Tính chất đếm được thứ nhất của không gian con cầu trường được

Bài viết chứng minh được rằng nếu H là không gian con cầu trường được thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất của không gian cầu trường được G, thì H cũng là không gian con cầu trường được thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất của G.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TÍNH CHẤT ĐẾM ĐƯỢC THỨ NHẤT CỦA KHÔNG GIAN CON CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Nhận bài: 04 – 01 – 2017 Chấp nhận đăng: 20 – 06 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ Ơng Văn Tuna*, Nguyễn Văn Trung Tínb Tóm tắt: Khơng gian tơpơ G gọi khơng gian cầu trường tồn phép đồng phôi  : G  G → G  G phần tử e  G cho 1 o = 1, với x  G ta có  ( x, x) = ( x, e), 1 : G  G → G phép chiếu lên tọa độ thứ Khi đó, phép đồng phôi  gọi phép cầu trường G e gọi phần tử đơn vị phải G Gần đây, không gian cầu trường được nghiên cứu nhiều tác giả họ đặt nhiều câu hỏi mở mà đến chưa có lời giải đáp Trong báo này, chứng minh H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G , H khơng gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Nhờ kết này, nhận kết [1] Từ khóa: nhóm tơpơ; khơng gian cầu trường được; không gian cầu trường được; không gian đồng nhất; không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Giới thiệu Năm 1936, G Birkhoff giới thiệu nhóm tơpơ [2] Sau đó, M M Choban giới thiệu không gian cầu trường V V Uspenskij chứng minh nhóm tơpơ không gian cầu trường được, tồn khơng gian cầu trường khơng phải nhóm tơpơ [3, 8] Từ đến nay, nhiều kết liên quan đến không gian nhà toán học quan tâm nghiên cứu [4, 5, 6] Trong báo này, chứng minh H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G , H khơng gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Nhờ đó, chúng tơi nhận kết [1] ngữ khác khơng nói thêm hiểu thơng thường Hơn nữa, chúng tơi sử dụng kí hiệu ¥ = 1;2;3;  A lực lượng tập hợp A Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết Nhóm tơpơ G nhóm (G ,.) với tôpô G cho ánh xạ tích f1 : G  G → G xác định f1 ( x, y) = xy ánh xạ ngược f : G → G xác định f ( x) = x−1 với x, y  G liên tục Nhóm tơpơ G với phần tử đơn vị e không gian cầu trường được, phép cầu trường  G xác định  ( x, y) = ( x, x−1 y), với x, y  G Trong tồn báo, cho khơng gian G ta hiểu G khơng gian tơpơ chúng tơi quy Tuy nhiên, hình cầu 7-chiều S7 không gian cầu ước tất khơng gian T1 , cịn khái niệm thuật Không gian G cầu trường tồn hai ánh xạ liên tục p : G  G → G trường nhóm tơpơ [8] q : G  G → G cho với x  G , y  G , tồn aTrường THPT Ông Ích Khiêm, Đà Nẵng bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Ông Văn Tuyên Email: tuyenvan612dn@gmail.com 16 | e  G thỏa mãn p ( x, q ( x, y )) = q ( x, p ( x, y )) = y; Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 16-18 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 16-18 q ( x, x) = e Giả sử G khơng gian cầu trường Khi đó, lân cận mở p ( x, y ), tồn U1 ,V1 lân cận mở x, y cho p(U1 ,V )  W Hơn nữa, p( x, e) = p( x, q( x, x)) = x Hơn nữa, viết xy thay cho p ( x, y ) AB thay cho p ( A, B ) với A, B  G Giả sử A tập khơng gian cầu trường G Khi đó, A gọi không gian cầu trường G p ( A, A)  A q( A, A)  A Không gian G gọi đồng với x  G y  G , tồn phép đồng phôi f : G → G cho f ( x ) = y Mỗi không gian cầu trường khơng gian đồng quy Họ  gồm tập G gọi U1  H   V1  H   nên ta suy tồn x0 U1  H y0 V1  H cho p( x0 , y0 )  p(U1  H ,V1  H )  p(U1 ,V1 )  W Tiếp theo, H khơng gian cầu trường G nên p( x0 , y0 )  p( H , H )  H Do đó, ta suy p( x0 , y0 )  H  W , kéo theo H  W   Bởi vậy, p( x, y )  H Điều chứng tỏ p( H , H )  H Chứng minh tương tự, ta có q( H , H )  H sở lân cận G điểm x  G phần tử  chứa x với lân cận U x , tồn Định lí 3.1.2 Giả sử H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ V   cho V  U không gian cầu trường G Khi đó, H khơng gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Không gian G gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm G có sở lân cận đếm 2.2 Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trình thực báo Nghiên cứu tài liệu tác giả trước để đưa kết Chứng minh: Bởi H khơng gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G nên theo Bổ đề 3.1.1, ta suy K = H không gian cầu trường G , kéo theo K khơng gian đồng quy Kết đánh giá Như vậy, ta cần chứng minh K không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Với y  H , H 3.1 Kết khơng gian cầu trường G nên Bổ đề 3.1.1 [7] Giả sử H không gian cầu trường không gian cầu trường G Khi đó, H khơng gian cầu trường G Chứng minh: Để chứng minh H không gian cầu trường G ta cần chứng minh p( H , H )  H q( H , H )  H Thật vậy, giả sử x, y  H Khi đó, với U , V lân cận mở x, y ta có U  H   V  H   Mặt khác, p ánh xạ liên tục nên với W e = q( y, y )  q( H , H )  H  H = K Bởi K khơng gian đồng nên để chứng minh K không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ ta cần chứng minh phần tử e có sở lân cận đếm K Thật vậy, giả sử  H sở lân cận H e cho  H  ¥ Khi đó, với U   H , tồn lân cận mở U ' H e cho U '  U , kéo theo tồn tập mở VU K cho VU  H = U '  U Bây giờ, ta đặt 17 Ông Văn Tuyên, Nguyễn Văn Trung Tín  K = VU : U   H  ,  K sở lân cận K e Thật vậy, giả sử O lân cận e K Khi đó, K khơng gian quy nên tồn lân cận mở W K e cho W  O Hơn nữa,  H sở lân cận H e W  H lân cận mở H e nên tồn U   H cho U  W  H Tiếp theo, với Kết luận Trong báo này, chứng minh H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ khơng gian cầu trường G , H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Nhờ đó, chúng tơi nhận lại kết [1] x VU V lân cận mở K x , ta có Tài liệu tham khảo V  VU   V  VU tập mở K Mặt khác, [1] Arhangel'skii A.V., Tkachenko M (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press and World Scientific [2] Birkhoff G (1936), “A note on topological groups”, Comput Math., 3, 427-430 [3] Choban M M (1987), On topological homogenous algebras, In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [4] Gul’ko A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, pp.107-112 [5] Lin F., Liu C and Lin S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, pp.2090-2101 [6] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), “Locally  -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, pp 182-191 [7] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học & Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 22(01).2017 [8] Uspenskij V V (1989), “Topological groups and Dugundji compacta”, Mat Sb., 180 (8), pp 1092-1118 H trù mật K nên (V  VU )  H  , kéo theo V  (VU  H )   Do đó, x VU  H , kéo theo VU  VU  H Bởi vậy, VU = VU  H  U  W  O Do vậy, e VU  VU  O Điều chứng tỏ họ  K sở lân cận K e K  H  ¥ Như vậy, K = H không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Hệ 3.1.3 [1] Giả sử H nhóm thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhóm tơpơ G Khi đó, H nhóm thỏa mãn tiên đề đếm thứ G 3.2 Đánh giá Chúng tơi tìm thêm tính chất khơng gian cầu trường thể Định lí 3.1.2 THE FIRST COUNTABLE PROPERTY OF RECTIFIABLE SUBSPACES Abstract: A topological space G is called a rectifiable space if there exist a homeomorphism  : G  G → G  G and an element e  G such that 1 o = 1 and for every x  G we have  ( x, x) = ( x, e), where 1 : G  G → G is the projection to the first coordinate Then,  is called a rectification on G and e is a right unit element of G Recently, rectifiable spaces have been studied by many authors, who have raised various open questions that have yet to be answered In this article, we prove that if H is a rectifiable subspace that satisfies the first countable premise of a rectifiable space G , then H is also a first-countable subspace of G This helps us to achieve the result in [1] Key words: topological group; rectifiable space; rectifiable subspace; homogenous space; first-countable space 18 ... H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ V   cho V  U không gian cầu trường G Khi đó, H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Không gian G gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ. .. gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Với y  H , H 3.1 Kết không gian cầu trường G nên Bổ đề 3.1.1 [7] Giả sử H không gian cầu trường không gian cầu trường G Khi đó, H khơng gian cầu trường G Chứng minh:... mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G nên theo Bổ đề 3.1.1, ta suy K = H không gian cầu trường G , kéo theo K không gian đồng quy Kết đánh giá Như vậy, ta cần chứng minh K không gian thỏa