1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tính chất của không gian cầu trường được

38 46 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 38
Dung lượng 63,34 KB

Nội dung

IH¯CN NG TR×˝NG I H¯C S× PH M KHOA TO N NGUY N V N TRUNG T N TNHCH TCÕA KHNG GIAN C U TRìNGìẹC KHA LU N TăT NGHI P Ng nh håc: S× PH M TO N H¯C GiÊng viản hữợng dÔn: TS LìèNG QUăC TUY N Nfing, Nam 2018 IH¯C N NG TR×˝NG I H¯C S× PH M KHOA TO N NGUY N V N TRUNG T N TNHCH TCÕA KH˘NG GIAN C U TR×˝NG ×ĐC KH´A LU N TăT NGHI P H I HC CH NH QUY Ng nh: S÷ ph⁄m To¡n håc GI NG VI N HìNG D N: TS LìèNG QUăC TUY N Nfing - N«m 2018 MƯC LƯC M— U Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Khỉng gian tỉ pỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n 1.1.2 Bao âng cıa t“p 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x⁄ âng v 1.4 Khæng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khỉng gian ch‰nh q T‰nh ch§t cıa khỉng gian cu trữớng ữổc 2.1 nh nghắa v mt s 2.2 K‚t qu£ ch‰nh KTLUN T ILI UTHAMKH O 33 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn LIC MèN Trong thíi gian thüc hi»n • t i, g°p khỉng t khõ khôn nhớ sỹ giúp ù t pha thƒy cỉ, gia …nh, b⁄n b– còng vỵi sü nØ lỹc ca bÊn thƠn, em  tỹ tm tặi, hồc họi nhiu kin thức b ch cho bÊn thƠn v ho n th nh khõa lun n y Trữợc tr…nh b y nºi dung ch‰nh cıa khâa lu“n, em xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi thy giĂo hữợng dÔn TS Lữỡng Quc Tuyn v anh ng Vôn Tuyản  tn tnh ch bÊo, giúp ù v ng vi¶n em suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n n y Em cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt n tĐt cÊ quỵ thy cổ giĂo ¢ t“n t…nh d⁄y b£o em suŁt thíi gian hồc ca mnh dữợi mĂi trữớng i hồc Sữ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Em xin ch¥n th nh cÊm ỡn! Nfing, thĂng 05 nôm 2018 Sinh viản Nguyn Vôn Trung Tn Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn DANH MệC Kị HI U Trong to n bº khâa lu“n n y, cho c¡c khæng gian X; G th… ta hi”u r‹ng X; G l cĂc khổng gian tổpổ v em quy ữợc tĐt cÊ cĂc khổng gian l T1; cặn cĂc khĂi ni»m v thu“t ngœ kh¡c n‚u khỉng nâi g… th¶m th… ÷ỉc hi”u thỉng th÷íng N R T“p hỉp c¡c s nguyản dữỡng Tp hổp cĂc s thỹc AnB A\B A[B f g Hi»u cıa hai t“p hæp jAj SŁ phƒn tß cıa t“p hỉp A Giao cıa hai t“p hæp Hæp cıa hai t“p hæp Ph†p hæp th nh hai Ănh x Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn M U I Lị DO CHN TI Nôm 1936, G Birkhoff  giợi thiằu nhõm tổpổ ([4]) Sau õ, M M Choban  giợi thiằu khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v V V Uspenskij chøng minh ữổc rng mồi nhõm tổpổ u l khổng gian cu trữớng ữổc, tỗn ti mt khổng gian cu tr÷íng ÷ỉc khỉng ph£i l mºt nhâm tỉpỉ ([5,9]) Tł õ n nay, rĐt nhiu kt quÊ liản quan n khỉng gian n y ÷ỉc c¡c nh to¡n håc quan tƠm nghiản cứu (xem [6, 7, 8]) Tuy nhiản, khĂi niằm khổng gian cu trữớng ữổc cặn khĂ xa l vợi nhiu sinh viản khoa ToĂn Mt khĂc, s lữổng cĂc tnh chĐt ca khổng gian n y cặn khĂ khiảm tn so vợi nhng khổng gian khĂc Hiằn nay, cặn khĂ nhiu cƠu họi m vÔn chữa ữổc giÊi Ăp [3, 4, 6] Vợi mong mun cung cĐp khĂi niằm, mt s tnh chĐt cỡ bÊn, ỗng thới nảu lản mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian n y, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Lữỡng Quc Tuyn, em chồn t i khõa lun: Tnh chĐt cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc II MƯC TI U CếA TI Giợi thiằu v khổng gian cu trữớng ữổc, ỗng thới chứng minh chi tit mt s nh lỵ v b liản quan, t õ phn Kt quÊ ch nh ữa cĂc tnh chĐt mợi cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v chøng minh t‰nh óng ›n cıa chóng III N¸I DUNG NGHI N CÙU Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, t i li»u tham khÊo, b cửc khõa lun ca em bao gỗm hai ch÷ìng: Ch÷ìng cıa khâa lu“n tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà v• khỉng gian tỉpỉ, nhữ nh nghắa khổng gian tổpổ, lƠn cn, cỡ s l¥n c“n v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ; ành nghắa v cĂc nh lỵ ca Ănh x liản tửc, Ănh x m, Ănh x õng v php ỗng phổi Ch÷ìng cıa khâa lu“n tr…nh b y c¡c ành nghắa v b liản Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn V«n Trung T‰n Trang Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn quan, t â phƒn k‚t qu£ ch‰nh, em n¶u mºt s kt quÊ mợi m em nghiản cứu ữổc v khổng gian cu trữớng ữổc IV PHìèNG PH P NGHI N CÙU Khâa lu“n cıa em chı y‚u sß dưng phữỡng phĂp nghiản cứu lỵ thuyt ỗng thới, nghiản cứu kt quÊ ca cĂc tĂc giÊ i trữợc ữa cĂc kt quÊ mợi V Bă CệC CếA M TI ƒu Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Khỉng gian tỉpỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n c“n v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ 1.1.2 Bao âng cıa t“p hỉp 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ m, Ănh x õng Php ỗng phổi 1.4 Khổng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khæng gian ch‰nh quy Chữỡng Tnh chĐt ca khổng gian cu trữớng ữổc 2.1 Mt s nh nghắa v kt quÊ liản quan 2.2 K‚t qu£ ch‰nh K‚t lu“n VI ´NG G´P CÕA TI t i gõp phn cung cĐp khĂi ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa khỉng gian cu trữớng ữổc t i trnh b y mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ữổc iu n y ữổc th hiằn nh lỵ 2.2.1, nh lỵ 2.2.2 v nh lỵ 2.2.4 Nhng tnh chĐt n y  gõp phn l m sĂng tä mŁi li¶n h» giœa t“p âng v t“p compact khổng gian n y, ỗng thới l m rê tnh Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc C¡c k‚t qu£ n y l cì sð quan trång ” nh“n ÷ỉc hai b i bĂo: [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s t nh chĐt mợi ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i hồc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n Vôn Trung Tn Trang Chữỡng Kin thức chu'n bà Trong ch÷ìng n y, em s‡ tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà v• khỉng gian tỉpỉ nhữ nh nghắa, lƠn cn, cỡ s lƠn cn v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ, bao âng cıa t“p hổp ỗng thới, em cặn cp tợi nh nghắa v nh lỵ liản quan tợi Ănh x liản tửc, Ănh x õng, Ănh x m, php ỗng phổi v khỉng gian compact, khỉng gian ch‰nh quy, nh‹m phưc vư cho viằc chứng minh cĂc b v nh lỵ Chữỡng 1.1 Khổng gian tổ pổ nh nghắa 1.1.1 [10] Cho mºt t“p X: Mºt hå X gåi l c¡c t“p cıa mºt tỉpỉ tr¶n X n‚u thọa mÂn cĂc iu kiằn: (1) X v ? thuc ; (2) Hổp tũy ỵ cĂc thuc l thuc ; (3) Giao hœu h⁄n c¡c t“p thuºc l thuºc : Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn Mt X mt tổpổ trản X gåi l ” ch¿ rª mºt khỉng gian tỉpỉ l tæpæ cıa cıa khæng gian tæpæ X; ta vi‚t (X; ): Cho (X; ) l khæng gian tæpæ T“p U ÷ỉc gåi l mºt t“p mð cıa X: T“p F cıa X ÷ỉc gåi l mºt t“p âng n‚u XnF l t“p mð Nh“n x†t 1.1.1 Tł ành ngh¾a ta câ c¡c nh“n x†t sau: ?, X l cĂc m; Hổp tũy ỵ cĂc t“p mð l t“p mð; Giao hœu h⁄n c¡c t“p mð l t“p mð V‰ dư 1.1.1 Vỵi måi t“p X; P (X) = X; fU : U Xg l mºt tỉpỉ tr¶n gåi l tỉpỉ ríi r⁄c T“p X còng vỵi ríi r⁄c tỉpỉ ríi r⁄c gåi l khỉng gian V‰ dư 1.1.2 Vỵi måi t“p X; = f?; Xg l mºt tỉpỉ tr¶n X; gåi l tỉpỉ thỉ V‰ dư 1.1.3 Cho X l mºt t“p Mºt h m d : X ! R l mºt mảtric trản X nu thọa mÂn cĂc iu kiằn: (1) d(x; y) 0; d(x; y) = , x = y; (2) d(x; y) = d(y; x); (3) d(x; z) d(x; y) + d(y; z); 8x; y; z X Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng QuŁc Tuy”n Chøng minh Vỵi mØi x G; v… G l khổng gian cu trữớng ữổc nản nhớ nh l‰ 2.1.2 ta suy x = p(x; q(x; x)) = p(x; e) p(x; V ) = x:V: M°t kh¡c, nhí BŒ • 2.1.1 ta suy fx l ¡nh x⁄ mð V… v“y x:V = p(x; V ) = fx(V ) l t“p mð G: Do â, x:V l lƠn cn m ca x: nh nghắa 2.1.3 [7] Gi£ sß A l t“p cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, A ÷ỉc gåi l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n‚u p(A; A) A v q(A; A) A: BŒ • 2.1.3 [6] Gi£ sò G l khổng gian cu trữớng ữổc Khi õ, G l khỉng gian ch‰nh quy Chøng minh Gi£ sß e l phƒn tß ìn cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G v U Ue: Khi â, v… p(e; e) = e v p l ¡nh x⁄ li¶n tửc nản tỗn ti O1; O2 Ue cho p(O1 O2) U: Do â, vỵi V , O1 \ O2; ta câ (e; e) p(V V ) U: L§y b§t k… x V : Do q(x; x) = e nản tỗn ti O Ue thêa mÂn q(xO; x) V: Hìn nœa, ta câ xO l mºt l¥n c“n mð cıa x; v… v“y (xO) \ V 6= ?: Suy tỗn ti y O; v V cho xy = v: Do â ta câ: x = (xy):q(xy; x) vV Suy V p(V V) U: U: V“y G l khæng gian ch‰nh quy nh nghắa 2.1.4 X ữổc gồi l k F rechet U rysohn t⁄i x X n‚u vỵi måi U m X; tỗn ti xn U cho xn ! x: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 22 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn nh nghắa 2.1.5 GiÊ sò ? v l hai hồ gỗm nhng kh¡c n o â cıa X: (1) ÷ỉc gåi l mt b lồc trản X nu vợi bĐt k A B ; 9C (2) cho C v A \ B: B lồc trản X ữổc gåi l hºi tư ‚n x X n‚u vỵi mồi lƠn cn m ca x u chứa mt phn tß cıa : (3) N‚u x X v r‹ng tö t⁄i x hay x l (4) Hai låc B2 v ữổc gồi l ỗng b nu vợi mồi A v ;A\B6=?: (5) Mºt d¥y x‰ch X l mºt låc A; B th… A B ho°c B X cho vợi mồi A: Mt dƠy xch gỗm nhng m ca X ữổc gồi l mºt tŒ X: ành ngh¾a 2.1.6 Ta câ c¡c nh nghắa sau Ơy: (1) X ữổc gồi l song dÂy nu vợi mồi b lồc X v mỉi im tử x ca ; tỗn ti mt lồc m ữổc X hi tử n x v ỗng b vợi : (2) X ữổc gồi l biradial nu vợi mồi lồc X tử ti x X tỗn t⁄i mºt d¥y x‰ch X hºi tư ‚n x v ỗng b vợi : Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn V«n Trung T‰n Trang 23 Khâa lu“n tŁt nghi»p (3) X ÷ỉc gåi l nested t⁄i x X n‚u tỗn ti mt t n x: X hi tử (4) X Xm GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn ữổc gồi l nested nu vợi mồi x X tỗn ti mt t l cỡ s X t⁄i x: Nh“n x†t 2.1.3 (1) N‚u X l U song d¢y th… X l k F rechet nysohn: (2) N‚u X l song d¢y th… X l biradial: (3) N‚u X l nested th… X l biradial: Chøng minh (1) GiÊ sò X l mt song dÂy, A X v x A: PhÊi chứng minh tỗn ti d¢y fxng A cho xn ! x: °t = fAg : Khi â, x l ‚m ÷ỉc = fVn : n Ng hºi tư Ta l§y: i”m tư ca : Suy tỗn ti mt lồc n x v U12 ;U1 V1\V2 U22 ;U2 U1\V3 ỗng b vợi : U32 ;U3 U2\V4 Ti‚p tưc qu¡ tr…nh tr¶n, ta ÷ỉc d¢y fUng cho Un ; Un Un \ Vn+1: Suy fUng l d¢y gi£m n‹m ; xn Un \ A: Ta ch¿ cỈn ph£i chøng minh xn ! x: Th“t v“y, gi£ sß W l l¥n c“n mð cıa x; ! x: Suy tỗn ti n N cho Vn W: Do â xi Ui Un W; 8i n 1: (2) Cho X l mºt song d¢y, chøng minh X l biradial GiÊ sò vợi mồi lồc X; tử ti x: Ta cn chứng minh tỗn ti Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 24 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuy”n d¥y x‰ch ! x: Th“t v“y, X l song dÂy nản tỗn ti lồc m ữổc hi tử n x v ỗng b vợi : LĐy = fUng: Khi ! x: V“y X l biradial â, ta ÷ỉc l dƠy xch, ỗng b vợi v (3) Cho X l mºt nested, chøng minh X l biradial Gi£ sß l lồc tử ti x: Ta cn chứng minh tỗn ti dƠy xch cho ! x v ỗng b vợi : Tht vy, lồc tử ti x nản x P vỵi måi P : Hìn nœa, X l nested nản tỗn ti t (xch m, tư t⁄i x) L§y b§t k… P ; Q ; x P ; x M°t kh¡c, lĐy bĐt ký lƠn cn m W chứa x; l cỡ s ti x nản tỗn ti Q 2.2 Kt quÊ chnh B 2.2.1 [1] GiÊ sò G l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc, A G v U l mºt t“p mð G: Khi â, p(A; U) v q(A; U) l c¡c t“p mð G: Chøng minh Vỵi mØi x A; ta cõ fx v gx l cĂc php ỗng phổi Do â, chóng l c¡c ¡nh x⁄ mð Bði v“y, fx(U) = p(x; U) v gx(U) = q(x; U) l c¡c t“p mð G: Hìn nœa, v… p(A; U) = S p(x; U); x2A q(A; U) = S q(x; U) x2A n¶n ta câ p(A; U) v q(A; U) l c¡c t“p mð G: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 25 Khâa lu“n tŁt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn B • 2.2.2 [1] Gi£ sß G l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v x G: Khi â, (1) N‚u U l mt lƠn cn m ca x; th tỗn t⁄i mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho xV U: (2) N‚u U l mºt l¥n c“n mð cıa e G; th… xU l mºt lƠn cn m ca x; v tỗn ti mt lƠn c“n mð V cıa e G cho q(xV; x) U: Chøng minh (1) Ta câ p(x; e) = x v p l ¡nh x⁄ li¶n tưc Hìn nœa, v U l mt lƠn cn m ca x nản tỗn ti mt lƠn cn m W ca x v mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho xV = p(x; V ) p(W; V ) U: (2) Bði v… U l l¥n c“n mð cıa e G nản nhớ B 2.2.2 (1) ta suy xU l l¥n c“n mð cıa x: M°t kh¡c, v… q(x; x) = e v ¡nh x⁄ q li¶n tửc nản tỗn ti hai lƠn cn m V1 v V2 cıa x cho q(V1; V2) U: Theo (1), tỗn ti mt lƠn cn m V ca e G cho x xV V1 \ V2: Bði vy, q(xV; x) U: nh lỵ 2.2.1 [1] GiÊ sò K l mºt t“p compact v F l mºt t“p âng khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G cho K \ F = ?: Khi õ, tỗn t⁄i mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho KV \ F = ?: Chøng minh Gi£ sß K \ F = ? v F l t“p âng G: Khi â, vỵi mØi x K tỗn ti mt lƠn cn m Ux ca x cho Ux \ F = ?: Theo BŒ • 2.2.2, tỗn ti mt lƠn cn m Vx ca e G cho xVx Ux; v xVx l mºt l¥n c“n mð cıa x: Hìn nœa, v… p(x; e) = x v Ănh x p liản tửc nản tỗn ti mºt l¥n c“n mð Wx cıa x v mºt l¥n c“n mð Ue cıa e G cho p(Wx; Ue) xVx: Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 26 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n Ti‚p theo, v… Wx l mºt lƠn cn m ca x nản theo B 2.2.2(1) ta suy tỗn ti mt lƠn cn m Ve cıa e G cho xVe Wx: Do â, p(xVe; Ue) xVx: Nhí BŒ • 2.2.2(2), x(Ue \ Ve) l mt lƠn cn m ca x vợi mồi x K: M°t kh¡c, v… fx(Ue \ Ve) : x Kg l mºt phı mð cıa K compact n¶n tỗn ti hu hn L K cho K T B¥y gií, n‚u ta °t V = (Ue \ Ve) th… V l x2L e G: Hìn nœa, ta câ KV \ F = ?: Th“t v“y, vợi mỉi y K; tỗn ti x L cho y x(Ue \ Ve): Do â, yV p(x(Ue \ Ve); (Ue \ Ve)) xVx Bði v“y, yV \ F = ? vỵi måi y K: G n F: i•u n y chøng tä r‹ng KV \F =?: H» qu£ 2.2.1 [1] Gi£ sß K l mºt t“p compact v F l mºt t“p âng nhâm tæpæ G cho K \ F = ?: Khi õ, tỗn ti mt lƠn cn m V cıa phƒn tß ìn e G cho KV \ F = ?: Chøng minh D„ d ng suy ữổc t nh lỵ 2.2.1 v Nhn xt 2.1.1 Mằnh 2.2.1 GiÊ sò G l khổng gian cu trữớng ữổc v A G: Khi õ, vợi mỉi a G; ta câ p(a; A) = p(a; A) v Chøng minh Nhí BŒ • 2.1.1 ta suy fa; ga l Do â, ta câ p(a; A) = fa(A) fa(A) = p(a; A); q(a; A) = ga(A) ga(A) = q(a; A) Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 27 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn v cĂc p(a; A) = fa(A), q(a; A) = ga(A) l âng G: Bði v“y, p(a; A) = fa(A) fa(A) = fa(A) = p(a; A): q(a; A) = ga(A) ga(A) = ga(A) = q(a; A): V… v“y, p(a; A) = p(a; A) v q(a; A) = q(a; A): nh lỵ 2.2.2 [2] GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc ca khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, H cơng l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G: Chøng minh ” chøng minh H l khæng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G ta ch¿ cƒn chøng minh p(H; H) H v q(H; H) H: Th“t v“y, gi£ sß x; y H: Khi â, vỵi måi U, V ln lữổt l lƠn cn m ca x, y ta •u câ U \ H 6= ? v V \ H 6= ?: M°t kh¡c, v… p l ¡nh x⁄ liản tửc nản vợi mồi W l lƠn cn m ca p(x; y); tỗn ti U1, V1 ln lữổt l l¥n c“n mð cıa x, y cho p(U1; V 1) W: Hìn nœa, v… U1 \ H 6= ? v V1 \ H 6= ? n¶n ta suy tỗn ti x0 U1 \ H v y0 V1 \ H cho p(x0; y0) p(U1 \ H; V1 \ H) p(U1; V1) W: Ti‚p theo, v… H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n¶n p(x0; y0) p(H; H) H: Do â, ta suy p(x0; y0) H \ W; k†o theo H \W 6= ?: Bði v“y, p(x; y) H: i•u n y chøng tä r‹ng p(H; H) H: Chøng minh t÷ìng tü ta cơng câ q(H; H) H: H» qu£ 2.2.2 Gi£ sß H l nhâm cıa nhâm tỉpỉ G: Khi â, H cơng l nhâm cıa G: Chøng minh D„ d ng suy tł Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn nh lỵ 2.2.2 v Nh“n x†t 2.1.1 Trang 28 Khâa lu“n tŁt nghi»p GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn nh lỵ 2.2.3 [2] Gi£ sß H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, n‚u h H v x G thäa m¢n p(h; x) H; th… x H: Chøng minh Bði v… h H v p(h; x) H n¶n ta suy x = q(h; p(h; x)) q(H; H): M°t kh¡c, v… H l khæng gian cu trữớng ữổc ca G nản q(H; H) H: Do õ, x H: nh lỵ 2.2.4 [2] GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, H cơng l khỉng gian cu trữớng ữổc thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ca G: Chứng minh GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc thọa m Ân tiản m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cu trữớng ữổc G: Khi õ, theo nh lỵ 2.2.2, ta suy K = H l khæng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G; k†o theo K l khỉng gian ỗng nhĐt v chnh quy Nhữ vy, ta ch cn chứng minh K l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt Vợi mồi y H; v H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n¶n e = q(y; y) q(H; H) H H = K: Bi v K l khổng gian ỗng nhĐt nản chứng minh K l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ta ch cn chứng minh rng phn tò e cõ cỡ s lƠn cn m ữổc K: Tht vy, giÊ sò BH l cì sð l¥n c“n cıa H t⁄i e cho jBH j jNj: Khi â, vỵi mØi U 0 BH ; tỗn ti lƠn cn m U H ca e cho U U; ko theo tỗn t⁄i t“p mð VU K cho VU \ H = U U: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 29 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn BƠy giớ, nu ta °t BK = fVU : U BH g; th… BK l cì sð l¥n c“n cıa K t⁄i e: Tht vy, giÊ sò O l lƠn cn ca e K: Khi â, v… K l khæng gian chnh quy nản tỗn ti lƠn cn m W K cıa e cho W O: Hìn nœa, v… BH l cì sð l¥n c“n cıa H t⁄i e v W \ H l l¥n c“n mð H ca e nản tỗn ti U BH cho U W \ H: Ti‚p theo, vỵi måi x VU v V l l¥n c“n mð K cıa x; ta câ V \ VU 6= ? v V \ VU l t“p mð K: M°t kh¡c, v… H trò m“t K n¶n (V \ VU ) \ H 6= ?; k†o theo V \ (VU \ H) 6= ?: Do â, x VU \ H; suy VU VU \ H: Bði v“y, VU=VU\H U W O: Do v“y, e VU VU O: i•u n y chøng tä r‹ng hå BK l cì sð l¥n c“n cıa K t⁄i e v jBKj jBH j jNj: Nh÷ vy, K = H l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt Hằ quÊ 2.2.3 GiÊ sò H l nhõm thọa mÂn tiản m ữổc thø nh§t cıa nhâm tỉpỉ G: Khi â, H cơng l tiản nhõm thọa mÂn m ữổc thứ nh§t cıa G: Chøng minh D„ d ng suy t nh lỵ 2.2.4 v Nhn xt 2.1.1 nh lỵ 2.2.5 N‚u khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G l nested t⁄i mºt v i i”m a G th… G l nested Chứng minh Bi tnh ỗng nhĐt ca khổng gian G nản ta cõ th giÊ sò rng e l phƒn tß ìn ph£i cıa G: Khi â, v G l nested ti e; tỗn ti mt t G hºi tư ‚n e: B¥y gií, n‚u ta °t = fq(U; U) : U g th… l mºt tŒ v l mºt cì sð G t⁄i e: Th“t v“y, ta s‡ chøng minh lƒn l÷ỉt nh÷ sau: Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 30 Khõa lun tt nghiằp (1) GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n l mºt tŒ G: Ta s‡ chøng minh (a), (b), (c) sau ¥y: (a) l mºt låc G: Th“t v“y, vỵi måi A; B ; tỗn v ti U; V cho A = q(U; U) B = p(V; V ): Khi â, A \ B = q(U; U) \ q(V; V ): Hỡn na, v l mt lồc G; tỗn t⁄i W cho W U \ V: i•u n y k†o theo r‹ng: q(W; W ) q(U \ V; U \ V ) q(U; U) \ q(V; V ) = A \ B: N‚u ta °t C = q(W; W ) th… C l mºt låc G: (b) Vỵi måi A; B B A \ B v C : Bði v“y, ; ta chøng minh ÷æc A B ho°c A: (c) A ; A mð (2) l cì sð G t⁄i e: Th“t vy, giÊ sò W l lƠn cn m bĐt k cıa e: Khi â, v… q(e; e) = e v q liản tửc nản tỗn ti hai lƠn cn m U1; U2 cıa e cho e q(U1; U2) W: °t U = U1 \ U2: Suy e q(U; U) Wv Ul cıa e: Hìn nœa, v… ! e; tỗn ti V V q(V; V ) U: Bði v“y ta câ l¥n c“n mð cho q(U; U): M°t kh¡c, vỵi måi x V; ta câ: e = q(x; x) q(V; V ) q(U; U) W: °t A = q(V; V ) th… A v e A W: V“y l cì sð G t⁄i e: Tł (1) v (2) suy X l nested Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 31 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn KTLUN Qua quĂ trnh thỹc hi»n khâa lu“n, tł nhœng k‚t qu£ thu ÷ỉc, em câ th” k‚t lu“n: • t i gâp phƒn cung c§p kh¡i ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t cì bÊn ca khổng gian cu trữớng ữổc t i  trnh b y mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ữổc iu n y ữổc th hiằn nh lỵ 2.2.1, nh lỵ 2.2.2, nh lỵ 2.2.4 v nh lỵ 2.2.5 Nhng tnh chĐt n y  gõp phn l m sĂng tọ mi liản h» giœa t“p âng v t“p compact khæng gian n y, ỗng thới l m rê tnh chĐt m ÷ỉc thø nh§t cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc C¡c k‚t qu£ n y l cì sð quan trång ” nh“n ÷ỉc hai b i b¡o [1], [2] [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s t nh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Tuy nhi¶n thíi gian thüc hi»n khâa lun khổng nhiu v kin thức chữa sƠu rng n¶n nºi dung thüc hi»n khỉng tr¡nh khäi h⁄n ch‚, sai sõt RĐt mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ v xƠy dỹng ca quỵ thy cổ t i ÷ỉc ho n thi»n hìn Em xin ch¥n th nh cÊm ỡn! Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 32 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n T ILI UTHAMKH O Ti‚ng Vi»t [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), T nh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Ti‚ng Anh [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), A note on topological groups , Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), Rectifiable spaces , Topology Appl., 68, 107-112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), A note on rectifiable spaces , Topology Appl., 159, 2090-2101 [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), Locally -compact rectifiable spaces , Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), Topological groups and Dugundji com-pacta , Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 33 T i li»u tham kh£o [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), A note on topological groups , Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), Rectifiable spaces , Topology Appl., 68, 107112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), A note on rectifiable spaces , Topology Appl., 159, 2090-2101 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), Locally -compact rectifiable spaces , Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), Topological groups and Dugundji compacta , Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 35 ... nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x⁄ âng v 1.4 Khæng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khæng gian ch‰nh q T‰nh ch§t cıa khỉng gian cƒu trữớng ữổc 2.1 nh nghắa v mt s 2.2 Kt qu£ ch‰nh ... 1.1 Khỉng gian tỉpỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n c“n v cì sð cıa khæng gian tæpæ 1.1.2 Bao âng cıa t“p hæp 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x õng Php ỗng phổi 1.4 Khổng gian 1.5 Khỉng gian compact... Khổng gian nh nghắa 1.4.1 Cho (X; ) l khæng gian tæpæ v A l mºt t“p cıa X: Khi â, hå A = fU AjU g l mºt tỉpỉ tr¶n A; gåi l tỉpỉ c£m sinh bði tỉpỉ tr¶n X: Khỉng gian (A; A) gåi l khæng gian cıa

Ngày đăng: 06/10/2019, 07:37

w