(Luận văn thạc sĩ) nhóm con nội soi và biểu diễn tự đẳng cấu của SL (2,r)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Tơ Văn Giáp NHĨM CON NỘI SOI VÀ BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SL(2,R) LUẬN VĂN THẠC SĨ Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.0102 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP HÀ NỘI- 2013 Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc SL(2, R) 1.2 Tích phân quỹ đạo 1.3 Liên hợp ổn định 1.4 Nhóm Weil nhóm Langlands, 5 7 9 10 12 12 13 13 14 15 15 17 21 24 25 L-nhóm Nhóm nội soi biểu diễn SL(2, R) 2.1 Nhóm nội soi SL(2, R) 2.2 Biểu diễn SL(2, R) 2.2.1 Biểu diễn GL(2, R) 2.2.2 Biểu diễn SL(2, R) 2.3 Tham số Langlands cho SL(2, R) 2.3.1 Tham số Langlands cho GL(2, R) 2.3.2 Tham số Langlands cho SL(2, R) Thể hình học 3.1 Cơng thức vết Arthur-Selberg 3.2 Phép chuyển cho tích phân quỹ đạo 3.3 Phép chuyển cho vết Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Công thức vết Arthur-Selberg tổng qt hóa cơng thức vết Selberg từ nhóm SL2 tới nhóm thu gọn trường tổng qt, phát triển James Arthur chuỗi báo từ 1974 đến 2003 Công thức vết Arthur-Selberg mô tả đặc trưng biểu diễn nhóm G(A) phần rời rạc L20 (G(F ) \ G(A)) L2 (G(F ) \ G(A)) ngơn ngữ liệu hình học, G nhóm đại số thu gọn xác định trường tổng quát F A vành adeles F Có vài phiên cơng thức vết khác nhau, phiên công thức vết "thơ" với điều kiện phụ thuộc vào tốn tử cắt cụt có nhược điểm khơng bất biến Sau Arthur tìm chứng minh công thức vết bất biến công thức vết ổn định đem lại nhiều ứng dụng T race R(f ) = m(π) T race π(f ) = π a(γ)Oγ (f ) γ Công thức vết ổn định cơng thức vết nhóm G ngơn ngữ phân bố ổn định Tuy nhiên phân bố ổn định lại khơng phân bố nhóm G mà chúng phân bố họ nhóm tựa chẻ gọi nhóm nội soi G Tích phân quỹ đạo khơng ổn định nhóm G tương ứng với tích phân ổn định nhóm nội soi H Việc tính tốn cơng thức vết biểu diễn quy trực tiếp SL(2, R) phức tạp cồng kềnh mục đích luận văn trình bày tốn thu cơng thức vết biểu diễn quy SL(2, R) xuống nhóm nội soi Luận văn tập trung làm rõ số vấn đề sau: Trình bày việc thu cơng thức vết biểu diễn quy SL(2, R) xuống nhóm nội soi H Luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị • Chương trình bày nhóm nội soi biểu diễn quy SL(2, R), tham số Langlands cho SL(2, R) • Chương trình bày làm sáng tỏ việc thu công thức vết biểu diễn quy tích phân quỹ đạo nhóm nội soi SL(2, R) Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Học viên Tơ Văn Giáp Lời cảm ơn Hồn thành luận văn này, nỗ lực thân, nhận bảo, giúp đỡ từ nhiều phía thầy, giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, định hướng nghiên cứu tận tình hướng dẫn cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ q trình học tập trường tồn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Học viên Tô Văn Giáp Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm liên quan đến nhóm SL(2, R), tích phân quỹ đạo, liên hợp ổn định, nhóm Weil, nhóm Langlands, L-nhóm 1.1 Cấu trúc SL(2, R) Kí hiệu G = SL(2, R) nhóm ma trận cấp × trường số thực R với định thức a b c d G = SL(2, R) = | a, b, c, d ∈ R; ad − bc = Đại số Lie G gồm ma trận thực cấp 2×2 có vết 0, kí hiệu g0 = sl(2, R), với sở gồm ma trận: H= 0 −1 ; X= 0 ;Y = 0 Tác động phân tuyến tính Kí hiệu H nửa mặt phẳng phức, tức H = {z = x + iy | x, y ∈ R y > 0} Tác động phân tuyến tính G H xác định sau: Với g = a b c d ∈ G, z ∈ H, ta có gz = a b c d z= az + b cz + d Dễ thấy Im(gz) = Im(z) |cz + d|2 Do z ∈ H gz ∈ H Gọi K nhóm ma trận g = a b c d ∈ G thỏa mãn gi = i hay ai+b ci+d = i Khi a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ad − bc = Nói cách khác K nhóm ma trận cosθ sin θ − sin θ cosθ r(θ) = θ ∈ [0, 2π) Phân loại phần tử G Giá trị riêng λ phần tử g ∈ SL(2, R) thỏa mãn phương trình đặc trưng λ2 − tr(g)λ + = λ= tr(g) ± tr(g)2 − * Nếu |tr(g)| < g gọi elliptic * Nếu |tr(g)| = g gọi parabolic * Nếu |tr(g)| > g gọi hyperbolic Phân tích Iwasawa phân tích Cartan G Phân tích Iwasawa G G = KAN , cosθ sin θ − sin θ cosθ K= uθ = exp θ(X − Y ) = A= at = exp tH = et 0 e−t N= ns = exp tX = s | | | θ ∈ [0, 2π) , t∈R , s∈R Do ta có K ∼ = S 1, A ∼ = R N ∼ = R Với g = a b c d ∈ G, phân tích Iwasawa g = uθ at ns , a − ic eiθ = √ , et = 2 a +c ab + cd a2 + c , s = √ a2 + c Tương tự, ta có cơng thức phân tích phần tử G theo tích AN K gọi phân tích Iwasawa Ngồi ra, ta có phân tích Cartan G G = KAK Nhóm dừng (tâm hóa) Cho γ ∈ G, nhóm dừng phần tử γ G, kí hiệu Gγ , Gγ = g ∈ G| g −1 γg = γ Phần tử γ ∈ G phần tử nửa đơn quy mạnh nhóm dừng Gγ xuyến cực đại tức Gγ = T = SO(2, R) ta có nhóm thương Gγ \G = {Gγ x | x ∈ G} Độ đo G Một độ đo µ Gγ \G gọi G-bất biến phải µ(Ax) = µ(A) với tập Borel A Gγ \G x ∈ G Độ đo G-bất biến trái định nghĩa tương tự Một độ đo µ G gọi độ đo Haar bất biến tác động G Đối với phân tích Iwasawa G = AN K , phần tử x ∈ G ta có phân tích x = ank (với a ∈ A, n ∈ N, k ∈ K ), kí hiệu da, dn, dk tương ứng độ đo Haar A, N, K Khi độ đo G, kí hiệu dx, ta có dx = da dn dk Với hàm f xác định khả tích G, ta có f (x)dx = G dk K da A f (ank)dn N Đối với phân tích Cartan G = KAK , với x ∈ G ta có phân tích x = k1 ak2 , f (x)dx = G |t2 − t−2 |f (k1 at k2 )da, dk1 dk2 K×K A k1 , k2 ∈ K a ∈ A, (xem [L],[C]) 1.2 Tích phân quỹ đạo Cho G = SL(2, R), γ ∈ G phần tử nửa đơn quy mạnh G, Gγ = T nhóm dừng γ , hàm f ∈ Cc∞ (G) Tích phân quỹ đạo hàm f quỹ đạo γ cho f (x−1 γx)dx, ˙ Oγ (f ) = Gγ \G dx˙ độ đo G-bất biến phải thương Gγ \G 1.3 Liên hợp ổn định Cho G = SL(2, R), γ, γ ∈ G gọi liên hợp tồn x ∈ G cho γ = xγx−1 Đối với phần tử quy nửa đơn mạnh, ta nói γ, γ ∈ G liên hợp ổn định tồn x ∈ SL(2, C) = a b c d | a, b, c, d ∈ C ; ad − bc = cho γ = xγx−1 Cho f ∈ Cc∞ (G), γ ∈ G phần tử quy mạnh, tích phân quỹ đạo ổn đinh hàm f phần tử γ cho Oγ (f ) SOγ (f ) = γ ∈S(γ) Trong S(γ) tập hợp phần tử đại diện lớp liên hợp lớp liên hợp ổn định γ 1.4 Nhóm Weil nhóm Langlands, L-nhóm * Ta kí hiệu WR nhóm Weil R xác định sau: - Nhóm Weil C WC = C× - Nhóm Weil R nhóm ma trận SU (2) sinh z 0 z¯ , z ∈ C× wσ = −1 Kí hiệu Gal(C/R) nhóm Galois mở rộng C/R gồm hai phần tử: phần tử tự đồng cấu đồng nhất, phần tử lại tự đồng cấu liên hợp phức Phần tử wσ tác động liên hợp phần tử không tầm thường nhóm Gal(C/R) C× Ánh xạ WR → Gal(C/R) xác định σ → wσ , ý wσ2 = −1 mở rộng WC = C× Gal(C/R) mở rộng khơng tầm thường * Nhóm Langlands, kí hiệu LF , LF = WR , trường sở F C R LF = WR × SL(2, C), F p-adic ˇ nhóm Lie phức thu gọn G = SL(2, R), G ˇ = P GL(2, C) Kí hiệu G ˇ qua tự đồng cấu chỉnh hình giả thiết Nhóm Galois Gal(C/R) tác động G giữ nguyên tách Nhóm G tách nên tác động tầm thường WR tác động tới Gal(C/R) qua ánh xạ tự nhiên ˇ WR * L-nhóm G, kí hiệu L G = G Chương Nhóm nội soi biểu diễn SL(2, R) Trong chương này, trình bày khái niệm nhóm nội soi, biểu diễn phân loại biểu diễn SL(2, R), tham số Langlands cho SL(2, R) 2.1 Nhóm nội soi SL(2, R) Khái niệm nội soi xuất liên hợp R C có khác biệt Với θ ∈ / Zπ , hai phép quay r(θ) = cosθ sin θ − sin θ cosθ r(−θ) = cosθ − sin θ sin θ cosθ không liên hợp SL(2, R) chúng liên hợp SL(2, C) GL(2, R) hai phần tử tương ứng ω= −i 0 i α = −1 0 Hợp tập hợp liên hợp phần tử cặp (r(θ), r(−θ)) gọi lớp liên hợp ổn định Tương tự hai phần tử lũy đơn u0 = 1 u−1 = −1 liên hợp SL(2, C) không liên hợp SL(2, R) Có hai lớp liên hợp có lớp liên hợp ổn định phần tử lũy đơn không tầm thường Nội soi vế phổ mô tả dễ dàng cho SL(2, R): biểu diễn chuỗi rời rạc giới hạn biểu diễn chuỗi rời rạc cho theo cặp gọi gọi L-gói Định nghĩa 2.1 Nhóm nội soi H nhóm G nhóm tựa chẻ mà L-nhóm L H thành phần liên thơng tâm hóa phần tử nửa đơn L-nhóm 11 diễn P không gian Hilbert V Gọi H(σ) không gian ánh xạ f : G → V cho f |K ∈ L2 (K) f (py) = ∆(p) σ(p)f (y), ∆(p) = α(a) hàm modular P Định nghĩa 2.6 Biểu diễn π G H(σ) cho tịnh tiến phía phải biến, tức π(y)f (x) = f (xy), gọi biểu diễn cảm sinh σ lên G Đặt ρ(a) = α(a)1/2 , với số phức s x = ank ∈ G xác định ρs (x) = ρs (ank) = ρ(a)s+1 Khi ρs (k) = ρs (n) = Dễ thấy hàm µs : P → C∗ cho µs = ρ(a)s = as đặc trưng (tức đồng cấu liên tục vào C∗ ) Nếu có giá trị tuyệt đối µs đặc trưng unita Kí hiệu Hs khơng gian biểu diễn πs cảm sinh µs , không gian Hilbert hàm xác định G cho i) f (any) = ρs+1 f (y); ii) f |K ∈ L2 (K) Định nghĩa 2.7 Họ biểu diễn {πs } xác định gọi biểu diễn chuỗi SL(2, R) Giả hệ số chuỗi rời rạc Cho G = SL(2, R), tâm G Z(G) = {g ∈ G| ∀x ∈ G, gx = xg}, π biểu diễn chuỗi rời rạc G Ta nói hàm f ∈ Cc∞ (G) giả hệ số (chuẩn tắc) π với biểu diễn bất khả quy tăng vừa phải π ta có trace π (f ) = π π, trường hợp cịn lại Ta kí hiệu fπ giả hệ số π (nó khơng nhất) Tích phân quỹ đạo fπ phần tử quy nửa đơn γ xác định Oγ (fπ ) = Θπ đặc trưng π Θπ (γ −1 ) γ elliptic, trường hợp lại 12 L-gói Xét biểu diễn chuỗi rời rạc π kí hiệu fπ giả hệ số tương ứng Hai biểu diễn chuỗi rời rạc π π G gọi thuộc L-gói với phần tử nửa đơn quy mạnh γ ta có SOγ (fπ ) = c(π, π )SOγ (fπ ), c(π, π ) số khác không 2.2.1 Biểu diễn GL(2, R) Tất biểu diễn bất khả quy chấp nhận GL(2, R) thương chuỗi ρ(µ1 , µ2 ), µi đặc trưng R× Các biểu diễn chuỗi cảm sinh đặc trưng từ nhóm Borel:ρ(µ1 , µ2 ) biểu diễn quy phải khơng gian hàm trơn cho f α x β g α = µ1 (α)µ2 (β) β f (g) Giả sử tích µ1 µ2 unita, ta có ba loại thương theo giá trị µ = µ1 µ−1 n - Biểu diễn chuỗi bất khả quy π(µ1 , µ2 ) µ = x sign(x) với n ∈ Z \ {0} Những biểu diễn unita hóa µ unita µ = |x|s với s số thực −1 < s < - Biểu diễn hữu hạn chiều π(µ1 , µ2 ) µ = xn sign(x) Biểu diễn unita hóa n = ±1 - Biểu diễn chuỗi rời rạc σ(µ1 , µ2 ) µ = xn sign(x) với n ∈ Z \ {0} Những biểu diễn unita hóa Những biểu diễn khác tương đương hốn vị µi : π(µ1 , µ2 ) π(µ2 , µ1 ) 2.2.2 Biểu diễn SL(2, R) Bất kì biểu diễn bất khả quy SL(2, R) hạn chế biểu diễn bất khả quy GL(2, R) Hạn chế có phần cịn lại bất khả quy (là trường hợp biểu diễn chuỗi có giá trị tham số loại) bị tách làm hai thành phần bất khả quy mà hợp L-gói cho SL(2, R) Hai biểu diễn π π thuộc L-gói quan hệ tương đương chúng liên hợp α: π π ◦ Ad(α) α= −1 0 Ta có phân loại sau đây: - Biểu diễn chuỗi bất khả quy π(µ) thu hạn chế π(µ1 , µ2 ) 13 SL(2, R) với µ = xn sign(x), n ∈ Z - Biểu diễn hữu hạn chiều π(µ) thu hạn chế π(µ1 , µ2 ) SL(2, R) với µ = xn sign(x), n = + − - Biểu diễn chuỗi rời rạc L-gói σ(D|n| , D|n| ) thu hạn chế σ(µ1 , µ2 ) n SL(2, R) với µ = x sign(x), n ∈ Z \ {0} - Giới hạn biểu diễn chuỗi rời rạc L-gói σ(D0+ , D0− ) thu hạn chế π(µ1 , µ2 ) SL(2, R) với µ = sign(x) Các L-gói biểu diễn rõ đặc trưng µ µ−1 tương đương 2.3 Tham số Langlands cho SL(2, R) ˇ liên hợp đồng cấu chỉnh hình Tham số Langlands lớp G− ϕ : LR → L G, cho hợp với phép chiếu tự nhiên L G → WR thành LR → L G → WR , phép chiếu tự nhiên LR lên WR cho ảnh phần tử WR ˇ không nửa đơn Tham số gọi thích hợp (với G) ảnh ϕ G nằm nhóm parabolic trừ G 2.3.1 Tham số Langlands cho GL(2, R) Một tham số Langlands cho GL(2, R) lớp liên hợp đồng cấu WR GL(2, C) với ảnh nửa đơn Với z = ρ.eiθ , đặt χs,n (z) = ρs einθ liên hợp ánh xạ chấp nhận có dạng sau: - Với si ∈ C , mi ∈ Z2 ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 (z) = χs1 ,0 (z) 0 χs2 ,0 (z) liên hợp ta có ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 - Với s ∈ C , n ∈ Z ϕs,n (z) = với ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 (wσ ) = (−1)m1 0 (−1)m2 ϕs2 ,m2 ,s1 ,m1 χs,n (z) 0 χs,−n (z) với ϕs,n (wσ ) = (−1)n liên hợp ta có ϕs,n ϕs,−n Giao hai tập hợp lớp liên hợp ánh xạ lớp tham số có dạng ϕs,0 ϕs,1,s,0 ϕs,0,s,1 14 Kí hiệu ε đồng cấu từ WR → C× xác định ε(z) = ε(wσ ) = −1 Nếu ϕ tham số Langlands ϕ⊗ε ϕ ϕ thuộc lớp ϕs,n với s n Tương ứng biểu diễn bất khả quy tham số Langlands cho GL(2, R) thu Ta có song ánh tự nhiên lớp tương đương biểu diễn bất khả quy chấp nhận GL(2, R) lớp liên hợp đồng cấu chấp nhận WR GL(2, C) sau: π(µ1 , µ2 ) −→ ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 với µi = |x|si sign(x)mi σ(µ1 , µ2 ) −→ ϕs,n với µ1 µ2 (x) = |x|2s sign(x)n+1 n µ1 µ−1 (x) = x sign(x) Tham số Langlands tương ứng với biểu diễn tăng vừa phải ảnh ánh xạ bị chặn tức si ảo 2.3.2 Tham số Langlands cho SL(2, R) Từ song ánh lớp tương đương biểu diễn lớp liên hợp tham số Langlands cho GL(2, R) suy song ánh lớp tương đương L-gói biểu diễn bất khả quy chấp nhận SL(2, R) lớp liên hợp đồng cấu chấp nhận WR P GL(2, C) - Tham số hóa cho π(µ) lớp liên hợp tham số hóa phép chiếu ϕs,m xác định ϕs,m,0,0 với µ(x) = |x|s sign(x)m - Tham số hóa cho Dn± lớp liên hợp tham số hóa phép chiếu ϕn xác định ϕ0,n Ta thấy ϕ0,n ⊗ ε = αϕ0,n α−1 α = −1 0 Nhưng ε có tâm ảnh tham số hóa phép chiếu xác định ϕ0,n ϕ0,n ⊗ε Điều ảnh phép chiếu α thuộc tâm hóa ảnh phép chiếu ϕ0,n Cho ϕn tham số hóa phép chiếu xác định ϕ0,n Sϕn tâm hóa ảnh ϕn Sϕn thương Sϕn thành phần liên thơng Sϕ0 n nhân với tâm ZGˇ ˇ: G + Khi n = ta có Sϕn = Sϕn {1, α} + Khi n = nhóm Sϕ0 xuyến Sϕ0 lại sinh ảnh α 15 Chương Thể hình học Trong chương này, trình bày cách thu cơng thức vết từ nhóm SL(2, R) xuống nhóm nội soi H thơng qua phép chuyển nội soi cho tích phân quỹ đạo phép chuyển nội soi cho vết 3.1 Công thức vết Arthur-Selberg Cho G nhóm compact địa phương, Γ nhóm rời rạc G R biểu diễn quy G L2 (Γ\G) [R(g)φ](x) = φ(xg) với g ∈ G, x ∈ Γ\G Gắn với độ đo Haar dg G, ta xác định biểu diễn đại số L1 (G) (đối với tích chập) cho R(f )φ(x) = f (x−1 g)φ(g)dg f (g)φ(xg)dg = G G Giả sử f ∈ Cc∞ (G) Bằng cách tách tích phân, ta viết f (x−1 γg)φ(g)dg = R(f )φ(x) = Γ\G γ∈Γ Kf (x, g)φ(g)dg Γ\G Do R(f ) tốn tử tích phân với hạt nhân trơn f (x−1 γg) Kf (x, g) = γ∈Γ R(f ) lớp vết tính vết theo hai cách Đầu tiên, ta viết trace R(f ) = f (x−1 γx)dx Kf (x, x)dx = Γ\G Γ\G γ∈Γ Kí hiệu [γ] = { δ −1 γδ | δ ∈ Γγ \Γ }, Γγ tâm hóa γ Γ Khi đó, ta có f (x−1 δ −1 γδx)dx = Γ\G δ∈Γ \Γ γ f (x−1 γx)dx = vol(Γγ \Gγ ) Γγ \G f (x−1 γx)dx Gγ \G 16 Do đó, ta có vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) trace R(f ) = [γ] Cũng tính trace R(f ) cách thứ hai theo kết Gelfand, Graev Piatetski-Shapiro, L2 (Γ\G) phân tích rời rạc thành tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy G, xuất với bội số hữu hạn Vì trace R(f ) = m(π)trace π(f ), ˆ π∈G ˆ đối ngẫu unita G, m(π) bội số π trace π(f ) vết G tốn tử π(f ) = G f (x)π(x)dx Vì vậy, ta có cơng thức vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) = m(π)trace π(f ) ˆ π∈G [γ] Chú ý vế trái (vế hình học) thừa số phụ thuộc vào Γ khơng phụ thuộc vào f thừa số thứ hai lại phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào Γ Tương tự cho vế phải (vế phổ) công thức Phân phối Oγ (f ) trace π(f ) bất biến theo nghĩa bất biến liên hợp f phần tử G Công thức tổng Poisson Xét trường hợp quen thuộc G = R, Γ = Z, giả sử f ∈ Cc∞ (R), cho tốn tử tích chập R(f ) L2 (T ) = L2 (Z\R) R(f )φ(x) = f (y − x)φ(y)dy f (y)φ(x + y)dy = R R f (y + n − x)φ(y)dy = = T n∈Z Kf (x, y)φ(y)dy T f (y + n − x) ∈ C ∞ (T × T ), ta tính vết R(f ) Kf (x, y) = n∈Z hai cách trace R(f ) = Kf (x, x)dx = T f (n) n∈Z Mặt khác, ta chéo hóa R(f ) sử dụng sở trực chuẩn en = e2πin , n ∈ Z, R(f ) = fˆ(n)en (fˆ biến đổi Furier f ) Do fˆ(n) trace R(f ) = n∈Z 17 Vì vậy, ta có cơng thức tổng Poisson fˆ(n) f (n) = n∈Z n∈Z Phần chương ta ln kí hiệu G = SL(2, R), Γ = SL(2, Z) H nhóm nội soi (tức H = SL(2, R) trường hợp đặc trưng nội tầm thường H = SO(2, R) trường hợp không tầm thường) 3.2 Phép chuyển cho tích phân quỹ đạo Xét xuyến elliptic T = SO(2, R) κ đặc trưng nội soi tương ứng với nhóm nội soi H G Ta có κ = H = SL(2, R) κ = −1 H = SO(2, R) Gọi B nhóm Borel G chứa T, B gồm tất ma trận tam giác SL(2, R) có dạng a b a−1 Kí hiệu (1 − γ −α ), ∆B (γ) = α>0 tích lấy nghiệm dương xác định B Chọn nhóm Borel BH = B H chứa TH = T tương thích với đẳng cấu j: TH T Một κ - tích phân quỹ đạo phần tử quy γ ∈ T xác định bởi: κ(x)f (x−1 γx)dx˙ Oγκ (f ) = T \G Khi κ = 1, κ - tích phân quỹ đạo tích phân quỹ đạo ổn định kí hiệu SOγ (f ) ˇ WR = P GL(2, C) WR Tương Ta nhắc lại L-nhóm G, kí hiệu L G L G = G ˇ WR H, thành phần liên thơng tâm hóa tự, L-nhóm L H = H phần tử nửa đơn L G Định nghĩa 3.1 Phép nhúng chấp nhận L H vào L G L-đồng ˇ →G ˇ cho hạn chế H ˇ cấu η : L H → L G mở rộng tự nhiên H chỉnh hình đồng WR Mệnh đề 3.1 Giả sử có phép nhúng chấp nhận η : L H → L G Ta gắn với ba (G, H, η) đặc trưng χG,H T với tính chất sau Cho f giả hệ số chuỗi rời rạc G, tồn hàm f H tổ hợp tuyến tính giả hệ số chuỗi rời rạc H cho γ = j(γH ) quy T κ SOγH (f H ) = ∆G H (γH , γ)Oγ (f ) 18 với ∆G H (γH , γ) thừa số chuyển cho công thức −1 −1 q(G)+q(H) χG,H ∆B (γ −1 ).∆BH (γH ) ∆G H (γH , γ) = (−1) Phép biến đổi f → f H giả hệ số mở rộng cho tất hàm Cc∞ (G); để làm điều người ta phải mở rộng tương ứng γ → γH (gọi chuẩn hóa), tất phần tử nửa đơn quy xác định thừa số chuyển xuyến Định lý 3.1 Giả sử có phép nhúng chấp nhận η : L H → L G Ta ∞ xác định thừa số chuyển ∆G H (γH , γ) cho với f ∈ Cc (G) tồn hàm f H ∈ Cc∞ (H) với κ SOγH (f H ) = ∆G H (γH , γ)Oγ (f ) γH dạng chuẩn γ quy nửa đơn SOγH (f H ) = γH không dạng chuẩn Khi κ = nhóm nội soi G tức H = SL(2, R) κ-tích phân quỹ đạo tích phân quỹ đạo ổn định Đây trường hợp tầm thường Sau ta chứng minh cụ thể định lý SL(2, R) κ = −1 (nhóm nội soi G H = SO(2, R)) thông qua việc sử dụng dáng điệu tiệm cận tích phân quỹ đạo Giả sử f hàm trơn có giá compact G, tích phân quỹ đạo f quỹ đạo γ ∈ G f (x−1 γx)dx, ˙ Oγ (f ) = Gγ \G Chú ý tích phân phụ thuộc vào lựa chọn độ đo Haar G Gγ Giả sử thêm f hàm K-tâm tức f (xk) = f (kx), với k ∈ K x ∈ G Chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận Oγ (f ) hai trường hợp: Trường hợp γ có dạng đường chéo γ → γ= a 0 b với ab = Với x ∈ G ta có phân tích Iwasawa x x = ank , a= y 0 y −1 ;n= t ; k = r(θ) với y ∈ R+ , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π) Khi x−1 γx = (ank)−1 γ(ank) = k −1 n−1 a−1 γ ank Vì f hàm K-tâm nên f (k −1 n−1 a−1 γ ank) = f (n−1 a−1 γ an) 19 Mặt khác a, γ ma trận dạng đường chéo nên chúng giao hoán, tức n−1 a−1 γ an = n−1 γa−1 an = n−1 γ n Do cách chọn độ đo Haar chuẩn, ta có f (n−1 γn)dn Oγ (f ) = N Hơn nữa, t n−1 γn = a 0 b −t a (b − a)t b = Vì Oγ (f ) = f a (b − a)t b dt R Đặt ∆(γ) = |a − b| hàm h(γ) = ∆(γ)Oγ (f ) = |a − b| f a (b − a)t b dt R thác triển tới hàm trơn A (nhóm ma trận có dạng đường chéo) Trường hợp γ = r(θ) θ → Với x ∈ G, ta xét phân tích Cartan x x = k1 ak2 , k1 = r(α); a = y 0 y −1 ; k2 = r(β) với y ∈ R+ , α, β ∈ [0, 2π) Khi x−1 γx = (k1 ak2 )−1 γ(k1 ak2 ) = k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 Vì f hàm K-tâm nên f (k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 ) = f (a−1 k1−1 γ k1 a) Mặt khác k1−1 γ k1 = r(α)−1 r(θ)r(α) = r(−α + θ + α) = r(θ), nên f (a−1 k1−1 γ k1 a) = f (a−1 γ a) Hơn nữa, cosθ sin θ y −1 − sin θ cosθ y cosθ y −2 sin θ −y sin θ cosθ a−1 γa = = y 0 y −1 = y −1 cosθ y −1 sin θ −y sin θ y cosθ y 0 y −1 20 Do Or(θ) (f ) = c.F (sinθ), với số c phụ thuộc vào việc chọn độ đo Haar ∞ a(λ) tλ −t−1 λ a(λ) |t − t−1 |.f F (λ) = dt , t a(λ) = Ta có √ − λ2 ∞ F (λ) = ∞ = ∞ = ∞ a(λ) tλ dt − −t−1 λ a(λ) f ∞ = ∞ = dt a(λ) tλ (−1) −1 −t λ a(λ) t f a(λ) tλ d(t−1 ) −t−1 λ a(λ) ∞ dt t2 a(λ) (t−1 )−1 λ d(t−1 ) −t−1 λ a(λ) f a(λ) tλ dt + −1 −t λ a(λ) f a(λ) tλ )(t2 − 1) −1 −t λ a(λ) f ∞ a(λ) tλ dt + −1 −t λ a(λ) f 1 a(λ) tλ dt − −t−1 λ a(λ) f f ∞ a(λ) tλ 1dt − −1 −t λ a(λ) f = ∞ dt a(λ) tλ |t − t−1 | = −1 −t λ a(λ) t f a(λ) −t−1 λ dt tλ a(λ) f 1 (−1)f a(λ) −t−1 λ dt tλ a(λ) Chú ý f hàm K-tâm nên với a,b,c bất kì, ta có f a b c a =f Do b −a a −c −1 =f b −a a −c −1 ∞ a(λ) tλ −t−1 λ a(λ) ε(t − 1)f F (λ) = dt, với ε(x) = sign(x) Để nghiên cứu tiệm cận λ → ta xét ∞ ε(t − 1)f A(λ) = a(λ) tλ a(λ) dt Theo cơng thức Taylor-Lagrange, ta có F (λ) = A(λ) + λB(λ), ∞ ε(t − 1)g B(λ) = a(λ) tλ −t−1 λ a(λ) dt , t =f a −c −b a 21 với hàm trơn g có giá compact theo biến phía bên phải có O(u)−1 phân rã theo biến bên trái cho tích phân hội tụ tuyệt đối Chú ý ∞ A(λ) = |λ|−1 ε(λ)u f du − 2f 0 + o(λ) Từ B(λ) có độ tăng không logarit, ta thấy hàm chẵn G(λ) = |λ|(F (λ) + F (−λ)) H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ)) thác triển tới hàm liên tục λ = Để xác hóa dáng điệu tiệm cận, ta quan sát kĩ số hạng ∞ ε(t − 1)g B(λ) = a(λ) tλ −t−1 λ a(λ) dt t Tuy nhiên, hiệu hai biểu thức mà phần chúng tương đương với ln(|λ|−1 )g 0 sai khác biểu thức liên tục Do B liên tục Khái quát hóa q trình ta thu khai triển tiệm cận mũ dạng sau N (an |λ|−1 + bn )λ2n + o(λ2N ) G(λ) = n=0 N hn λ2n + o(λ2N ) H(λ) = n=0 Do H(λ) hàm trơn Vì vậy, có hàm trơn h T = H cho h(γ) = ∆(γ)(Oγ (f ) − Oω(γ) (f )), với γ = r(θ) ∈ T ∆(r(θ)) = −2isinθ 3.3 Phép chuyển cho vết Ta thấy tương ứng f → f H khơng phải ánh xạ f H xác định khơng Phép chuyển hình học f → f H đối ngẫu phép chuyển biểu diễn Bất kỳ biểu diễn bất khả quy chấp nhận σ H tương ứng với phần tử σG bao nhóm biểu diễn ảo G sau Cho ϕ tham 22 số Langlands H η ◦ ϕ tham số Langlands G η phép nhúng η : L H → L G Ta xét L-gói biểu diễn bất khả quy chấp nhận H tương ứng với ϕ L-gói biểu diễn G tương ứng với η ◦ ϕ (đó tập rỗng tham số khơng thích hợp với G) Định lý 3.2 Tồn hàm → ±1, ε: cho phần tử σG bao nhóm nửa nhóm biểu diễn cho σG = ε(π)π, π∈ xác định tương ứng σ → σG đối ngẫu biến đổi hình học trace σG (f ) = trace σ(f H ) Xét tham số Langlands ϕ : LR → L G ˇ ϕ(WR ) Ta ý với s ∈ Sϕ xác định kí hiệu Sϕ tâm hóa G ˇ s nhóm nội soi H Nhóm H sinh L G tâm hóa liên thơng H ˇ ảnh ϕ G Nếu tồn phép nhúng η : L H → L G tồn tham số Langlands ϕ G xác định tham số Langlands η ◦ ϕ cho H ˇ Γ ), Sϕ0 thành phần liên thơng Sϕ Kí hiệu Sϕ = Sϕ /(Sϕ0 × Z(G) ˇ Γ tâm L G Giả sử ta cho tập hợp đầy đủ nhóm nội soi khơng Z(G) tương đương H cho H phép nhúng η : L H → L G ˇ s liên Ta xét tham số ϕ : WR → L G, tâm hố liên thơng s ∈ Sϕ nhóm H ˇ liên hợp thừa số ϕ η(L H) xác đinh L-gói hợp với H s biểu diễn H (Nhìn chung L-gói khơng phụ thuộc vào lựa chọn liên hợp không nhất) Mặt khác, Sheltad định nghĩa cặp s, π Sϕ (ϕ) đồng thời ε(π) = c(s) s, π trace σ(f H ) = σ∈ s ε(π) trace π(f ), π∈ 23 suy ˜ s (f H ) = s, π trace π(f ), π∈ ˜ s (f H ) = c(s)−1 trace σ(f H ) σ∈ s Từ ta có định lý Định lý 3.3 trace π(f ) = #Sϕ s, π ˜ s∈Sϕ s (f H ) Cụ thể SL(2, R) Chú ý rằng, π biểu diễn unita bất khả quy hữu hạn chiều đặc trưng π phần tử quy g ∈ G xác định Θ (π, g) = trace π(g) Xét toán tử π(f ) = G π(g)f (g)dg , với f ∈ Cc∞ (G) dg độ đo Haar G, theo Harish-Chandra ta có trace π(f ) = Θ(π, g)f (g)dg G Đặc trưng Dn+ SO(2, R) cho Θ+ n (r(θ)) −einθ ei(n+1)θ = iθ = − e2iθ e − e−iθ Đặc trưng Dn− SO(2, R) cho liên hợp phức Θ− n (r(θ)) = e−i(n+1)θ e−inθ = − e−2iθ eiθ − e−iθ Ta ý tổng − SΘn = Θ+ n + Θn − thay Θ+ n Θn ta SΘn = − einθ − e−inθ eiθ − e−iθ bất biến liên hợp ổn định, ta gọi SΘn đặc trưng ổn định Trong − inθ ∆(r(θ))(Θ+ + e−inθ ∆(r(θ)) = −2i.sinθ n − Θn )(r(θ)) = e tổng hai đặc trưng T (R) Đây phép chuyển nội soi phổ cho SL(2, R) 24 Kết luận Sau thời gian học tập Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Được thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn đặc biệt GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, tơi hồn thành luận văn với đề tài "Nhóm nội soi biểu diễn tự đẳng cấu SL(2, R)" Luận văn trình bày tư tưởng, nội dung việc thu công thức vết biểu diễn quy tích phân quỹ đạo nhóm nội soi SL(2, R) thơng qua định lý Định lý 3.1 việc thu công thức tích phân quỹ đạo nhóm nội soi SL(2, R) Định lý 3.3 việc thu cơng thức vết biểu diễn quy nhóm nội soi SL(2, R) Tuy nhiên thời gian thực luận văn khơng nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 25 Tài liệu tham khảo [C] Ngô Bảo Châu, Automorphic forms on GL2 , Preprint.2011, Chicago University [G] S Gelbart, Langlands picture of automorphic forms and L-functions,Lecture Notes Lecture Series at Shangdong University, China, pp 1-5 [L] S Lang, SL(2,R), Springer-Verlag, New york - Berlin - Heidelberg - Tokyo [LL] J.-P Labesse, R Langlands, L-distinguishability for SL(2), Can J Math, vol xxxi, No 4, 726-785 ... L -nhóm Nhóm nội soi biểu diễn SL( 2, R) 2.1 Nhóm nội soi SL( 2, R) 2.2 Biểu diễn SL( 2, R) 2.2.1 Biểu diễn GL(2, R) 2.2.2 Biểu diễn SL( 2, R) 2.3 Tham... thành luận văn với đề tài "Nhóm nội soi biểu diễn tự đẳng cấu SL( 2, R)" Luận văn trình bày tư tưởng, nội dung việc thu cơng thức vết biểu diễn quy tích phân quỹ đạo nhóm nội soi SL( 2, R) thông... Trong chương này, trình bày khái niệm nhóm nội soi, biểu diễn phân loại biểu diễn SL( 2, R), tham số Langlands cho SL( 2, R) 2.1 Nhóm nội soi SL( 2, R) Khái niệm nội soi xuất liên hợp R C có khác biệt