Chuyên đề 1: Dãy số giới hạn dãy số I Các kiến thức cần nhớ Dãy số đơn điệu +) Dãy số (un) dãy số tăng un+1 un với n N * +) Dãy số (un) dãy số giảm un+1 un với n N * +) Dãy số (un) dãy số đơn điệu (un) dãy số tăng dãy số giảm Dãy số bị chặn +) Dãy số (un) dãy số bị chặn M R : un M với n N * +) Dãy số (un) dãy số bị chặn dới m R : un m với n N * +) Dãy số (un) dãy số bị chặn M , m R : m un M với n N * Các định lý +) Định lý Nếu (un) dãy số tăng bị chặn có giới hạn Nếu (un) dãy số giảm bị chặn dới có giới hạn un lim +) Định lý Nếu un với n N * nlim n +) Định lý [nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba dãy số thoả mãn: = lim wn = a lim un = a un wn với n N * nlim n n Các giới hạn C = C lim qn = với q +) nlim n un +) Nếu un un Cấp số cộng cấp số nhân +) Cho ữ u1 , u2 , , un , cấp số cộng với công sai d Khi đó: un = un1 + d = u1 + (n 1)d n n S n = u1 + u2 + + un = [u1 + un ] = [2u1 + (n 1)d] 2 +) Cho u1 , u2 , , un , cấp số nhân với công bội q với q Khi đó: +) Nếu un n1 un = un1q = u1q S n = u1 + u2 + + un = II) Các toán dãy số u1 (1 qn ) q u1 = n * Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: với n N un+1 = un + a) Tính (un) theo n b) Tìm lim un n HD Giải a) Theo giả thiết ta có: n1 n n 1 ; ; ;; un = un1 + un1 = un2 + un2 = un3 + u2 = u1 + 2 2 Cộng vế đẳng thức ta có: n1 n1 1 1 1 1 un = u1 + + + + + =1 + + + + + 2 2 2 2 n 11 n n un = lim 21 = = b) Ta có: nlim = 21 n u1 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: với n 1 u = u + n+1 n un a) Tính (un) theo n b) Tìm nlim HD Giải a) Theo giả thiết ta có: 1 1 1 1 1 un = un1 + ; un1 = un2 + ; un2 = un3 + , n2 u2 = n1 u1 + n2 3 3 3 3 3 Cộng vế đẳng thức ta có: n 2 n1 1 1 = 1 un = n1 u1 + + + + + + + + + + 3 3 3 n 11 n n 3 lim u = lim = = b) Ta có: n n n = 2 u = 11 Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: với n u = 10 u + n n+1 n Xác định số hạng tổng quát (un) theo n HD Giải (Phơng pháp quy nạp) Theo giả thiết ta có: u1 = 11 = 10 + Với n = ta có: u2 = 10u1 + 9.1 = 102 = 10 + Với n = ta có: u3 = 10u2 + 9.2 = 1003 = 103 + . Ta chứng minh đợc un = 10n + n với n Ta giả sử (*) với n = k ( k ) tức ta có uk = 10 k + k Ta chứng minh: uk+1 = 10 k+1 + k + Thật ta có uk+1 = 10uk + 9k = 10(10 k+1 + k) + 9k = 10 k+1 + k + Chứng tỏ: un = 10n + n với n u1 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: un + với n u = n + un Xác định số hạng tổng quát (un) theo n HD giải + tan u +1 = tan + Ta có: u1 = = tan u2 = = u1 tan tan 3 4 tan + + tan u +1 u3 = = = tan + u2 tan + tan 4 Ta chứng minh đợc un = tan + (n 1) với n Khi đó: u2007 = tan + 2006 = tan + 501 + = tan = 3 u2008 = tan + 2007 = tan + 502 = tan = 4 3 1+ u1 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: un + với n u = n+1 3.un Xác định số hạng tổng quát (un) theo n HD giải Ta có: u1 = = tan với ; 2 tan + tan u + 3 = tan + u2 = = 3.u1 tan tan tan + + tan u + 3 u3 = = = tan + 3.u2 tan + tan 3 Theo quy nạp ta chứng minh đợc: un = tan + (n 1) với n Khi đó: u2007 = tan + 2006 = tan ( + 502 ) = tan = 3 u2008 = tan + 2007 = tan + 502 = tan = 3 1+ u1 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: với n un u = + u n+1 n 2008 a) CMR: (un) dãy tăng b) CMR: (un) dãy không bị chặn tan u u u c) Tính giới hạn: lim + + + n n u un+1 u3 HD giải u n a) Ta có: un+1 un = với n { un } dãy tăng 2008 b) (Phơng pháp phản chứng) Giả sử (un) dãy bị chặn Do dãy tăng nên có giới hạn, un = a a Mặt khác lấy giới hạn vế đẳng thức cho ta có: tức là: nlim a2 + a a = (vô lý) 2008 un = + Chứng tỏ (un) dãy không bị chặn trên, tức là: nlim a= un 1 u n = c)Từ giả thiết ta biến đổi: un+1 un = un un+1 2008un+1 2008 un 1 = 2008( ) un+1 un un+1 Suy ra: u u1 u 1 1 1 = 2008( ) ; = 2008( ) ;; n = 2008( ) u2 u1 u2 u3 u2 u3 un+1 un un+1 u u u =2008 Vậy lim + + + n = lim 2008 n u un+1 n u3 u1 un+1 Bài Cho dãy số dơng (an) thoả mãn: an+1 < an an với n 1 Chứng minh rằng: an < với n n HD: (Phơng pháp quy nạp) Với n = ta có: a2 < a1 a12 a1 a12 > a1 < 1 Giả sử mệnh đề với n = k ( k ), tức ak < k Ta cần chứng minh: ak+1 < k +1 Thật ta có: ak+1 < ak ak Hàm số: f ( x) = x x đồng biến 0; mà 1 1 k < ak < < nên f (ak ) < f ( ) ak ak < = k k k k k k k 1 1 Do ak+1 < = = < k k (k + 1) k + k (k + 1) k + 1 Chứng tỏ an < với n (đpcm) n Bài tập tự luyện Bài Cho hai dãy số (un) (vn) xác định bởi: v1 = u1 = 2 + với n u = u vn+1 = n + n Tìm công thức tổng quát hai dãy số (un) (vn) u1 = 0; u2 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1 + un un+ = a) CMR: un+1 = un + b) Xác định công thức tổng quát (un) theo n un c) Tìm nlim < xn < 1, n Bài Cho dãy số (xn) xác định bởi: xn+1 (1 xn ) a) CMR: (xn) dãy số tăng b) Tìm lim xn n u1 = Bài 10 Cho dãy số (un) xác định bởi: un với n u = n + un a) CMR: un < với n 1 + un b) Đặt = CMR: (vn) cấp số cộng suy biểu thức (un) (vn) un u1 = Bài 11 Cho dãy số (un) xác định bởi: un + với n u = n + Đặt = un CMR: (vn) cấp số nhân suy biểu thức (vn) (un) u1 = Bài 12 Cho dãy số (un) xác định bởi: với n un+1 = + un Tìm biểu thức (un) u1 = Bài 13 Cho dãy số (un) xác định bởi: với n & > 2008 u = u + 2007 u n+1 n n a) CMR: (un) dãy tăng =0 b) CMR: lim n u n u un u2 c) Tính giới hạn: lim + + + n u u3 un+1 k + + + + 2! 3! 4! (k + 1)! k b*) Cho dãy số (xk) đợc xác định nh sau: xk = + + + + 2! 3! 4! (k + 1)! Bài 14 a) Rút gọn biếu thức: xk = n Tính lim n x1n + x2n + + x2007 n II) Các toán giới hạn dãy số Bài toán Tính giới hạn sau: n a) lim + a + a + + a với a < & b < n + b + b2 + + bn 1 b) lim + + + n 1.2 n ( n + ) 1 c) lim + + + n + 2+2 (n + 1) n + n n + 1 d) lim (1 )(1 ) (1 ) n n 2n e) lim ( + + + + ) n n n n n2 1 g) lim + + + 2 n n +2 n +n n +1 [ ( ) ( h*) lim cos n3 n3 + 3n + n + + sin n3 n3 + 3n + n + n )] stop ... (vn) cấp số cộng suy biểu thức (un) (vn) un u1 = Bài 11 Cho dãy số (un) xác định bởi: un + với n u = n + Đặt = un CMR: (vn) cấp số nhân suy biểu thức (vn) (un) u1 = Bài 12 Cho dãy số (un)... theo n un c) Tìm nlim < xn < 1, n Bài Cho dãy số (xn) xác định bởi: xn+1 (1 xn ) a) CMR: (xn) dãy số tăng b) Tìm lim xn n u1 = Bài 10 Cho dãy số (un) xác định bởi: un với n u = n + un... tự luyện Bài Cho hai dãy số (un) (vn) xác định bởi: v1 = u1 = 2 + với n u = u vn+1 = n + n Tìm công thức tổng quát hai dãy số (un) (vn) u1 = 0; u2 = Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: