(Luận án tiến sĩ) tỷ số HV đối với các bán không gian đàn hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 62 44 01 07 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS Phạm Chí Vĩnh TS Trần Thanh Tuấn Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Lê Thị Huệ LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học GS TS Phạm Chí Vĩnh TS Trần Thanh Tuấn, người thầy tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Các Thầy dìu dắt đường làm học, tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ sâu sắc đến Thầy Phạm Chí Vĩnh Thầy Trần Thanh Tuấn Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường Đại học Lâm nghiệp, ban chủ nhiệm Khoa Cơ điện Cơng trình đặc biệt thầy Bộ mơn Tốn trường Đại học Lâm nghiệp động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bộ mơn Cơ học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, anh chị nhóm sermina thầy Phạm Chí Vĩnh hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo môi trường nghiên cứu khoa học tốt cho thân Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi ln ln giúp đỡ, động viên ủng hộ tơi suốt q trình làm luận án Nghiên cứu sinh Lê Thị Huệ Mục lục Danh sách bảng kí hiệu vii Danh sách hình vẽ viii Mở đầu Chương Tổng quan 1.1 Sóng Rayleigh 1.1.1 Sóng Rayleigh bán khơng gian 1.1.2 Sóng Rayleigh bán không gian phủ lớp đàn hồi 10 1.2 Lịch sử phát triển sóng Rayleigh 11 1.3 Hai vấn đề sóng Rayleigh 1.3.1 Phương trình tán sắc 1.3.2 Tỷ số H/V 12 13 15 1.4 Nội dung luận án 17 Chương Các công thức tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng 20 2.1 Ma trận trở kháng mặt dạng sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng 21 2.1.1 Ma trận trở kháng mặt dạng bán không gian đàn hồi trực hướng nén 21 2.1.2 Ma trận trở kháng mặt dạng bán không gian đàn hồi trực hướng không nén 22 2.2 Công thức tỷ số H/V sóng Rayleigh bán khơng gian đàn trực hướng nén 2.2.1 Phương trình tỷ số H/V sóng Rayleigh 2.2.2 Cơng thức xác dạng tỷ số H/V 2.2.3 Công thức xấp xỉ dạng tỷ số H/V sóng Rayleigh iii hồi 23 23 27 30 2.3 Công thức tỷ số H/V sóng Rayleigh bán khơng gian đàn trực hướng không nén 2.3.1 Phương trình tỷ số H/V sóng Rayleigh 2.3.2 Cơng thức xác dạng tỷ số H/V 2.3.3 Công thức xấp xỉ dạng tỷ số H/V hồi 33 33 36 36 2.4 Kết luận 37 Chương Các công thức tỷ số H/V bán không gian đàn hồi có ứng suất trước 39 3.1 Ma trận trở kháng mặt dạng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước 39 3.1.1 Ma trận trở kháng mặt dạng bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén 40 3.1.2 Ma trận trở kháng mặt dạng bán khơng gian đàn hồi, có ứng suất trước, không nén 43 3.2 Công thức tỷ số H/V sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén 45 3.2.1 Phương trình tỷ số H/V sóng Rayleigh 45 3.2.2 Cơng thức xác dạng tỷ số H/V 50 3.2.3 Công thức xấp xỉ dạng tỷ số H/V 54 3.2.4 Công thức tỷ số H/V hàm lượng biến dạng cụ thể 55 3.3 Công thức tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước khơng nén 64 3.3.1 Phương trình tỷ số H/V 64 3.3.2 Cơng thức xác dạng tỷ số H/V 67 3.3.3 Công thức xấp xỉ dạng tỷ số H/V 68 3.3.4 Công thức tỷ số H/V hàm lượng biến dạng cụ thể 69 3.3.5 Ứng dụng: xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/V 76 3.4 Kết luận iv 79 Chương Các công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng đàn hồi 81 4.1 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén 82 4.1.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển dịch mặt biên phân cách 82 4.1.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V 85 4.1.3 Các trường hợp đặc biệt 88 4.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng không nén 91 4.2.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất chuyển dịch mặt biên phân cách 91 4.2.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V 95 4.2.3 Các trường hợp đặc biệt 96 4.3 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = nén 98 4.3.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển dịch mặt biên phân cách 98 4.3.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V 101 4.3.3 Các trường hợp đặc biệt 104 4.4 Kết luận 105 Chương Các công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước phủ lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước 106 5.1 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi có ứng suất trước nén phủ lớp mỏng có ứng suất trước nén 107 5.1.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển dịch mặt biên phân cách 107 5.1.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V 112 5.1.3 Các trường hợp đặc biệt 115 5.1.4 Công thức tỷ số H/V hàm lượng biến dạng cụ thể 116 v 5.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước không nén phủ lớp mỏng có ứng suất trước khơng nén 119 5.2.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển dịch mặt biên phân cách 119 5.2.2 Công thức xấp xỉ tỷ số H/V 123 5.2.3 Các trường hợp đặc biệt 125 5.3 Kết luận 126 Chương Các cơng thức xác tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước phủ lớp đàn hồi có ứng suất trước 127 6.1 Ma trận chuyển lớp đàn hồi có ứng suất trước 128 6.1.1 Ma trận chuyển lớp đàn hồi có ứng suất trước nén 128 6.1.2 Ma trận chuyển lớp đàn hồi có ứng suất trước khơng nén 129 6.2 Cơng thức xác tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén phủ lớp có ứng suất trước nén 131 6.2.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ chuyển dịch ứng suất lớp bán không gian mặt phân cách 131 6.2.2 Cơng thức xác tỷ số H/V 131 6.3 Cơng thức xác tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước không nén phủ lớp đàn hồi có ứng suất trước khơng nén 135 6.3.1 Mối liên hệ biên độ véc tơ ứng suất chuyển dịch lớp bán không gian mặt phân cách 135 6.3.2 Công thức xác tỷ số H/V 136 6.4 Kết luận 138 Kết luận kiến nghị 140 Tài liệu tham khảo 143 Phụ lục 149 vi Danh sách bảng kí hiệu λ: Hằng số Lame µ: Hằng số Lame hy4 ρ: Mật độ khối lượng c1 : Vận tốc sóng dọc c2 : Vận tốc sóng ngang c: Vận tốc sóng Rayleigh M: Ma trận trở kháng mặt sóng Rayleigh u: Véc tơ chuyển dịch t: Véc tơ ứng lực cij : Các số đàn hồi σij : Các thành phần tensor ứng suất λk : Độ dãn biến dạng dọc theo trục xk σk : Ứng suất Cô-si dọc theo phương xk W : Hàm lượng biến dạng shx: sinhx chx: coshx p: áp suất thủy tĩnh N: Ma trận phát biểu Stroh H/V: Tỷ số giá trị chuyển dịch ngang chuyển dịch thẳng đứng sóng Rayleigh bề mặt bán khơng gian vii Danh sách hình vẽ 1.1 Bán khơng gian đàn hồi x2 ≥ 2.1 Đường cong xác (nét liền) xấp xỉ (nét đứt) tỷ số H/V sóng Rayleigh khoảng γ ∈ [0, 0.8] bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén Đường cong xác (nét liền) xấp xỉ (nét đứt) tỷ số H/V bình phương sóng Rayleigh khoảng α ∈ [0.5, 4] bán không gian đàn hồi trực hướng nén được: (a) σ = 3, δ = 0.6 (đường cong phía dưới), (b) σ = 0.3, δ = 0.4 (đường cong phía trên) Đường cong xác (nét liền) xấp xỉ (nét đứt) tỷ số H/V bình phương sóng Rayleigh khoảng δ ∈ [0, 1] bán không gian đàn hồi trực hướng nén được: (a) α = 3, σ = (đường cong phía dưới), (b) α = 3, σ = 0.2 (đường cong phía trên) Đường cong xác (nét liền) xấp xỉ (nét đứt) tỷ số H/V sóng Rayleigh khoảng σ ∈ [1, 10] bán không gian đàn hồi trực hướng nén với α = 4, δ = 0.5 Đường cong xác (nét liền) xấp xỉ (nét đứt) tỷ số H/V bình phương khoảng d ∈ [0, 5] bán không gian đàn hồi trực hướng không nén 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 33 34 34 35 38 (Bên trái) Một số đường cong tỷ số H/V bình phương miền λ1 λ2 hàm lượng biến dạng Neo-Hookean (Bên phải) Sự phụ thuộc tỷ số H/V bình phương vào λ2 56 Một số đường cong tỷ số H/V bình phương miền λ1 λ2 hàm lượng Varga 58 Tỷ số H/V bình phương hàm λ1 (trái) với λ2 = hàm λ2 với λ1 = (phải) hàm lượng Varga Cả hai hình vẽ trường hợp λ3 = 58 viii ∗ ∗ ¯2 = [¯ ¯1 = [¯ , , B α; β¯∗ ]2 M22 B α; β¯∗ ][¯ γ ∗ ]M11 ∗ ∗ ∗ ¯3 = [¯ α2 γ¯1∗ + β¯2∗ )h∗12 − α ¯ [M11 M22 − (M12 ) ] , B α; β¯∗ ] β¯2∗ γ¯1∗ − (¯ (6.55) ∗ ∗ ∗ ∗ ¯4 = [¯ B α; β¯∗ ] − β¯1∗ γ¯2∗ + (¯ α1 γ¯2∗ + β¯1∗ )M12 +α ¯ (M11 M22 − (M12 ) ) , ∗ , M ∗ , M ∗ , S, P xác định đại lượng α¯ k , β¯k∗ , η¯k∗ , M11 12 22 e¯5¯b2k + rv2 x − e¯1 ¯∗ α ¯ k¯bk −1 ∗ , β = r (¯ e α ¯ − e ¯ ), η ¯ = r e ¯ + µ µ k k k e¯2 (¯ e3 + e¯4 )¯bk √ √ e4 (e1 − x) − e3 e5 P e5 (e1 − x) S + P ∗ ∗ √ √ , M12 = , M11 = e1 − x + e5 P e1 − x + e5 P √ √ P S + P e e ∗ √ M22 =− , e1 − x + e5 P (e1 − x)(1 − x) e2 (e1 − x) + e5 (1 − x) − (e3 + e4 )2 , P = , S= e2 e5 e2 e5 α ¯k = , (6.56) Trường hợp đặc biệt: Khi ε = 0, mơ hình trở thành bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước khơng nén Từ (6.53) phương trình tán sắc xác bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước khơng nén (định thức ma trận M = 0) ta suy √ 1−x κ = √ δ1 (6.57) Công thức (6.57) trùng với công thức (3.126) chương luận án 6.4 Kết luận Trong chương này, cơng thức xác tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước phủ lớp đàn hồi có ứng suất trước có độ dầy tùy ý thiết lập cách sử dụng ma trận trở chuyển lớp ma trận trở kháng mặt bán không gian Các công thức tỷ số H/V hàm tham số vật liệu phụ thuộc vào vận tốc sóng, cơng cụ thuận tiện để giải tốn ngược Vì cơng thức lý thuyết thu có ý nghĩa ứng dụng thực tế Các kết Chương kết mới, mở rộng kết Malischewsky [21] (lớp bán không gian đẳng hướng nén được) Love [18] (lớp bán không gian đẳng hướng không nén được) Một phần kết Chương công bố 01 báo quốc tế thuộc danh mục ISI: 138 Chi Vinh Pham , Anh Vu, Jose Merodio, Hue Le (2018), "Explicit transfer matrices of pre-stressed elastic layers", International Journal of Non-Linear Mechanics, https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2018.05.011, Published online 11 May 2018 (SCI-Q1) 139 Kết luận kiến nghị Vật liệu tạo ngày nhiều sử dụng rộng rãi công nghệ đại Do vậy, việc đánh giá tính chất học cấu trúc trước trình sử dụng cần thiết có ý nghĩa Tỷ số H/V cơng cụ tiện lợi để thực nhiệm vụ Để sử dụng tỷ số H/V cần thiết lập phương trình cơng thức xác định chúng Sử dụng phương pháp: ma trận trở kháng mặt, lí thuyết phương trình bậc ba, bình phương tối thiểu, điều kiện biên hiệu dụng, ma trận chuyển, luận án tìm số cơng thức (chính xác, xấp xỉ) tính tỷ số H/V bán không gian đàn hồi bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi Các cơng thức thu mở ứng dụng sóng Rayleigh: sử dụng tỷ số H/V để đánh giá không phá hủy tính chất học cấu trúc trước trình sử dụng Các kết luận án 1) Tìm cơng thức xác tỷ số H/V sóng Rayleigh đối với: • Bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén khơng nén • Bán khơng gian có ứng suất trước nén khơng nén • Bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén (khơng nén được) phủ lớp đàn hồi có ứng suất trước nén (khơng nén được) 2) Tìm công thức xấp xỉ tỷ số H/V sóng Rayleigh đối với: • Bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén khơng nén • Bán khơng gian có ứng suất trước nén khơng nén • Bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén (không nén được) phủ lớp đàn hồi trực hướng nén (khơng nén được) • Bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = nén 140 • Bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén (khơng nén được) phủ lớp đàn hồi có ứng suất trước nén (không nén được) Các kết thu đóng góp nhỏ có ý nghĩa lĩnh vực sóng mặt Rayleigh Các kết luận án công bố 04 báo quốc tế thuộc danh mục ISI (01 báo SCI-Q1, 01 báo SCI-Q2, 02 báo SCIE-Q2), 02 báo tạp chí uy tín nước (Vietnam Journal of Mechanics), 01 báo cáo hội nghị Cơ học toàn quốc Các vấn đề tiếp tục phát triển sau luận án • Thiết lập cơng thức xấp xỉ (tồn cục) với độ xác cao tỷ số H/V bán không gian đàn hồi tự ứng suất • Tìm cơng thức xấp xỉ tỷ số H/V bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng dị hướng (monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0, x2 = 0) • Thiết lập cơng thức xác tỷ số H/V bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước chịu ràng buộc tổng quát • Ứng dụng kết thu để giải toán ngược 141 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Le Thi Hue (2017), "Approximate formula for the H/V ratio of Rayleigh waves in incompressible orthotropic halfspaces coated by a thin elastic layer", Vietnam Journal of Mechanics, 39 (4), pp 365-374 Nguyen Thi Khanh Linh, Pham Chi Vinh, Le Thi Hue (2018), "An approximate formula for the H/V ratio of Rayleigh waves in compressible prestressed elastic half-spaces coated with a thin layer", Vietnam Journal of Mechanics, 40 (1), pp 63-78 Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Le Thi Hue (2018),"Formulas for the H/V ratio (ellipticity) of Rayleigh waves in orthotropic elastic halfspace", Waves in Random and Complex Media, Published online 10 May 2018, http://doi.org/10.1080/17455030.2018.1470702 (SCI-Q2) Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Le Thi Hue (2018), "Formulas for the H/V ratio of Rayleigh waves in incompressible pre-stressed elastic halfspace", Archives of Mechanics., 70 (2), pp 131-150 (SCIE-Q2) Chi Vinh Pham, Anh Vu, Jose Merodio, Hue Le (2018), "Explicit transfer matrices of pre-stressed elastic layers", International Journal of NonLinear Mechanics, https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2018.05.011 (SCI-Q1) Pham Chi Vinh, Thanh Tuan Tran, Vu Thi Ngoc Anh, Le Thi Hue (2018), "Formulas for the H/V ratio of Rayleigh waves in compressible prestressed hyperelastic half-space", Journal of Mechanics of Materials and Structures, 13 (3), pp 247-261 (SCIE-Q2) Phạm Chí Vĩnh, Lê Thị Huệ, Nguyễn Thị Khánh Linh (2018), "Công thức xấp xỉ tỷ số H/V sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước khơng nén phủ lớp mỏng có ứng suất trước khơng nén được", Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, pp 1419-1426 142 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Chí Vĩnh (2015), Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Achenbach J D (1984), "Wave Propagation in Elastic Solids", Elsevier, New York [3] Adam S D M et al (2007), "Rayleigh Waves Guided by Topogra-Phy", Proc R Soc London A 463, pp 531-550 [4] Barnett D M, Lotthe J (1985), "Free surface (Rayleigh) waves in anisotropic elastic half-spaces: the surface impedance method", Proc Soc Lond A 402, pp 135-152 [5] Ben-Menahem A., Singh S J (2000), "Seismic waves and Sources", Springer-Verlag New York Inc, Second edition [6] Destrade M (2001), "The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", J Acoust Soc Am 109(4), pp 1398 - 1402 [7] Destrade M (2003),"Rayleigh waves in symmetry planes crystals: explicit secular equation and some explicit wave speeds", Mech Mat 35, pp 931939 [8] Destrade M (2003), "Surface acoustic waves in rotating orthorhombic crystals", Proc R Soc London 460, pp 653–665 [9] Destrade M (2004), "Rayleigh waves in anisotropic crystals rotating about the normal to a symmetry plane", Jourmal of Applied Mechanics 71(4), pp 516-520 143 [10] Destrade M., Ogden R W (2005), "Surface waves in a stretched and sheared incompressible elastic material", International Journal of Non-Linear Mechanics 40, pp 241 - 253 [11] Dowaikh M A., Ogden R W (1990), "On surface waves and deformations in a pre-stressed incompressible elastic solids", IMA J Applp Math 44, pp 261-284 [12] Dowaikh M A., Ogden R W (1991), "On surface waves and deformations in a compressible elastic half-space" , Stability and Applied Analysis of Continuous Media (1), pp 27-45 [13] Every A G (2002), “Measurement of the near-surface elastic properties of solids and thin supported films”, Meas Sci Technol 13, pp 21-39 [14] Fu Y B and Mielke A (2002), “A new identity for the surface-impedance matrix and its application to the determination of surface-wave speeds”, Proc R Soc Lond A 458, pp 2523-2543 [15] Junge M., Qu J., Jacobs L J (2006), "Relationship between Rayleigh wave polarization and state of stress", Ultrasonics 44 , pp 233-237 [16] Hess P., Alexey M Lomonosov, Andreas P Mayer (2014), "Laserbased linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D) and wedges (1D)", Ultrasonics 54(1), pp 39–55 [17] Kaufman A, Levshin A L (2005), "Acoustic and Elastic Wave Fields in Geophysics III", Elsevier, Amsterdam [18] Love A.E.H (1911), "Some Problems of Geodynamics", Cambridge University Press, Cambridge (republished by Dover, New York, 1967) [19] Makarov S., Chilla E and Frohlich H J (1995), "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of different surface acoustic wave modes", J Appl Phys 78, pp 5028-5034 [20] Malischewsky P G, Wuttke F, Ziegert A (2002), "The use of surface acoustic waves for non-destructive testing" Schriftenreihe Werkstoffwissenschaffen 17, Verlag Dr Koster, Berlin, pp 135-140 (in German) [21] Malischewsky P G , Scherbaum F (2004), "Love’s formula and H/V-ratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave Motion 40 , pp 57-67 144 [22] Malischewsky P G., Scherbaum F., Lomnitz C., Tuan T T., Wuttke F., Shamir G.(2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh waves particle motion for simple models", Wave Motion, 45 , pp 556-564 [23] Mozhaev V G (1995), "Some new ideas in the theory of surface acoustic waves in anisotropic media", in D F Parker and A H., England (eds.), IUTAM Symposium on Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinearity in Solid Mechanics, Kluwer Academic Pub, Dordrecht, The Netherlands, pp 455462 [24] Munirova L M., Yanovskaya T B (2001), "Spectral ratio of the horizontal and vertical Rayleigh wave components and its application to some problems of seinology", Izvestiya, Phys Solid Earth 37 , pp 709-716 (Translated from Fizika Zemli 10-18) [25] Murphy J G., Destrade M (2009), "Surface waves and surface stability for a prestretched, unconstrained, non-linearly elastic half-space", Int J Non Linear Mech 44, pp 545-551 [26] Ogden R W and Pham Chi Vinh (2004), On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids J Acoust Soc Am 115, pp.530-533 [27] Ogden R W (1984), "Non-linear Elastic Deformations", Ellis Horwood, Chichester [28] Ogden R W., Sotiropoulos D A (1996), "The effect of pre-stress on guided ultrasonic waves between a surface layer and a half-space", Ultrasonics 34, pp 491-494 [29] Rayleigh L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond A17, pp 4-11 [30] Roxburgh D G and Ogden R W (1994), "Stability and vibration of prestressed compressible elastic plates", Int J Engng Sci 32 (3) , pp 421-454 [31] Scherbaum F., Hinzen K G., Ohmberger M (2003), "Determination of shallow shear wave velocity profiles in the Cologue Germany area using ambient vibration", Geophys J Int 152, pp 597-612 [32] Stroh A N (1962), "Steady state problems in anisotropic elasticity", J Math Phys 41 , pp 7703 145 [33] Stoneley R (1963), "The Propagation of surface waves in an elastic medium with orthotropic symmetry", Geophys J Int 8, pp 176-186 [34] Ting T.C.T (1996), Anisotropic Elasticity: Theory and applications, Oxford University Press, New York [35] Taziev R.M (1989), "Dispersion relation for acoustic waves in an anisotropic elastic half-space", Sov Phys Acous 35(5), pp 535-538 [36] Ting T.C.T (2004), "The polarization vector and secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space", Int J solids and Struct 41, pp 2065-2083 [37] Ting T.C.T (2004), "Surface waves in a rotating anisotropic elastic halfspace", Wave Motion 40, pp 329-346 [38] Ting T.C.T (2005), "The polarization vectors at the interface and the secular equation for stoneley waves in monoclinic bimaterials", Proc R Soc A 461, pp 711-731 [39] Tran Thanh Tuan (2008) , "The ellipticity (H/V -ratio) of Rayleigh surface waves", Ph.D Thesis, Friedrich–Schiller University Jena [40] Tran Thanh Tuan, Scherbaum F and Malischewsky P G (2011), " On the relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models", Geophysical Journal International 184 (1), pp 527 [41] Pham Chi Vinh and Ogden R W (2004), "On formulas for the Rayleigh wave speed", Wave Motion 39, pp 191-197 [42] Pham Chi Vinh and Ogden R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Ach Mech 56, pp 247-265 [43] Pham Chi Vinh and Ogden R W (2005), "On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids",Meccanica 40, pp 147161 [44] Pham Chi Vinh and Malischewsky P G (2006), "Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonics 45, pp 77-81 146 [45] Pham Chi Vinh, Malischewsky P G (2007), "An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity", Wave Motion 44, pp 549-562 [46] Pham Chi Vinh and Malischewsky P G (2008), "Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity", J Thermoplast Comp Mater 21, pp 337352 [47] Pham Chi Vinh (2009), "Explicit secular equations of Rayleigh waves in a non-homogeneous orthotropic elastic medium under the influence of gravity", Wave Motion 46, pp 427-434 [48] Pham Chi Vinh and Geza Seriani (2010), "Explicit secular equations of Stoneley waves in a non-homogeneous orthotropic elastic medium under the influence of gravity", Appl Math Compt 215, pp 3515-3525 [49] Pham Chi Vinh (2010), "On formulas for the velocity of Rayleigh waves in pre-strained incompressible elastic solids", ASME J Appl Mech 77 , 021006 (7 pages) [50] Pham Chi Vinh and Pham Thi Ha Giang (2010), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint", Int J Eng Sci 48, pp 275-289 [51] Pham Chi Vinh (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-stressed compressible solids", Wave Motion 48, pp 613-624 [52] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh (2012), An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer Wave Motion, 49, pp 681-689 [53] Pham Chi Vinh (2013), "Scholte-wave velocity formulae", Wave Motion 50, pp 180-190 [54] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh (2013), "An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves in pre-stressed compressible elastic solids", Int J Non-Linear Mech 50, pp 91-96 [55] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh (2013), "Rayleigh waves in an incompressible elastic half-space overlaid with a water layer under the effect of gravity", Meccanica 48 (8), pp 2051-2060 147 [56] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh, Vu Thi Ngoc Anh (2014), "Rayleigh waves in an incompressible orthotropic half-space coated by a thin elastic layer", Arch Mech 66, pp 173-184 [57] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids", Wave Motion 51(7), pp 1082-1092 [58] Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh (2016), "Effective boundary condition method and approximate secular equations of Rayleigh waves in orthotropic half-spaces coated by a thin layer", Journal of Mechanics of Materials and Structures 11 (3), pp 259-277 [59] Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Khanh Linh (2016) , "Exact secular equations of Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space overlaid by an orthotropic elastic layer", Int J Solids Struct 83, pp 65-72 [60] Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Khanh Linh (2016), "On a technique for deriving the explicit secular equation of Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by an orthotropic layer", Waves in Random and Complex Media 26, pp 176-188 [61] Voloshin V (2010), "Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers", PhD thesis, Brunel University [62] White R M., Voltmer F.M (1965), "Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves", Appl Phys Lett 7, pp 314-316 148 Phụ lục Phụ lục A: Biểu thức A¯k , B¯k (k = 0, 1, 2, 3) (e1 − x)(b1 + b2 ) e2 b1 b2 (b1 + b2 ) e1 − x − e3 b1 b2 ¯ , A1 = + e¯2 e¯3 A¯0 = rµ x − e1 − b1 b2 rµ x − e1 − b1 b2 x − e − b b2 4¯ e2 e¯3 (e1 − x − e3 b1 b2 A¯2 = e¯2 e¯23 − + (1 − e¯2 e¯3 )rv2 x − rµ x − e − b1 b2 e¯2 − e¯2 e¯3 [e1 − x − e3 b1 b2 ]2 − (e1 − x)e2 b1 b2 (b1 + b2 )2 + rµ2 [x − e1 − b1 b2 ]2 (6.58) 3(¯ e1 e¯2 − e¯2 rv2 x) e2 b1 b2 (b1 + b2 ) A¯3 = rµ x − e − b b2 e¯2 e¯3 + 4¯ e2 e¯3 − e¯1 + (1 + e¯2 − 2¯ e2 e¯3 )rv2 x (e1 − x)(b1 + b2 ) − rµ x − e − b1 b2 ¯0 = − (e1 − x)(b1 + b2 ) , B rµ x − e1 − b1 b2 2¯ e2 e¯3 (e1 − x − e3 b1 b2 e¯2 [e1 − x − e3 b1 b2 ]2 − (e1 − x)e2 b1 b2 (b1 + b2 )2 ¯1 = −¯ B e2 e¯23 + e¯1 − rv2 x + − rµ x − e − b b2 rµ [x − e1 − b1 b2 ]2 e2 e¯23 − 2¯ e2 e¯3 + e¯1 − (1 + e¯2 )rv2 x (e1 − x)(b1 + b2 ) 2(¯ e2 rv2 x − e¯1 e¯2 e2 b1 b2 (b1 + b2 ) ¯2 = −¯ B + rµ x − e1 − b1 b2 rµ x − e − b1 b2 ¯3 = (¯ B e2 e¯2 + 2¯ e2 e¯3 − e¯1 )(¯ e2 e¯2 − e¯1 ) 3 + (¯ e22 e¯23 + 2¯ e2 e¯23 + 2¯ e2 e¯3 − 3¯ e2 e¯1 − 2¯ e1 )rv2 x + (3¯ e2 + 1)rv4 x2 e¯22 e¯33 + 2¯ e2 e¯23 + 5¯ e1 e¯2 − e¯1 e¯2 e¯3 + (¯ e22 e¯3 + e¯2 e¯3 − 5¯ e2 )rv2 x e1 − x − e3 b1 b2 rµ x − e − b1 b2 2 2 2 e¯2 e¯3 + 2¯ e2 e¯3 − 3¯ e1 e¯2 + (3¯ e2 + e¯2 )rv x [e1 − x − e3 b1 b2 ] − (e1 − x)e2 b1 b2 (b1 + b2 )2 + rµ2 [x − e1 − b1 b2 ]2 − e2 (e1 − x) + − x − (1 + e3 )2 (e1 − x)(e1 − x) ,P = e2 e2 √ √ b1 b2 = P , b + b2 = S + P S= (6.59) 149 Phụ lục B: Biểu thức A¯k , B¯k (k = 0, 1, 2, 3) (b1 + b2 )(b1 b2 − 1) b1 b2 − ¯ , A1 = , A¯0 = rµ rµ 4(1 − b1 b2 ) (1 − b1 b2 )2 − b1 b2 (b1 + b2 )2 A¯2 = −¯ eδ + − , rµ rµ2 (b1 + b2 )(4 − e¯δ − rv2 x − 3b1 b2 ) , A¯3 = rµ ¯1 = e¯δ − rv2 x − 2(1 − b1 b2 ) , ¯ = b1 + b2 , B B rµ rµ ¯2 = (b1 + b2 )(2b1 b2 − + e¯δ − rv x) , B rµ (7 − e¯δ + rv2 x)(1 − b1 b2 ) ¯3 = e¯2 − 2¯ B e − 2¯ e r x + r x + δ δ v v δ rµ 2 (1 − b1 b2 ) − b1 b2 (b1 + b2 ) −2 rµ2 (6.60) Phụ lục C: Biểu thức A¯k , B¯k (k = 0, 1, 2, 3) √ P − e4 (e1 − x) e e √ A¯0 = rµ e1 − x + e5 P √ √ e S + P [r e P − r2 (e1 − x)] √ A¯1 = rµ e1 − x + e5 P √ 4r r (e (e − x) − e e P √ A¯2 = rµ e1 − x + e5 P √ √ √ r2 e¯2 − r1 e¯5 [e4 (e1 − x) − e3 e5 P ] − e2 e5 (e1 − x) P (S + P ) √ + rµ2 [e1 − x + e5 P ]2 √ √ 3(r2 e¯2 [r¯3 + rv2 x] − r12 r2 ) e2 e5 P S + P ¯ √ A3 = rµ e1 − x + e5 P √ t5 + 3r2 r6 − 3¯ e5 r¯7 + (t¯6 + 3r2 e¯5 − 3¯ e5 r5 )rv2 x e5 (e1 − x) S + P √ + rµ e1 − x + e5 P 2r2 r¯3 − r¯7 + (2r2 − r5 )rv2 x + 150 (6.61) √ e5 (e1 − x) S + P ¯ √ B0 = rµ e1 − x + e5 P √ (e (e − x) − e e 2r P ¯1 = −¯ √ B r3 − rv2 x − rµ e − x + e5 P √ 12 √ √ e¯2 [e4 (e1 − x) − e3 e5 P ] − e2 e25 (e1 − x) P (S + P ) √ − rµ [e1 − x + e5 P ]2 √ x e (e − x) S + P r + r + (¯ e + e ¯ )r v ¯2 = − √ B rµ e1 − x + e5 P √ √ −2¯ e2 (¯ r3 + rv2 x) + 2r12 e2 e5 P S + P √ + rµ e1 − x + e5 P ¯3 = t¯3 + 3r8 r¯3 − 3r1 r¯7 + (t4 + 3r8 + 3¯ B r3 e¯2 − 3r1 r5 )r2 x + (¯ e5 + 3¯ e2 )r4 x2 v (6.62) v 3(r1 r6 − r¯7 e¯2 + r1 r8 − r1 r¯3 e¯5 − r2 r¯3 e¯2 ) + t1 rµ √ [3(r1 e¯5 − r5 e¯2 + r1 e¯2 − r1 e¯5 − r2 e¯2 ) + t¯2 ]rv2 x e4 (e1 − x) − e3 e5 P √ + ) rµ e1 − x + e5 P t¯10 + 3¯ e2 r6 − 3r1 (r1 e¯5 + r2 e¯2 ) + (¯ e22 + 3¯ e2 e¯5 )rv2 x + rµ2 √ √ √ [e4 (e1 − x) − e3 e5 P ] − e2 e25 (e1 − x) P (S + P ) √ [e1 − x + e5 P ]2 +( r1 = e¯2 e¯3 , r2 = e¯4 e¯5 , r3 = (¯ e2 e¯23 − e¯1 )¯ γ1 = r¯3 γ¯1 , r4 = (¯ e24 e¯5 − 1)¯ γ1 = r¯4 γ¯1 , r5 = e¯2 e¯3 + e¯4 e¯5 , r6 = (¯ e2 e¯23 − e¯1 )¯ e5 + e¯2 e¯3 e¯4 e¯5 , r7 = [¯ e4 e¯5 (¯ e2 e¯23 − e¯1 ) + e¯1 e¯2 (¯ e24 e¯5 − 1)]¯ γ1 = r¯7 γ¯1 , r8 = (¯ e24 e¯5 − 1)¯ e2 + e¯2 e¯3 e¯4 e¯5 t¯2 (r5 e¯2 + r1 e¯5 ) = , t3 = (r1 r¯7 + r¯3 r6 )¯ γ1 = t¯3 γ¯1 , γ¯1 γ¯1 t¯6 t4 = r¯3 e¯5 + r1 r5 + r6 , t5 = r¯7 e¯5 + r2 r8 , t6 = (r5 e¯5 + r2 e¯2 ) = , γ¯1 γ¯1 t7 = (r2 r¯7 + r¯4 r8 )¯ γ1 = t¯7 γ¯1 , t8 = r¯4 e¯2 + r2 r5 + r8 , t¯9 t¯10 1 t9 = ([r1 r2 + r6 ]¯ e5 + r22 e¯2 ) = , t10 = (r12 e¯5 + [r1 r2 + r8 ]¯ e2 ) = γ¯1 γ¯1 γ¯1 γ¯1 t1 = e¯2 r¯7 + r1 r6 , t2 = (6.63) )2 e2 (e1 − x) + e5 (1 − x) − (e3 + e4 (e1 − x)(1 − x) , P = e2 e5 e2 e5 √ √ √ [α, β] e5 (e1 − x) S + P √ b1 b = P , b + b2 = S + P , = γ1 , [α] e1 − x − P √ √ √ [β] e1 − x − e3 P [η] e2 P S + P √ , √ = −γ1 = γ1 [α] [α] x − e1 − P x − e1 − P S= 151 ¯ k , A¯k , B ¯k (k = 0, 1, 2, 3) Phụ lục D: Biểu thức D + M11 M22 D0 = M12 D1 = −rµ (rv2 x + r¯3 )M11 + rµ (rv2 x − r¯2 )M22 D2 = 2rµ2 (rv2 x + r¯3 )(−rv2 x + r¯2 ) + 2rµ r1 (−rv2 x + r¯2 ) − (rv2 x + r¯3 ) M12 − D3 = rµ + r1 − r8 + rv2 x e¯1 (M12 + M11 M22 ) 3¯ r3 rv4 x2 + rv2 x r1 − 3r8 − 2r12 + e¯1 e¯1 (6.64) + 3¯ r4 r1 − 3¯ r3 r8 − r¯7 −rv4 x2 + rv2 (3 − r5 ) + 3¯ r4 − 3r1 r¯2 − r¯6 e¯1 M11 M22 A¯0 = −M12 A¯1 = rµ (−r1 M11 + M22 ) M + M11 M22 A¯2 = 2r1 r¯2 − r¯4 + rµ (r1 + 1)rv2 x − 2(r1 + r8 )M12 − 12 e¯1 rµ A¯3 = −r9 − 3r1 r8 + r¯2 3¯ r4 r1 + 2 + rv x M11 + r8 − e¯1 e¯1 e¯1 (6.65) M22 ¯0 = −M11 B ¯1 = rµ (r2 − r2 x − 2M12 ) B v rv2 x ¯ B2 = −r1 − r8 + M11 + 2M22 e¯1 ¯3 = rµ B + (6.66) r x2 r¯6 − 3¯ r4 + 3r1 r¯2 + (r5 − 3)rv2 x + v e¯1 −3r1 − 4r8 + 3¯ r2 + rv2 e¯1 M12 − 2 +M M ) (M12 11 22 e¯1 rµ e¯23 e¯3 r1 = − , r2 = 2¯ α(¯ e2 + e¯3 ) = r¯2 α ¯ , r3 = α − = r¯3 α ¯ e¯1 e¯1 2¯ r2 r4 = α ¯ (r1 r¯2 + r¯3 ) = r¯4 α ¯ , r5 = − 2r1 − e¯1 r¯2 r6 = α ¯ r¯3 + 2r1 r¯2 + = r¯6 α ¯ , r7 = α ¯ (r12 r¯2 + 2r1 r¯3 ) = r¯7 α ¯ e¯1 r1 r¯2 + r¯3 r¯2 r8 = r1 + , r9 = r12 + e¯1 e¯1 (6.67) M11 = e1 (b1 + b2 ), M12 = e3 − e1 b1 b2 , M22 = −e1 b1 b2 (b1 + b2 ) √ √ 2e2 − x 1−x S= ,P = , b b2 = P , b + b2 = S + P e1 e1 (6.68) 152 ... cho bán không gian đàn hồi nén tự ứng suất, cho bán không gian đàn hồi nén chịu điều kiện biên trở kháng, cho bán không gian đàn hồi nén phủ lớp đàn hồi nén được, cho bán không gian đàn hồi không. .. Rayleigh bán khơng gian đàn hồi tự ứng suất, sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi Phạm vi nghiên cứu: Tỷ số H/V sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi tự ứng suất bán không gian đàn hồi. .. trở kháng mặt dạng sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng 2.2 Công thức tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng nén 2.3 Công thức tỷ số H/V bán không gian đàn hồi trực hướng không