BD chuyên đề dãy số 11

DÃY SỐ 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Bài Bài Bài Cho dãy số  un  : u1  11 � � un 1  10un   9n, n �N � Cho dãy số (un ) biết Xác định số hạng tổng quát dãy cho u1  2 � � un  3un 1  1, n �2 � Xác định số hạng tổng quát dãy 3� n4 � u1  1; u n 1  � un  , n �N* � un   n  n  � � Cho dãy số xác định Tìm cơng thức số hạng u tổng qt n dãy số theo n Cho dãy số  un  u1  16 � � � 15  n.un  1 un 1  14  , n �1 � n  � có Tìm số hạng tổng quát un u  Cho dãy số n xác định : u1  1; u2  4; un   7un 1  un  2, n ��* Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Bài Bài Cho hàm số f :  0; � �  0; � Chứng minh Bài f  x  �x �1 � f  3x  �f � f  x  � x �2 � thỏa mãn điều kiện với x  với x  u  1; u2  � �1 � un 1  un  un 1 n �2 � 2 Xác định số hạng tổng quát un � u  2011; un 1  n  un 1  un  u  Cho dãy số n xác định sau , * u  với n  � , n Chứng minh dãy số n có giới hạn tìm giới hạn Bài Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số � u1  � � � u2  673 � � 2(n  2) un 1  ( n3  4n  5n  2)un � un   n3 �  un   n biết �, n 1 3� n4 � u1  1; u n 1  � un  , n �N* � un   n  n  � � Bài 10 Cho dãy số xác định Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số theo n  un  u  3un  xác định u1  n 1 với n �1 2 2 u  a) Xác định số hạng tổng quát dãy số n b) Tính tổng S  u1  u2  u3   u2011 Bài 11 Cho dãy số  un  n xác định u1  un 1  un  với n �1 n a) Chứng minh rằng: un   b) Tính tổng S  u1  u2  u3   un theo n Bài 12 Cho dãy số � u1  � � u  1 un 1  n (n �1, n ��) �  (  1) u n Bài 13 Cho dãy số(un) xác định sau: �  tan   a) Chứng minh: b) Tính: u2015 u1  � � u2  1 � � u  2un1  un ( n �N * ) u  Bài 14 Cho dãy số thực n với �n  * a) Chứng minh un   n với n �N b) Tính tổng S  u1  u2   u2012 v1  � � v2  34 (n �N * ) � � v  8vn 1  1996vn v  Bài 15 Cho dãy số n với �n  Tìm số dư chia v2013 cho 2011 u1  �  un  : � �n Bài 16 Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  2un 1  un   2, (n ��* ) �  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số x  Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy n biết � �x0  1; x1  5; x2  125 � 2 �xn  xn xn 1   xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  ( n �N * ) � u1  � �  un  : � 7u  � un 1  n , n ��* 2un  � � Bài 18 Cho dãy số u  a) Chứng minh dãy số n dãy số giảm � u1  � 2016  un  : � � 2015un  � un 1  , n ��* � 2016 Bài 19 Cho dãy số * a) Chứng minh un  1, n �� b) Lập công thức tổng quát dãy số b) Lập công thức tổng quát dãy số  un   un   un  � u1  � u2  � � u  nun1   n   un 2  2n  4, n �3 u  Bài 20 Cho dãy số n xác định bởi: �n u  a) Tìm số hạng tổng quát dãy n b) Tìm số dư chia u2016 cho 2015 �x1  �  xn  : �x  xn1 , n �2 �n �   xn 1 Bài 21 Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI u1  2 � � u  3un 1  1, n �2 Bài Cho dãy số (un ) biết �n Xác định số hạng tổng quát dãy A  lim  n3  n2   n  Bài a) Tính giới hạn Bài u1  11 � � u  10un   9n, n �� b) Cho dãy số (un) xác định : �n 1 Tìm cơng thức tính un theo n u1  � � � un 1  (u n    2un ), n ��* � Cho dãy số (un ) xác định bởi: � Tìm công thức số hạng tổng quát (un ) ? Bài Bài Bài Cho dãy số un theo n  un  xác định bởi: u1  1; un 1  un , n ��* 2un  Tìm cơng thức số hạng tổng qt n * Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un 1  2un  , n �� Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n Cho dãy số (un ) xác định bởi: hạng tổng quát un theo n 3� n4 � u1  1; un 1  � un  , n ��* � � n  3n  � Tìm cơng thức số u1  � � 5un  � u  , n ��* n  � 3un  � Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: u 1  n , v  un  n ��* Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng Xét dãy số n với u  tổng quát dãy số n u1  � � � un 1  (un    2u n ), n ��* � Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: � ( u ) Tìm cơng thức số hạng tổng qt n ? Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) xác định bởi:  n ≥ 1) u1 = un + 1= 5un 3) u1 = ;un + = n ≥ 4) u1 = un +1 = un + 2n – 5) u1 = un +1 = 3un + 2n – n ≥ 7) u1 = un +1 = 3un + 3n 9) n ≥ u1  1, un 1  3un  8un2   n ≥ 2) u1 = un + 1= un + n �1 n ≥ 6) u1 = un +1 = 3un + 5n n ≥ 8) u1 = un +1 = 3un + 5n+ 2n – 10) u1 = – un +1 = n ≥ n ≥ 11) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – 12) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – +1, n ≥ 13) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – + 5n -2 14) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – + 5.2n 15) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – + 5.2n + 5n -2 16) u1 = ; u2 = ; un = 4un – – 3un – + 2n 1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Bài Bài Bài Bài Cho dãy số  un  xác định u1  1, u2  2, un  un 1 n �� u  un  2un 1 , n �1 n Tìm lim � un 1  4un2  4un  0, n �1 � � u2004  � thỏa mãn điều kiện: � u  Tìm số dãy số n x , x , , xn , Cho nghiệm dương phương trình tan x  x theo thứ tự tăng lim  xn  xn 1  dần Tính n�� u1  2014 � � (u ) u  un2  (1  2a)un  a n  1, 2, Cho dãy số n xác định sau: �n 1 Tìm điều kiện ( u ) a �� để dãy số n có giới hạn hữu hạn tính giới hạn a  b  Cho hai dãy số n n xác định sau: 2a b an 1  n n a1  2, b1  an  bn ; bn 1  an 1.bn , n  1, 2,� , a  b  Chứng minh n n có giới hạn, tìm giới hạn � x1  � � � �x  x  xn ; n �1 n 1 n n2 Bài Cho dãy số (xn) thỏa mãn: � Chứng minh dãy số có giới hạn Bài Tam giác mà đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC A B C , A2 B2C2 , A3 B3C3 , ABC Xây dựng dãy tam giác 1 cho tam giác 1 tam giác ABC cạnh với số nguyên n �2, tam giác n n n tam giác trung bình tam giác Bài An 1 Bn 1Cn 1 r Với số nguyên dương n , kí hiệu n tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC r  tam giác n n n Chứng minh dãy số n cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân đó? a 1 a  an  2n  a  b  Cho dãy số n xác định bởi: n 1 với n �1 Xét dãy số n b  an 1  an mà: n với n �1 b  a) Chứng minh dãy số n cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng b  b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng dãy số n theo N Từ đó, suy a  số hạng tổng quát dãy số n Bài Bài �x0  a  n �� � xn  xn 1  xn2   � Cho dãy số thực xác định Tìm tất giá trị a để xn  với số tự nhiên n Bài 10  un  Cho dãy số u1  1, u2  2, u3  40 � � 2 � 10un 1.un 3  24un 1 un  un  n  4,5, 6, � un  un 3 � xác định u Tìm số n nhỏ để n chia hết cho 2048 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u  Bài Cho cấp số cộng n với n số nguyên dương thoã mãn u2013  2013; u2014  2014 Tính 1 S    u1u2 u2u3 u2013u2014 tổng: Bài Bài Bài �x0  a  n �� � xn  xn 1  xn2   � Cho dãy số thực xác định Tìm tất giá trị a để xn  với số tự nhiên n Cho dãy số phương Dãy 1 số 22  xn  �x0  20; x1  30 � x  xn 1  xn , n �� xác định �n  Tìm n để xn 1.xn  số  un  xác định 1  �   22016 k 1 u k u1  � � u  un2  un  1,  n ��* sau: �n 1 Chứng minh 2016 2015 an2  5an  10 a1  1; an 1  n �1 �  an Bài Cho dãy (an ) n1 : a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ tính lim an a1  a2   an   n �1 n b) Chứng minh � u1  1 � u2  2 � � nu   3n  1 un 1   n  1 un  3, n ��* u  Bài Cho dãy số n sau � n  n * a) Chứng minh un   3n, n �� n 1 b) Đặt S n  �uk k 1 Chứng minh n số nguyên tố n > S n chia hết cho n Bài Bài � u1  �  un  �u2  18 � un   5un 1  6un  24, n ��* � Cho dãy số Chứng minh n số nguyên tố n  un chia hết cho 6n x  Cho dãy số n x 1 � �1 � xn 1  xn  xn    xn  xn    16 � � với  n �N  * n 1 a) Chứng minh xn  , với n �2 n yn  � lim yn k 1 xk  b) Đặt Tìm n�� Bài u1  � � u  3un 1  2n3  9n  9n  3, n �2 Cho dãy số (un ) xác định sau: �n Chứng minh p 1 với số nguyên tố p Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 Cho dãy số phương  xn  2014�ui chia hết cho p �x0  20; x1  30 � x  3xn 1  xn , n �� x x  xác định �n  Tìm n để n 1 n số i 1 Bài Cho phương trình x   x   với  số nguyên dương Gọi  nghiệm dương x   , xn 1    xn  , n  0,1, 2,3, x  phương trình Dãy số n xác định sau Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn chia hết cho   an  Cho dãy số xác định số phương �a0  a1  2004 � �an   an 1  an  3978, n �� an  10 Chứng minh 2014 3 Cho dãy số ( xn ) xác định xn  2013n  a 8n  1, n  1, 2, a số thực a)) Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn b) Tìm a cho dãy số ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) ... Chứng minh dãy số n cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng b  b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng dãy số n theo N Từ đó, suy a  số hạng tổng quát dãy số n Bài... 15 Cho dãy số n với �n  Tìm số dư chia v2013 cho 2 011 u1  �  un  : � �n Bài 16 Cho dãy số a) Chứng minh dãy số  2un 1  un   2, (n ��* ) �  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng... thức số u1  � � 5un  � u  , n ��* n  � 3un  � Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: u 1  n , v  un  n ��* Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng Xét dãy số n với u  tổng quát dãy