưới, tồn số m cho

*

,

  

n

u m n N

+) Dãy số (un) gọi dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho *

,

 n   

m u M n N

*

( M 0 :un M, n N )

2.3 Giíi h¹n d·y sè

ĐN 1 Dãy số (un) có giới hạn với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Ta viết lim(un) = limun = un

Cách phát biểu giúp học sinh hình dung dãy số có giới hạn cách thuận lợi hơn, nhiên định nghĩa khó diễn đạt chứng minh số định lý giới hạn Do xin trở lại định nghĩa trước đây:

ĐN 2 Ta nói dãy số (un) có giới hạn với số dương  bất kỳ, tồn tại

số nguyên dương N cho *

n

n N , n N | u |

      Ta viÕt lim(un) = hc limun = hc un ĐN 3 Ta nói dÃy số (un) có giới hạn lµ sè thùc L nÕu lim(un – L) =

Ta viÕt lim(un) = L hc limun = L un L ĐN 4

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn - với số âm tuỳ ý cho trước, mọi số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số dương đó. Định lí 1 Cho hai dãy số (un) (vn)

NÕu | un|  víi n limvn = limun = Định lí 2 Nếu | q| < lim qn = 0.

Định lí 3 Giả sử lim un = L Khi đó:

a) lim | un| = | L | vµ

3

n

lim u  L

b) NÕu un với n L lim un  L

Định lí 4 Giả sử lim un = L, lim = M c số Khi đó: lim(un vn)LM lim( )u vn n L M

n

lim(c.u )c.L lim n 

n

u L

v M M

Định lí 5 NÕu lim |un| = + th×

n

1

lim

u 

Vận dụng kết trên, ta chúng minh định lý sau: Định lí 6.(Điều kiện cần) Một dãy số có giới hạn bị chặn.

Định lí 7 (Duy nhất) Một dãy số có giới hạn giới hạn Định lí 8 (Giới hạn kẹp) Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) thỏa mãn:

0 *

1 vn un wn, n N

0

2 limvn limwn A th× lim un = A

Ta thừa nhận định lí sau

Định lí 9 (Điều kiện đủ- Định lí Waiesstras)

Một dãy tăng bị chặn có giới hạn Một dãy giảm bị chặn có giới hạn

2.4 CÊp sè céng

Định nghĩa Cấp số cộng dãy số, đó, kể từ số hạng thứ hai số hạng tổng số hạng liền trước với số không đổi gọi cơng sai Tính chất Cho cấp số cộng ( un) cơng sai d,

*

 n N ta cã:

0

1

1 un und; un u (n1) d

0

1

2

2

n n n

u u

u 







 

0

1 1

3 ( ) ( 1)

2

n n n

n n

S u u  u  u u  u  n d

2.5 CÊp sè nh©n

Định nghĩa Cấp số nhân dãy số, đó, kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng liền trước với số không đổi gọi cơng bội Tính chất Cho cấp số nhân ( un) cơng bội q, ta có:

1

1 un u qn ; un u q n

1

2 un  u un n

1

1

3 ; ( 1)

1 n

n n

q

S u u u u q

q



     

 Tỉng cđa cÊp sè nh©n vô hạn công bội q (q <1)

1

1

lim lim ( 1)

1 n

n

u q

S S u q

q q



   

 

III Một số dạng toán dãy số thường gặp.

1 Chứng minh dÃy số tăng, giảm, bị chặn, dÃy cã giíi h¹n.

2 Chøng minh d·y sè lËp thành cấp số cộng, cấp số nhân, tính chất cấp số. 3 Tìm công thức tổng quát dÃy sè.

4 Chøng minh d·y sè cã giíi h¹n tìm giới hạn dÃy số.

Phần áp dụng giải toán I Chứng minh dÃy số tăng, giảm bị chặn. Bài 1.1 Cho d·y (un):

1

1,

2 ,

n n n

u u

u u  u  n

 

 

  



CMR: *

,

2

 

   

 

n n

u n N

Gi¶i

ở tốn un cho cơng thức truy hồi, tính theo un-1 un-2 ta vận dụng ngun lí quy nạp thứ hai để chứng minh

- Với n = 1, n = mệnh đề

- Giả sử mđ với n = k – 1, n = k ( k >1), tức có:

1

5

,

2

n n

n n

u u

 

   

   

   

- Ta chứng minh mđ với n = k + TV Ta có:

1

1

5 5

2

2 2

 

 

     

        

     

n n n

n n n

u u u (đpcm)

Bài 1.2 Cho dÃy (un):

1

*

1 3( 2)

,

2( 1) 2( 1) 

 



 

  

  

 n n

u

n n

u u n N

n n

a) CM dÃy số bị chặn b) CM dÃy số tăng

Giải

Đây toán không khó dự đoán dÃy số bị chặn số thích hợp nhất? Ta xuất phát từ yêu cầu thứ hai toán:

Có:

(3 )( 2)

0

1

n

n n n

u n

u u u

n



 

    



a) Ta CM quy nạp theo nguyên lí thứ nhất: *

3,

  

n

u n N

- Giả sử mđ với n = k có:

1

3( 2) 3( 2)

3 2( 1) 2( 1) 2( 2) 2( 1)

k k

k k k k

u u

k k k k



 

    

   

- Vậy mđ với n = k +1 b) Theo phần (a) có:

(3 )( 2)

n

n n

u n

u u

n



 

  



Bµi 1.3 Chøng minh d·y un (1 1)n

n

  dÃy tăng bị chặn Giải

+) Ta chøng minh *

3,

  

n

u n N

- Với n = 1, n = BĐT hiển nhiên - Với n ≥ 3, ta chứng minh BĐT phụ sau đây:

2

1

(1 )k k k , k:1 k n (1)

n n n

      

TV – Với k = 1, BĐT

- Giả sử (1) với k (1kn1), tức :

2

1

(1 )k k k

n n n

   

Khi đó:

2 2

1

2

1 1 1

(1 )k (1 )(1 )k (1 )(1 k k ) k k k k

n n n n n n n n n

  

           

Mặt khác dễ dàng CM:

2 2

2

( 1)

k k k k

n n n

 

 

2

2

1 ( 1)

(1 )

1 ( 1)

k k k

n n n

  

    

  Vậy BĐT với k + KL BĐT (1) với số nguyên dương k, (1kn)

-) Víi k = n ta cã :

2

1

(1 )n n n

n n n

    

+) Chøng minh dÃy tăng

ỏp dng BT Cauchy cho n + số dương không đồng thời nhau, ta được:

1

1 1

1 (1 ) (1 ) (1 ) (n 1)n (1 ) n

n n n n



         

1 *

1

1 1

1 (1 ) (1 ) (1 ) ,

1

 



           

 

n n n

n

n n

u u n N

n n n n

Bài 1.5 Xét tính đơn điệu, bị chặn dãy số sau:

1

*

2

1 1

,

2 

 



 

 

 

n n

u u

u n N

1

*

2

2 ,



 

 

  



 n n

u

u u n N

Gi¶i

10 Bằng quy nạp ta chứng minh (un) dãy giảm bị chặn

II Công thức tổng quát dÃy số. Bài 2.1 Cho d·y (un):

1

1

2,

3 ,

n n n

u u

u  u u  n

 

 

  



CMR

2 

 n 

n

u Tính Sn Giải

Quy nạp Với n =1; n = §óng

Giả sử mđ với k-1 k (k > 1), ta chứng minh mđ với n = k +

ThËt vËy: Cã 1 2

1 1, 1 3(2 1) 2(2 1) 4.2

    

              

k k k k k k

k k k

u u u

Mệnh đề chứng minh

Khi đó:

1 (1 2) (1 )

n n

n n

S u u  u          n

Bµi 2.2 Cho d·y (un):

1

*

2

,

1 

  

 

  

 



n n

n

u u

u n N

u

a) CMR: *

0,

  

n

u n N

b) Đặt n n

n

u v

u



 CMR n

3

v n, n

2

  

c) T×m CTTQ tÝnh u ,Sn n u1u2 u n

Gi¶i a) Chøng minh b»ng quy n¹p

- Với n = mđ

- Giả sử mđ với n = k ( k 1), tức uk 0.Khi 0,1

1 k

k k k

k

u

u u u

u



     

 - Vậy mđ với n = k +1

b) Ta cã: 1

1 n

n n n n n

n

u

u u u u u

u

       

1

1

1

1

1

n n n n

n n

n n n n

u u u u

v v

u u u u

 



 

  

      

1 ( )

n n n

v  v v

   CSC công sai d = -1, 1

1

1 1

2

u v

u

  

  



1

1

( 1) ( 1)( 1)

2

n

v v n d n n

         

Tõ 1

1 n

n n

n n

u

v u

u v n

 

   

 

Bµi 2.4 Cho d·y (un):

1

1

1,

2 2,

n n n

u u

u  u u  n

 

 

   



CMR:

( 1)

  

n

u n T×m Sn ?

Giải - Hiển nhiên công thức với n = 1, n =

- Giả sử công thức với n = k - 1, n = k tức: 2

1 ( 2) 1; ( 1)

      

k k

u k u k

Khi đó: 2 2

1 2 2[( 1) 1] [( 2) 1] [( 1) 1]

                 

k k k

u u u k k k k

Vậy công thức với n = k +

Khi đó: 2 ( 1)(2 1)

( 1) ( 2)

6

n

n n n

S  n  n   n   n

Chú ý: Nếu toán yêu cầu chứng minh un1 số phương cách làm hoàn toàn

Bµi 2.5 Cho d·y (un):

1

1

3,

3 1,

n n n

u u

u  u u  n

 

 

   



CMR:

1

1

2

1 



      

 n

n n

q

u v n n

q TÝnh Sn ?

Giải Quy nạp: Giả sử:

1 ( 1) 4;



         

k k

k k

u k u k

1

1 1 3[ 4] 2[ 3] 8.2 ( 1)

  

 

un  un un    k  k   k  k   k    k k  k 

Bµi 2.6 Cho d·y (un):

*

0

1

, ,

2

 



   

 n n

n

u

u u n N

u n T×m CTTQ cđa un?

Gi¶i - NÕu u0 0un 0, n N

- Nếu u0 0 Bằng quy nạp ta chứng minh un 0, n N Khi đó:

1

2

1

2

n

n n n

u

u u u

 



Đặt

1

2

n n n n

n

v v v v

u 

  CSC công sai d

0

0

1

2

2

n n

n

u

v v nd n u

u v n u

       

III T×m giíi h¹n cđa d·y sè.

Nếu dãy số cho CTTQ ta thường sử dụng phương pháp tính giới hạn dãy số để tính Trong nhiều trường hợp ta phải biến đổi CTTQ dạng đơn giản hơn trước tính giới hạn

Một số phương pháp tính giới hạn dãy số: - Nhân liên hợp, giới hạn dạng  - 

- Chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n, giới hạn dạng ;



- Kết hợp hai phương pháp cho giới hạn dạng ; ; ; 0

      

      

- Sử dụng định lý giới hạn kẹp

- Sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn, thiết lập biểu thức giới hạn. Kết giới hạn nghiệm phng trỡnh no ú.

Bài 3.1 Tính giới h¹n sau:

3

lim( )

A n n n

2

1

lim n n

B

n n n

  

 

3

2

4

1 lim

1

n n

C

n n

 



 

1

3 lim

2 5.3 n n

n n

D

  



1

4.3 lim

2.5 n n n n

E

  



2

4

lim

4

n n

F

n n n

  



  

HD

1 1

; ; 0; ; 7;

3

A B  C D E F  

Bµi 3.2 Tính giới hạn dÃy số sau

1 1

lim

1.2 2.3 ( 1)

A

n n

 

     



 

1 1

lim

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)

B

n n n

 

     

 

 

lim(1 12)(1 12) (1 12)

2

C

n

    D lim 12 32 52 2n2

n n n n



 

      

 

1 1

lim ( )

1 3 2

E

n n n

   

Học sinh thường áp dụng sai cơng thức tính giới hạn tổng tích dãy số Hai cơng thức áp dụng tổng tích hữu hạn dãy số Học sinh thường áp dụng cho tổng, tích vơ hạn dẫn đến kết sai

Gi¶i

a) NhËn xÐt: ( 1) 1 *

,

( 1) ( 1)

 

    

  

n n

n N

n n n n n n

1 (1 1) (1 1) ( 1) 1

1.2 2.3 ( 1) 2

n

u

n n n n n

             

 

A limun lim(1 1)

n

    

b) NhËn xÐt: ( 2) 1 *

( ),

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)( 2)

 

    

     

n n

n N

n n n n n n n n n

1 1 1 1 1

[( ) ( ) ( )]

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) n

u

n n n n n n n

           

    

1 1

4 2( 1)( 2)

n

u B

n n

    

 

c)

2 2

2 2

2 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1

2 2.2 3.3 2

n

n n n n

u C

n n n n

     

    

d)

2

2

1 (2 1)

1 n

n n

u D

n n

    

   

e) Ta cã: 2 2 1,

(2 1) (2 1) 2

2

n n n n

n

n n

n n

    

    

  

  

( 1 )

1 3 2

n

u

n n n

    

    

1 2 1 1

.[( ) ( ) ( )]

2 2 2 2

n n n

n n

   

       

lim lim 1 2

n

n

E u

n

 

   

Bµi 3.3 Tính giới hạn sau

2

1 lim

2

n A

n n

   



 

2 2

3

1 lim

4

n B

n

   





3 3

4

1 lim

3

n C

n n

   



 

2 2

3

1 (2 1) lim

3

n C

n n

    



Gi¶i

Để đơn giản biểu thức ta chứng minh quy nạp công thức sau:

0 ( 1)

1

2

n n

n 

     2 ( 1)(2 1)

2

6

n n n

n  

    

0 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)

3 8( 1) 19 ( 1)( 2)( 3)

2

n n n n n n

n n   n n n    

            

0 2

4 (2 1) (2 1)(2 1)

n n n n

       

- Khi ta có kết sau:

1 1

4 12

A B C D

Trong nhiều tốn ta khơng thể đơn giản CTTQ để sử dụng hai phương pháp nhân liên hợp, chia cho lũy thừa n Khi nghĩ đến Định lí giới hạn kẹp Bài 3.4 Tính giới hạn sau

2 2

1 1

lim

1

A

n n n n

 

     

  

 

lim1.3.5.7 (2 1) 2.4.6 (2 )

n B

n

 

Gi¶i a) Ta cã:

2 2

1 1

, ,1

1

     

  

k N k n

n n n k n

2 2 2

1 1

,

1

n

n n

u

n n n n n n n

      

    

mµ

2

lim lim

1

n n

n n n

 

 

limun A1

b) Đặt

2 2

2

2 2 2 2

1.3.5.7 (2 1) 1.3 (2 1) 1.3 3.5 (2 1).(2 1)

2.4.6 (2 ) (2 ) (2 )

n n

n n n n

u u

n n n n

   

   



1

0 ,

2

n n

u u

n n

     

 

mµ lim lim

2n1  B un

Đối với toán mà dÃy số cho công thức truy hồi, cho hệ thức liên hệ phần tử ta tiÕn hµnh nh­ sau:

- Tìm CTTQ dãy số sau tìm giới hạn.

Chứng minh dãy tăng bị chặn giảm bị chặn Sau đặt giới hạn vào công thức truy hồi hệ thức liên hệ phần tử ta thu phương trình với ẩn giới hạn cần tìm

Bµi 3.5 Cho d·y (un): 1

1

( ),

2

n n

n

a

u u n

u

 

    a0,u1 a

CMR (un) có giới hạn Tính giới hạn ú

Giải

- CM quy nạp *

,

  

n

u a n N

B§T Cauchy: 1

1

1

( )

2

n n n

n n

a a

u u u a

u u

 

 

   

DÊu b»ng kh«ng x¶y un  a

- Ta chøng minh (un) dÃy giảm

Ta có:

1

1

1 1

2

1( )

1 1

1 , ( )

2 2

n

n n

n n n

n n n

u

u u

u u n u

u u u

 



  



           lµ d·y gi¶m

 Llimun 0.Ta cã: 1

2

lim lim ( )

2

n n

n

L

a L

L u u L a

u

 



      VËy limun  a

Chú ý: ở toán trên, thực cần giả thiết a0,u10.Khi việc chứng minh hồn tồn tương tự

- NÕu *

1  n  ,  lim n 

u a u a n N u a

- NÕu u1 a un  a, n un 0,n limun  a

Bµi 3.6 Cho d·y (un):

1

(2 ),

3

n n

n

a

u u n

u

 

   

1

0,

a u  a

CMR (un) có giới hạn Tính giới hạn Giải - Tương tự 4.6 ta CM quy nạp *

, ; ( )

  

n n

u a n N u dÃy tăng

- Đặt Llimun 0.Theo gt cã:

1

1

2

lim lim (2 )

3

n n

n

a L

a L

L u u L a

u

 



     

VËy

Chú ý: toán trên, thực cần giả thiết a0,u10.Khi việc chứng minh

hoàn toàn tương tự

- NÕu 3 *

1  n  ,  lim n 

u a u a n N u a

- NÕu 3

1 n , n 0,

u  a u  a  n u  n

limun a

 

Bµi 3.7 Cho d·y (un): 0un 1 vµ

1 (1 )

4

n n

u  u  TÝnh limun?

Gi¶i - Chứng minh dÃy (un) tăng bị chặn

Theo gt hiển nhiên (un) bị chặn

¸p dơng B§T Cauchy: *

1 1

1

(1 ) (1 ) ,

2

            

n n n n n n

u u u u u u n N

(un) tăng

Vậy (un) có giới hạn, đặt alimun

1 1

lim[ (1 )] (1 )

4

n n

u  u a a a

       

Bµi 3.8 Cho d·y (un):

2

1 3, n n n 4,

u  u  u  u   n

a) CMR (un) dãy đơn điệu khơng bị chặn

b) D·y (vn) x®:

1

1 1

,

1 1

n

n

v n

u u u

    

   có giới hạn, tính giới hạn Giải

a) Quy n¹p - Ta cã:

2 4

u u  u    u

- Gi¶ sư un un1.Ta CM un1un (*)

TV 2

1

(*)un un 3un  4 un (un 2) 0 (đúng) Vậy (un) dãy tăng

+) Giả sử (un) dãy bị chặn (un) dãy có giới hạn, đặt limun a

Khi -) (un) dãy tăng, un 3, n N alimun 3

-) 2

1

lim n lim( n n 4)

a u   u  u  a a a ( Vô lý) Vậy (un) dÃy không bị chặn.limun

b) Từ

1

1

1 1

3 ( 1)( 2)

( 1)( 2)

n n n n n n

n n n n n

u u u u u u

u u u u u

 



           

   

1

1 1

1 2

n n n

u u u 

  

1 2

1 1 1 1 1

1 1 2 2 2

n

n n n

v

u u u u u u u u u 

   

 

            

              

1 1

1 1

0 ( ) /

2 2

n n

n

v v b c

u u  u

 

     

  

 

- V× un ( )vn dÃy tăng

-1 1

1 1

lim lim( )

2 2

n

n

v

u u  u

 

IV.Một số dạng toán khác Bài 4.1 Cho dÃy (un):

2

1 *

0,



  



  



n n n

n

u u u

u n N

*

1

: n  , 

CMR u n N

n

Giải Chứng minh Quy nạp

- Với n = 1, cã:

1 1( 1) 1 ( n 0, )

u u u u u u   u  do u  n

Vậy mđ với n =

- Víi n = 2, cã: 2

1 2 1

1 1

( )

4

u u u u u u u   u   

Vậy mđ với n = - Giả sử có: un 1, (n 2)

n

  Hµm sè

( )

f x  x x đồng biến đoạn [0, ].1

Do ( ) ( )1 12 2 1 2 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n

u f u f

n n n n n n n n n n n n n n n

 

           

     

1 1

( )

1 ( 1)

n n

u f u

n n n n



    

   Vậy mđ với n +1 Mệnh đề chứng minh

Bài 4.2 Cho hai dãy (an) (bn) xác định bởi: 1

1

; ,

n n

n

a a a b

b

   

*

1

,

    

n n

n

b b n N

a CMR: anbn 2 ,n  n

Giải Chứng minh Quy nạp

- DƠ rµng chøng minh *

, 0, 

n n

a b n N

- Víi n = ta cã: 2 1 1

1 1

1 1

( ).( )

a b a b a b

b a a b

      

3 2 2

2 2

1 1

( ).( )

a b a b a b

b a a b

        

3 3 2.3

a b a b

    Vậy mđ với n = - Giả sử mđ với n = k ( k >2), tức: ak bk 2 k

TV Ta cã: 2 2 2

1 2

1 1

( ) k; ( ) k

k k k k k k

k k k k k k

a b

a a a b b b

b b b a a a

           

1

2

2

k k k k

k k

a b a b

a b

    

Suy ra: 2 2

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) 4 8

Cosi

k k k k k k k k

k k

a b a b a b a b k

a b

 

 

            

 

akbk 2 2(k1) Vậy mđ với n = k + Kết luận anbn 2 ,n  n

Bµi 4.3 Cho d·y(un):

2

1

1

,

2

o k k k

u u u u

n

 

   CMR:1 un

n

  

Gi¶i +) Ta cã:

1

1

k k k

u u u

n

 

  Bằng quy nạp chứng minh uk uk1, k 1.n

1

1

1

1 1

k k k k

k k k

k k k k k k

u u u u

u u u

n u u n u u u n u

  

 

 



      

Do

1 1

1 1 1 1 1

, ; ; ;

k k

k k k k

u u k n

u u n u u n u u n



  

         

0 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

k k k

k

u u u u u u u  u n

           1 k

k

u u

    

+) L¹i cã: 1

2

1 1

1 1

k k

k k k k k k

u u

u u n u n u u n u n

 

   

    

  

1 1

1 1 1 1 1 1

; ; ;

1 1 1

k k k k k

n

u  u n u  u  n u u n u u n n

           

    

1 1

2

k

n u

n n n



 

Vậy mđ chøng minh

Bài 4.4 Cho dãy số xác định: un 4n15n1; vn 10n18n28

CMR: un9; vn27, n N

Gi¶i +) Chøng minh un9

- Dễ thấy mđ với n = 0, n =

- Giả sử mđ với n = k, có nghĩa uk9

Khi đó:

1 15( 1) 4(4 15 1) 18 18

k k

k k

u     k    k   u   Vậy mđ với n = k+1 Bài 4.5 Giả sử p/t:

ax bx c (a 0) cã hai nghiÖm x , x Đặt n n *

a CMR: a.Snb.Sn 1 c.Sn 2 0, n N, n3

b Gi¶ sư a = c = 1, b = - CMR: Snkh«ng chi hÕt cho

Gi¶i a Ta cã:

2 n n n

1 1 1

2 n n n

2 2 2

ax bx c 0 ax bx cx 0

ax bx c 0 ax bx cx 0

 

 

 

 

 

 

 

     



     

n n n n n n

1 2 n n n

a(x x ) b(x  x  ) c(x  x  ) a.S b.S  c.S  0, n N, n

            

b Ta cã: S1x1x2 4 kh«ng chia hÕt cho

2 2

2 2

S x x (x x ) 2x x 16 2 14 kh«ng chia hÕt cho

Giả sử Sk-1, Sk (k >1)không chia hết cho 3, ta chøng minh Sk+1 cịng kh«ng

chia hÕt cho ThËt vËy Theo (a) cã: Sk 4Sk 1 Sk không chia hết cho

Bài 4.6 Giả sử x , x 1 2 hai nghiệm cña p/t:

x   x CMR: 2009 2009

1

x x Z

Giải Chứng minh quy nạp: n n *

n

S x x Z, n N

Sử dụng kết 5.9: Sn Sn 1 5Sn 2 0, n N, n3.Trong đó: S1=1; S2=11 Bài 4.7 Tính giới hạn dãy số

2 2

1)

2 2 2 2 2 2

n

u 

   

2 2)

2 n

u    

  

Giải Trong ta thừa nhận kết qu¶:

0

sin

lim

x

x x

 

1 Quy n¹p CT:

1

2

, cos

2

2n

n





 

  

Khi đó: 1

1

sin

1 1 2

sin lim lim

2 2

cos cos cos

4 2

n n

n n n

n n

u u



  

   

 

 

    

2 Quy n¹p CT: 2 2.cos ; 2 2.cos

2n 3.2n

 

       

1

1

2 cos sin

1

2 lim .

3 2 cos sin

3.2 3.2

n n

n n

n n

u u

 

 

  

    

Phần Bài tập tương tự

Bµi 1 CMR:

3 3 n 30

n

u        2

12 n 11n 133

n

v     

Bài Cho x1 , x 2 nghiệm phương trình

27 14

x  x 

CMR   2, 

n n n

S x x n N kh«ng chia hÕt cho 715 Bµi Ký hiƯu Rn  2 2 cân bậc hai n lần

1

1

: cos , sin

2n n 2n n

CMR   R   R

Bài 4 Cho dãy (an) xác định : *

2

(n2)(n1)an n an 0, n N ,a 0,a Tìm an ? Bài 5 Cho dÃy (Sn):

2

*

1 2

(2 ),

2 



      

n

n n

n

S n N

n

CM dãy (Sn) đơn điệu giảm bị chặn Bài 6 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện

1

a  b

Dãy số (un) xác định:

2

0 0, n1 n n  , 

u u au b u c n N

CMR số hạng dãy số phương Bài 7 Cho hai dãy số 1 1 *

2   1;   1,

 n  n   n  n   

n n

a b n N

CMR với n có mét hai sè an, bn chia hÕt cho Bµi 8 D·y(an) lµ mét CSC,

*

0,

  

n

a n N

Gi¶ sư: a1a2 an ;

1

1 1

   

n

a a a  TÝnh Pa a1 .2 an theo  ,

Bài 9 Cho dãy (un): un1 4.un 5; (n1),u11 Xác định CTTQ tính un ? Sn ?

Bµi 10 Cho d·y (un):

1

,

n ( ) n n ,

u u

a u a b u bu c n

 

 

 

 

    



T×m CTTQ cđa un , Sn ?

Bµi 11 Ba sè 2, 3, cã thĨ cïng cã mỈt mét CSC hay CSN hay không?

Bài 12 CMR *

 n N cã : 12 12 12 2  n 3

1 1

2

23 24 (n1) n

Bài 13 Tìm CTTQ c¸c d·y sè sau:

1

1 )

( 1),

n n

u a

u  u n n n

 



    



1

2

1 )

,

n n n

u u

b

u  u  u n

 

 

  

2

2, )

5 ,

n n n

u u

c

u  u  u n

        2 , )

2 0,

n n n

u u

d

u u  u  n

            Bài 14 Cho dÃy (un) xđ:

1 1 2 , n n u n

u u n

n             

CMR: limSn

Bài 15 Đặt 2 *

( )(  1)   1,

f n n n n N D·y (un) x®:

*

(1) (3) (2 1)

,

(2) (4) (2 ) 

  

n

f f f n

u n N

f f f n

1

: lim

2 n

CMR n u 

Bµi 16 Cho d·y sè (un) cã tÝnh chÊt: un12un un1 K Const, ( ) n

TÝnh giíi h¹n limun2 ?

n 

Bµi 17 Cho d·y (un): *

1

0

2   0,

          n

n n n

u

u u u n N

*

: ( n  n )2, 

CMR n u u n N

Bµi 18. Cho d·y (un):

1

3

1

2

3 9 3,

n n

u

u u  n n n n

 



     



CMR víi p lµ số nguyên tố Sp1p

Bài 19 Cho dÃy (an):

2 *

11, n  n11, 

a a a n N CMR: an  bn 1 2n1 Bµi 20 Cho d·y (an):

1 2 1 , ,

2 3

n n n

n n

a a

a a a

a a

 

 

  

 CMR:

*

1

,

2 

  



n n

a n N

Bµi 21 Cho d·y (un):

1 * 1 ,            n n u u

u n N vµ d·y (vn): = un – 2,

*

 n N

CMR: ( 1)

  n

n

v

Bài 22 Có tồn CSN chứa đồng thời phần tử: 2, 3, khơng ? Có tồn CSC chứa đồng thời phần tử: 1, 3, không ? Bài 23 Cho a a1, 2, ,ak 0;k2 thỏa món: a1a2 ak k

Đặt *

1 ,

 n n   n  

n k