(Luận văn thạc sĩ) định lý grobman hartman cho hệ nhị phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHƠNG ĐỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii Nhị phân mũ khơng 1.1 Nhị phân mũ 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.2 Các tính chất hệ nhị phân mũ không 1.2.3 Không gian ổn định không ổn định 1.3 Một số kiến thức chuẩn bị 1.3.1 Tớnh liờn tc Hă older 1.3.2 Định lý điểm bất động 1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman v v vi vii ix x xii xii xii xii Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không trường hợp thời gian rời rạc xiv 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ xiv 2.1.1 Khái niệm dãy tốn tử nhị phân mũ khơng xiv 2.1.2 Sự tồn ánh xạ liên hợp tô-pô xviii 2.2 Tính quy Hă older ca ỏnh x liờn hp xxiv 2.2.1 Tớnh chớnh quy Hă older ca ỏnh x liên hợp xxiv 2.2.2 Chuẩn Lyapunov xxv 2.2.3 Chứng minh tớnh chớnh quy Hă older ca ỏnh x liờn hợp xxvii Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không trường hợp thời gian liên tục xxxiii 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng xxxiii iii 3.2 3.1.1 Phép quy trường hợp rời rạc xxxiv 3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman xxxvi Tớnh chớnh quy Hă older ánh xạ liên hợp cho dòng xl Kết luận xliii Tài liệu tham khảo xliv iv Chương Nhị phân mũ không 1.1 Nhị phân mũ Trước hết ta nhắc lại khái niệm nhị phân mũ Để đơn giản ta xét trường hợp hệ hữu hạn chiều Xét ánh xạ liên tục t −→ A(t) cho A(t) tốn tử tuyến tính bị chặn X = Rn với t ≥ phương trình x = A(t)x (1.1) Gọi X(t) ma trận bản, tức nghiệm (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0) Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) ma trận tiến hóa (1.1) Định nghĩa 1.1 Phương trình (1.1) gọi có nhị phân mũ tồn phép chiếu P số K, α ≥ cho i) ||X(t)P X −1 (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, ii) ||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤ Ke−α(s−t) với s ≥ t Định nghĩa tương đương với Mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ Rn = S ⊕U tồn K, α > cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U v Mệnh đề 1.3 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ tồn họ phép chiếu P (t) thỏa mãn sup ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s) t∈R ∀t ≥ s tồn hệ số K, α > cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s), Q(t) = Id − P(t) Hệ nhị phân mũ có tính chất tốt, ví dụ tính vững, đặc trưng Peron hệ nhị phân mũ hay tồn đa tạp ổn định đa tạp không ổn định Sau đây, phát biểu định lý Grobman-Hartman cho trường hợp ôtô-nôm Định lý 1.4 ([13]) Xét phương trình x = Ax (1.2) phương trình x ∈ Rn x = Ax + f (x), sinh dịng ϕt , ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y|| Giả sử σ(A) ∩ iR = ∅, tức (1.2) có nhị phân mũ Khi đó, tồn đồng phơi H lân cận mở gốc tọa độ cho etA ◦ H = H ◦ ϕt Ví dụ 1.5 (xem [13], trang 140) Cho hệ x = x, y = −y + x2 (1.3) Khi đó, tìm đồng phôi H= 1.2 x y− x3 Khái niệm nhị phân mũ không Hệ nhị phân mũ không trường hợp mở rộng hệ nhị phân mũ ta xem khác giống chúng vi 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Cho X khơng gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) hàm liên tục khoảng mở J ⊂ R, B(X) tập tốn tử tuyến tính bị chặn X Xét toán giá trị ban đầu v = A(t)v (1.4) v(s) = vs s ∈ J vs ∈ X Ta viết nghiệm phương trình (1.4) dạng v(t) = T (t, s)v(s), T (t, s) tốn tử tiến hóa ta có T (t, t) = Id T (t, s) = T (t, r)T (r, s) (1.5) Định nghĩa 1.6 Phương trình (1.4) có nhị phân mũ khơng J tồn họ phép chiếu P : J → B(X) với P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t ≥ s, (1.6) tồn hệ số a < ≤ b, a, b ≥ 0, D1 , D2 ≥ (1.7) cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| (1.8) Q(t) = Id − P (t) Vậy a, b coi số mũ Lyapunov, cịn a b đặc trưng cho tính khơng hệ nhị phân mũ Nhận xét 1.7 Như từ hai định nghĩa nhị phân mũ nhị phân mũ khơng ta thấy hệ nhị phân mũ khơng có thêm lượng mũ a|s| b|t| Thực chất nhị phân mũ không tổng quát nhị phân mũ nhiều Chẳng hạn, hệ hữu hạn chiều cần có số mũ Lyapunov có phần thực âm hệ có nhị phân mũ không ([8, Định lý 10.6]) Ta định nghĩa thêm hệ nhị phân mũ không mạnh với hệ số a ≤ a < ≤ b ≤ b a, b > (1.9) vii Định nghĩa 1.8 Ta nói hệ (1.4) nhị phân mũ không mạnh J tồn họ phép chiếu P (t) thỏa mãn (1.6) tồn hệ số thỏa mãn (1.9) cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| , ||T (s, t)P (t)|| ≤ D1 e−a(t−s)+a|t| , ||T (t, s)Q(s)|| ≤ D2 eb(t−s)+b|s| , ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| (1.10) Nhận xét 1.9 Rõ ràng nhị phân mũ không mạnh nhị phân mũ không ngược lại chưa Ta xét số ví dụ đơn giản Ví dụ 1.10 Xét phương trình cho R2 , cho x = −x, y = ty (1.11) Hệ (1.11) nhị phân mũ không R+ với a = −1, b = 0, a = b = 0, D1 = D2 = Tuy nhiên bất đẳng thức thứ ba (1.10) không thỏa mãn b = +∞ Do (1.11) khơng nhị phân mũ khơng mạnh Tiếp theo ta xét ví dụ để phân biệt nhị phân mũ không nhị phân mũ Ví dụ 1.11 Cho w > a > hệ số thực hệ phương trình R2 u = (−w − at sin t)u, v = (w + at sin t)v (1.12) Mệnh đề 1.12 Hệ (1.12) nhị phân mũ không R không nhị phân mũ Chứng minh Có thể kiểm tra u(t) = U (t, s)u(s) v(t) = V (t, s)v(s) U (t, s) = e−wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s , V (t, s) = ewt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s Toán tử tiến hóa hệ (1.12) T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v) viii Giả sử P (t) phép chiếu P (t)(u, v) = u Thì P thỏa mãn điều kiện (1.6) Ta tồn D cho U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.13) V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s (1.14) Đầu tiên ta viết lại U (t, s) sau: U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) (1.15) Với t, s ≥ từ (1.15) có U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2as Hơn t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as (1.16) Với t ≥ 0, s ≤ từ (1.15) suy U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s) Cuối s ≤ t ≤ từ (1.15) suy U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|s| Kết hợp với (1.13) với D = e2a việc chứng minh cho V (t, s) (1.14) hoàn toàn tương tự Hơn t = −2kπ, s = −(2l − 1)π V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| (1.17) Vậy từ (1.13), (1.14) hệ (1.12) hệ nhị phân mũ không Nhưng ta bỏ e2a|s| e2a|t| cách cho D w − a đủ lớn nên hệ (1.12) không nhị phân mũ 1.2.2 Các tính chất hệ nhị phân mũ khơng 1.2.2.1 Tính vững X khơng gian Banach, A : J → B(X) hàm liên tục J ⊂ R Xét phương trình v = A(t)v (1.18) v(s) = vs , s ∈ J, vs ∈ X ix Giả sử phương trình có nghiệm t ∈ J T (t, s) toán tử tiến hóa Giả sử phương trình nhị phân mũ khơng Ta nói nhị phân vững với B đủ nhỏ hệ v = (A(t) + B(t))v (1.19) nhị phân mũ không Với a, b thỏa mãn a < < b, a, b > 0, D1 , D2 > ta đặt e = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D1 , D2 } 2δD D , D= c − δD/(c + c) c=c 1− Định lý 1.13 (xem [8], trang 28)Toán tử A, B : J → B(X) hàm liên tục thỏa mãn 1) Phương trình (1.18) nhị phân mũ khơng khoảng mở J, 2) ||B(t)|| ≤ δe−2ϑ|t| với ϑ < e, với t ∈ J Nếu δ đủ nhỏ hệ (1.19) nhị phân mũ khơng J với hệ số c, ϑ D thay c, 2ϑ 4DD 1.2.3 Không gian ổn định khơng ổn định Giả sử hệ phương trình tuyến tính v = A(t)v nhị phân mũ khơng khoảng mở J ⊂ R Xét hai không gian tuyến tính E(t) = P (t)X, F (t) = Q(t)X, (1.20) với t ∈ J Chúng ta tương ứng gọi E(t) F (t) không gian ổn định không ổn định thời điểm t Rõ ràng X = E(t) ⊕ F (t) với t ∈ J dim E(t), dim F (t) không phụ thuộc vào thời điểm t Nghiệm (1.18) viết dạng v(t) = (U (t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × F (t), ∀t, s ∈ J, t ≤ s v(s) = (ξ, η) U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s) V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s)2 = Q(t)T (t, s)Q(s) x (1.21) max{a, b} ≤ ϑ với α ∈ (0, α0 ), với δ đủ nhỏ (phụ thuộc α) tồn K > (phụ thuộc α δ) cho với m ∈ Z x, y ∈ X với ||x − y||∗m < ta có: ||um (x) − um (y)||∗m ≤ K(||x − y||∗m )α Chứng minh Đặt C1 = eb+ + 2DN δeϑ C2 = − 2DN e−a+ +2ϑ −1 Ta có hệ tính Lipschitz Gm , nghịch đảo G−1 m theo chuẩn Lyapunov Hệ 2.12 Với x, y ∈ X ta có ||Gm (x) − Gm (y)||∗m+1 ≤ C1 ||x − y||∗m Chứng minh Hệ 2.12: Từ Hệ 2.8 Hệ 2.9 ta có ||Gm (x) − Gm (y)||∗m+1 ≤ ||Am (x − y)||∗m+1 + ||fm (x) − fm (y)||∗m+1 ≤ eb+ ||x − y||∗m + 2DN e2ϑ|m+1| ||fm (x) − fm (y)|| ≤ eb+ ||x − y||∗m + 2DN δe−2ϑ(|m|−1) ||x − y|| ≤ C1 ||x − y||∗m Hệ 2.13 Với δ đủ nhỏ x, y ∈ X ta có −1 ∗ −a+ ||G−1 ||x − y||∗m+1 m (x) − Gm (y)||m ≤ C2 e Chứng minh Hệ 2.13: Từ Hệ 2.8 Hệ 2.9 ta có ||Gm (x) − Gm (y)||∗m+1 ≥ ||Am (x − y)||∗m+1 − ||fm (x) − fm (y)||∗m+1 ≥ ea− − 2DN e2ϑ|m+1| δe−4ϑ|m| ||x − y||∗m ≥ ea− − 2DN δe2ϑ(1−|m|) ||x − y||∗m ≥ C2−1 ea− ||x − y||∗m Suy −1 ∗ −a− ||G−1 ||x − y||∗m+1 m (x) − Gm (y)||m ≤ C2 e Chứng minh Định lý 2.11: Lấy α (2.37) Ta u = (um )m∈Z = (bm , cm )m∈Z Xα (xem Định lý 2.10) dãy S(u) = (bm , cm )m∈Z với bm , cm chứng minh Định lý 2.3 (xem (2.17) (2.18)) xxxi thuộc Xα Lấy x, y ∈ X với ||x − y||∗m < Từ (2.17), tương tự (2.18) ta thu được: −1 ∗ ||bm (x) − bm (y)||∗m ≤ ea+ K ||G−1 m−1 (x) − Gm−1 (y)||m+1 α −1 ∗ + N δeβ ||G−1 m−1 (x) − Gm−1 (y)||m−1 Từ Hệ 2.13 ta có ||bm (x) − bm (y)||∗m ≤ ea+ KC2α eα(−a+ ) (||x − y||∗m )α + N δC2 e−a+ ≤ Kea+ eα(−a+ ) C2α + N δC2 e−a+ +β +β ||x − y||∗m (||x − y||∗m )α , (2.44) (với ||x − y||∗m < 1) Đặt e−b+ϑ− + e−b+ϑ C3 = , − e− tiếp tục (2.41) ta có −1 ||Cm (hm (x) − hm (y))||∗m ≤ δDC3 ||x − y||∗m Vì trình (2.40) Hệ 2.12 ta có ||cm (x) − cm (y)||∗m ≤ e−b+ K ||Gm (x) − Gm (y)||∗m+1 ≤ Ke−b+ eb+ + 2DN δeϑ α α + δDC3 ||x − y||∗m + δDC3 (||x − y||∗m )α , (2.45) (với ||x − y||∗m < 1) Tương tự chứng minh Định lý 2.10 từ (2.37) ta có bất đẳng thức (2.43) thỏa mãn với α ∈ (0, α0 ) Từ (2.44) (2.45), với δ đủ nhỏ tồn K > cho max{||bm (x) − bm (y)||∗m ; ||cm (x) − cm (y)||∗m } ≤ K(||x − y||∗m )α , với m ∈ Z x, y ∈ X, ||x − y||∗m < Ta kết thúc chứng minh định lý Rõ ràng Định lý 2.7 hệ Định lý 2.10 Định lý 2.11 Hệ 2.8 xxxii Chương Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không trường hợp thời gian liên tục Ta chứng minh kết luận văn - Định lý Hartman-Grobman cho hệ nhị phân mũ không trường hợp liên tục Ta chứng minh tồn ánh xạ liên hợp cho dịng Hơn nữa, ta cịn tính chớnh quy Hăolder ca ỏnh x liờn hp ú 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng Xét điều kiện: E1 (tồn nhất): Hàm A : R → B(X) liên tục nghiệm v = A(t)v, v(s) = vs với s ∈ J, vs ∈ X xác định với t ∈ J ⊂ R, J mở R E2 (điều kiện Lipschitz): Hàm f : R × X → X liên tục tồn δ > 0, β ≥ để với t ∈ R x, y ∈ X ta có: ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ δe−β|t| min{1, ||x − y||} (3.1) Với giả thiết E1 , E2 hệ phương trình tuyến tính v = A(t)v hệ nửa tuyến tính v = A(t)v + f (t, v) định nghĩa toán tử nhị phân mũ R Kí hiệu tốn xxxiii tử tiến hóa chúng T (t, s), R(t, s) Để có kết đẹp ta xây dựng hệ có nhị phân mũ không mạnh Định lý 3.1 (Định lý Grobman-Hartman cho dòng) (xem [8], [11]) Giả sử điều kiện E1 , E2 thỏa mãn, hệ v = A(t)v nhị phân mũ không mạnh R với b > β = max{a, b} Nếu δ đủ nhỏ tồn đồng phơi ht : X → X với t ∈ R thỏa mãn T (t, s) ◦ hs = ht ◦ R(t, s), t, s ∈ R (3.2) Việc chứng minh Định lý 3.1 coi hệ kết ánh xạ liên hợp cho ánh xạ mà ta trình bày chương Phương pháp chứng minh cho trường hợp liên tục quy trường hợp rời rạc 3.1.1 Phép quy trường hợp rời rạc Cố định r ∈ [−1, 1], với m ∈ Z, ta định nghĩa toán tử khả nghịch Am = Am,r = T (m + r, m + r − 1), (3.3) ánh xạ m+r fm (u) = T (m + r, τ )f (τ, v(τ, u))dτ, (3.4) m+r−1 v(t, u) nghiệm phương trình vi phân v = A(t)v + f (t, v) với v(m + r − 1) = u, f (t, 0) = Với t ∈ R ta có t v(t, u) = T (t, m + r − 1)u + T (t, τ )f (τ, v(τ, u))dτ (3.5) m+r−1 Như sử dụng cách khéo léo từ (3.3), (3.4), (3.5) ta thu được: v(m + r, u) = Am u + fm (u) Hệ 3.2 Giả sử điều kiện E1 , E2 thỏa mãn với β = max{a, b} với δ < 0, δ đủ nhỏ xxxiv Ánh xạ Am + fm thỏa mãn điều kiện F1, F2, F3 với β = 4ϑ δ cho trước (Am )m∈Z nhị phân mũ không mạnh v = A(t)v nhị phân mũ không mạnh R Chứng minh Mệnh đề thừa nhận Với điều kiện F1, đặt ϑ = max{a, b} Với t ≥ s ta có ||T (t, s)|| ≤ ||T (t, s)P (s)|| + ||T (t, s)Q(s)|| = ||U (t, s)|| + ||V (t, s)|| ≤ (D1 + D2 )eb(t−s)+ϑ|s| , nên ||T (t, s)|| ≤ Deb(t−s)+ϑ|s| , D = D1 + D2 (3.6) Từ điều kiện E2 ta có m+r ||fm ||∞ = sup T (m + r, τ )f (τ, v(τ, u))dτ u∈X m+r−1 m+r ≤ ||T (m + r, τ )|| sup ||f (τ, v(τ, u))||dτ u∈X m+r−1 m+r eb(m+r−τ ) e−5ϑ|τ | dτ ≤ Dδ m+r−1 m+r 10ϑ −5ϑ|m| ≤ Dδe e eb(m+r−τ ) dτ m+r−1 = Dδe10ϑ e−5ϑ|m| (eb − 1) , b với δ đủ nhỏ, ta có điều kiện F2 Để thỏa mãn điều kiện F3 ta tồn D > cho với m + r − ≤ t ≤ m + r x, y ∈ X ||v(t, x) − v(t, y)|| ≤ D eϑ|m| ||x − y|| Từ (3.5) E2 ta có ||v(t, x) − v(t, y)|| ≤ ||T (t, m − 1)||||x − y|| m+r +δ ||T (t, τ )||e−6ϑ|τ | ||v(τ, x) − v(τ, y)||dτ m+r−1 xxxv (3.7) Từ (3.6), t ≤ m + r ta có ||v(t, x) − v(t, y)|| ≤ Deb+ϑ|m+r−1| ||x − y|| t + δDeb ||v(τ, x) − v(τ, y)||dτ m+r−1 Áp dụng Bổ đề Gronwall ta có b ||v(t, x) − v(t, y)|| ≤ Deb+2ϑ+ϑ|m| eδDe ||x − y||, với m + r − ≤ t ≤ m + r nên ||v(t, x) − v(t, y)|| ≤ D eϑ|m| ||x − y|| Ta có ∀x, y ∈ X, từ (3.6), (3.7), điều kiện E2 , m+r eb(m+r−τ ) e−5ϑ|τ | ||v(τ, x) − v(τ, y)||dτ ||fm (x) − fm (y)|| ≤ δD m+r−1 m+r ≤ δDD eϑ|m| ||x − y|| eb(m+r−τ ) e−5ϑ|τ | dτ m+r−1 ≤ δDD e 5ϑ e b − −4ϑ|m| e ||x − y||, b suy δ đủ nhỏ thỏa mãn F3 3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman Ta gọi T (t, s), R(t, s) tương ứng tốn tử tiến hóa hệ v = A(t)v v = A(t)v + f (t, v) Lấy r ∈ [−1, 1], từ Hệ 3.2 Hệ 2.5 ta có đồng phơi Gm,r : X → X, m ∈ Z thỏa mãn T (m + r, m + r − 1)Gm,r = Gm+1,r R(m + r, m + r − 1), xxxvi m ∈ Z (3.8) Hệ 3.3 Ta có Gm,r = Gm,r với m + r = m + r Chứng minh Hệ 3.3: Lấy || · ||m,r chuẩn xây dựng (2.8) Khi ||x||m,r = ||x||m,n m + r = m + r Từ (3.5) ta Am,r = Am,r nên Ar (m + k, m + l) = Ar (m + k, m + l), k, l ∈ Z, với Ar , Ar thỏa mãn (2.5) xây dựng toán tử An,r ; An,r Đặc biệt sup sup ||Gm,r (x) − x||m+1,r−1 = sup sup ||Gm,r (x) − x||m,r , ∀r ∈ [0, 1] (3.9) m∈Z x∈X m∈Z x∈X Từ (3.8) ta có T (m + r, m + r − 1)Gm−1,r = Gm,r R(m + r, m + r − 1), m ∈ Z, (3.10) với r = r − r ∈ [0, 1] Từ (3.9) tính Định lý 2.3 ta có dãy (Gm−1,r )m∈Z trùng với dãy đồng phôi Định lý 2.3 thỏa mãn (3.10) dãy (Gm,r )m∈Z Khi r ∈ [0, 1] ta có Gm,r = Gm−1,r với m ∈ Z Khi r ∈ [−1, 0] ta có kết tương tự Hệ chứng minh xong Ta thu dãy đồng phôi, ta cần thu hàm đồng phôi Từ Hệ 3.3 ta định nghĩa đồng phôi Jt = Gm,r với m = [t] r = t − [t], (3.11) [t] phần nguyên t Nhận thấy Jt rời rạc Với s ∈ R, ta định nghĩa ánh xạ hs : X → X cho hs (x) = T (s, τ + s)Jτ +s R(τ + s, s)(x)dτ, (3.12) hợp thành định nghĩa phép nhân Khi ta thu hàm đồng phơi Ta chứng minh tích phân xác định với s ∈ R, x ∈ X hàm lấy tích phân (3.12) bị chặn τ ∈ [−1, 1] Ta ý hàm Am , fm (3.3) (3.4) hệ số K, α Định lý 2.7 chọn không phụ thuộc τ ∈ [−1, 1] (điều suy trực tiếp từ định nghĩa α0 từ dạng xxxvii số bên vế phải (2.38), (2.41), (2.43) (2.44)) Từ (3.6) ta có ∀t ≥ s ||T (s, t)|| ≤ De−a(t−s)+ϑ|t| , (3.13) D = D1 + D2 ϑ = max{a, b} Bởi (3.13) Định lý 2.7, M = ||R(τ + s, s)(x)|| ≤ e−2ϑ(1+|s|) ta có N = ||T (s, τ + s)Jτ +s R(τ + s, s)(x)|| ≤ De−aτ +ϑ(1+|s|) ||Jτ +s R(τ + s, s)(x)|| ≤ De−aτ +ϑ(1+|s|) e−2ϑ(1+|s|) + ||(Jτ +s − Id)R(τ + s, s)(x)|| (3.14) ≤ De−a e−ϑ(1+|s|) + Keϑ(1+|s|) M ≥ e−2ϑ(1+|s|) ta có N ≤ De−a+ϑ(1+|s|) M + K e2ϑ(1+|s|) M (3.15) Ta ước lượng M Từ (3.6) (3.1) ≤ τ ≤ ta có τ +s M ≤ ||T (τ + s, s)(x)|| + ||T (τ + s, r)f (r, R(r, s))(x)||dr s τ +s eb(τ +s−r)+ϑ|r| e−6ϑ|r| dr ≤ Debτ +ϑ|s| ||x|| + Dδ s b ≤ Deb+ϑ|s| ||x|| + Dδe b Kết hợp (3.14), (3.15) ta có với s, x hàm lấy tích phân (3.12) bị chặn với τ ∈ [0, 1] Do tích phân xác định Từ ánh xạ R(τ + s, s) Jτ +s liên tục, ánh xạ hs liên tục Hơn hs khả nghịch với nghịch đảo R(s, τ + s)Jτ−1 +s T (τ + s, s)(x)dτ h−1 s (x) = xxxviii Vì ánh xạ h−1 s liên tục Với s, t ∈ R ta có T (t, s)hs = T (t, τ + s)Jτ +s R(τ + s, s)dτ (3.16) T (t, τ + s)Jτ +s R(τ + s, t)dτ ◦ R(t, s) = Chúng ta T (t, τ + s)Jτ +s R(τ + s, t)dτ = ht P := (3.17) Đặt w = τ − t, từ R(t, w + t)−1 = R(w + t, t) ta có P = T (t, w + t)Jw+t R(w + t, t)dw s−t (3.18) 1+s−t + T (t, w + t)Jw+t R(w + t, t)dw Nhưng từ (3.8) ta có T (w + t + 1, w + t)Jw+t = Jw+t+1 R(w + t + 1, w + t), từ tích phân thứ (3.18) ta viết T (t, w + t + 1)T (w + t + 1, w + t)Jw+t R(w + t, t)dw s−t = T (t, w + t + 1)Jw+t+1 R(w + t + 1, t)dw s−t = T (t, t + τ )Jt+τ R(t + τ, t)dτ 1+s−t xxxix Từ từ (3.18) ta có T (t, t + τ )Jt+τ R(t + τ, t)dτ = ht , P = thỏa mãn T (t, s)hs = ht R(t, s) Vậy hs ánh xạ liên hợp toán tử tiến hóa T (t, s) R(t, s) 3.2 Tớnh chớnh quy Hăolder ca ỏnh x liờn hp cho dòng Định lý 3.4 (xem [8], [11]) Giả sử E1 , E2 thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính v = A(t)v nhị phân mũ không mạnh R với b > β = max{a, b} Với α ∈ (0, α0 ) δ đủ nhỏ (phụ thuộc α) tồn đồng phôi ht Định lý 3.1 K > (phụ thuộc α δ) thỏa mãn ||ht (x) − ht (y)|| ≤ Ke2 max{a,b}(2+3α)|t| ||x − y||α , −1 max{a,b}(2+3α)|t| ||h−1 ||x − y||α t (x) − ht (y)|| ≤ Ke với t ∈ R x, y ∈ X với ||x − y|| ≤ e−3 max{a,b}|t| Chứng minh Ta tiếp tục xét đồng phôi Jt ht xây dựng chứng minh Định lý 3.1 (xem (3.11), (3.12)) Từ (3.12) (3.13) ta có De−aτ +ϑ|s+τ | a(τ )dτ, ||hs (x) − hs (y)|| ≤ a(τ ) = ||Jτ +s R(τ + s, s)(x) − Jτ +s R(τ + s, s)(y)|| Giả sử ||x − y|| ≤ e−3ϑ|s| , xl (3.19) ta cần ||R(τ + s, s)(x) − R(τ + s, s)(y)|| ≤ Ke−2ϑ(1+|s|) , (3.20) với hệ số K > (không phụ thuộc vào s) Thật R(t, s)(x) − R(t, s)(y) = T (t, s)(x − y) t T (t, u) [f (u, R(u, s))(x) − f (u, R(u, s))(y)] du, + s lấy b(t) = ||R(t, s)(x) − R(t, s)(y)||, với t ≥ s ta có t Deb(t−u) δe−6ϑ|u| b(u)du, b(t) ≤ Deb(t−s)+ϑ|s| · ||x − y|| + s sử dụng (3.6) điều kiện F3 Đặt Φ(t) = e−b(t−s) b(t), với t ≥ s ta có t Φ(t) ≤ Deϑ|s| ||x − y|| + DδΦ(u)du, s hệ Gronwall ta có Φ(t) ≤ Deϑ|s| eδD(t−s) ||x − y|| Do với τ ∈ [0, 1] ta có b(τ + s) ≤ Debτ +ϑ|s| eδDτ ||x − y|| b+δD+ϑ|s| −3ϑ|s| ≤ De e Ta thiết lập (3.20) Áp dụng Định lý 2.10 đạt a(τ ) ≤ b(τ + s) + K e2ϑα(1+|s|) b(τ + s)α Từ Jr+s = Id + (Jτ +s − Id), xli (3.21) cho tham số K > (không phụ thuộc s), từ bất đẳng thức (3.21), ||x−y|| < ta có a(τ ) ≤ Deb+δD+ϑ|s| ||x − y|| + K e2ϑα(1+|s|) Deb+δD+ϑ|s| ||x − y|| ≤ Leϑ(1+3α)|s| ||x − y||α , với hệ số L > (không phụ thuộc vào s) Bởi (3.19) ta có ||hs (x) − hs (y)|| ≤ De−a+ϑ Leϑ(2+3α)|s| ||x − y||α Ta có điều phải chứng minh xlii α KẾT LUẬN Như vậy, chúng tơi trình bày định lý Grobman-Hartman tương đương tô-pô hệ nhị phân mũ không trường hợp rời rạc liên tục Đồng thi, chỳng tụi cng ch tớnh chớnh quy Hă older ánh xạ liên hợp Chúng nghiên cứu mở rộng kết cho hệ động lực thang thời gian xliii TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Khuê (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, NXB Giáo Dục Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh D Henry (1994), Exponential dichotomies, the shadowing lemma and homoclinic orbits in Banach spaces, in Dynamical Phase Transittions (S˜ao Paulo, 1994), Resenhas IME-USP 1, 381-401 G Belicki˘i (1973), Functionnal equations, conjugacy of local diffieomorfisms of finite smoothness class, Functionnal Anal Apirl 7, 268-277 G Belicki˘i (1978), Equivalence and normal forms of germs of smooth mappings, Russian Math Surveys 33, 107-177 Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Existence of stable manifolds for nonuniformly hyperbolic C dynamics, Discrete Contin Dyn Syst 16, pp 307-327 Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of Nonautonomous Differential Equations, Springer Luis Barreira and Claudia Valls (2006), A Grobman-Hartman theorem for nonuniformly hyperbolic dynamics, J Differential Equations 228, 285-310 10 Luis Barreira and Claudia Valls (2007), Nonuniform exponential dichotomies and Lyapunov regularity, J Differential Equations 19, 215-241 11 Luis Barreira and Claudia Valls, Conjugacies for linear and nonlinear perturbations of nonuniform behavior, J Funct Anal., to appear 12 W.A.Coppel (1978), Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, Springer xliv 13 James D Meiss (2007), Differential Dynamical Systems, SIAM 14 D.Grobman (1959),Homeomorphism of systems of differential equations, Dokl.Akad.Nauk SSSR 128,880-881 xlv ... nhị phân mũ không tổng quát nhị phân mũ nhiều Chẳng hạn, hệ hữu hạn chiều cần có số mũ Lyapunov có phần thực âm hệ có nhị phân mũ khơng ([8, Định lý 10.6]) Ta định nghĩa thêm hệ nhị phân mũ không. .. minh định lý Rõ ràng Định lý 2.7 hệ Định lý 2.10 Định lý 2.11 Hệ 2.8 xxxii Chương Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không trường hợp thời gian liên tục Ta chứng minh kết luận văn - Định lý Hartman -Grobman. .. số mũ Lyapunov, a b đặc trưng cho tính khơng hệ nhị phân mũ Nhận xét 1.7 Như từ hai định nghĩa nhị phân mũ nhị phân mũ khơng ta thấy hệ nhị phân mũ khơng có thêm lượng mũ a|s| b|t| Thực chất nhị