CHUYÊN đề dãy số

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI THIỆU MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi Số khơng đổi gọi công sai Ký hiệu �u1 , u2 , , un Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai b) Nhận xét: Dãy xác định bởi: (là số thực) cấp số cộng c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng quát: CSC có Nhận xét: mà: (Thường dùng chứng minh CSC): Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số cộng đặt: Có Hay Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số không đổi Số không đổi gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội b) Nhận xét: q u u2 u3    n u1 u2 un 1 Dãy xác định bởi: (là số thực khác không) cấp số nhân c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt: CSN có Nhận xét: mà: Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số nhân đặt: Có II BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho  un  xác định : u1  11 � � un 1  10un   9n, n �N � Xác định số hạng tổng Hướng dẫn giải Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10 n  n  1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1  11  101  uk  10k  k Ta có: uk 1 Công thức , công thức  1  1 với n  k ta có với n  Giả sử công thức  10  10k  k    9k  10k 1   k  1  1 với n  k  n Vậy un  10  n , n �N Ví dụ Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  � (n  N , n 1) � un 1  15un  14n  � Tìm un Giải: Giải Ta có f(n) = - 14n + đa thức bậc nhất,  = 15 �1 nên ta chọn u*n = an+b Thay vào phương trình cho ta được: a(n+1) + b= 15 (an+b) – 14n +1 Suy a=1, b=0 Vậy u*n = n un  q.15n  n un0  q n ( với q số) nghiệm tổng quát là: , mà u1  nên q = Vậy : un = 7.15 n + n Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt dãy số  un  xác định bởi: u1  99 � (n �1) � un 1  un  2n  � Giải: f(n)= - 2n - đa thức bậc nhất,  = nên ta chọn u*n = n(an + b) Thay vào ta được: (n + 1)[a(n + 1) + b] = n (an + b) – 2n – � a = -1 ; b = � u*n = - n2; un  q � un  q  n , mà u1  99 � q = 99 Vậy un = 99 – n2 DẠNG 2: SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) biết u1  2 � � un  3un 1  1, n �2 � Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un  3un 1  � un  Đặt  un  1  3un 1  � un   3(un 1  )(1) 2 2 1 5 � v1  u1   2 (1) �  3vn 1 , n �2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q  Nên  v1.q n 1  Do un   5 n 1 5 n 1   , n  1, 2, 2 Ví dụ 2: Cho dãy số tổng quát un theo n  un  xác định bởi: u1  1; un 1  un , n ��* 2un  Tìm cơng thức số hạng Hướng dẫn giải Ta có un  0, n �� Khi * * Với n �� , đặt Suy ra, dãy số Do đó, Vậy    un 1  un 1 �  2 2un  un 1 un � v1  1; 1   2, n ��* un cấp số cộng có v1  công sai d   v1   n  1 d  2n  1, n ��* un  1  2n  n * Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un 1  2un  , n �� Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải * Với n �� , ta có un 1  2un  3n � un 1  3n 1  2(un  3n ) n * Xét dãy số (vn ), với  un  , n �� Ta có: 1  2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu 2 n 1 n Suy  v1.q  2 n n n Vậy un     DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC � u1  � � u  1 un 1  n �  (  1)un Ví dụ 1: Cho dãy số(un) xác định sau: � a) Chứng minh: tan (n �1, n ��)   1 b) Tính: u2015 Hướng dẫn giải  tan    � �  tan  tan �  � �8 �  tan  � tan   tan    8 a) Ta có: �  tan   � ��    � tan    � tan   tan � � 8 dương) (Vì   tan(a   ) u2    tan a.tan u1   tan a b) Đặt , ta có: , tan a  tan   tan(a  )  tan 8  tan( a   ) u3     tan tan( a  ) 8  un  tan(a  (n  1) ), n �1, n �� Ta chứng minh: (*) Với n  : u1  tan a  uk  tan(a  (k  1) ) Giả sử (*) với n  k , k �1 , hay ta có:   tan( a  ( k  1) )  tan u  1 8  tan(a  k  ) uk 1  k   (  1)uk  tan( a  ( k  1)  ).tan  8 Ta có:  un  tan(a  (n  1) ), n �1, n �� Vậy (*) với n  k  Vậy  3 3 u2015  tan( a  2014 )  tan( a   251 )  tan( a  ) 4 Cho n  2015 , ta có:  1   tan(a  )   (  1)  tan 1 u1  � � u  2 � un 1  n �   un Ví dụ 2: Cho dãy số xác định sau: �    n ��  * Tính u2014 Hướng dẫn giải    tan  �  �  1   tan  tan �  �  12 �3 �  tan tan   3 Ta có: tan  12 un 1    un tan 12 Nên từ giả thiết ta có: un  tan   � 12  tan � u2   � �  � 12 �  tan  tan  tan  � u  tan  12 Đặt , suy tan   tan  � � un  tan �    n  1 � , n ��* 12 � � Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra:  � � � � u2014  tan �   2013 � tan �   168  � 12 � � � � Suy ra:  � � 1  tan �   � � �  tan  tan  tan   tan Ví dụ 3: Cho dãy số Giải: Ta có u1   un  � u1  � (n �1) � 2 � u  2un  xác định bởi: �n 1 Tìm un   2  cos ; u2  2cos   cos 3 ; 2n 1. un  cos , n �1 Dự đoán Chứng minh phương pháp quy nạp thấy BÀI TẬP: Bài : Cho dãy số a)  un  u1  � � un 1  3un  6n  � xác định Tìm số hạng tổng quát dãy u1  � � u  un  2n2 b) �n 1 ; ; u0  � � u  5un  3n c) �n 1 ; Bài : Cho dãy số  un  u0  � � u  2un  n  3n d) �n 1 ; xác định Tìm số hạng tổng qt dãy a) un   5un 1  6un  n b) 8un   6un 1  un  n c) un   3un 1  2un   2n  3n  d) un   un1  2un  n �x1  7, x2  50 � �xn1  xn  xn1  1975 Bài Cho dãy (xn) xác định sau: Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số( un ) cho Tìm x2016 a) � u1  � � � un 1  2un2  � b) u1  � � un 1  2un2  � ; c) � u1  � � � un 1  4un3  3un � BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn dãy - Một số tốn khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định sau: u1  2017; un1  n2  un1  un  với n  �* , n Tìm giới hạn dãy số  un  Lời giải: Từ công thức truy hồi dãy ta � � � �� � � � � � � � un  � 1 � un 1  � 1 � 1 u      u � � � � n  � � 2 � �  n  1 � � � �1 � n � � n � � n � � � �  n  1 � � � un  Do  n  1  n  1  n   n 4.2 3.1 2017  n  2017 2017 lim un  n2 2n  n  1 32 22 Từ Ví dụ 2: Cho dãy số  un  xác định sau: u1  � � �un 1 2017 �u   un , n  �, n �n �u 2017 u 2017 u 2017 � lim �1    n � u3 un 1 � �u2 Tính Lời giải: un 1   un2017 � un 1  u n  u n2018 � u n 1  un  un2018 u Ta có: n un2017 1 �   un un 1 un 1 un2017 u12017 u22017 1       1 u3 un 1 u1 un 1 un 1 Suy ra: u2 lim un  �� lim Ta chứng minh cho �u 2017 u 2017 u 2017 � lim �1    n � u3 un 1 � �u Vậy: 0 un u1  � � � 2n   n  N ; n 1 u  u  �n 1 n 2n Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định sau: � Tìm lim un Lời giải: Ta thấy dãy số un21  Đặt:  un  dương nên từ giả thiết ta có: 2(n  1)  2n   u n2  n 1 n 2  un2  Suy ra: 2n  ; n �1 2n 1 thì: 1    v1  un   2n  2n    n 1 ; n �1 � lim un  n 1 2 � u1  � � � un * � un 1  , n �N un  � � Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định : Tính lim 2017(u1  1)(u2  1) (u n  1) 1009n Lời giải: Do u1  � un  0, n ��* Ta có un 1  un 1 �   � un  un  un 1 un n 1 �1 � �1 � � � n2 n2 �  u1  1  u2  1  un  1  �  1� �  1�  �  1� �2 � �3 � �n  � n  � 2� 2017 � 1 � 2017  u1  1  u2  1  un  1 2017  n   n � 2017 � lim  lim  lim  1009n 2018n 2018 2018 Suy Vậy lim 2017  u1  1  u2  1  un  1 2017  1009n 2018 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Cho dãy số ĐA : lim  un  u1  � � u2  � u lim n2 � * u  u  u  n 1 n n xác định bởi: �n  , với n �� Tính un  n2 u1  � � u �  u1  1  u2  1  un  1 un1  n , n  1, 2,3, A  lim � u u  n n Cho dãy số  n  : � Tính A  lim  u1  1  u2  1  un  1 ĐA � u1  2020 � un   2un 1  un  � n  lim n1 1 n ...Có Hay Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số không đổi Số không đổi gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ...  3un � BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn dãy - Một số tốn khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định sau: u1  2017;... TỔNG QT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho  un  xác định : u1  11 � � un 1  10un   9n, n �N � Xác định số hạng tổng