Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần Chương 2: Ma trận - Định thức - Hệ PTTT Ma trận, Định thức, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Một ma trận cỡ m × n bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng A = aij m×n a11 a12 a13 a1n a a a a 11 12 23 1n = am1 am2 am3 amn với phần tử ma trận aij ∈ K (K trường số thực R trường số phức C) Khi m = 1, ma trận gọi ma trận hàng: a11 a12 a13 a1n a 11 a21 Khi n = 1, ma trận gọi ma trận cột: a31 am1 Khi aij = 0, ∀i, j, ma trận gọi ma trận khơng, kí hiệu O Khi m = n, ma trận gọi ma trận vuông cấp n Hai ma trận Cho hai ma trận kích thước A = aij m×n B = bij m×n Nếu aij = bij , ∀i, j A = B Ma trận chuyển vị Cho ma trận A = aij m×n Ma trận chuyển vị A AT = aij n×m cho aij = aji VD Ma trận A có ma trận chuyển vị AT bên A= , AT = 3 6 Đường chéo ma trận vng Cho ma trận vuông cấp n Các phần tử aii (i = 1, n) gọi phần tử đường chéo ma trận Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập a11 a 21 a 31 an1 a12 a13 a1n a22 a23 a2n a32 a33 a3n an2 an3 ann Các dạng ma trận (1) A gọi ma trận tam giác aij = (i > j), ma trận tam giác aij = (i < j) a11 a12 a13 0 a 22 a23 0 a33 0 a1n a2n a3n ann a11 a 21 a22 a 31 a32 a33 an1 an2 an3 Ma trận tam giác ann Ma trận tam giác (2) A gọi ma trận chéo aij = (i = j) a11 0 a 22 0 a33 0 ann (3) A ma trận đơn vị ma trận chéo có phần tử đường chéo Ký hiệu E (Hoặc I) (4) A ma trận đối xứng A = AT , ma trận phản đối xứng A = −AT Các phép toán với ma trận 2.1 Phép cộng Cho hai ma trận cỡ A = aij m×n B = bij m×n A + B = aij + bij Khi m×n Tính chất (1) (Giao hốn) A + B = B + A Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập (2) (Kết hợp) A + (B + C) = (A + B) + C (3) (Tồn phần tử trung hòa) A + O = O + A = A Dễ thấy phần tử đối xứng A −A (4) (A + B)T = AT + B T Gọi Matm×n (R) tập ma trận kích thước m × n với phần tử thực, Matm×n (R), + lập thành nhóm Abel VD Xét hai ma trận cỡ A B A= Khi 2.2 , B= 1+5 2+4 5+2 6 = A+B = 4+3 9+0 0+7 Nhân số với ma trận Cho A = aij m×n trường K số k ∈ K Khi kA = kaij VD m×n = 10 12 Ta có số tính chất sau (1) (Phân phối) k(A + B) = kA + kB , (k1 + k2 )A = k1 A + k2 A (2) (Kết hợp) (k1 k2 )A = k1 (k2 A) (3) 1.A = A , (−1)A = −A (4) (kA)T = kAT 2.3 Nhân ma trận Cho hai ma trận A = aij m×n B = bij n×p Tích hai ma trận A B AB = C = cij m×p Với n cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + ain bnj = aik bkj k=1 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập VD 2 1 0 3 1 −1 = 4 −2 −1 1 −1 Ta có số tính chất sau (1) (Kết hợp) (AB)C = A(BC) , k(AB) = (kA)B = A(kB) (2) (Tồn phần tử trung hòa) EA = AE = A (3) (Phân phối) A(B + C) = AB + AC (4) (AB)T = B T AT Lưu ý Phép nhân ma trận tính chất giao hốn I Định thức Cho ma trận A = aij n×n vng cấp n Gọi Mij ma trận vuông cấp n − tạo ma trận A bỏ hàng i cột j Định thức A (Ký hiệu detA |A|) xác định n n+1 |A| = ai1 |M11 | − ai2 |M12 | + + (−1) (−1)i+j aij |M1j | ain |M1n | = j=1 Ta gọi Aij = (−1)i+j |Mij | phần phụ đại số aij Ta có số tính chất sau (1) detA = detAT (2) Nếu đổi chỗ hàng (cột) ma trận định thức đổi dấu (3) Nếu ma trận A có hàng (cột) định thức (4) Có thể tính định thức ma trận cách khai triển theo hàng n detA = aij Aij (Cố định i) j=1 Tương tự, ta tính định thức ma trận cách khai triển theo cột n detA = aij Aij (Cố định j) i=1 (6) Ma trận A xác định cách nhân hàng (cột) A với số λ Khi detA = λdetA Khi đó, ta có det(kA) = k n detA với n cấp ma trận vuông A (7) Nếu ta cộng hàng (cột) với hàng (cột) khác A định thức A khơng đổi Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập (8) a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 + c1 b2 + c2 bn + cn = b1 an1 an2 ann b2 a11 a12 a1n b n + c1 an1 an2 ann c2 cn an1 an2 ann (9) Định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo (10) det(AB) = detA.detB, với A B hai ma trận cỡ VD Tính −1 2 Giải Biến đổi 3 −1 = (Cộng hàng vào hàng 2) = (Nhân hàng với -2 cộng vào hàng 3) −1 −2 = − −1 −2 = − −1 −2 0 (Đổi hàng hàng 3) (Nhân hàng với cộng vào hàng 2) −1 = −1.(−1)(−1) = −1 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Hạng ma trận Định nghĩa Định thức Cho ma trận A = aij m×n Bỏ m − k hàng n − k cột ma trận A, ta ma trận vuông cấp k, định thức ma trận gọi định thức cấp k ma trận A Hạng ma trận Hạng ma trận A cấp cao định thức khác A Ký hiệu rankA Ma trận bậc thang A gọi ma trận bậc thang thỏa mãn điều kiện sau (1) Nếu có hàng chứa tồn số phải nằm (2) Phần tử khác đầu tiền (Từ bên trái) nằm cột bên phải phần tử khác hàng VD 0 0 0 −2 −1 −4 5 6 0 9 0 0 Ma trận bậc thang Ma trận "không" bậc thang −1 0 0 0 0 0 0 0 5 6 9 −2 Hạng ma trận số hàng khác ma trận Cách tính hạng ma trận Ta có số ý sau (1) rankA = rank AT (2) Hạng ma trận khong đổi áp dụng phép biến đổi sơ cấp Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 1 2 2 VD Tính rankA với A = 3 −1 2 −1 −2 Giải Áp dụng 2 A= 3 phép biến đổi sơ cấp, ta có h2 − 2h1 → h2 1 1 h3 − 3h1 → h3 h4 − 2h1 → h4 0 −−−−−−−−→ 0 −1 −1 −2 1 1 h3 − h2 → h3 −1 h4 − h3 → h4 0 −1 0 −−−−−−−→ 0 −3 −4 −1 −2 −4 0 0 −3 −4 1 Do rankA = III Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho ma trận A vuông cấp n Nếu tồn ma trận B cỡ thỏa mãn AB = BA = E A gọi ma trận khả nghịch, B ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B = A−1 −2 B = VD Với A = 3 1 − 2 1 −2 Ta có AB = = − 2 , −2 1 = BA = 1 − 2 Do B = A−1 Tính chất (1) E khả nghịch E −1 = E detA (3) A B hai ma trận cỡ khả nghịch AB khả nghịch (2) A khả nghịch detA = det A−1 = (AB)−1 = B −1 A−1 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Cách tìm ma trận nghịch đảo 3.1 Phương pháp sử dụng phần phụ đại số Nếu detA = ma trận khả nghịch B1 Tính detA Nếu detA = ma trận khơng nghịch ∼ B2 Lập ma trận phụ đại số A = Aij n×n , với Aij phần phụ đại số aij B3 Sử dụng công thức ∼ A−1 = T A detA 1 VD Tìm ma trận nghịch đảo A = 1 −1 Giải Ta có detA = nên ma trận A khả nghịch Lập ma trận phụ đại số (−1)1+1 ∼ A = (−1)2+1 (−1)3+1 3.2 −1 (−1)1+2 −1 1 (−1)2+2 (−1)1+3 1 (−1)2+3 (−1)3+2 1 (−1)3+3 −1 −1 1 1 1 −3 −1 = −1 −1 −3 −3 A = = −3 −1 detA −1 −1 ∼ Do A−1 T Phương pháp biến đổi sơ cấp B1 Lập ma trận bổ sung A = A|E n×2n B2 Biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận A trở thành ma trận đơn vị Khi phần bổ sung bên trái sau biến đổi ma trận nghịch đảo A A|E Biến đổi sơ cấp theo hàng n×2n −−−−−−−−−−−−−−−→ E|A−1 n×2n Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 1 VD Tìm ma trận nghịch đảo A = 1 2 2 Giải Xét ma trận bổ 1 A = 1 2 2 Vậy A−1 sung h − h → h h − h → h 2 1 0 1 1 0 0 −1 h3 − 2h1 → h3 h2 − h3 → h2 0 −−−−−−−−→ 0 1 −1 0 −−−−−−−→ 0 1 −1 0 0 −2 0 −2 −1 = 1 −1 −2 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream ... II Hạng ma trận Định nghĩa Định thức Cho ma trận A = aij m×n Bỏ m − k hàng n − k cột ma trận A, ta ma trận vuông cấp k, định thức ma trận gọi định thức cấp k ma trận A Hạng ma trận Hạng ma trận. .. (cột) ma trận định thức đổi dấu (3) Nếu ma trận A có hàng (cột) định thức (4) Có thể tính định thức ma trận cách khai triển theo hàng n detA = aij Aij (Cố định i) j=1 Tương tự, ta tính định thức ma. .. 0 −3 −4 1 Do rankA = III Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho ma trận A vuông cấp n Nếu tồn ma trận B cỡ thỏa mãn AB = BA = E A gọi ma trận khả nghịch, B ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B = A−1