Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI THIỆU MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ trở số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi Số khơng đổi gọi công sai Ký hiệu �u1 , u2 , , un Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai b) Nhận xét: Dãy xác định bởi: (là số thực) cấp số cộng c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng quát: CSC có Nhận xét: mà: (Thường dùng chứng minh CSC): Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số cộng đặt: Có Hay Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số không đổi Số không đổi gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội b) Nhận xét: q u u2 u3 n u1 u2 un 1 Dãy xác định bởi: (là số thực khác không) cấp số nhân c) Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt: CSN có Nhận xét: mà: Tổng n số hạng đầu tiên: cấp số nhân đặt: Có II BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho un xác định : u1 11 � � un 1 10un 9n, n �N � Xác định số hạng tổng Hướng dẫn giải Ta có: u1 11 10 u2 10.11 102 100 u3 10.102 9.2 1003 1000 Dự đoán: un 10 n n 1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1 11 101 uk 10k k Ta có: uk 1 Công thức , công thức 1 1 với n k ta có với n Giả sử công thức 10 10k k 9k 10k 1 k 1 1 với n k n Vậy un 10 n , n �N Ví dụ Cho dãy số un xác định bởi: u1 � (n N , n 1) � un 1 15un 14n � Tìm un Giải: Giải Ta có f(n) = - 14n + đa thức bậc nhất, = 15 �1 nên ta chọn u*n = an+b Thay vào phương trình cho ta được: a(n+1) + b= 15 (an+b) – 14n +1 Suy a=1, b=0 Vậy u*n = n un q.15n n un0 q n ( với q số) nghiệm tổng quát là: , mà u1 nên q = Vậy : un = 7.15 n + n Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt dãy số un xác định bởi: u1 99 � (n �1) � un 1 un 2n � Giải: f(n)= - 2n - đa thức bậc nhất, = nên ta chọn u*n = n(an + b) Thay vào ta được: (n + 1)[a(n + 1) + b] = n (an + b) – 2n – � a = -1 ; b = � u*n = - n2; un q � un q n , mà u1 99 � q = 99 Vậy un = 99 – n2 DẠNG 2: SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) biết u1 2 � � un 3un 1 1, n �2 � Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un 3un 1 � un Đặt un 1 3un 1 � un 3(un 1 )(1) 2 2 1 5 � v1 u1 2 (1) � 3vn 1 , n �2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q Nên v1.q n 1 Do un 5 n 1 5 n 1 , n 1, 2, 2 Ví dụ 2: Cho dãy số tổng quát un theo n un xác định bởi: u1 1; un 1 un , n ��* 2un Tìm cơng thức số hạng Hướng dẫn giải Ta có un 0, n �� Khi * * Với n �� , đặt Suy ra, dãy số Do đó, Vậy un 1 un 1 � 2 2un un 1 un � v1 1; 1 2, n ��* un cấp số cộng có v1 công sai d v1 n 1 d 2n 1, n ��* un 1 2n n * Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un , n �� Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải * Với n �� , ta có un 1 2un 3n � un 1 3n 1 2(un 3n ) n * Xét dãy số (vn ), với un , n �� Ta có: 1 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu 2 n 1 n Suy v1.q 2 n n n Vậy un DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC � u1 � � u 1 un 1 n � ( 1)un Ví dụ 1: Cho dãy số(un) xác định sau: � a) Chứng minh: tan (n �1, n ��) 1 b) Tính: u2015 Hướng dẫn giải tan � � tan tan � � �8 � tan � tan tan 8 a) Ta có: � tan � �� � tan � tan tan � � 8 dương) (Vì tan(a ) u2 tan a.tan u1 tan a b) Đặt , ta có: , tan a tan tan(a ) tan 8 tan( a ) u3 tan tan( a ) 8 un tan(a (n 1) ), n �1, n �� Ta chứng minh: (*) Với n : u1 tan a uk tan(a (k 1) ) Giả sử (*) với n k , k �1 , hay ta có: tan( a ( k 1) ) tan u 1 8 tan(a k ) uk 1 k ( 1)uk tan( a ( k 1) ).tan 8 Ta có: un tan(a (n 1) ), n �1, n �� Vậy (*) với n k Vậy 3 3 u2015 tan( a 2014 ) tan( a 251 ) tan( a ) 4 Cho n 2015 , ta có: 1 tan(a ) ( 1) tan 1 u1 � � u 2 � un 1 n � un Ví dụ 2: Cho dãy số xác định sau: � n �� * Tính u2014 Hướng dẫn giải tan � � 1 tan tan � � 12 �3 � tan tan 3 Ta có: tan 12 un 1 un tan 12 Nên từ giả thiết ta có: un tan � 12 tan � u2 � � � 12 � tan tan tan � u tan 12 Đặt , suy tan tan � � un tan � n 1 � , n ��* 12 � � Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: � � � � u2014 tan � 2013 � tan � 168 � 12 � � � � Suy ra: � � 1 tan � � � � tan tan tan tan Ví dụ 3: Cho dãy số Giải: Ta có u1 un � u1 � (n �1) � 2 � u 2un xác định bởi: �n 1 Tìm un 2 cos ; u2 2cos cos 3 ; 2n 1. un cos , n �1 Dự đoán Chứng minh phương pháp quy nạp thấy BÀI TẬP: Bài : Cho dãy số a) un u1 � � un 1 3un 6n � xác định Tìm số hạng tổng quát dãy u1 � � u un 2n2 b) �n 1 ; ; u0 � � u 5un 3n c) �n 1 ; Bài : Cho dãy số un u0 � � u 2un n 3n d) �n 1 ; xác định Tìm số hạng tổng qt dãy a) un 5un 1 6un n b) 8un 6un 1 un n c) un 3un 1 2un 2n 3n d) un un1 2un n �x1 7, x2 50 � �xn1 xn xn1 1975 Bài Cho dãy (xn) xác định sau: Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số( un ) cho Tìm x2016 a) � u1 � � � un 1 2un2 � b) u1 � � un 1 2un2 � ; c) � u1 � � � un 1 4un3 3un � BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn dãy - Một số tốn khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định sau: u1 2017; un1 n2 un1 un với n �* , n Tìm giới hạn dãy số un Lời giải: Từ công thức truy hồi dãy ta � � � �� � � � � � � � un � 1 � un 1 � 1 � 1 u u � � � � n � � 2 � � n 1 � � � �1 � n � � n � � n � � � � n 1 � � � un Do n 1 n 1 n n 4.2 3.1 2017 n 2017 2017 lim un n2 2n n 1 32 22 Từ Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định sau: u1 � � �un 1 2017 �u un , n �, n �n �u 2017 u 2017 u 2017 � lim �1 n � u3 un 1 � �u2 Tính Lời giải: un 1 un2017 � un 1 u n u n2018 � u n 1 un un2018 u Ta có: n un2017 1 � un un 1 un 1 un2017 u12017 u22017 1 1 u3 un 1 u1 un 1 un 1 Suy ra: u2 lim un �� lim Ta chứng minh cho �u 2017 u 2017 u 2017 � lim �1 n � u3 un 1 � �u Vậy: 0 un u1 � � � 2n n N ; n 1 u u �n 1 n 2n Ví dụ 3: Cho dãy số un xác định sau: � Tìm lim un Lời giải: Ta thấy dãy số un21 Đặt: un dương nên từ giả thiết ta có: 2(n 1) 2n u n2 n 1 n 2 un2 Suy ra: 2n ; n �1 2n 1 thì: 1 v1 un 2n 2n n 1 ; n �1 � lim un n 1 2 � u1 � � � un * � un 1 , n �N un � � Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định : Tính lim 2017(u1 1)(u2 1) (u n 1) 1009n Lời giải: Do u1 � un 0, n ��* Ta có un 1 un 1 � � un un un 1 un n 1 �1 � �1 � � � n2 n2 � u1 1 u2 1 un 1 � 1� � 1� � 1� �2 � �3 � �n � n � 2� 2017 � 1 � 2017 u1 1 u2 1 un 1 2017 n n � 2017 � lim lim lim 1009n 2018n 2018 2018 Suy Vậy lim 2017 u1 1 u2 1 un 1 2017 1009n 2018 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Cho dãy số ĐA : lim un u1 � � u2 � u lim n2 � * u u u n 1 n n xác định bởi: �n , với n �� Tính un n2 u1 � � u � u1 1 u2 1 un 1 un1 n , n 1, 2,3, A lim � u u n n Cho dãy số n : � Tính A lim u1 1 u2 1 un 1 ĐA � u1 2020 � un 2un 1 un � n lim n1 1 n ...Có Hay Cấp số nhân a) Định nghĩa: Dãy gọi cấp số nhân kể từ số hạng thứ trở số hạng bắng số hạng đứng trước nhân với số không đổi Số không đổi gọi công bội Ký hiệu: Có : số hạng : số hạng thứ... 3un � BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn dãy - Một số tốn khác giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Cho dãy số un xác định sau: u1 2017;... TỔNG QT CỦA DÃY SỐ DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Ví dụ 1: Cho dãy số quát dãy cho un xác định : u1 11 � � un 1 10un 9n, n �N � Xác định số hạng tổng
Ngày đăng: 02/04/2021, 11:15
Xem thêm:
