Phân bố giá trị đối với các l hàm thuộc lớp selberg

1. Lý do chọn đề tài Các Lhàm luôn luôn là vấn đề trọng tâm của lý thuyết số và giải tích toán học. Trong các Lhàm thì các Lhàm thuộc lớp Selberg đóng vai trò hết sức quan trọng, vì nó chứa những hàm nổi tiếng của toán học như zeta hàm Riemann, Lhàm của các dạng modular. 2. Nội dung đề tài Luận văn có mục tiêu trình bày một số kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu phân bố giá trị của các Lhàm thuộc lớp Selberg và ứng dụng, cụ thể là: Sự xác định của Lhàm qua nghịch ảnh của một điểm, tính cả bội; Sự xác định của Lhàm qua nghịch ảnh một tập hợp, tính cả bội; Sự xác định của Lhàm qua nghịch ảnh một tập hợp, không tính bội; Những điều kiện để Lhàm trùng với hàm zeta Riemann.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN TRUNG KIÊN PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN TRUNG KIÊN PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Trung Kiên Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái i Lời cảm ơn Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, GS.TSKH Hà Huy Khối Tơi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Toán, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Trung Kiên ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 Phân bố giá trị L-hàm 1.1 Hàm zeta Riemann 1.2 Phân bố giá trị L-hàm Vấn đề xác định L-hàm lớp Selberg 17 2.1 Xác định L-hàm qua nghịch ảnh điểm riêng rẽ 17 2.2 Xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Các L-hàm luôn vấn đề trọng tâm lý thuyết số giải tích tốn học Trong L-hàm L-hàm thuộc lớp Selberg đóng vai trị quan trọng, chứa hàm tiếng toán học zeta hàm Riemann, L-hàm dạng modular Nội dung đề tài Luận văn có mục tiêu trình bày số kết gần hướng nghiên cứu phân bố giá trị L-hàm thuộc lớp Selberg ứng dụng, cụ thể là: - Sự xác định L-hàm qua nghịch ảnh điểm, tính bội; - Sự xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập hợp, tính bội; - Sự xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập hợp, khơng tính bội; - Những điều kiện để L-hàm trùng với hàm zeta Riemann Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Phân bố giá trị L-hàm Chương 2: Phân bố giá trị L-hàm thuộc lớp Selberg Chương Phân bố giá trị L-hàm 1.1 Hàm zeta Riemann Hàm zeta Riemann hàm đặc biệt quan trọng toán học vật lý, xuất tích phân xác định có liên quan mật thiết đến kết xung quanh định lý số nguyên tố Hàm zeta Riemann hàm biến phức s, tổng chuỗi Dirichlet Các L-hàm chuỗi Dirichlet, mà hàm zeta Riemann ζ(s) = ∞ n=1 ns ví dụ, đối tượng quan trọng lý thuyết số nghiên cứu rộng rãi L-hàm chuỗi Dirichlet ∞ L(s) = n=1 a(n) ns biến phức s = σ + it, thỏa mãn tiên đề sau: (i) Giả thiết Ramanujan: a(n) nε với ε > 0; (ii) Thác triển giải tích: Có số ngun khơng âm k cho (s − 1)k L(s) hàm ngun có bậc hữu hạn (iii) Phương trình hàm: L thỏa mãn phương trình hàm dạng ΛL (s) = ωΛL (1 − s¯), K s ΛL (s) = L(s)Q Γ(λj s + µj ) j=1 với Q, λj , số thực dương số phức µj , ω với Reµj ≥ |ω| = Bậc dL L-hàm L xác định dL = K j=1 λj , K, λj số thỏa mãn (iii) L-hàm thỏa mãn (i)-(ii) đồng thời thoả mãn giả thiết tích Euler gọi L-hàm lớp Selberg S Ta L- hàm L thỏa mãn (i)-(iii) xác định không điểm L − c với hai số phức c phân biệt Kết thu áp dụng cho lớp Selberg Từ (ii) L-hàm thác triển thành hàm phân hình mặt phẳng phức C Tập hợp không điểm hàm phân hình f , tập hợp khơng điểm f −1 (c) := {s ∈ C : f (c) = c} f − c với c giá trị phức, nghĩa tập hợp nghịch ảnh c f, giá trị c f đối tượng lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình Sau định lý tiếng Nevanlinna, thường gọi định lý (hoặc Nevanlinna): hai hàm phân hình f, g C f −1 (cj ) = g −1 (cj ), tức f − cj g − cj có chung khơng điểm (khơng kể bội) với năm giá trị phân biệt cj ∈ C ∪ {∞} Với L-hàm, ta có kết tốt Cụ thể, hai L- hàm lớp Selberg phải chúng có khơng điểm kể bội Hai L-hàm (không thiết phải thuộc lớp Selberg) với a(1) = L1 − c L2 − c có khơng điểm kể bội, c số phức Khi bỏ qua bội, vấn đề trở nên tinh tế Ví dụ ζ ζ , có khơng điểm (khơng kể bội), cho thấy kết khơng cịn bỏ qua bội 1.2 Phân bố giá trị L-hàm Định lý 1.1 [[2], T heorem A] Nếu hai L-hàm L1 L2 thỏa mãn phương −1 trình hàm với a(1) = L−1 (cj ) = L2 (cj ) với hai số phức khác c1 c2 cho lim inf ˜ c2 (T ) ˜ c1 (T ) + N N Lj Lj c c T →∞ NL1 (T ) + NL2 (T ) j j > + số dương bất kỳ, j = 1, L1 ≡ L2 Ở trên, NLc (T ) biểu thị số không điểm L(σ + it) − c hình chữ ˜ c (T ) số không điểm vậy, không kể ≤ σ ≤ 1, |t| ≤ T (kể bội) N L bội Định lý 1.2 [[2], T heorem 1] Nếu hai L-hàm L1 L2 thỏa mãn phương −1 trình hàm với a(1) = L−1 (cj ) = L2 (cj ) cho hai số phức khác c1 c2 L1 ≡ L2 Ta sử dụng lý thuyết Nevanlinna với công cụ giải tích khác chứng minh Định lý 1.2, cách phân tích cấp tăng phân bố khơng điểm hàm Do L-hàm hàm phân hình lý thuyết Nevanlinna coi công cụ quan trọng nghiên cứu hàm phân hình, ta ứng dụng lý thuyết Nevanlinna lý thuyết L-hàm Cho f hàm phân hình C Khi đó, đặc trưng Nevanlinna T (r, f ) định nghĩa sau T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ), m(r, f ) = 2π 2π log+ |f (reiθ )|dθ; log+ |x| = max(0, log|x|), r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r, t n(t, f ) số cực f (kể bội) |s| < t Nhắc lại kết sau: (i) Các tính chất T (r, f ) m(r, f ): T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1) Các bất đẳng thức tương tự với m(r, f ) (ii) log max|s|=r {|f (s)|} ≤ R+r R−r T (R, f ) với R > r > f hàm nguyên (iii) Định lý thứ Nevanlinna: T (r, f ) = T (r, f1 ) + O(1) (iv) Bổ đề đạo hàm logarit: m(r, ff ) = O(log r) giả thiết ρ(f ) := lim sup r→∞ log T (r, f ) log r f hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh Định lý 1.1 Trường hợp 1: Một hai hàm L1 L2 số, giả sử L1 hàm Khi L1 = từ giả thiết a(1) = Do L2 − cj L1 − cj có khơng điểm, nên dễ thấy L2 ≡ (trong c1 c2 1), L1 = c1 , c2 C (trong c1 , c2 = 1) Trường hợp 2: Lưu ý L-hàm có nhiều cực điểm, L2 phải hàm L2 ≡ a(1) = 1, theo Định lý Picard cổ điển nói hàm phân hình siêu việt C nhận giá trị C ∪ {∞} vô hạn lần, với nhiều hai trường hợp ngoại lệ (các L-hàm siêu việt nhận số phức, theo công thức Riemann-von Mangoldt đề cập bên dưới) Do đó, L1 ≡ L2 (≡ 1) Do đó, giả sử L1 L2 khơng hàm Giả sử ngược lại L1 ≡ L2 ,ta cần dẫn đến mâu thuẫn Để thuận lợi, ta xét hàm bổ trợ sau F (s) = (s − 1)q L1 L2 (L1 − L2 )2 , (L1 − c1 )(L1 − c2 )(L2 − c1 )(L2 − c2 ) (1.1) q số ngun cho F khơng có cực điểm khơng điểm s = Rõ ràng, F không không theo giả thiết Chứng minh F không, ta có mâu thuẫn Ta thấy F hàm nguyên Thực vậy, hai hàm L1 L2 có cực điểm s = 1, cực điểm F, (xét hệ số (s − 1)q Do đó, cực điểm có F từ khơng điểm L1 − cj L2 − cj , j = 1, diễn ga (n)n−s Pa (s) = log n≥ma = log ga (ma )m−s a + log 1+ n>ma ga (n) ga (ma ) ma n s Chuỗi vế phải hội tụ s đủ lớn, chuỗi rỗng Pa đa thức, Pa = log ga (ma )m−s a = −s log ma + log ga (ma ) số tuyến tính (tùy thuộc vào ma lớn hơn) la (s) = ga (ma )m−s a Liên quan đến chia sẻ giá trị b, ta có lb (s) := L(s; f1 ) − b = exp Pb (s) = gb (mb )m−s b L(s; f2 ) − b với Pb số tuyến tính Do L(s; f1 ) − a = (L(s; f2 ) − a) · ga (ma )m−s a , L(s; f1 ) − b = (L(s; f2 ) − b) · gb (mb )m−s b Trừ vế phương trình, ta nhận −s −s b − a = L(s; f2 ) ga (ma )m−s + bgb (mb )m−s a − gb (mb )mb b − aga (ma )ma Nếu ma = mb = 1, b − a = L(s; f2 )(ga (1) − gb (1)) + bgb (1) − aga (1) Vì vế phải khơng đổi, từ tính phép biểu diễn chuỗi Dirichlet, ta suy b − a = (b − a)g, g = ga (1) = gb (1) Ta có g = L(s; f1 ) = L(s; f2 ) Nếu ma > = mb , −s b − a = L(s; f2 )(ga (ma )m−s a − gb (1)) + bgb (1) − aga (ma )ma 21 dẫn đến mâu thuẫn từ tính phép biểu diễn chuỗi Dirichlet, tương tự trường hợp ma = < mb Cuối cùng, ma ≥ mb ≥ 2, chuỗi Dirichlet vế phải triệt tiêu số hạng số, dẫn đến mâu thuẫn với đại lượng khác không vế trái 2.2 Xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập Giả sử M(C) trường hàm phân hình trường C số phức Ta nghiên cứu vấn đề xác định hàm phân hình lớp Selberg mở rộng S M(C) Lớp Selberg mở rộng S tập hợp L-hàm ∞ a(n) ns L(s) = n=1 (2.3) biến phức s ∈ C, thỏa mãn tiên đề sau (i) Giả thiết Ramanujan a(n) n cho > 0, số ẩn phụ thuộc vào (ii) Thác triển giải tích Có k số ngun k không âm cho (s − 1)k L(s) hàm nguyên cấp hữu hạn (iii) Phương trình hàm L thoả mãn phương trình hàm dạng ΛL (s) = wΛL (1 − s¯), K s ΛL (s) = L(s)Q Γ(λj s + µj ) j=1 với số thực dương Q, λj số phức µj , w Reµj ≥ |w| = Ngồi ra, L-hàm L S thuộc S lớp Selberg L đồng thời thoả mãn tiên đề bổ sung sau (iv) Tích Euler L(s) thỏa mãn L(s) = Lp (s), p 22 ∞ Lp (s) = exp k=1 với hệ số thích hợp b(pk ) thỏa mãn b(pk ) b(pk ) pks pkθ cho θ < 21 Trong phần ta chủ yếu xét tập hợp S (1) S định nghĩa S (1) = {L ∈ S |L đưa dạng (2.3) với a(1) = 1} Câu hỏi cổ điển lý thuyết xác định hàm phân hình sau Câu hỏi 2.2 Cho họ F M(C), xác định tập S C = C ∪ {∞} nhỏ cho hai phần tử tuỳ ý f g F phụ thuộc đại số f −1 (a) = g −1 (a) tính bội a ∈ S, tức là, f g chia sẻ phần tử S CM (kể bội) Đối với trường hợp F = M(C), định lý tiếng Nevanlinna khẳng định tập hợp S ⊂ C gồm bốn phần tử phân biệt câu trả lời cho Câu hỏi 2.2 số "bốn" chặt Ngoài ra, hai phần tử M(C) liên hệ với phép biến đổi phân tuyến tính Nếu F = S (1), kết Steuding cho thấy tập hợp S C gồm phần tử lời giải Câu hỏi 1.1 Vào năm 1976, Gross mở rộng Câu hỏi 2.2 sau: Câu hỏi 2.3 Cho họ F M(C), xác định tập S1 , , Sq C, lực lượng Sj nhỏ tốt, giảm số q nhỏ có thể, cho hai hàm f g tuỳ ý F phụ thuộc đại số f −1 (Sj ) = g −1 (Sj ) tính bội j , tức là, f g chia sẻ Sj CM (kể bội) Với tập hợp S ⊂ C, ký hiệu {s ∈ C|f (s) − c = 0}, E(S, f ) = c∈S 23 khơng điểm f − c với bội m tính m lần E(S, f ) Nếu E(S, f ) = E(S, g), f g chia sẻ tập hợp S Nếu q ≥ 4, Câu hỏi 2.3 trả lời cách đầy đủ Định lý Nevanlinna Nhưng cịn tồn trường hợp q < Cho họ F = A(C) ⊂ M(C) hàm nguyên C, lời giải trường hợp riêng Câu hỏi 2.3 cho cách tìm ba tập hợp hữu hạn Sj (j = 1, 2, 3) Đã có nhiều nghiên cứu tính hàm phân hình chia sẻ tập hợp Cho họ F = S (1), ta trả lời Câu hỏi 2.3 cách đầy đủ sau Định lý 2.4 [[1], T heorem 1.3] Cố định số nguyên dương n lấy S = {c1 , , cn } ⊂ C − {1} số phức khác biệt thoả mãn n + (n − 1)σ1 (c1 , , cn ) + + 2σn−2 (c1 , , cn ) + σn−1 (c1 , , cn ) = 0, σj đa thức đối xứng sơ cấp định nghĩa σj (c1 , , cn ) = (−1)j ci1 ci2 cij , j = 1, 2, , n − 1≤i1 Nếu hai L-hàm L1 (s) L2 (s) S (1) chia sẻ c1 , c2 có trọng số k1 , k2 , tương ứng, L1 (s) ≡ L2 (s) Định lý 2.7 [[1], T heorem 1.6] Cho k1 , k2 hai số nguyên dương có k1 k2 > 1, lấy số phức c tập khác rỗng S = {c1 , , cn } ⊂ C − {1, c} số phức khác thỏa mãn n + (n − 1)σ1 (c1 , , cn ) + + 2σn−2 (c1 , , cn ) + σn−1 (c1 , , cn ) = 0, σj (c1 , , cn ) = (−1)j ci1 ci2 cij , j = 1, 2, , n − 1≤i1