24 CHUYÊN đề đại số ôn TUYỂN SINH vào lớp 10 và HSG lớp 9 môn TOÁN có GIẢI CHI TIẾT năm học 2020 2021

24 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN VÀO 10 CHUYÊN VÀ HSG Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số học số thực a không âm số không âm x mà x = a • Với a ≥  x ≥ x= a ⇔  x = ( a) =a Phép tốn tìm bậc hai số học số gọi phép khai phương Với hai số a, b khơng âm, ta có: a < b ⇔ a< b Căn thức bậc hai • Cho A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu • A ≥ xác định (hay có nghĩa) A ≥ • Hằng đẳng thức A2 = A Chú ý • Với a ≥ thì: x = a  x = a2 x2 = a  x = ± a •  A ≥ ( hay B ≥ ) A= B⇔  A = B • A+ B =0⇔ A= B =0 B Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh cặp số sau mà khơng dùng máy tính a) 10 3; b) c) 35 + 15 + 123 ; d) 17 ; + Giải Tìm cách giải Khi so sánh hai số • So sánh a b • So sánh • Sử dụng kĩ thuật làm trội ( a) ( b) a b không dùng số máy tính, ta có thể: Trình bày lời giải a) Ta có 10 >  10 > nên ( b) Xét ) = 32 ( 2) ( 18 > 17 nên c) ( = 18; ) >( 17 ) 10 > 17 ) = 17  > 17 35 + 15 + < 36 + 16 + = + + = 11 , 123 > 121 = 11 suy d) Ta có 35 + 15 + < 123 < =  2+ <  2+ < = Ví dụ 2: Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: a) + 2x ; b) x − + 11 − x ; c) x + x+3 x −9 Giải Tìm cách giải Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý: • A có nghĩa A ≥ • A có nghĩa M ≠ M Trình bày lời giải a) + x có nghĩa + x ≥ ⇔ x ≥ −4 b) x − + 11 − x có nghĩa x − ≥ 11 − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 11 c) x + x + có nghĩa x + ≥ x − ≠ ⇔ x > −3; x ≠ x −9 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: a) A = + − − ; b) B = a + − a − 2a + với a < Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng: a ± a +1 = ( ) a ±1  A − B neáu A ≥ B  B − A neáu A < B lưu ý: A − B =  Trình bày lời giải a) Ta có A = + − − A = + +1 − − +1 ( A= A= ( ) ( +1 − ) ( +1 − ) −1 ) −1 = b) B = a + − a − 2a + với a < B = a +1− ( a − 1) B = a + − a − = a + − (1 − a ) = 2a Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = + x − x + 33 ; b) B = x − x + 18 − ; c) C = x + y − xy + x − y + 10 + y − y + 2020 Giải a) Ta có: A = + x − x + 33 = + ( x − ) + 25 ≥ + 25 = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b) Ta có: B = x − x + 18 − = ( x − 4) Vậy giá trị nhỏ biểu thức B c) Ta có: C = + −1 ≥ −1 − x = x + y − xy + x − y + 10 + y − y + 2020 C = ( x − y + 1) 2 + + ( y − ) + 2012  C ≥ + 2012 = 2015 Vậy giá trị nhỏ C 2015 x − y +1 = x = ⇔ y − = y = Khi  Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x − 12 x + 36 + x − 16 x + 64 ; b) B = ( x − 2) + ( x − 9) + ( x − 1945 ) Giải Tìm cách giải Thống nhìn biểu thức ta bỏ đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Để tìm giá trị nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng: • A − B = B − A A ≥ • A + B ≥ A + B Dấu xảy A.B ≥ Trình bày lời giải a) Ta có: A = x − 12 x + 36 + x − 16 x + 64 = ( x − 6) ( x − 8) + A = x −6 + x −8 = x −6 + 8− x ≥ x −6+8− x = Vậy giá trị nhỏ A ( x − )( − x ) ≥ hay ≤ x ≤ b) Ta có: B= ( x − 2) + ( x − 9) + ( x − 1945 ) B = x − + x − + x − 1945 B = x − + 1945 − x + x − ≥ x − + 1945 − x + = 1943 Vậy giá trị nhỏ B 1943 ( x − )(1945 − x ) ≥ x − = tức x = Ví dụ 6: Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = 2020 Chứng minh biểu thức A= (a + 2020 )( b + 2020 ) c + 2020 số hữu tỉ Giải • Ta có: a + 2020 = a + ab + bc + ca  a + 2020 = ( a + b )( a + c ) • (1) Tương tự, ta có: b + 2020 = ( b + a )( b + c ) ( 2) c + 2020 = ( c + a )( c + b ) ( 3) Từ (1) ,(2), (3) suy A = ( a + b )( a + c )( b + c )( b + a ) = a + b ( ) ( c + a )( c + b ) = a+b  A = a+b Vì a, b số hữu tỉ nên a + b số hữu tỉ Vậy A số hữu tỉ Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa số hữu tỉ có kết số hữu tỉ Ví dụ 7: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b = Chứng minh rằng: a + 8b + b + 8a = (1) Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận giả thiết Định hướng chung nghĩ tới biến đổi phần thức phần kết luận thành dạng bình phương Với suy nghĩ ấy, khai thác phần giả thiết Chúng ta có hai hướng suy luận: Hướng thứ Dùng thừa số để cân bậc Hướng thứ hai Từ giả thiết suy ra: b = − a ; a = − b , dùng phương pháp thế, để thức cịn biến Trình bày lời giải Cách Thay a + b = vào (1) ta có: Vế trái: a + 4b ( a + b ) + b + 4a ( a + b ) = a + 4a 2b + 4b + b4 + 4a 2b + 4a = (a 2 + 2b ) + (b 2 + 2a ) = a + 2b + b + 2a = ( a + b ) = 3.2 = Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Cách Từ giả thiết suy ra: b = − a ; a = − b thay vào (1) ta được: a + ( − a ) + b4 + ( − b2 ) = (a 2 − 4) + (b − 4) = a − + b − (do a < 4; b < ) = − a + − b = Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Tính tổng: S = + 8.12 − 8.22 − 8.10032 − + + + + + 12.32 32.52 20052.2007 (Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007) Giải Ta có 1+ 8n − ( 2n − 1) ( 2n + 1) = 1+ 8n − ( 4n − 1) = 16n − 8n + + 8n − ( 4n − 1) 2  4n  4n 1 1  =   = = 1+  −  với n ≥  n − 2n +  ( 2n − 1)( 2n + 1)  4n −  Suy 1+ 8n − ( 2n − 1) ( 2n + 1) 1 1  = 1+  −  ( *)  2n − 2n +  Thay n từ đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được: 1  11 1 1 1  S = +  −  + +  −  + + +  −  1  23 5  2005 2007  1  1003 S = 1003 + 1 −  = 1003  2007  2007 C Bài tập vận dụng 1.1 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a) A = x2 − ; c) C = b) B = ; d) D = x 2x −1 e) E = x+ x2 + 5x − 1 − x2 − + −2 x x Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để A có nghĩa x − ≥ ⇔ x ≥ b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa ; ; x + x − > ⇔ ( x + )( x − 1) > ⇔ x + x − dấu  x + >  x > −6 ⇔ ⇔ x >1 x −1 > x > Trường hợp   x + <  x < −6 ⇔ ⇔ x < −6 x −1 < x < Trường hợp  Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa x > 1; x < −6 c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:  1   2 x − ≥ x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2   x − x − >  x > x − ( x − 1)2 >  x ≠     Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: S =  x / x ≥  ; x ≠ 1  d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:  x − ≥  x ≥  x ≥ ⇔ ⇔   2  x − ≠  x ≠ ±2 1 − x − ≠  x ≥ biểu thức D có nghĩa  x ≠ ±2 Vậy với   x2 +  x > ≥0 x + ≥  e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:  ⇔ x ⇔ x x ≤  −2 x ≥ x ≤  không tồn x để biểu thức E có nghĩa 1.2 a) Cho x, y, z khác thỏa mãn x + y + z = 1 1 1 + 2+ = + + x y z x y z Chứng minh rằng: b) Tính giá trị biểu thức: A = 1+ 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + 2 3 4 199 2002 Hướng dẫn giải – đáp số 1 1  1 1 1  a) Xét:  + +  = + + +  + +  x y z x y z  xy yz zx  Mà 1 z+x+ y + + = =0 xy yz zx xyz 1 1 1  + +  = + +  x y z x y z 1 1 1 + 2+ = + + x y z x y z b) Áp dụng câu a, ta có: + K + ( −1 − K ) = nên: 1+ Suy ra: 1 1 1 1 + = 2+ 2+ = + + 2 K K ( K + 1) ( − K − 1) K − K − 1+ 1 1 + = 1+ − 2 K K K +1 ( K + 1) Thay k 2,3,…, 199, ta được: 1 1 1 1 99 A = + − + + − + + + − = 198 + − = 198 3 199 200 200 200 1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 1+ 1 1 1 20092 − + + + + + + + + = 12 22 2 32 k ( k + 1)2 2009 (thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng cơng thức 1+ 1 1 ta có: + = 1+ − 2 n ( n + 1) n n +1 1 1 1 20092 − 1 + − + + − + + + − = 2 k k −1 2009 ( k + 1) − = 20092 − 1 20092 − ⇔ k +1− = ⇔ k +1 2009 k +1 2009 ⇔ k = 2008 1.4 Tìm số x, y , z thỏa mãn đẳng thức: ( 2x − y ) + ( y − 2) + ( x + y + z) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: ( x − y ) + ( y − ) + x + y + z = (*) Mà ( x − y ) ≥ 0; ( y − 2) ≥ 0; x + y + z ≥ ; =0 2 x − y = x =   ⇔ y = Nên đẳng thức (*) xảy  y − = x + y + z =  z = −3   1.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 25 x − 20 x + + 25 x − 30 x + Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P = (5x − 2) + ( x − 3) = 5x − + 5x − P = 5x − + − 5x ≥ 5x − + − 5x = 5 x − ≥ ⇔ ≤x≤ 5 3 − x ≥ Đẳng thức xảy khi:  Vậy giá trị nhỏ P ≤x≤ 5 1.6 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = a + b + c = Chứng minh rằng: (1 + b )(1 + c ) + b (1 + a )(1 + c ) + c (1 + a )(1 + b ) = 2 a 2 + a2 2 + b2 + c2 ( *) Hướng dẫn giải – đáp số Từ a + b + c =  ( a + b + c ) = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = 2 Mà a + b + c =  ( ab + bc + ca ) = ⇔ ab + bc + ca = 2 Ta có: a + = a + ab + bc + ca  a + = ( a + b )( a + c ) Tương tự, ta có: b + = ( b + a )( b + c ) ( 2) c + = ( c + a )( c + b ) ( 3) (1) Từ (1), (2) (3) thay vào vế trái (*), ta có: (1 + b )(1 + c ) + b (1 + a )(1 + c ) + c (1 + a ) (1 + b ) a =a + a2 2 + b2 2 + c2 ( a + b )( b + c )( a + c )( b + c ) + b ( a + b )( a + c )( a + c )( b + c ) + c ( a + b )( a + c )( a + b )( b + c ) ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( b + c )( a + c ) = a (b + c) + b ( a + c) + c ( a + b) = ( ab + bc + ca ) = 1.7 Cho x = 6+2 + 6−2 19 ( ) Tính giá trị biểu thức: T = + x 21 − x10 20205 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x = x= + +1 + − +1 = 5 +1+ −1 ( ) +1 + ( ) −1 2 =1 19 ( Vậy T = + 121 − 110 ) 20205 = 1.8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = ( x − 2019 ) + ( x − 2020 ) ; b) B = ( x − 2018 ) + ( y − 2019 ) + ( x − 2020 ) c) C = ( x − 2017 ) + ( x − 2018) + ( x − 2019 ) ; + ( x − 2020 ) Hướng dẫn giải – đáp số a) A = x − 2019 + x − 2020 = x − 2019 + 2020 − x ≥ x − 2019 + 2020 − x = Vậy giá trị nhỏ A x − 2019 ≥ 2020 − x ≥ hay 2019 ≤ x ≤ 2020 b) Giá trị nhỏ B 2018 ≤ x ≤ 2020 y = 2019 c) Giá trị nhỏ C 2018 ≤ x ≤ 2019 1.9 Giải phương trình: x + x + 1 + x+ = 4 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x + x + 1 + x+ = 4 10 14 + = với < x < +x 5−x Giải phương trình ta được: x = thoả mãn đề §9 BÀI TỐN THỰC TẾ ĐƯA ĐẾN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A KIẾN THỨC LIÊN QUAN Bài toán hệ phương trình bất phương trình bậc hai có nhiều cách tiếp cận khác Thông thường biểu diễn ẩn theo ẩn lại đưa phương trình tìm nghiệm B VÍ DỤ MINH HOẠ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Biểu diễn y theo x - Thay y theo x rút phương trình tìm x - Rút giá trị y cần tìm Ví dụ Ba bến tàu A, B,C dịng sơng chảy từ A đến C B trung điểm AC Vận tốc dòng nước km/h Hai tàu khởi hành lúc bến tàu B Tàu từ B đến C , tàu từ B A với vận tốc v km/h nước đứng yên Sau đến A , tàu trở C Hỏi vận tốc v thoả điều kiện để tàu đến C trễ tàu ? Để tàu đến A ta phải có điều kiện v > Thời gian tàu từ B đến A từ A đến C là: BA AC BA 2BA + = + (vì AC = 2BA ) v −5 v +5 v −5 v +5 = BA(3v − 5) (v − 5)(v + 5) Thời gian tàu từ B đến C với vận tốc v ′ là: BC BA = (giờ) BA = BC ′ ′ v +5 v +5 Để tàu trễ tàu ta phải có: BA(3v − 5) BA > với v ′ > hay ′ (v − 5)(v + 5) v + 427 3v − − >0 (v − 5)(v + 5) v ′ + Ta có: (3v − 5)(v ′ + 5) − (v − 5)(v + 5) > với v ′ > (3v − 5)v ′ + 15v − v > với v ′ >  3v − > (1) Vậy ta phải có hệ:  với v thoả mãn điều kiện v > 15v − v > (2)  Do vận tốc tàu phải thoả điều kiện 5(km / h ) < v < 15(km / h ) Ví dụ Có máy xúc Cho máy xúc hoạt động mình, máy xúc hoạt động mình, hai máy hoạt động để làm cơng việc Ta có thời gian máy xúc hoạt động nhiều trường hợp hai máy hoạt động Thời gian máy xúc hoạt động nhiều trường hợp hai máy hoạt động 30 phút Hỏi máy hoạt động để làm cơng việc nói thời gian bao lâu? Gọi x (h) thời gian máy làm xong việc Gọi y (h) thời gian máy làm xong việc Trong hai máy làm 1 + công việc x y Suy thời gian hai máy làm xong công việc là: 1 + x y = xy (h) x +y   x − xy = (1)  x +y Ta có hệ phương trình:    xy = 4, (2) y − x +y  Trừ (1) cho (2): x − y = 3, Vậy x = y + 3, Thay (3) vào (2): y − (3) y(y + 3, 5) = 4, đưa đến y − 9y − 15, 75 = 2y + 3, Giải phương trình ta y = 10, 5; y = − (loại) Suy x = 10, + 3, = 14 Vậy máy xúc làm xong cơng việc 14 428 Máy xúc làm xong cơng việc 10 30 phút Ví dụ Một thùng dung tích 425m hai vịi có công dụng để bơm nước vào hút nước với lưu lượng không đổi Lần thứ nhất, người ta dùng hai vòi để bơm nước vào đầy thùng khơng chứa nước Thời gian vịi mở lâu vòi Lần thứ hai, thùng rỗng, người ta bơm nước vào thùng vòi thời gian thời gian hoạt động vịi lần trước Sau người ta bơm nước khỏi thùng vòi thời gian thời gian hoạt động vòi lần trước Kết vòi bơm phân nửa thể tích nước mà vịi bơm vào thùng Lần thứ ba, người ta bơm lúc hai vòi vào thùng rỗng 17 thùng đầy nước Tính thời gian hoạt động vịi lần thứ lưu lượng nước bơm mỗi vòi Gọi x (h) thời gian vòi thứ hai hoạt động lần thứ Suy x + (h) thời gian vòi thứ hai hoạt động lần thứ Gọi v1 (m / h ) lưu lượng nước bơm vòi thứ v2 (m / h ) lưu lượng nước bơm vòi thứ hai Phương trình xác định hoạt động hai vòi lần thứ nhất: v1 (x + 5) + v2x = 425 Lần thứ hai thể tích nước bơm vào: v2 (x + 5) (m ) Thể tích nước bơm ra: v1x (m ) Phương trình hoạt động lần thứ hai là: v1x = v (x + 5) 2 Trong hai vòi bơm nước vào được: v1 + v2 (m ) Phương trình hoạt động lần thứ ba là: 17(v1 + v2 ) = 425 hay v1 + v2 = 25 v (x + 5) + v x = 425  Ta có hệ phương trình:  v2 (x + 5) − 2v1x =  v1 + v2 = 25   (1) (2) (3) Nhân hai vế phương trình (1) với 2x , phương trình (2) với (x + 5) cộng lại, ta có: 2x 2v2 + (x + 5)2 v2 = 850x Vậy v2 = 850x 2x + (x + 5)2 429 (2) cho ta v1 = v2 (x + 5) 2x = 425(x + 5) 2x + (x + 5)2 Thay v1 v2 vừa tìm vào (3): 850x + 425(x + 5) 2x + (x + 5)2 = 25 Đơn giản hai vế cho 25 , quy đồng mẫu số: 34x + 17x + 85 = 3x + 10x + 25 3x − 41x − 60 = Giải phương trình ta được: x = 15; x = − (loại) Thay x = 15 vào ta tính v1 = 10, v2 = 15 Vậy lần một, vòi thứ hai hoạt động 15 Lưu lượng nước bơm vòi thứ 10m / h Lưu lượng nước bơm vòi thứ hai 15m / h Ví dụ Có ba người thợ A, B,C Để làm cơng việc anh A cần nhiều thời gian hai người B,C làm Thời gian anh B làm thời gian hai anh A C làm Anh B làm một thời gian so với lần thời gian anh A làm Hỏi người thợ A, B,C làm xong công việc ấy? Gọi x (h) thời gian anh A làm xong cơng việc Gọi y (h) thời gian anh B làm xong cơng việc Gọi z (h) thời gian anh C làm xong cơng việc Trong anh A làm công việc x Trong anh B làm công việc y Trong anh C làm công việc z Trong hai anh B,C làm được: 1 + công việc y z 430 Vậy hai anh B,C làm xong công việc trong: Ta có phương trình: yz +3=x y +z 1 + x z = yz (h) y +z (1) Thời gian anh B làm thời gian hai anh A C làm Vậy lượng công việc A C làm lượng cơng việc B làm Ta có phương trình: 1 + = x z y (2) Theo giả thiết thời gian B làm lần thời gian A làm Vậy ta có phương trình: 2x − = y (3)  yz  +3=x y + z  1 + = Ta có hệ phương trình:    x z y  2x − = y    Từ (1) ta suy ra: Suy ra: Hay (1) (2) (3) yz = x − y +z y +z = với x > yz x −3 1 + = y z x −3 Từ (2) suy ra: (4) 1 − = y z x Cộng (4) (5) ta có: (5) 1 = + (6) y x −3 x Từ (3) ta có: 2(x − 4) = y Suy = (7) y x −4 Từ (6) (7) ta được: 1 + = x −3 x x −4 Quy đồng mẫu gốc: x (x − 4) + (x − 3)(x − 4) = x (x − 3) x − 4x + x − 7x + 12 = x − 3x 431 x − 8x + 12 = Giải ta được: x = 6, x = (loại) Suy ra: Vậy = Vậy y = y 6−4 1 1 1 = − = − = Hay z = 12 z y x 12 Trong ba anh thợ A, B,C làm 1 1 1 + +1 + + = + + = = (công việc) x y z 12 12 Suy ba anh thợ A, B,C làm xong cơng việc Ví dụ Hai thành phố A, B bên bờ dịng sơng mà dịng nước chảy từ A đến B 24 Một thuyền từ A đến B quay trở khơng 10 Nếu tăng vận tốc thuyền nước đứng yên thêm 40% qng đường thuyền khơng nhiều Tìm thời gian cần thiết để thuyền từ B A chưa tăng thêm vận tốc Gọi S (km) chiều dài quãng đường AB Gọi x (km/h) vận tốc thuyền nước đứng yên (chưa tăng lên) Gọi y (km/h) vận tốc dòng nước chảy từ A đến B (x > y ) Ta có thời gian nước chảy từ A đến B là: S = 24 y (1) Thời gian thuyền chưa tăng vận tốc lên: S S + ≥ 10 x +y x −y (2) Khi tăng vận tốc thêm 40% vận tốc thuyền nước đứng yên 1, 4x Thời gian thuyền lúc là: S S + ≤7 1, 4x + y 1, 4x − y 432  S  = 24  y  S S + ≥ 10 Ta có hệ:    x + y x − y  S S  + ≤7 1, 4x + y 1, 4x − y  (2) cho ta: ta có: (1) (2) (3) x S S + ≥ 10 Đặt = k > x  x  y y  + 1 y  − 1   y  y  24 24 + ≥ 10 k +1 k −1 24(k − 1) + 24(k + 1) ≥ 10(k + 1)(k − 1) 10k − 48k − 10 ≤ Vì k − > 0, k + > (3) Hay Cho ta: S S + ≤7  x   x  y 1, + 1 y 1, − 1    y  y 24 24 + ≤7 1, 4k + 1, 4k − 24(1, 4k − 1) + 24(1, 4k + 1) ≤ 7(k − 1)(k + 1) 1, 96k − 9, 6k − ≥ Vì 1, 4k − > 0;1, 4k + >  10k − 48k − 10 ≤   (k − 5)(5k + 1) ≤ Ta có hệ:  ⇔  1, 96k − 9, 6k − ≥ (k − 5)(49k + 5) ≥   k − ≤ Do 5k + > 0; 49k + > nên  Suy k − = k − ≥  Vậy k = Thời gian thuyền từ B A chưa tăng thêm vận tốc là: S S 24 24 = = = =6   x −y k −1 x y  − 1   y Vậy thời gian thuyền từ B A chưa tăng vận tốc C LỜI BÌNH 433 Chúng ta vừa có số khám phá xoay quanh việc giải toán thực tế cách đưa hệ phương trình, bất phương trình bậc hai Đây dạng tốn tương đối khó Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tốn Hai tơ khởi hành lúc hai điểm A, B ngược chiều để gặp Chúng gặp điểm C sau ngày Nếu xe 1, ngày xe 1, ngày xe gần 520 km Nếu xe quãng đường BC xe xe quãng đường AC thời gian xe xe ngày 3 Tính quãng đường xe quãng đường AB Bài tốn Ban giám đốc xí nghiệm định trích quỹ khen thưởng để thưởng đồng cho số cán cơng nhân viên có thành tích cao xí nghiệp Khi thực hiện, có thêm người thưởng ngồi danh sách duyệt Phịng kế hoạch tài nhận thấy số tiền trích chia cho tổng số người khen thưởng người nhận mức dự kiến 400.000 đồng Do ban giám đốc định trích thêm 9.000.000 đồng để bổ sung vào số tiền khen thưởng trích Vì vậy, người khen thưởng nhận 2.500.000 đồng Hỏi số người khen thưởng số tiền phát? Bài tốn Hai miếng đồng thau có tổng khối lượng 60 kg Miếng thứ chứa 10 kg đồng nguyên chất, miếng thứ hai chứa kg đồng nguyên chất Tính khối lượng miếng đồng thau thứ tỉ lệ phần trăm đồng nguyên chất chứa miếng thứ biết tỉ lệ phần trăm đồng nguyên chất chứa miếng thứ hai cao miếng thứ 15% Bài toán Ba máy gặt cũ máy gặt hoạt động ngày gặt xong cánh đồng lúa chín Biết để gặt xong cánh đồng lúa ta dùng máy gặt sớm ngày so với ta dùng máy giặt cũ Hỏi suất gặt máy gấp lần suất gặt máy cũ Bài tốn Hai bến sơng A, B cách 10 km Nước chảy từ A đến B với vận tốc km/h Có hai thuyền chạy sông vận tốc nước yên lặng Thuyền khởi hành lúc từ B chạy A quay đậu trung điểm M AB Thuyền khởi hành lúc 40 phút từ A chạy B quay đậu trung điểm M AB a) Tìm vận tốc hai thuyền nước yên lặng thuyền đến M lúc b) Tìm vị trí lúc hai thuyền gặp di chuyển sông trước đến M c) Tính thời gian chuyến thuyền E ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 434 Gọi x (km/ngày) quãng đường ngày xe y (km/ngày) quãng đường ngày xe 1, 8x + 1, 6y = 520  x y nghiệm hệ:  2x 4y  − =2  y x Giải hệ ta có: x = 200, y = 100 Đáp số: Xe : 200 km/h Xe : 100 km/h; AB = 1800 km Bài toán Gọi x (đồng) số tiền trích để khen thưởng lúc đầu y (người) số người khen thưởng lúc đầu có danh sách ( x > 0, y nguyên dương) Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:  x x  − = 400000 y y +3   x + 9000000 = 2500000(y + 3) Giải hệ ta x = 36000000, y = 15 Đáp số: số người khen thưởng 18 người số tiền phát 45000000 đồng Bài toán Gọi x % tỉ lệ đồng nguyên chất miếng đồng thau thứ y (kg) khối lượng miếng đồng thau thứ nhất, y > 0, x >  xy  = 10  100 x y nghiệm hệ phương trình:  (x + 15)(60 − y ) =8  100  Giải hệ ta được: y = 40, x = 25 Bài toán Gọi x (ha/ngày) suất gặt máy gặt y (ha/ngày) suất gặt máy gặt cũ S (ha) diện tích cánh đồng lúa chín xét 6(2x + 3y ) = S (1)  Dựa vào giải thích ta có hệ:  S S  − =5 (2)  9y 3x Thay (1) vào (2) đưa đến phương trình: 435   x 4k − 21k − 18 = k = > 0 y   Giải phương trình ta k = Đáp số: lần Bài toán Gọi v (km/h) vận tốc hai thuyền dòng nước đứng yên; v > Thời gian thuyền chạy từ B đến A quay trở lại M là: 10 + (h) v −1 v + Thời gian thuyền chạy từ A đến B quay trở lại M là: 10 + (h) v + v −1 Thuyền khởi hành sau (h) lại đến M lúc với thuyền nên:  10 10 5  5  = hay + −  + − =  v − v +  v + v − 1 v −1 v +1 Giải ta tìm được: v = Gọi C vị trí gặp ( AC = x (km); < x < 10 ) Ta có phương trình: 1 1 x x − = ⇔ x  −  = ⇔ x = v −1 v +1   Đáp số: a) v = (km/h) b) Gặp M lúc 40 phút c) Thuyền : 20 phút, thuyền : 30 phút §10 BÀI TỐN GAUSS VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TẾ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN Truyện kể nhỏ, nhà toán học Đức Cari Friedrich Gauss (1777 – 1855) thể tài toán học phi thường Năm 10 tuổi (còn học sinh tiểu học) buổi học toán, thầy giáo hỏi học sinh: Tổng + + + + 99 + 100 bao nhiêu? Xem tính nhanh xác Thầy giáo vừa nói xong Gauss giơ tay trả lời tổng 100 số 5050 436 Khi nghe Gauss cho đáp số nhanh đến vậy, bạn học sinh nhìn Gauss vừa ngạc nhiên, vừa nghi ngờ, có thầy giáo biết đáp số Gauss làm tính nhanh vậy? Gauss nói với người cậu phát dãy số từ đến 100 có điểm cộng hai số đầu số cuối theo thứ dần vào 101 tất có 50 đơi Như 100 số từ đến 100 có 50 đơi 101 Vì tổng 100 số 101.50 = 5050 Chúng ta xem bảng đây: → → → → 48 → 49 → 50 100 → 99 → 98 → → 53 → 52 → 51 101 101 101 101 101 101 Có phải điều mà Gauss phát hiện? Trên giai thoại cách giải độc đáo mà nhà toán học Gauss tìm lời giải tốn mà thầy giáo cho Để ghi nhận tính sáng tạo nhà toán học Gauss nên nhiều người gọi tốn tính tổng + + + 99 + 100 tốn Gauss, Gauss khơng phải người tìm tốn B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Biểu diễn toán toán học toán thực tế tương đương - Giải toán thực tế - Rút kết luận tốn Ví dụ Tính tổng + + + + (n − 1) + n Ta giải toán thực tế hoá toán toán học sau: “Ban tổ chức cần chọn số n + người để tham gia chương trình “Trị chơi X” kênh truyền hình Y Hỏi có cách chọn?” Ta lập luận theo hai cách: Thứ Người thứ có n + cách chọn Sau cịn n người nên người thứ hai có n cách chọn Vậy có n(n + 1) cách chọn Nhưng cách chọn hai người AB cách chọn hai người BA , số cách chọn cách chọn Thứ hai 437 n(n + 1) Nếu có người thơi có cách chọn Nếu có thêm người thứ ba có thêm cách chọn có người thứ ba Ta phải chọn hai người lúc đầu thi đấu với người thứ ba có thêm cách chọn Nếu có thêm người thứ tư có thêm cách chọn cho người thứ tư Ta phải chọn ba người trước thi đấu với người thứ tư này, có thêm cách chọn, … Nếu có thêm người thứ n + có thêm cách chọn có người thứ n + Ta phải chọn n người có để thi đấu với người thứ n + , có thêm n cách chọn Vậy số cách chọn là: + + + + (n − 1) + n cách chọn Vì hai kết cách lập luận thứ thứ hai một, nên: + + + + (n − 1) + n = n(n + 1) Ví dụ Tính tổng n(n + 1) 1.2 2.3 3.4 + + + + 2 2 Ta thực tế hoá ví dụ thành tốn sau “Có (n + 2) người đăng kí tham gia chơi “Trị chơi E” kênh truyền hình F Ban tổ chức muốn chọn người vào vịng chơi Hỏi có cách chọn?” Ta lập luận theo hai cách: Thứ Người thứ có (n + 2) cách chọn Sau cịn (n + 1) người nên người thứ hai có (n + 1) cách chọn Cuối lại n người nên có n cách chọn người thứ ba Vậy có n(n + 1)(n + 2) cách chọn Nhưng cách chọn ba người ABC cách chọn ba người ACB, BCA, BAC ,CAB,CBA Do số cách chọn n(n + 1)(n + 2) cách chọn Thứ hai Nếu có người thơi có cách chọn Nếu có thêm người thứ tư có thêm cách chọn có người thứ tư Ta phải chọn hai ba người lúc đầu thi đấu với người thứ tư Theo cách lập luận ví dụ , có 3.2 cách chọn Nếu thêm người thứ năm có thêm cách chọn cho người thứ 3.4 cách chọn Nếu có thêm người thứ (n + 2) có thêm cách chọn có người thứ (n + 2) Ta năm Ta phải chọn hai bốn người trước thi đấu với người thứ năm này, có thêm phải chọn hai (n + 1) người có để thi đấu với người thứ (n + 2) có thêm chọn Vậy số cách chọn là: 438 n(n + 1) cách 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) + + + + cách chọn 2 2 Vì hai kết cách cách một, nên: 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) + + + + = 2 2 Ví dụ Tính tổng 1.2 (m − 1) 3.4 (m + 1) (n − (m − 1)) (n − 2)(n − 1) 2.3 m + + + + 1.2.3 (m − 1) 1.2.3 (m − 1) 1.2.3 (m − 1) 1.2.3 (m − 1) Trước tiên ta cần thực tế hoá ví dụ sau: “Ban tổ chức cần chọn m số n người để tham gia vịng chơi chương trình “Trị chơi X” (m ≤ n ) Hỏi có cách chọn?” Ta có nhận xét, để chọn m số n người tham gia ta có hai khả năng: +) Nếu khơng tính đến thứ tự lựa chọn có cách chọn +) Nếu có tính đến thứ tự người lựa chọn có 1.2.3 (m − 1).m cách chọn khác (chọn người thứ số m người có m cách chọn, chọn người thứ hai số m − người cịn lại có m − cách chọn,…; người thứ m cịn lại nên có cách chọn nhất) Nếu đặt M = 1.2.3 (m − 1) số khả m.M Ta lập luận sau: Thứ Chọn người thứ số n người có n cách chọn; chọn người thứ hai số n − người cịn lại có n − cách chọn,…; chọn người thứ m số n − (m − 1) người cịn lại có n − (m − 1) cách chọn Vậy tính đến thứ tự người lựa chọn có tất n(n − 1)(n − 2) (n − (m − 1)) cách chọn m n người Theo nhận xét trên, ta có số cách chọn thực n(n − 1)(n − 2) (n − (m − 1)) m.M Thứ hai Nếu có m người thơi có = 1.2.3 (m − 1) cách chọn M Nếu có thêm người thứ (m + 1) có thêm cách chọn có người thứ (m + 1) Ta phải chọn m − người m người lúc đầu thi đấu với người Ta có 439 2.3 (m − 1).m cách chọn M Nếu có thêm người thứ (m + 2) có thêm 3.4 (m + 1) cách chọn có người thứ m + M Tiếp tục có thêm người thứ n có thêm (n − (m − 1)) (n − 2)(n − 1) cách chọn M Vậy số cách chọn m n người là: 1.2 (m − 1) 2.3 m 3.4 (m + 1) (n − (m − 1)) (n − 2)(n − 1) + + + + M M M M Vì hai kết một, ta có: 1.2 (m − 1) 2.3 m 3.4 (m + 1) (n − (m − 1)) (n − 2)(n − 1) + + + + M M M M = n(n − 1)(n − 2) (n − (m − 1)) m.M (trong M = 1.2 (m − 1) ) C LỜI BÌNH Trên ứng dụng việc thực tế hoá toán toán học Để giải toán tốn học, ta phát biểu thành tốn thực tế Sau đó, ta giải tốn thực tế Từ ta rút kết tốn tốn học Mục cho thấy vẻ tuyệt đẹp mối liên hệ toán thực tế toán toán học D BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán Cho (n + 1) điểm phân biệt Có đoạn thẳng nối (n + 1) điểm đó? Bài tốn Trong thi đấu bóng bàn ngày Hội Khoẻ Phù Đổng, đấu thủ đến dự thi bắt tay Người ta đếm tất 120 bắt tay Hỏi có đấu thủ dự thi? E ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DÂN GIẢI Bài toán Số đoạn thẳng tính qua cách sau: Thứ Mỗi điểm tạo với n điểm lại n đoạn thẳng Có (n + 1) điểm, nên có n(n + 1) đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, nên số đoạn thẳng có là: Thứ hai 440 n(n + 1) đoạn thẳng Qua hai điểm có đoạn thẳng nối chúng Điểm thứ nối với n điểm cịn lại, có n đoạn thẳng Điểm thứ hai nối với điểm thứ nên nối (n − 1) điểm lại, có (n − 1) đoạn thẳng Điểm thứ ba nối với điểm thứ điểm thứ hai nên nối (n − 2) điểm cịn lại, có (n − 2) đoạn thẳng… Điểm thứ n nối với điểm thứ (n + 1) nên có đoạn thẳng Điểm thứ (n + 1) nối với n điểm trước Vậy có: n + (n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + + + (đoạn thẳng) nối (n + 1) điểm Do hai cách lập luận một, nên + + + + (n − 1) + n = n(n + 1) Bài toán Ta đánh dấu hình vẽ đấu thủ điểm bắt tay hai đấu thủ đoạn thẳng nối hai điểm Với hai điểm kẻ đoạn thẳng Với điểm kẻ đoạn thẳng (hình a), với điểm kẻ đoạn thẳng Với điểm kẻ 10 đoạn thẳng (hình b) Với điểm kẻ 15 đoạn thẳng Với điểm kẻ 21 đoạn thẳng Với điểm kẻ 28 đoạn thẳng Với điểm kẻ 36 đoạn thẳng Với 10 điểm kẻ 45 đoạn thẳng Với 11 điểm kẻ 55 đoạn thẳng Với 12 điểm kẻ 66 đoạn thẳng Với 13 điểm kẻ 78 đoạn thẳng Với 14 điểm kẻ 91 đoạn thẳng Với 15 điểm kẻ 105 đoạn thẳng Với 16 điểm kẻ 120 đoạn thẳng Vậy có 16 đấu thủ dự thi 10 1 2 b) a) 441 ... ) ( D = − 2020 = ( 2020 )( 2020 − ( 2021 − 2020 ) 2020 − ) ) 2020 − = 2021 − 2020 1.13 Cho x y hai số thực thỏa mãn: y= 20 19 x + 2020 20 19 x + 2020 + + 2022 2020 x − 2021 2021 − 2020 x Tính... giải – đáp số 20 19 x + 2020 ≥ (1) 2020 x − 2021 Điều kiện để y có nghĩa − ( 20 19 x + 2020 ) 20 19 x + 2020 ≥0⇔ ≥ ( 2) 2021 − 2020 x 2020 x − 2021 Từ (1) (2) suy ra: 20 19 x + 2020 = hay x = − 2020. .. + 11 99 + 101 ⇔ A+ B = 3− 5− 7− 9? ?? 101 − 99 + + + + + −1 5−3 7−5 9? ??7 101 − 99 ⇔ A+ B = 101 − 100 − > = 2 Mà A > A + B  A > 9 ⇔ A > Điều phải chứng minh 39 1 1 + + + 1+ 5+ 9 + 11 97 + 101