THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁCVÀTHẾ VỊ K ̈HLER LỚP ( , ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁCVÀTHẾ VỊ K ̈HLER LỚP ( , ) Chun ngành : Tốn giải tích Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019 LếI CAM OAN Hc viản xin oan Ơy l cấng trẳnh nghiản cu ca riảng hc cam Luên vôn ềc viản nh b i cĂ nhƠn dểi sá hểng dăn ca TS Nguyạn Vôn ho n th ấng C¡c t i li»u tham kh£o, c¡c ‡nh l˛, bÍ Ã v cĂc kát quÊ trẵch dăn, s dng luên vôn Ãu ềc nảu Ưy ngun gậc c thº, r„ r ng Th nh phË HÁ Ch½ Minh, ng y 27 thĂng 09 nôm 2019 Hc viản thác hiằn Nguyạn Th Tuyát Nh LếI CM èN Luên vôn ềc ho n th nh tÔi trèng Ôi hc s phÔm Th nh phậ H Chẵ Minh dểi sá hểng dăn ca TS Nguyạn Vôn ấng NhƠn dp n y, tấi xin b y t lÃng biát ẽn sƠu sc tểi ThƯy, ngèi  tên tẳnh v ẻng viản tấi rĐt nhiÃu suật quĂ trẳnh hc têp v thác hiằn luên vôn Tấi xin chƠn th nh cĂm ẽn án Qu thƯy cấ Hẻi ng chĐm luên vôn ¢ d nh thÌi gian Âc, ch¿nh s˚a v ‚ng gp kián gip luên vôn ềc ho n chnh hẽn Tấi xin cĂm ẽn tĐt cÊ cĂc thƯy, cấ  nhiằt tẳnh giÊng dÔy, truyÃn Ôt kián thc v gip ễ tấi suật quĂ trẳnh hc têp Tấi xin cĂm ẽn án Qu thƯy cấ PhÃng Sau ¤i hÂc cıa tr˜Ìng ¤i hÂc S˜ ph¤m Th nh phậ H Chẵ Minh  tÔo iÃu kiằn thuên lềi cho tấi ho n th nh chẽng trẳnh hc têp v thác hiằn luên vôn n y Xin cĂm ẽn cĂc anh ch, cĂc bÔn hc viản ng nh toĂn  ẻng viản gip ễ tấi v c nhiÃu kián ng gp quĂ trẳnh ho n th nh luên vôn Do trẳnh ẻ v thèi gian c hÔn ca bÊn thƠn nản luên vôn khấng trĂnh sai st Tấi rĐt mong nhên ềc sá ch bÊo v g‚p ˛ t¯ qu˛ th¦y cÊ, c¡c anh ch‡ v cĂc bÔn Xin chƠn th nh cĂm ẽn Th nh phậ H Chẵ Minh, ng y 27 thĂng 09 nôm 2019 Hc viản thác hiằn Nguyạn Th Tuyát Nh Mc lc M Ưu Kián thc chuân b 1.1 Php tẵnh vi phƠn trản a tÔp k 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 Php tẵnh vi phƠn phc 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 a tÔp Hecmit v a tÔp K ahler 1.4 H m ! Trc ‡a y¸u khÊng gian c¡c th¸ v‡ K ahler 2.1 2.2 2.3 2.4 Tia trc ‡a y¸u v lểp nông lềng "(X; !) Tia trc a yáu CĂch xƠy dáng dểi trc a yáu c Phiám h m nông lềng AubinChuân tc trc a y¸u 34 3.1 3.2 LĨp "(X; !) CĂch xƠy dáng tia trc ‡a y¸u 3.2.1 3.2.2 Ph²p bi¸n Íi Legendre ngềc c 3.3 Kát luên T i liằu tham kh£o I C k s C ( ; R) T X;a TX;a TX; TX jIj p Cs ( u X; V vv ^ du suupu p HdR (M) "p(X) s pL p D (K) p D (X) p (D (X)) codimM O( ) p;q (X) V d; ; PSH( ) Hua Imz Rez PSH(X; !) T X) uscu Ch½nh quy h‚a n˚a li¶n tˆc tr¶n cıa u S; S ; = fs C : < Res < g C (X) Têp hềp cĂc h m trẽn trản X H Khấng gian cĂc thá v trẽn trản X ¤oh¤p hi»p bi¸n AM(:) u(u0; u1) "(X; !) Cap! (:) Phiám h m Aubin oÔn trc a yáu nậ LĨp n«ng l˜Ịng Dung l˜Ịng Mong P (b0) P (b0) = supfb0 : PS P (b0; b1) P (b0; b1) = P (minfb0 P[]() Bao cıa Ëi vÓi c M Ưu GiÊ s (Xn; !) l mẻt a tÔp Kahler compact liản thấng n chiÃu Lểp nông lềng "(X; !) ˜Ịc xem nh˜ l lĨp c¡c h m !-a iÃu hÃa dểi P SH(X; !) khấng nhĐt thiát b chn Ơy cng l lểp lển nhĐt cĂc h m !-a i·u h·a d˜Ĩi m tr¶n ‚ to¡n t˚ Monge-Amp±re ph˘c x¡c ‡nh tËt N‚ ˜Òc s˚ dˆng º gi£i ph˜Ïng tr¼nh Monge-Amp±re to n cˆc vĨi d˙ li»u thÊ C¡c ph¦n t˚ v "(X; !) th˜Ìng khÊng b‡ chn nhng c cĂc k d rĐt nhà c biằt, theo [13] Corollary 1.8, tÔi bĐt k x2X sậ Lelong ca v bơng khấng Tuy nhiản, nh  nhên xt [11] tẵnh chĐt n y khấng c trng cho lĨp "(X; !) Tam¡s Darvas b i b¡o ¢ trẳnh b y mẻt kát quÊ lĐp Ưy lẩ hng n y, nghắa l c trng cĂc phƯn t ca "(X; !) theo tẵnh nhà ca cĂc k d ca chÛng [7] º th¸c hi»n vi»c n y, t¡c gi£ b i bĂo a mẻt cĂch xƠy dáng cĂc tia trc ‡a y¸u khÊng gian c¡c th¸ v‡ K ahler gn kát vểi cĂc tẵnh chĐt ca lểp "(X; !) p dng sá xƠy dáng n y, tĂc giÊ Â chng minh mẻt c trng ca "(X; !) theo cĂc bao trản Kẵ hiằu c = lim l!+1 b‡ ch°n v AM(:) l AM(maxf l; g) , ‚ PSH(X; !) c‚ thº khÊng l n«ng l˜Ịng Aubin-Mabuchi cıa mỴt h m !-a i·u h·a d˜Ĩi °c trng Ưu tiản ca lểp ch náu c = "(X; !) ˜Ịc ch˘ng minh l "(X; !) n¸u v Bt Ưu t mẻt oÔn trc a dểi yáu ( ; ) t 7!ut PSH(X; !) vi»c xƠy dáng mẻt tia trc a yáu tng quĂt trản gp tr ngÔi vẳ ni chung giểi hÔn u := t!+1 lim u t khấng tn tÔi Khc phc vĐn à n y cƯn mẻt quĂ trẳnh chuân tc oÔn trc a yáu Sá chuân tc n y thác hiằn ềc nhè v o m rẻng mẻt kát quÊ ca Berndtsson [1] và tẵnh liản tc Lipschitz ca oÔn trc a yáu ty Vểi oÔn trc a yáu ềc chuân tc iÃu hÃa dểi v Mc tiảu tiáp theo l xƠy dáng tia trc a yáu ềc chuân tc cho v0 = v v1 = khấng b chn xƠy dáng mẻt tia nh thá b i bĂo giểi thiằu têp hềp cĂc tia trc a yáu chuân tc: ; R( )=f l v t giểi hÔn l theo t¯ng iºm K½ hi»u (0; l) t ! utl PSH(X; !) l oÔn trc a yáu nhĐt nËi vĨi maxf l; gv 45 V¼ P ( t + C; ) P[ ]( ) ta c‚ D t sup (P[ , ta c‚ º ch˘ng minh chi·u ng˜Òc lÔi, ta nhên xt rơng D t t v h m !-a i·u V¸ tr¡i l P ( + D; ) tông h.k.n án P[ T (3.2.3) v (3.2.4) ta c t ! sup (P[ Cuậi cng ta nhc lÔi (b‰ qua ch˘ng minh) mỴt m»nh · kh¡c [18] M»nh · 3.2.6 Gi£ s˚ ; ch°n Khi ‚ P[ ]( ) l Ôi ậi vểi ]( ! + i@@P[ ) n, 3.2.2 Mẻt cĂch xƠy dáng c¡c tia trc ‡a y¸u cıa Tam¡s Darvas Cho ‡nh nghắa têp hềp cĂc trc a yáu sau: ; PSH(X; ! vl (; )= R f ) luÊn Tªp R( ; l oÔn trc a yáu nhĐt nậi vĨi maxf mỴt tia t l; g; l > kh¡c rÈng v 46 ‡nh l˛ 3.2.7 Cho ; PSH(X; !), vểi b chn v a yáu ul tÔo th nh mẻt h tông Chẵnh quy na liản tc trản ca cĂc giểi hÔn ca chng l mẻt tia trc a yáu tha mÂn cĂc tẵnh chĐt sau: (i) v( ; (ii) usc v( ; ) R( ; ), ch½nh x¡c hÏn, v( ; ) = infv2R( ; ) v °c bi»t, t 7! v( ; )t l hơng náu v ch náu R( ; ) ch ch˘a tia h¬ng )t = (iii) AM(v( ; )t) = AM( ) + c (t); °c bi»t t 7!v( ; )t l hơng náu v ch náu "(X; !) Chng minh s ềc thác hiằn qua dÂy cĂc b à sau: B à 3.2.8 CĂc oÔn trc a yáu ul l>0 na liản tc trản v( ; ) = usc mẻt tia trc a yáu tha mÂn lim l!+1 tÔo th nh mẻt h tông Chẵnh quy ul ca cĂc giểi hÔn ca chng l v( ; ! Ta ‡nh ngh¾a h c¡c tia d˜Ĩit Ch˘ng minh R r ng t Theo tẵnh chĐt giĂ tr trung tia trc a dểi yáu T cĂch xƠy dáng ca Berndtsson ta thĐy h n y cng Ta kẵ hiằu tông theo 47 T l thuyát Bedford v Taylor ta suy ẻ o Monge-Ampre hẻi t yáu và (! + i@@v vÓi mÂi h > Do ‚ t ! v( ; )t l B¥y giÌ ta ch˘ng minh (3.2.5) Theo nh l 2.4.4, cĂc giểi hÔn v u l l = lim u = l ·u t!l l Mu l t X Do ‚ ul = sup X mu l l i·u n y suy ul lim ul cng vêy l!1 iÃu n y dăn án = inf X Lipschitz ·u theo bi¸n ul l l l l n l!1 usc lim u l Ta c‚ i·u ph£i ch˘ng minh BÍ · 3.2.9 v( ; ) R( ; ); ch½nh x¡c hÏn v( ; °c biằt, t ! v( ; Chng minh Nhên xt rơng maxf lĐy giểi hÔn vểi l ! chẵnh quy ta c iÃu n y dăn án lim v( ; t Theo ‡nh l˛ 2.4.4 ta t¼m ˜Ịc (3.2.8) (3.2.9) m 48 vĨi mÂi t > V¼ t ! v( ; t ! +1 )t giÊm, dăn ¸n Mv( ; (3.2.8) ta c‚ T¯ (3.2.9) ta k¸t luên thĐy rơng v( ; ) R( ; hơng hoc mv( ; ) = c kát luên n y, trểc tiản ta chng minh rơng Náu h ht v( ; ) h vÓi mÂi h R( ; 2R l; maxf ht; t [0; l] Cho l ! +1 ¡nh gi¡ n y, sau chẵnh quy ha, ta c Náu t ! v( ; hơng Vẳ v0( ; iÃu n y dăn án 1, mv( ; ) = v( ; k¸t thÛc ch˘ng minh BÍ · 3.2.10 AM v( ; )t = AM( ) + c t; °c bi»t v( ; )l h¬ng náu vch náu "(X; !): Chng minh Vẳ cĂc oÔn ul ta c l t l AM(u ) = AM( ) + Khi l ! +1, t¯ (3.2.5) d¢y utl l thuyát Bedford v Taylor ăn án AM(ult) ! AM(v( ; )t) Vá phÊi ca ng thc cuậi hẻi t và AM( ) + c t Ta kát luên r¬ng AM(v( ; )t) = AM( ) + c t; t (0; +1): 49 )t, V¼ v( ; theo M»nh · 2:3:5 ta c‚ t ! t ! AM(v( ; ‚ theo ‡nh l˛ 3.1.5 ta c‚ t ! v( ; H» qu£ 3.2.11 Gi£ s˚ t ! ut l u0 = v u1 = Ch˘ng minh V¼ t 3.2.7(ii) ta c‚ minh 3.3 Ph²p bi¸n Íi Legendre ng˜Ịc ca mẻt tia trc a yáu v "(X; !) Mằnh à sau Ơy l mẻt kát quÊ và tẵnh Ôi ca php bián i Legendre ca mẻt tia trc a yáu Mằnh à 3.3.1 Cho mẻt tia trc a y¸u (0; +1) t ! ‚ ph²p bi¸n Íi Legendre cıa n‚ R t ! th‰a m¢n °c bi»t P[ t ]( 0) = Ch˘ng minh CË ‡nh PSH(X; !) Gi£ s˚ t Do ‚ ta ch¿ c¦n ch˘ng minh Gi£ s˚ [0; 1) t ! gtl; ht PSH(X; !); l cÊng th˘c t = inft2(0;+1)( t 50 Khi ‚ ta c‚ h0 nguy¶n l Ôi ta c LĐy inf trản l (0; +1) ¡nh gi¡ tr¶n v P( +C; 0) : Cho C ! +1 ta nhªn ˜Ịc kh¯ng ‡nh cuậi ca mằnh à Mằnh à trản kát hềp vểi ‡nh l˛ 2.4.4 v 3.2.5 cho k¸t qu£ sau H» quÊ 3.3.2 CĂch xƠy dáng ca Ross v Witt-Nystr om tiºu mˆc 3.2.1 sinh mÂi tia trc ‡a [0; +1) t ! vt P SH(X; !) \ L (X): Ch˘ng minh Ta ph£i ch˘ng minh rơng cong th Ôi Trểc tiản ta chng minh ! = inf(v t l mỴt ˜Ìng cong th˚ T½nh l„m cıa ! (z) ˜Ịc suy t¯ t½nh lÁi cıa i·u ki»n ii cıa ‡nh ngh¾a 3.2.1 l Cuậi cng vẳ v0 = mằnh à trản: p dng m»nh · tr¶n tr˜Ìng hỊp t ! h‚a v = Trong tr˜Ìng hỊp n y, ta c‚ t ! v (z) t)l mẻt èng Dáa v o cĂch xƠy dáng ca ta và cĂc tia trc a yáu, ta c‚ thº °c tr˜ng "(X; !) theo c¡c bao tr¶n 51 ‡nh l˛ 3.3.3 Gi£ s˚ PSH(X; !) v PSH(X; !) \ C(X) Khi ‚ "(X; !) n¸u v ch¿ n¸u P[ ]( ) = Ch˘ng minh Gi£ s˚ PSH(X; !) : (3.3.1) cho P[ ]( ) = Tn tÔi D > cho D < Gi£ s˚ t ! vt( ; D) l mẻt tia trc a yáu chuân tc xƠy dáng nh nh l 3.2.7 Nh ¢ l˜u ˛ tr¶n, tr˜Ìng hỊp n y ta c‚ v = t ChÛng ta cÙng c‚ dÂy cĂc bĐt ng thc sau Ơy = P[ ]( ) = P[ D]( ) P[v0 ]( ) = v0; ‚ ta s˚ dˆng k¸t qu£ ¸n = v1 v( ; l D) t; t > 0; h¬ng, hơng vểi tia yáu chuân tc T i·u n y, s˚ dˆng ‡nh l˛ 3.2.7(iii) suy chng minh chiÃu ngềc lÔi, ta giÊ s D P[ ]( ) Theo M»nh · 3.2.6 P[ ]( ) l n T Mằnh à 3.1.3 dăn án P[ Nhên x²t t; g; t X²t tia trc ‡a y¸u t ! l := maxf ! Ph²p bi¸n Íi Lengendre cıa n‚ = inf t!(0;+1) : (t t ); D) "(X; !) V¼ (! + i@@P[ ]( )) t ! v( ; R: , t¯ ‡nh l˛ 3.1.5 ta c‚ P[ 52 Ta d¹ d ng kiºm tra rơng l x Nh  ềc ch b i mỴt m rỴng cıa mỴt ˜Ìng cong th˚ sinh t php bián dÔng và nn chuân tc Nh vêy, tia trc a ềc xƠy dáng t èng cong n y b¬ng c¡ch s˚ dˆng ph˜Ïng ph¡p cıa [18] giËng vĨi ˜Ìng cong th˚ ‡nh l˛ 3.2.7 K¸t luên Luên vôn tr nh b y lÔi mẻt b i b¡o cıa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y d¸ng tia trc ‡a y¸u khÊng gian c¡c th¸ v K ahler gn vểi tẵnh chĐt ca lểp "(X; !) v s˚ dˆng chÛng º °c tr˜ng lĨp n«ng lềng n y theo cĂc bao trản Lểp nông lềng "(X; !) ˜Ịc xem nh˜ l lĨp c¡c h m !-a iÃu hÃa dểi P SH(X; !) khấng nhĐt thiát b chn Ơy cng l lểp lển nhĐt cĂc h m !-a i·u h·a d˜Ĩi m tr¶n ‚ to¡n t˚ Monge-Amp±re ph˘c x¡c ‡nh tËt N‚ ˜Òc s˚ dˆng º gi£i ph˜Ïng tr¼nh Monge-Amp±re to n cˆc vĨi d˙ li»u thấ Dáa v o cĂch xƠy dáng tia trc a yáu v tẵnh Ôi ca php bián i Legendre ca tia trc a yáu, b i bĂo  chng minh kh¯ng ‡nh °c tr˜ng c¡c ph¦n t˚ cıa "(X; !) theo tẵnh nhà ca cĂc k d ca chng: "(X; !) n¸u v ch¿ n¸u P[ ]( ) = vÓi PSH(X; !) v PSH(X; !)\ C(X) Viằc nghiản cu và cĂc tia trc a yáu thá v Kahler gip tấi tẳm hiu sƠu hẽn cĂc kián thc và phẽng trẳnh vi phƠn, l thuyát a thá v, hẳnh hc giÊi tẵch phc 53 T i li»u tham kh£o [1] Bo Berndtsson, Probability measures related to geodesics in the space of Kahler metrics, arXiv:0907.1806, 2009 [2] B Berndtsson, A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and the Bando-Mabuchi uniqueness theorem , Invent Math 200 (2015), no 1, 149200 [3] Z Blocki, Uniqueness and stability for the Monge-Amp±re equation on com-pact Kahler manifolds, Indiana University Mathematics Journal 52 (2003), 1697-1702 [4] Z Blocki, The complex Monge-Amp±re equation in K ahler geometry, CIME Summer School in Pluripotential Theory, Cetraro, July 2011, to appear in Lecture Notes in Mathematics, http://gamma.im.uj.edu.pl/ blocki/publ/ln/cetr.pdf [5] R Berman, S Boucksom, V Guedj, A Zeriahi, A variational approach to complex Monge-Amp±re equations , Publ Math Inst Hautes Etudes Sci 117 (2013), 179-245 [6] E Bedford, B.A Tayor, A new capacity for plurisubharmonic functions , Acta Math 149 (1982), 1-40 [7] T Darvas, Weak geodesic rays in the space of K ahler potentials and the class E(X, !), Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 122 doi:10.1017/ S1474748015000316, arXiv:1307.6822 54 55 [8] J P Demailly (2007), Complex analytic and differential geometry , Universite de Grenoble I Institut Fourier, France [9] S K Donaldson, Symmetric spaces, Kahler geometry and Hamiltonian dy-namics, Amer Math Soc Transl Ser 2, vol 196, Amer Math Soc., Provi-dence RI,1999,13-33 [10] P Eyssidieux, V Guedj, A Zeriahi, Singular Kahler-Einstein metrics, Jour-nal of the AMS 22 (2009), 607-639 [11] V Guedj (editor), Complex Monge-Amp±re equations and geodesics in the space of Kahler metrics Lecture Notes in Mathematics, 2038 Springer, Hei- delberg, 2012 [12] Guedj, V., Zeriahi, A., Intrinsic capacities on compact K ahler manifolds J Geom Anal 15 (2005), no 4, 607-639 [13] V Guedj, A Zeriahi, The weighted Monge-Amp±re energy of quasiplurisub- harmonic functions, J Funct Anal 250 (2007), no 2, 442-482 [14] , In Complex V.Guedj , A Zeriahi , Dirichlet problem in domains of Cn Monge-Amp±re equations and geodesics in the space of K ahler metrics; SLN 2038, 2012 [15] V.Guedj, A Zeriahi, Degenerate Complex Monge-Amp±re Equations , EMS Tracts in Mathematics 26, ISBN 978-3-03719-167-5 [16] C Kiselman, The partial Legendre transformation for plurisubharmonic functions, Invent Math 49 (1978),no.2, 137-148 [17] T Mabuchi, Some symplectic geometry on compact K ahler manifolds I, Osaka J Math 24, 1987, 227-252 [18] J Ross, D Witt , Analytic test configurations and geodesic rays , Journal of Symplectic Geometry Volume 12, Number (2014), 125169 [19] S Semmes, Complex Monge-Amp±re and symplectic manifolds , Amer J Math 114 (1992), 495-550 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁCVÀTHẾ VỊ K ̈HLER LỚP ( , ) Chuyên ngành : Toán... phı K Do ‚ sDp(K) l mỴt khÊng gian Banach Tuy nhi¶n, Dp(X) khÊng l khÊng gian Frechet, Dp(X) trÚ mêt "p(X) Khấng gian cĂc dÃng ềc nh nghắa nh l ậi ngău ca cĂc khấng gian trản, tẽng tá nh nh nghắa... bÊn ! ềc gềi l metric Kahler c) a tÔp phc X ềc gi l a tÔp Kahler náu X ềc trang b ẵt nhĐt mẻt metric Kahler 19 Vẳ ! l thác nản iÃu kiằn d! = 0; @! = 0; @! = l t˜Ïng ˜Ïng Trong h» tÂa Ỵ ‡a ph˜Ïng
Ngày đăng: 02/12/2020, 07:22
Xem thêm: