(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên

(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp các đa thức và phân thức hệ số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC HÀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC HÀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất đa thức với hệ số nguyên 1.2 Một số tính chất phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên 1.3 Định lý Viète 12 1.4 Một số bất đẳng thức 13 Các dạng toán đa thức phân thức với hệ số nguyên 2.1 19 Các dạng toán đa thức biến với hệ số nguyên hệ thức Viète 19 2.2 Đa thức với hệ số nguyên đồng dư thức 30 2.3 Bất đẳng thức phân thức sinh tam thức bậc hai khoảng 35 2.4 Bất đẳng thức sinh hàm phân tuyến tính khoảng 40 2.5 Phân thức quy số tính chất 45 Một số toán liên quan đến bất đẳng thức cực trị tập số nguyên 49 3.1 Bất đẳng thức tập số nguyên 49 3.2 Cực trị tập số nguyên 58 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Mở đầu Chuyên đề đa thức chuyên đề quan trọng bậc trung học phổ thông Đa thức không đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khác tốn học Trong kì thi học sinh giỏi toán cấp, Olympic Toán sinh viên, tốn liên quan tới đa thức nói chung đặc biệt toán bất đẳng thức, cực trị đa thức, phân thức có hệ số nguyên thường xuyên đề cập Những dạng tốn thường xem thuộc loại khó, phần kiến thức đa thức, phân thức hệ số ngun lại khơng nằm chương trình thức Số học Đại số bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức, làm luận văn: Bất đẳng thức toán cực trị lớp đa thức phân thức hệ số nguyên Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương I trình bày kiến thức đa thức phân thức hệ số nguyên, định lý Viète, số bất đẳng thức Chương II trình bày số dạng tốn bất đẳng thức cực trị lớp đa thức phân thức hệ số nguyên, phân thức quy áp dụng Chương III trình bày số bất đẳng thức toán cực trị tập số nguyên Luận văn xem tài liệu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức Có thể sử dụng luận văn việc giảng dạy học sinh thi học sinh giỏi cấp, Olympic sinh viên Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc bảo tận tình Thầy suốt trình xây dựng đề cương hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy q thầy đọc, kiểm tra, đánh giá đưa ý kiến quý báu để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Ban Giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập hồn thành luận văn Trong khn khổ luận văn, tác giả chưa thể trình bày hết vấn đề đa thức phân thức hệ số nguyên Tuy thân có nhiều cố gắng, nỗ lực nghiên cứu, song điều kiện trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn cịn khiêm tốn Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Ngọc Hà Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức bản: định nghĩa, số tính chất chia hết, nghiệm nguyên, hệ số đa thức phân thức hệ số nguyên Ở ta sử dụng số ký hiệu: Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , f (x) có hệ số số nguyên ta ký hiệu f (x) ∈ Z[x], f (x) có hệ số số hữu tỉ ta ký hiệu f (x) ∈ Q[x] 1.1 Một số tính chất đa thức với hệ số nguyên Định lý 1.1 (xem [4]) Cho đa thức f (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 ∈ Z[x], an = 0, a số nguyên Khi [f (x) − f (a)] (x − a) Chứng minh Ta có f (a) = an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0 , f (x) − f (a) = an (xn − an ) + an−1 xn−1 − an−1 + · · · + a1 (x − a) (x − a) Vậy ta có điều cần chứng minh p Bài toán 1.1 (xem [4]) Chứng minh phân số tối giản , ((p, q) = q 1) nghiệm đa thức với hệ số nguyên f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 p ước a0 q ước an Lời giải Giả sử phân thức tối giản f p q p q = an p nghiệm đa thức f(x) Khi đó, ta có q n + an−1 p q n−1 + · · · + a1 p q + a0 = Từ đó, ta có an pn = −q(an−1 pn−1 + · · · + a1 q n−2 p + a0 q n−1 ) (1.1) a0 q n = −p(an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1 ) (1.2) Từ (1.1) suy an pn chia hết cho q mà (p, q) = nên an chia hết cho q Từ (1.2)suy a0 q n chia hết cho p mà (p, q) = nên a0 chia hết cho p p Bài toán 1.2 (xem [4]) Chứng minh phân thức tối giản , ((p, q) = q 1) nghiệm đa thức với hệ số nguyên f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 p − mq ước f (m) với m số nguyên Lời giải Phân tích f (x) theo lũy thừa (x − m) ta f (x) = an (x − m)n + bn−1 (x − m)n−1 + · · · + b1 (x − m) + b0 = g(x − m) Nhận xét hệ số b0 , bn−1 số nguyên m số nguyên p Ta có f (m) = b0 Thay x ta thu đẳng thức q f p q =g p −m =g q p − mq q = p − mq nghiệm g(x) theo Bài tốn 2.6 p − mq ước q b0 = f (m) Do Bài tốn 1.3 Cho đa thức f (x) có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện f (0), f (1), , f (m − 1) không chia hết cho m (m số nguyên dương cho trước, m > 1) Chứng minh f (x) = khơng có nghiệm ngun Lời giải Giả sử f (x) = có nghiệm nguyên x = c, f (x) = (x − c)g(x), g(x) ∈ Z[x] Ta có f (0) = (0 − c)g(0), f (1) = (1 − c)g(1), f (m − 1) = (m − − c)g(m − 1) Vì − c, − c, , m − − c m số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho m Vì m số f (0), f (1), , f (m − 1) phải có số chia hết cho m Điều trái với giả thiết Vậy f (x) = nghiệm ngun Bài tốn 1.4 Cho đa thức P (x) với hệ số nguyên, chia hết cho x lấy giá trị nguyên k, k + 1, k + Chứng minh P (m) với số nguyên m Chứng minh Với hai số nguyên m n phân biệt, ta có P (m) − P (n) (m − n) Ta có số P (m) − P (k), P (m) − P (k + 1) P (m) − P (k + 2) theo thứ tự chia hết cho m − k, m − (k + 1), m − (k + 2) với m∈ / {k, k + 1, k + 2} Vì m − k, m − (k + 1), m − (k + 2) ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Do số P (m) − P (k), P (m) − P (k + 1) P (m) − P (k + 2) có số chia hết cho Mặt khác, theo giả thiết, số P (k), P (k + 1), P (k + 2) chia hết cho Vậy P (m) với số nguyên m Bài toán 1.5 (xem [4]) Cho đa thức f (x) ∈ Z[x] Chứng minh phương trình f (x) = có nhiều nghiệm nguyên phân biệt phương trình f (x) = −1 khơng có nghiệm nguyên Lời giải Giả sử phương trình f (x) = −1 có nghiệm ngun a f (a) = −1 Gọi x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm nguyên phân biệt phương trình f (x) = 1, f (x) − = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 )g(x) Suy f (a) − = −2 = (a − x1 )(a − x2 )(a − x3 )(a − x4 )g(a), (a − x1 ), (a − x2 ), (a − x3 ), (a − x4 ) số nguyên phân biệt Nhưng −2 khơng thể phân tích thành tích số nguyên khác nên điều giả sử sai Vậy phương trình f (x) = −1 khơng có nghiệm nguyên Bài toán 1.6 Giả sử P (x) đa thức bậc 1991 với hệ số nguyên Xét đa thức Q(x) = P (x) − Chứng minh số nghiệm nguyên đa thức Q(x) nhỏ 1996 Lời giải Giả sử số nghiệm đa thức Q(x) không nhỏ 1996 Q(x) = ⇔ P (x) − = ⇔ [P (x) − 3][P (x) + 3] = Gọi x1 , x2 , , xk nghiệm nguyên P (x) = 3, (x1 < x2 < · · · < xk ) y1 , y2 , , yl nghiệm nguyên P (x) = −3, (y1 < y2 < · · · < yl ) Rõ ràng xi = yj , ∀i, j Vì deg P (x) = 1991 nên k ≤ 1991; l ≤ 1991 Mặt khác k + l số nghiệm đa thức Q(x) nên theo giả thiết phản chứng k + l ≥ 1996 Từ ta có k ≥ 5, l ≥ 5, suy tồn i0 , j0 (1 ≤ i0 ≤ k; ≤ j0 ≤ l) cho |xi0 − yj0 | ≥ (1.3) Giả sử P (x) = a1991 x1991 + a1990 x1990 + · · · + a1 x + a0 với ∈ Z, i = 0, 1991 Thế từ ∈ Z, i = 0, 1991, P (xi0 ) = P (yi0 ) = −3, suy P (xi0 ) − P (yi0 ) = Vì P (x) đa thức với hệ số nguyên xi0 , yi0 số nguyên nên ta có P (yi0 ) − P (xi0 ) yi0 − xi0 Như (yi0 − xi0 ), suy yi0 − xi0 ≤ (1.4) Từ (1.3) (1.4) suy mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng sai, tức đa thức Q(x) = P (x) − khơng thể có q 1995 nghiệm ngun Nhận xét 1.1 Ta chứng minh (1.3) sau: Vì k ≥ 5, l ≥ 5, xi = yj , ∀i, j có ba nghiệm số cán 3.6 (xem[3]) Với a, b, c số tự nhiên dương Chứng minh ... trình bày kiến thức đa thức phân thức hệ số nguyên, định lý Viète, số bất đẳng thức Chương II trình bày số dạng tốn bất đẳng thức cực trị lớp đa thức phân thức hệ số nguyên, phân thức quy áp dụng... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC HÀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ... 350 69 Kết luận Luận văn ? ?Bất đẳng thức toán cực trị lớp đa thức phân thức hệ số nguyên ” giải vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số dạng toán đa thức phân thức với hệ số ngun Trình bày dạng