Hạng của ma trận và ma trận nghịch đảo

Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 1 CHƯƠNG 4: CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 2 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ M mxn (K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ h i ↔ h j (C i ↔ C j ) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau) b/ h i → α.h j (C i → α.h i ), α ≠ 0 (Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không) c/ h i → h i + βh j (C i → C i + βC j ) (Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 3 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ:            →            →           = →↔ 12108 987 321 654 987 321 987 654 321 3332 .2 hhhh A Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 4 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A ∈ M mxn (K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 5 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ:           = 12000 41300 34012 A               = 00000 30000 64100 54321 B Là những ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 6 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt)               −− −−  →               −− −− −−  →               −−− −− −−  →               −−− −− −−  →               − −− − = −→ +→ ↔ −→ −→ 00000 63100 52110 41021 63100 63100 52110 41021 15210 63100 52110 41021 15210 52110 63100 41021 112253 52110 21142 41021 344 244 32 144 122 3 2 hhh hhh hh hhh hhh A Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 7 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A ∈ M mxn (K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không. Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 8 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau: . r(A) = r(AT) . r(A mxn ) ≤ min{m,n} . r(A+B) ≤ r(A) + r(B) . r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} . Cho ma trận A ∈ M mxn (K) X ∈ M n (K), detX ≠ 0 Y ∈ M m (K), detY ≠ 0 Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 9 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt): . Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) . Nếu A ∈ M n (K) thì: + r(A) = n ⇔ detA ≠ 0 + r(A) < n ⇔ detA = 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 10 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A ∈ M mxn (K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không. Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận. [...]... MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo Cho ma trận A ∈ Mn(K) * A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0 * A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A–1 Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 15 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) c/ Định lý Cho ma trận. .. 4: MA TRẬN Slide 12 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp Cho A = (aij) ∈ Mn(K), khi đó ta gọi ma trận T  A11 A12 A1n     A 21 A 22 A 2 n  PA =   là ma trận phụ hợp của ma trận A   A A n 2 A nn   n1  Ở đây: Aij = (–1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j Toán 2 Chương 4: MA TRẬN... −1 −1 1 1 −7 5 Chương 4: MA TRẬN Slide 21 0  − 1 1  2  −1 − 4  4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): 1     → 0  0  0 1 0 h1 → h1 + h3 h2 → h2 + h3 ⇒ A Toán 2 −1 − 4  = −8 − 7  3 6 5 0 −4 0 −8 1 −7 3 6 5 − 2  − 5  − 4 Chương 4: MA TRẬN Slide 22 − 2  − 5 − 4  BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng của ma trận 1  0 a/ A = 3 ... trận A ∈ Mn(K) A không suy biến ⇔ A khả nghịch và lúc này 1 −1 A = PA det A d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau: Cho A, B ∈ Mn(K) Khi đó: Nếu A không suy biến thì A–1, AT cũng không suy biến và (A–1)–1 = A và (AT)–1 = (A–1)T Nếu A và B không suy biến thì A.B cũng không suy biến và (A.B)–1 = B–1.A–1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 16 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2  Tìm A–1 Ví dụ 1: Cho A... 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) * Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau: A.PA = PA.A = (detA).In 1 1 0   Ví dụ: Cho ma trận A =  1 1 1  Hãy tìm ma trận phụ 0 2 1 hợp PA   1+1 1 1 1+ 2 1 1 A11 = (-1) = −1; A12 = (-1) = −1; 2 1 0 1 Cuối cùng ta tính được ma trận T −1 −1 2 1   −1 −1     PA =  − 1 1 − 2  ⇒ PA =  − 1 1 − 1  1 −1  2 −2 0 0     Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 14 4 MA. .. Bài 4: Cho ma trận A =  −1 1 0   2 2 3  Tìm điều kiện của m để A khả nghịch 1 2  Bài 5: Cho ma trận A =  2 4  3 −1  1 1   2 ×  2 4  3   1  4 2  m  −1 2   3 m  0 m + 1  Tìm điều kiện của m để A khả nghịch Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 25 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) 2 1  2 Bài 6: Cho ma trận A =  3  2 −1  Tìm A–1 − 3  − 4 0  Bài 7: Giải phương trình ma trận 1 2 −... Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 18 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)  − 4 3 − 2   1 Vậy A -1 = PA =  − 8 6 − 5  detA  − 7 5 − 4   e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau: PBĐBĐ trên hàng (A | I)   →(I | A −1 )  Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao... mà ma trận A có cấp cao Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 19 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 2 − 3 1   2 − 4  Tìm A–1 Ví dụ 3: Cho A =  3  2 −1 0   2 −3 Ta viết  1  2 −4 3  2 −1 0  1 0 0 1 0 0 2 −3 1     → 0 − 4  5 0 − 5 6  h2 → h2 − 3h1 h3 → h3 − 2 h1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN 0  0 1  1 −3 0 1 −2 0 Slide 20 0  0 1  4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): 2 1  h2 → h2 − h3... phụ thuộc vào a 13 Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là m ≠ 7 13 Hướng dẫn: A khả nghịch ⇔ detA ≠ 0 ⇔ m ≠ 7 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 28 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch Hướng dẫn: Đặt 1  B = 2 3  2 1  2 4  4 −1 1  C = 2 3  −1 2   3 m  0 m + 1  Ta có: A = B.C ⇒ detA = detB.detC Mà detB = 0 (Do ma trận B có 2... 5 − 10  −5 10   4 2 −5  1  h3 → h3 +11h2  − 2  h4 → h4 −5h2  0 h5 → h + 5h2  22   5  → 0   − 10  0 0 10    Chương 4: MA TRẬN Slide 11 4 1 0 0 0 − 5  − 2 0  0 0  3 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a 1  0 A    →  0  0  2 1  h3 ↔ h4  0 −1  → 0 0  0 0  h2 → h2 − 2 h1 h3 → h3 − 3 h1 h4 → h4 − 4 h1 Toán . 4: MA TRẬN Slide 1 CHƯƠNG 4: CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán 2 Chương 4: MA TRẬN. khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 8 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có