Chuyên đề dãy số

Dãy số

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THÀNH PH C N THỞ Ụ Ạ Ố Ầ Ơ Tr ng THPT Chuyên Lý T Tr ngườ ự ọ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ Giáo viên h ng d n: ướ ẫ Huỳnh B u Tính, Tr n Di u Minh.ử ầ ệ - 1 - NHÓM TH C HI N:Ự Ệ Bùi T n Ph ng Nguy n Anh L cấ ươ ễ ộ Tr n M Hoa D ng Minh Quânầ ỹ ươ Tiêu Ng c Di m Quỳnh Bùi Tu n Anhọ ễ ấ Tr n Th Thanh Huy n T ng Trung Thànhầ ị ề ố Lê Thanh Tú L I NÓI Đ UỜ Ầ Trong ch ng trình toán h c THPT, các bài toán liên quan đ n dãy s là m t trong nh ngươ ọ ế ố ộ ữ v n đ quan tr ng trong ph n đ i s và gi i tích l p 11. Dãy s là d ng toán khá ph c t p, c nấ ề ọ ầ ạ ố ả ớ ố ạ ứ ạ ầ rèn luy n, h c t p th ng xuyên thì m i gi i nhanh và t t đ c. Vì th , dãy s th ng xu t hi nệ ọ ậ ườ ớ ả ố ượ ế ố ườ ấ ệ trong các kỳ thi h c sinh gi i, thi Olympic toán đ đánh giá kh năng t duy c a h c sinh. Do đóọ ỏ ể ả ư ủ ọ đ có th h c t t môn dãy s , ta c n luy n t p gi i các bài toán liên quan dãy s đ ng th i tíchể ể ọ ố ố ầ ệ ậ ả ố ồ ờ c c tìm ra nh ng ph ng pháp hay đ gi i toán dãy s m t cách h p lý nh t. ự ữ ươ ể ả ố ộ ợ ấ chuyên đ này, t p th t 02 l p 11A1 đã t ng h p và biên so n m t s v n đ liênỞ ề ậ ể ổ ớ ổ ợ ạ ộ ố ấ ề quan đ n dãy s đ làm tài li u h c t p cho môn chuyên cũng nh đ nghiên c u v m t d ngế ố ể ệ ọ ậ ư ể ứ ề ộ ạ toán khá lí thú. Chuyên đ g m các ph nề ồ ầ : : 1. Đ nh nghĩa và các đ nh lý c b n v dãy s .ị ị ơ ả ề ố 2. Các d ng dãy s đ c bi t.ạ ố ặ ệ 3. M t s ph ng pháp xây d ng dãy s .ộ ố ươ ự ố 4. Ph ng trình sai phân tuy n tính.ươ ế 5. Dãy s và các v n đ liên quan đ n gi i h n.ố ấ ề ế ớ ạ - 2 - PH N 01: Đ NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C B N C A DÃY SẦ Ị Ấ Ơ Ả Ủ Ố I)Cac đinh nghia vê day sô:́ ̣ ̃ ̀ ̃ ́ Day sô: la ham sô ̃ ́ ̀ ̀ ́ :f S → ¡ S= { } 1;2;3; ;n đ i v i dãy h u h n.ố ớ ữ ạ S= ¥ đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 0.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố S= *¥ đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 1.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố V i dãy ớ f: S → ¡ . ( )n f na . Ky hiêu: ́ ̣ ( ) { } ; n n u u ; v i ớ u n = f(n). Trong đó: + 0 u hay 1 u đ c goi la sô hang đâu.ượ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ + n u đ c goi la sô hang tông quat.ượ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́ +n đ c goi la chi sô cua cac sô hang.ượ ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ́ ̣ Day sô co thê đ c cho theo cac cach sau đây:̃ ́ ́ ̉ ượ ́ ́ 1)Cho day sô b i công th c cua sô hang tông quat:̃ ́ ở ứ ̉ ́ ̣ ̉ ́ VD: Cho day sô ̃ ́ ( ) n u v i ớ 10 2 9 n n u n + = − . 2)Cho day sô b i hê th c truy hôi:̃ ́ ở ̣ ứ ̀ VD: 1 20 2 95( 2) n n u u u n =   = + ≥  . 3)Cho day sô b i ph ng phap liêt kê cac phân t .̃ ́ ở ươ ́ ̣ ́ ̀ ử VD: dãy 0;1;2;3;4;5;……. II)Tinh chât:́ ́ 1)Day sô tăng, day sô giam:̃ ́ ̃ ́ ̉ Day sô (̃ ́ n u ) đ c goi la day sô tăng nêu v i moi n ta co: ượ ̣ ̀ ̃ ́ ́ ớ ̣ ́ 1n n u u + < . Day sô (̃ ́ n u ) đ c goi la day sô giam nêu v i moi n ta co: ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̉ ́ ớ ̣ ́ 1n n u u + > . Day sô tăng hay day sô giam đ c coi la day đ n điêu.̃ ́ ̃ ́ ̉ ượ ̀ ̃ ơ ̣ VD: Xét tính đ n đi u c a dãy s sau: ơ ệ ủ ố u n = n + ( 1 2 ) n v i ớ n ∀ ∈ ¢ + . Gi i: ả n ∀ ∈ ¢ + Ta có: u n+1 - u n = (1- 1 2 n ) + 1 1 2 n+ > 0 ⇒ (u n ) là dãy tăng. 2)Day sô bi chăn:̃ ́ ̣ ̣ - 3 - Day sô (̃ ́ n u ) đ c goi la day sô bi chăn trên nêu tôn tai sô ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́ M sao cho: * , n n u M∀ ∈ ≤¥ Sô ́ M nho nhât đ c goi la cân trên đung cua (̉ ́ ượ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ n u ).Ky hiêu ́ ̣ sup n u . Day sô (̃ ́ n u ) đ c goi la day sô bi chăn d i nêu tôn tai sô ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ướ ́ ̀ ̣ ́ m sao cho: * , n n u m∀ ∈ ≥¥ Sô ́ m l n nhât đ c goi la cân d i đung cua (ớ ́ ượ ̣ ̀ ̣ ướ ́ ̉ n u ).Ky hiêu ́ ̣ inf n u . Day sô (̃ ́ n u ) đ c goi la day sô bi chăn nêu no v a bi chăn trên, v a bi chăn d i, t c la tônượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ừ ̣ ̣ ừ ̣ ̣ ướ ứ ̀ ̀ tai sô ̣ ́ m va sô ̀ ́ M sao cho * n∀ ∈¥ n m u M≤ ≤ . VD: Xét tính b ch n c a dãy s sau: ị ặ ủ ố u n = (-1) n + cos n, n∀ ∈¢ + . Gi i: ả u n = (-1) n + cos n, n ∀ ∈ ¢ + ; Ta có: -1 ≤ cos n ≤ 1 ⇒ -2 ≤ (-1) n + cos n ≤ 2. V y (uậ n ) b ch n.ị ặ Chu y:́ ́ Moi day sô (̣ ̃ ́ n u ) giam luôn bi chăn trên b i ̉ ̣ ̣ ở 1 u Moi day sô (̣ ̃ ́ n u ) tăng luôn bi chăn d i b i ̣ ̣ ướ ở 1 u . 3) Dãy con và dãy tu n hoàn:ầ Dãy con: Cho dãy (u n ) n∀ ∈¢ + . L p dãy (Vậ k n ) v i các s h ng: Vớ ố ạ 1 n , V 2 n ,… , V k n ,……. Trong đó dãy (n k ) là các s t nhiên tăng vô h n.ố ự ạ Dãy (V k n ) đ c g i là dãy con c a (uượ ọ ủ n ). Nh n xét:ậ (u n ) là dãy con c a chính nó v i nủ ớ k =k. VD: Cho dãy (u n ) xác đ nh b i:ị ở 1 1 0 1 ( 1) n n n u u u u + ≤ <   = −  v i ớ n∀ ∈¢ + . CMR: dãy (u 2n+1 ) là dãy gi m và dãy (ả u 2n ) là dãy tăng. Gi i: Áp d ng ph ng pháp quy n p ta d dàng suy ra đpcm.ả ụ ươ ạ ễ Dãy tu n hoàn:ầ Dãy tu n hoàn c ng tính:ầ ộ Dãy (u n ) đ c g i là tu n hoàn c ng tính khi và ch khi ượ ọ ầ ộ ỉ l ∃ ∈ ¢ + sao cho u n+l = u n n ∀ ∈ ¢ + . S ố l min đ c g i là chu kì c s c a dãy (ượ ọ ơ ở ủ u n ). Đ c bi t: (ặ ệ u n ) tu n hoàn c ng tính, chu kì ầ ộ l=1 là dãy h ng.ằ - 4 - VD: Dãy s (ố u n ) xác đ nh b i uị ở 0 = 1, u 1 = 0, u n+1 = u n + u n-1 v i n = 1,2,3,…… tu n hoàn v i chu kì 6:ớ ầ ớ 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,……. Dãy tu n hoàn nhân tính: ầ Dãy (u n ) đ c g i là tu n hoàn nhân tính khi và ch khi ượ ọ ầ ỉ l ∃ ∈ ¢ + , l>1 sao cho u n.l = u n n ∃ ∈ ¢ + . S ố l min đ c g i là chu kì c s c a dãy (ượ ọ ơ ở ủ u n ). Bài t p:ậ 1) Cho dãy (u n ) v i ớ u n = 2 ( 2) , ( 1) n n n n + ∈ + ¥ và dãy (x n ) xác đ nh b i ị ở x n = u 1 .u 2 .u 3 …u n . a) CMR dãy (u n ) tăng, (x n ) gi m.ả b) CMR x n = 2 2( 1) n n + + . 2) Dãy (u n ) xác đ nh b i:ị ở 1 2 3 1 3 1 n n n u u u u u u − − = = =   = +  , 4n∀ ≥ . CMR: dãy (u n ) tăng 3.n ∀ ≥ 3) Xét tính b ch n c a dãy ị ặ ủ u n : u n = (1+ 1 n ) n n∀ ∈¢ + . 4) Dãy (u n ) xác đ nh b i:ị ở 1 0 1 1 (1 ) 4 n n n u u u n + + < <    − > ∀ ∈   ¢ . CM: dãy (u n ) tăng và b ch n.ị ặ 5) Dãy (u n ) xác đ nh b i:ị ở 1 1 1 2 1 n n n u u u u + =   +  =  +  v i ớ 1.n∀ ≥ CM: dãy (u 2n+1 ) tăng và dãy (u 2n ) gi m.ả 6) Cho \ .k ∈¤ ¢ CMR dãy (u n ) xác đ nh b i:ị ở 0 1 1 1 1 1 *. n n n u u u ku u n + − =   = −   = − ∀ ∈  ¥ Không là dãy tu n hoàn. ầ - 5 - PH N 02: M T S D NG DÃY S Đ C BI TẦ Ộ Ố Ạ Ố Ặ Ệ C p s c ng: ấ ố ộ Đ nh nghĩa:ị Dãy đ c g i là c p s c ng khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngượ ọ ấ ố ộ ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ằ s h ng đ ng tr c nó c ng v i s không đ i. S không đ i đ c g i là công sai.ố ạ ứ ướ ộ ớ ố ổ ố ổ ượ ọ Ký hi u: ệ Có : s h ng đ u tiênố ạ ầ : s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ : công sai 1. Nh n xét:ậ - - Dãy xác đ nh b i:ị ở ( là các s th c) ố ự là 1 c p s c ng.ấ ố ộ Tính ch t:ấ 1. Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ là CSC có Ch ng minh: ứ … Suy ra: Nh n xét: ậ mà: thì - 6 - 2. (Th ng dùng ch ng minh CSC):ườ ứ 3. T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ là c p s c ng đ t:ấ ố ộ ặ Có Hay Ch ng minh:ứ Có Nh n xét:ậ Ví d :ụ Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế theo th t l p thành m t c p s c ng thì ứ ự ậ ộ ấ ố ộ theo th t cũng l p thành m t c p s c ng (gi s ứ ự ậ ộ ấ ố ộ ả ử ) Gi i:ả theo th t l p thành m t c p s c ng khi và ch khiứ ự ậ ộ ấ ố ộ ỉ - 7 - T c là khi và ch khi ứ ỉ theo th t l p thành m t c p s c ng.ứ ự ậ ộ ấ ố ộ C p s nhân: ấ ố Đ nh nghĩa:ị Dãy đ c g i là c p s nhân khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngượ ọ ấ ố ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ắ s h ng đ ng tr c nó nhân v i s không đ i. S không đ i đ c g i là công b i.ố ạ ứ ướ ớ ố ổ ố ổ ượ ọ ộ Ký hi u: ệ Có : s h ng đ u tiênố ạ ầ : s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ : công b iộ Nh n xét:ậ - - Dãy xác đ nh b i:ị ở ( là các s th c khác không) ố ự là 1 c p s nhân.ấ ố Tính ch t:ấ 1. Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ là CSN có Ch ng minh: ứ … Suy ra: Nh n xét: ậ mà: - 8 - thì 2. 3. T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ là c p s nhân đ t:ấ ố ặ Có Ch ng minh:ứ Có T ng các s h ng c a CSN lùi vô h n:ổ ố ạ ủ ạ 1 CSN đ c g i là lùi vô h n khi và ch khi công b i ượ ọ ạ ỉ ộ th a ỏ Dãy là CSN lùi vô h n v i công b i ạ ớ ộ Có Ví d :ụ 1. Tính Gi i: ả - 9 - 2. Cho dãy s ố xác đ nh b i ị ở và v i m i ớ ọ . Ch ng minhứ r ng dãy s ằ ố xác đ nh b i ị ở v i m i ớ ọ là m t c p s nhân. Hãy cho bi tộ ấ ố ế s h ng đ u và công b i c a c p s nhân đó.ố ạ ầ ộ ủ ấ ố Gi i: ả T công th c xác đ nh dãy s ừ ứ ị ố và , ta có: v i m i ớ ọ . T đó suy ra dãy s ừ ố là m t c p s nhân v i s h ng đ uộ ấ ố ớ ố ạ ầ và công b i ộ . 3. Các s ố theo th t đó l p thành m t c p s c ng; đ ng th iứ ự ậ ộ ấ ố ộ ồ ờ các số theo th t đó l p thành m t c p s nhân. Tìm ứ ự ậ ộ ấ ố và . Gi i: ả V i ớ theo th t đó l p thành m t c p s c ng, ta có:ứ ự ậ ộ ấ ố ộ hay Ta l i có: ạ ) ) 4. Tìm 3 s t o thành c p s c ng có t ng b ng 6, bi t r ng n u hoán đ i v trí s h ng thố ạ ấ ố ộ ổ ằ ế ằ ế ổ ị ố ạ ứ nh t và s h ng th hai đ ng th i gi nguyên s h ng th ba ta đ c c p s nhân.ấ ố ạ ứ ồ ờ ữ ố ạ ứ ượ ấ ố - 10 - [...]... +với số 3 cần tìm theo thứ tự có: có 2 ta có ta có dãy -4 , 2, 8 dãy dãy là dãy số hằng: là : (thay 2 vào thoả , 2 dưới) mãn: , 2 Bài tập: 1 Chứng minh các mệnh đề sau đúng với: 3 Cho lập thành cấp số nhân Cmr: 4 Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành c ấp số nhân Tìm công bội của cấp số đó 5 Cmr điều kiện cần và đủ để 3 số lập thành cấp số nhân Một số dãy số đặc biệt: 1 Dãy. .. nghĩa: Dãy xác định bởi: - 11 - tạo thành cấp số cộng là 3 số được gọi là dãy Fibonacci Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê: 1.2 Các định lý: Định lý 1: Cho dãy là dãy Fibonacci: Khi đó: Định lý 2: (Công thức Binet) Cho là dãy Fibonacci: Số hạng tổng quát của dãy là: - 12 - Hệ quả: a Khi thì: b 2 Dãy Farey: Định nghĩa: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối gi ản n ằm gi ữa 0 và 1 có m ẫu số không... và chỉ khi tồn tại Dãy ở đó , được gọi là giá Số trị chặn trên Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại ở đó , Số được gọi là giá trị chặn dưới Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn Ví dụ: dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương Giới hạn của một dãy số thực: Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát m ột số dãy số th ực, có th ể ti... thứ 2 ( Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số ) và các số tiếp theo Biên của dãy: Cho dãy Tập hợp các giá trị của dãy: được gọi là biên của dãy đó - 15 - Biên này không có thứ tự Ví dụ, cho dãy , có biên là {-1,1} Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1 Dãy số thực đơn điệu: Định nghĩa Cho dãy số thực với xn là các số thực Nó là Tăng khi và chỉ khi , Giảm khi và chỉ khi , Nếu dãy có được một trong... Cấp số nhân cộng: được gọi là cấp số nhân cộng nếu như Dãy là các hằng số) Đặc biệt: dãy là CSN công bội là - 14 - , ta có: dãy là CSC công sai là Dãy số thực: Định nghĩa: Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ , trong đó là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn m ột số t ự nhiên m nào đó Khi đó ta dùng kí hiệu thay cho Nếu là hữu hạn ta có dãy. .. Dãy tuần hoàn: 1 Dãy tuần hoàn cộng tính: được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi Dãy sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Đặc biệt: 2 tuần hoàn cộng tính, chu kì là dãy hằng Dãy tuần hoàn nhân tính: Dãy được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Lưu ý: Dãy tuần hoàn chu kì k thì nó bị chặn Ví dụ: Cm dãy max { min... Xét dãy } và xác định bởi: - 19 - } i nên Bằng quy nạp ta cm Ngược lại, với dãy có: có: sẽ là dãy cộng tính, chu kì 2 PHẦN 03: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình Có thể xây dựng dãy số hội tụ về một số cách sau: Ví dụ 1: Xét = , xuất phát từ một phương trình có nghiệm là là nghiệm của phương trình và ta thiết lập dãy số thỏa mãn =2 Ta viết lại dưới dạng 2 Nếu dãy. .. chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu Ví dụ: với dãy Ta có Do Suy ra nên , hay là dãy tăng Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm: Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm c ủa hàm số tương ứng Ví dụ như cho dãy Xét hàm số: với Lấy đạo hàm của nó, ta thu được: Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi Điều này xảy ra với mọi giảm Dãy số thực bị chặn: - 16 - , nên dãy là dãy bị chặn trên... có th ể ti ến "rất gần" một số nào đó Chẳng hạn, xét dãy số thực: Hay Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ của dãy có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau: Đinh nghĩa Cho dãy số thực thì và một số thực Khi đó nếu: được gọi là giới hạn của dãy Khi đó ta cũng nói dãy Giới hạn của dãy thường được kí hiệu: Hoặc... hết giữa các số Lucas chia hết cho nếu m là số lẻ c Mối liên hệ với các số Fibonacci: 1 Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau: Hoặc tổng quát hơn là công thức sau: với mọi 2 3 4 d Khi chỉ số là số nguyên tố Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố e Số nguyên tố Lucas Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là: . Dãy con và dãy tu n hoàn:ầ Dãy con: Cho dãy (u n ) n∀ ∈¢ + . L p dãy (Vậ k n ) v i các s h ng: Vớ ố ạ 1 n , V 2 n ,… , V k n ,……. Trong đó dãy (n k ) là các s t nhiên tăng vô h n.ố ự ạ Dãy. ∈¢ + . CMR: dãy (u 2n+1 ) là dãy gi m và dãy (ả u 2n ) là dãy tăng. Gi i: Áp d ng ph ng pháp quy n p ta d dàng suy ra đpcm.ả ụ ươ ạ ễ Dãy tu n hoàn:ầ Dãy tu n hoàn c ng tính:ầ ộ Dãy (u n ) đ c g i là. 1: Cho dãy là dãy Fibonacci: Khi đó: Đ nh lý 2: (Công th c Binet)ị ứ Cho là dãy Fibonacci: S h ng t ng quát c a dãy là:ố ạ ổ ủ - 12 - H qu :ệ ả a. Khi thì: b. 2. Dãy Farey: Đ nh nghĩa: Dãy Farey