Tính chất của không gian cầu trường được

IH¯CN NG TR×˝NG I H¯C S× PH M KHOA TO N NGUY N V N TRUNG T N TNHCH TCÕA KHNG GIAN C U TRìNGìẹC KHA LU N TăT NGHI P Ng nh håc: S× PH M TO N H¯C GiÊng viản hữợng dÔn: TS LìèNG QUăC TUY N Nfing, Nam 2018 IH¯C N NG TR×˝NG I H¯C S× PH M KHOA TO N NGUY N V N TRUNG T N TNHCH TCÕA KH˘NG GIAN C U TR×˝NG ×ĐC KH´A LU N TăT NGHI P H I HC CH NH QUY Ng nh: S÷ ph⁄m To¡n håc GI NG VI N HìNG D N: TS LìèNG QUăC TUY N Nfing - N«m 2018 MƯC LƯC M— U Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Khỉng gian tỉ pỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n 1.1.2 Bao âng cıa t“p 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x⁄ âng v 1.4 Khæng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khỉng gian ch‰nh q T‰nh ch§t cıa khỉng gian cu trữớng ữổc 2.1 nh nghắa v mt s 2.2 K‚t qu£ ch‰nh KTLUN T ILI UTHAMKH O 33 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn LIC MèN Trong thíi gian thüc hi»n • t i, g°p khỉng t khõ khôn nhớ sỹ giúp ù t pha thƒy cỉ, gia …nh, b⁄n b– còng vỵi sü nØ lỹc ca bÊn thƠn, em  tỹ tm tặi, hồc họi nhiu kin thức b ch cho bÊn thƠn v ho n th nh khõa lun n y Trữợc tr…nh b y nºi dung ch‰nh cıa khâa lu“n, em xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi thy giĂo hữợng dÔn TS Lữỡng Quc Tuyn v anh ng Vôn Tuyản  tn tnh ch bÊo, giúp ù v ng vi¶n em suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n n y Em cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt n tĐt cÊ quỵ thy cổ giĂo ¢ t“n t…nh d⁄y b£o em suŁt thíi gian hồc ca mnh dữợi mĂi trữớng i hồc Sữ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Em xin ch¥n th nh cÊm ỡn! Nfing, thĂng 05 nôm 2018 Sinh viản Nguyn Vôn Trung Tn Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn DANH MệC Kị HI U Trong to n bº khâa lu“n n y, cho c¡c khæng gian X; G th… ta hi”u r‹ng X; G l cĂc khổng gian tổpổ v em quy ữợc tĐt cÊ cĂc khổng gian l T1; cặn cĂc khĂi ni»m v thu“t ngœ kh¡c n‚u khỉng nâi g… th¶m th… ÷ỉc hi”u thỉng th÷íng N R T“p hỉp c¡c s nguyản dữỡng Tp hổp cĂc s thỹc AnB A\B A[B f g Hi»u cıa hai t“p hæp jAj SŁ phƒn tß cıa t“p hỉp A Giao cıa hai t“p hæp Hæp cıa hai t“p hæp Ph†p hæp th nh hai Ănh x Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn M U I Lị DO CHN TI Nôm 1936, G Birkhoff  giợi thiằu nhõm tổpổ ([4]) Sau õ, M M Choban  giợi thiằu khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v V V Uspenskij chøng minh ữổc rng mồi nhõm tổpổ u l khổng gian cu trữớng ữổc, tỗn ti mt khổng gian cu tr÷íng ÷ỉc khỉng ph£i l mºt nhâm tỉpỉ ([5,9]) Tł õ n nay, rĐt nhiu kt quÊ liản quan n khỉng gian n y ÷ỉc c¡c nh to¡n håc quan tƠm nghiản cứu (xem [6, 7, 8]) Tuy nhiản, khĂi niằm khổng gian cu trữớng ữổc cặn khĂ xa l vợi nhiu sinh viản khoa ToĂn Mt khĂc, s lữổng cĂc tnh chĐt ca khổng gian n y cặn khĂ khiảm tn so vợi nhng khổng gian khĂc Hiằn nay, cặn khĂ nhiu cƠu họi m vÔn chữa ữổc giÊi Ăp [3, 4, 6] Vợi mong mun cung cĐp khĂi niằm, mt s tnh chĐt cỡ bÊn, ỗng thới nảu lản mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian n y, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Lữỡng Quc Tuyn, em chồn t i khõa lun: Tnh chĐt cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc II MƯC TI U CếA TI Giợi thiằu v khổng gian cu trữớng ữổc, ỗng thới chứng minh chi tit mt s nh lỵ v b liản quan, t õ phn Kt quÊ ch nh ữa cĂc tnh chĐt mợi cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v chøng minh t‰nh óng ›n cıa chóng III N¸I DUNG NGHI N CÙU Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, t i li»u tham khÊo, b cửc khõa lun ca em bao gỗm hai ch÷ìng: Ch÷ìng cıa khâa lu“n tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà v• khỉng gian tỉpỉ, nhữ nh nghắa khổng gian tổpổ, lƠn cn, cỡ s l¥n c“n v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ; ành nghắa v cĂc nh lỵ ca Ănh x liản tửc, Ănh x m, Ănh x õng v php ỗng phổi Ch÷ìng cıa khâa lu“n tr…nh b y c¡c ành nghắa v b liản Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn V«n Trung T‰n Trang Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn quan, t â phƒn k‚t qu£ ch‰nh, em n¶u mºt s kt quÊ mợi m em nghiản cứu ữổc v khổng gian cu trữớng ữổc IV PHìèNG PH P NGHI N CÙU Khâa lu“n cıa em chı y‚u sß dưng phữỡng phĂp nghiản cứu lỵ thuyt ỗng thới, nghiản cứu kt quÊ ca cĂc tĂc giÊ i trữợc ữa cĂc kt quÊ mợi V Bă CệC CếA M TI ƒu Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Khỉng gian tỉpỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n c“n v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ 1.1.2 Bao âng cıa t“p hỉp 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ m, Ănh x õng Php ỗng phổi 1.4 Khổng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khæng gian ch‰nh quy Chữỡng Tnh chĐt ca khổng gian cu trữớng ữổc 2.1 Mt s nh nghắa v kt quÊ liản quan 2.2 K‚t qu£ ch‰nh K‚t lu“n VI ´NG G´P CÕA TI t i gõp phn cung cĐp khĂi ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa khỉng gian cu trữớng ữổc t i trnh b y mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ữổc iu n y ữổc th hiằn nh lỵ 2.2.1, nh lỵ 2.2.2 v nh lỵ 2.2.4 Nhng tnh chĐt n y  gõp phn l m sĂng tä mŁi li¶n h» giœa t“p âng v t“p compact khổng gian n y, ỗng thới l m rê tnh Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc C¡c k‚t qu£ n y l cì sð quan trång ” nh“n ÷ỉc hai b i bĂo: [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s t nh chĐt mợi ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i hồc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n Vôn Trung Tn Trang Chữỡng Kin thức chu'n bà Trong ch÷ìng n y, em s‡ tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà v• khỉng gian tỉpỉ nhữ nh nghắa, lƠn cn, cỡ s lƠn cn v cì sð cıa khỉng gian tỉpỉ, bao âng cıa t“p hổp ỗng thới, em cặn cp tợi nh nghắa v nh lỵ liản quan tợi Ănh x liản tửc, Ănh x õng, Ănh x m, php ỗng phổi v khỉng gian compact, khỉng gian ch‰nh quy, nh‹m phưc vư cho viằc chứng minh cĂc b v nh lỵ Chữỡng 1.1 Khổng gian tổ pổ nh nghắa 1.1.1 [10] Cho mºt t“p X: Mºt hå X gåi l c¡c t“p cıa mºt tỉpỉ tr¶n X n‚u thọa mÂn cĂc iu kiằn: (1) X v ? thuc ; (2) Hổp tũy ỵ cĂc thuc l thuc ; (3) Giao hœu h⁄n c¡c t“p thuºc l thuºc : Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn Mt X mt tổpổ trản X gåi l ” ch¿ rª mºt khỉng gian tỉpỉ l tæpæ cıa cıa khæng gian tæpæ X; ta vi‚t (X; ): Cho (X; ) l khæng gian tæpæ T“p U ÷ỉc gåi l mºt t“p mð cıa X: T“p F cıa X ÷ỉc gåi l mºt t“p âng n‚u XnF l t“p mð Nh“n x†t 1.1.1 Tł ành ngh¾a ta câ c¡c nh“n x†t sau: ?, X l cĂc m; Hổp tũy ỵ cĂc t“p mð l t“p mð; Giao hœu h⁄n c¡c t“p mð l t“p mð V‰ dư 1.1.1 Vỵi måi t“p X; P (X) = X; fU : U Xg l mºt tỉpỉ tr¶n gåi l tỉpỉ ríi r⁄c T“p X còng vỵi ríi r⁄c tỉpỉ ríi r⁄c gåi l khỉng gian V‰ dư 1.1.2 Vỵi måi t“p X; = f?; Xg l mºt tỉpỉ tr¶n X; gåi l tỉpỉ thỉ V‰ dư 1.1.3 Cho X l mºt t“p Mºt h m d : X ! R l mºt mảtric trản X nu thọa mÂn cĂc iu kiằn: (1) d(x; y) 0; d(x; y) = , x = y; (2) d(x; y) = d(y; x); (3) d(x; z) d(x; y) + d(y; z); 8x; y; z X Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng QuŁc Tuy”n Chøng minh Vỵi mØi x G; v… G l khổng gian cu trữớng ữổc nản nhớ nh l‰ 2.1.2 ta suy x = p(x; q(x; x)) = p(x; e) p(x; V ) = x:V: M°t kh¡c, nhí BŒ • 2.1.1 ta suy fx l ¡nh x⁄ mð V… v“y x:V = p(x; V ) = fx(V ) l t“p mð G: Do â, x:V l lƠn cn m ca x: nh nghắa 2.1.3 [7] Gi£ sß A l t“p cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, A ÷ỉc gåi l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n‚u p(A; A) A v q(A; A) A: BŒ • 2.1.3 [6] Gi£ sò G l khổng gian cu trữớng ữổc Khi õ, G l khỉng gian ch‰nh quy Chøng minh Gi£ sß e l phƒn tß ìn cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G v U Ue: Khi â, v… p(e; e) = e v p l ¡nh x⁄ li¶n tửc nản tỗn ti O1; O2 Ue cho p(O1 O2) U: Do â, vỵi V , O1 \ O2; ta câ (e; e) p(V V ) U: L§y b§t k… x V : Do q(x; x) = e nản tỗn ti O Ue thêa mÂn q(xO; x) V: Hìn nœa, ta câ xO l mºt l¥n c“n mð cıa x; v… v“y (xO) \ V 6= ?: Suy tỗn ti y O; v V cho xy = v: Do â ta câ: x = (xy):q(xy; x) vV Suy V p(V V) U: U: V“y G l khæng gian ch‰nh quy nh nghắa 2.1.4 X ữổc gồi l k F rechet U rysohn t⁄i x X n‚u vỵi måi U m X; tỗn ti xn U cho xn ! x: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 22 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn nh nghắa 2.1.5 GiÊ sò ? v l hai hồ gỗm nhng kh¡c n o â cıa X: (1) ÷ỉc gåi l mt b lồc trản X nu vợi bĐt k A B ; 9C (2) cho C v A \ B: B lồc trản X ữổc gåi l hºi tư ‚n x X n‚u vỵi mồi lƠn cn m ca x u chứa mt phn tß cıa : (3) N‚u x X v r‹ng tö t⁄i x hay x l (4) Hai låc B2 v ữổc gồi l ỗng b nu vợi mồi A v ;A\B6=?: (5) Mºt d¥y x‰ch X l mºt låc A; B th… A B ho°c B X cho vợi mồi A: Mt dƠy xch gỗm nhng m ca X ữổc gồi l mºt tŒ X: ành ngh¾a 2.1.6 Ta câ c¡c nh nghắa sau Ơy: (1) X ữổc gồi l song dÂy nu vợi mồi b lồc X v mỉi im tử x ca ; tỗn ti mt lồc m ữổc X hi tử n x v ỗng b vợi : (2) X ữổc gồi l biradial nu vợi mồi lồc X tử ti x X tỗn t⁄i mºt d¥y x‰ch X hºi tư ‚n x v ỗng b vợi : Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn V«n Trung T‰n Trang 23 Khâa lu“n tŁt nghi»p (3) X ÷ỉc gåi l nested t⁄i x X n‚u tỗn ti mt t n x: X hi tử (4) X Xm GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn ữổc gồi l nested nu vợi mồi x X tỗn ti mt t l cỡ s X t⁄i x: Nh“n x†t 2.1.3 (1) N‚u X l U song d¢y th… X l k F rechet nysohn: (2) N‚u X l song d¢y th… X l biradial: (3) N‚u X l nested th… X l biradial: Chøng minh (1) GiÊ sò X l mt song dÂy, A X v x A: PhÊi chứng minh tỗn ti d¢y fxng A cho xn ! x: °t = fAg : Khi â, x l ‚m ÷ỉc = fVn : n Ng hºi tư Ta l§y: i”m tư ca : Suy tỗn ti mt lồc n x v U12 ;U1 V1\V2 U22 ;U2 U1\V3 ỗng b vợi : U32 ;U3 U2\V4 Ti‚p tưc qu¡ tr…nh tr¶n, ta ÷ỉc d¢y fUng cho Un ; Un Un \ Vn+1: Suy fUng l d¢y gi£m n‹m ; xn Un \ A: Ta ch¿ cỈn ph£i chøng minh xn ! x: Th“t v“y, gi£ sß W l l¥n c“n mð cıa x; ! x: Suy tỗn ti n N cho Vn W: Do â xi Ui Un W; 8i n 1: (2) Cho X l mºt song d¢y, chøng minh X l biradial GiÊ sò vợi mồi lồc X; tử ti x: Ta cn chứng minh tỗn ti Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 24 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuy”n d¥y x‰ch ! x: Th“t v“y, X l song dÂy nản tỗn ti lồc m ữổc hi tử n x v ỗng b vợi : LĐy = fUng: Khi ! x: V“y X l biradial â, ta ÷ỉc l dƠy xch, ỗng b vợi v (3) Cho X l mºt nested, chøng minh X l biradial Gi£ sß l lồc tử ti x: Ta cn chứng minh tỗn ti dƠy xch cho ! x v ỗng b vợi : Tht vy, lồc tử ti x nản x P vỵi måi P : Hìn nœa, X l nested nản tỗn ti t (xch m, tư t⁄i x) L§y b§t k… P ; Q ; x P ; x M°t kh¡c, lĐy bĐt ký lƠn cn m W chứa x; l cỡ s ti x nản tỗn ti Q 2.2 Kt quÊ chnh B 2.2.1 [1] GiÊ sò G l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc, A G v U l mºt t“p mð G: Khi â, p(A; U) v q(A; U) l c¡c t“p mð G: Chøng minh Vỵi mØi x A; ta cõ fx v gx l cĂc php ỗng phổi Do â, chóng l c¡c ¡nh x⁄ mð Bði v“y, fx(U) = p(x; U) v gx(U) = q(x; U) l c¡c t“p mð G: Hìn nœa, v… p(A; U) = S p(x; U); x2A q(A; U) = S q(x; U) x2A n¶n ta câ p(A; U) v q(A; U) l c¡c t“p mð G: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 25 Khâa lu“n tŁt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn B • 2.2.2 [1] Gi£ sß G l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc v x G: Khi â, (1) N‚u U l mt lƠn cn m ca x; th tỗn t⁄i mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho xV U: (2) N‚u U l mºt l¥n c“n mð cıa e G; th… xU l mºt lƠn cn m ca x; v tỗn ti mt lƠn c“n mð V cıa e G cho q(xV; x) U: Chøng minh (1) Ta câ p(x; e) = x v p l ¡nh x⁄ li¶n tưc Hìn nœa, v U l mt lƠn cn m ca x nản tỗn ti mt lƠn cn m W ca x v mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho xV = p(x; V ) p(W; V ) U: (2) Bði v… U l l¥n c“n mð cıa e G nản nhớ B 2.2.2 (1) ta suy xU l l¥n c“n mð cıa x: M°t kh¡c, v… q(x; x) = e v ¡nh x⁄ q li¶n tửc nản tỗn ti hai lƠn cn m V1 v V2 cıa x cho q(V1; V2) U: Theo (1), tỗn ti mt lƠn cn m V ca e G cho x xV V1 \ V2: Bði vy, q(xV; x) U: nh lỵ 2.2.1 [1] GiÊ sò K l mºt t“p compact v F l mºt t“p âng khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G cho K \ F = ?: Khi õ, tỗn t⁄i mºt l¥n c“n mð V cıa e G cho KV \ F = ?: Chøng minh Gi£ sß K \ F = ? v F l t“p âng G: Khi â, vỵi mØi x K tỗn ti mt lƠn cn m Ux ca x cho Ux \ F = ?: Theo BŒ • 2.2.2, tỗn ti mt lƠn cn m Vx ca e G cho xVx Ux; v xVx l mºt l¥n c“n mð cıa x: Hìn nœa, v… p(x; e) = x v Ănh x p liản tửc nản tỗn ti mºt l¥n c“n mð Wx cıa x v mºt l¥n c“n mð Ue cıa e G cho p(Wx; Ue) xVx: Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 26 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n Ti‚p theo, v… Wx l mºt lƠn cn m ca x nản theo B 2.2.2(1) ta suy tỗn ti mt lƠn cn m Ve cıa e G cho xVe Wx: Do â, p(xVe; Ue) xVx: Nhí BŒ • 2.2.2(2), x(Ue \ Ve) l mt lƠn cn m ca x vợi mồi x K: M°t kh¡c, v… fx(Ue \ Ve) : x Kg l mºt phı mð cıa K compact n¶n tỗn ti hu hn L K cho K T B¥y gií, n‚u ta °t V = (Ue \ Ve) th… V l x2L e G: Hìn nœa, ta câ KV \ F = ?: Th“t v“y, vợi mỉi y K; tỗn ti x L cho y x(Ue \ Ve): Do â, yV p(x(Ue \ Ve); (Ue \ Ve)) xVx Bði v“y, yV \ F = ? vỵi måi y K: G n F: i•u n y chøng tä r‹ng KV \F =?: H» qu£ 2.2.1 [1] Gi£ sß K l mºt t“p compact v F l mºt t“p âng nhâm tæpæ G cho K \ F = ?: Khi õ, tỗn ti mt lƠn cn m V cıa phƒn tß ìn e G cho KV \ F = ?: Chøng minh D„ d ng suy ữổc t nh lỵ 2.2.1 v Nhn xt 2.1.1 Mằnh 2.2.1 GiÊ sò G l khổng gian cu trữớng ữổc v A G: Khi õ, vợi mỉi a G; ta câ p(a; A) = p(a; A) v Chøng minh Nhí BŒ • 2.1.1 ta suy fa; ga l Do â, ta câ p(a; A) = fa(A) fa(A) = p(a; A); q(a; A) = ga(A) ga(A) = q(a; A) Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 27 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn v cĂc p(a; A) = fa(A), q(a; A) = ga(A) l âng G: Bði v“y, p(a; A) = fa(A) fa(A) = fa(A) = p(a; A): q(a; A) = ga(A) ga(A) = ga(A) = q(a; A): V… v“y, p(a; A) = p(a; A) v q(a; A) = q(a; A): nh lỵ 2.2.2 [2] GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc ca khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, H cơng l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G: Chøng minh ” chøng minh H l khæng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G ta ch¿ cƒn chøng minh p(H; H) H v q(H; H) H: Th“t v“y, gi£ sß x; y H: Khi â, vỵi måi U, V ln lữổt l lƠn cn m ca x, y ta •u câ U \ H 6= ? v V \ H 6= ?: M°t kh¡c, v… p l ¡nh x⁄ liản tửc nản vợi mồi W l lƠn cn m ca p(x; y); tỗn ti U1, V1 ln lữổt l l¥n c“n mð cıa x, y cho p(U1; V 1) W: Hìn nœa, v… U1 \ H 6= ? v V1 \ H 6= ? n¶n ta suy tỗn ti x0 U1 \ H v y0 V1 \ H cho p(x0; y0) p(U1 \ H; V1 \ H) p(U1; V1) W: Ti‚p theo, v… H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n¶n p(x0; y0) p(H; H) H: Do â, ta suy p(x0; y0) H \ W; k†o theo H \W 6= ?: Bði v“y, p(x; y) H: i•u n y chøng tä r‹ng p(H; H) H: Chøng minh t÷ìng tü ta cơng câ q(H; H) H: H» qu£ 2.2.2 Gi£ sß H l nhâm cıa nhâm tỉpỉ G: Khi â, H cơng l nhâm cıa G: Chøng minh D„ d ng suy tł Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn nh lỵ 2.2.2 v Nh“n x†t 2.1.1 Trang 28 Khâa lu“n tŁt nghi»p GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn nh lỵ 2.2.3 [2] Gi£ sß H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, n‚u h H v x G thäa m¢n p(h; x) H; th… x H: Chøng minh Bði v… h H v p(h; x) H n¶n ta suy x = q(h; p(h; x)) q(H; H): M°t kh¡c, v… H l khæng gian cu trữớng ữổc ca G nản q(H; H) H: Do õ, x H: nh lỵ 2.2.4 [2] GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G: Khi â, H cơng l khỉng gian cu trữớng ữổc thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ca G: Chứng minh GiÊ sò H l khổng gian cu trữớng ữổc thọa m Ân tiản m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cu trữớng ữổc G: Khi õ, theo nh lỵ 2.2.2, ta suy K = H l khæng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G; k†o theo K l khỉng gian ỗng nhĐt v chnh quy Nhữ vy, ta ch cn chứng minh K l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt Vợi mồi y H; v H l khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc cıa G n¶n e = q(y; y) q(H; H) H H = K: Bi v K l khổng gian ỗng nhĐt nản chứng minh K l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt ta ch cn chứng minh rng phn tò e cõ cỡ s lƠn cn m ữổc K: Tht vy, giÊ sò BH l cì sð l¥n c“n cıa H t⁄i e cho jBH j jNj: Khi â, vỵi mØi U 0 BH ; tỗn ti lƠn cn m U H ca e cho U U; ko theo tỗn t⁄i t“p mð VU K cho VU \ H = U U: Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 29 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn BƠy giớ, nu ta °t BK = fVU : U BH g; th… BK l cì sð l¥n c“n cıa K t⁄i e: Tht vy, giÊ sò O l lƠn cn ca e K: Khi â, v… K l khæng gian chnh quy nản tỗn ti lƠn cn m W K cıa e cho W O: Hìn nœa, v… BH l cì sð l¥n c“n cıa H t⁄i e v W \ H l l¥n c“n mð H ca e nản tỗn ti U BH cho U W \ H: Ti‚p theo, vỵi måi x VU v V l l¥n c“n mð K cıa x; ta câ V \ VU 6= ? v V \ VU l t“p mð K: M°t kh¡c, v… H trò m“t K n¶n (V \ VU ) \ H 6= ?; k†o theo V \ (VU \ H) 6= ?: Do â, x VU \ H; suy VU VU \ H: Bði v“y, VU=VU\H U W O: Do v“y, e VU VU O: i•u n y chøng tä r‹ng hå BK l cì sð l¥n c“n cıa K t⁄i e v jBKj jBH j jNj: Nh÷ vy, K = H l khổng gian thọa mÂn tiản m ữổc thứ nhĐt Hằ quÊ 2.2.3 GiÊ sò H l nhõm thọa mÂn tiản m ữổc thø nh§t cıa nhâm tỉpỉ G: Khi â, H cơng l tiản nhõm thọa mÂn m ữổc thứ nh§t cıa G: Chøng minh D„ d ng suy t nh lỵ 2.2.4 v Nhn xt 2.1.1 nh lỵ 2.2.5 N‚u khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc G l nested t⁄i mºt v i i”m a G th… G l nested Chứng minh Bi tnh ỗng nhĐt ca khổng gian G nản ta cõ th giÊ sò rng e l phƒn tß ìn ph£i cıa G: Khi â, v G l nested ti e; tỗn ti mt t G hºi tư ‚n e: B¥y gií, n‚u ta °t = fq(U; U) : U g th… l mºt tŒ v l mºt cì sð G t⁄i e: Th“t v“y, ta s‡ chøng minh lƒn l÷ỉt nh÷ sau: Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 30 Khõa lun tt nghiằp (1) GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n l mºt tŒ G: Ta s‡ chøng minh (a), (b), (c) sau ¥y: (a) l mºt låc G: Th“t v“y, vỵi måi A; B ; tỗn v ti U; V cho A = q(U; U) B = p(V; V ): Khi â, A \ B = q(U; U) \ q(V; V ): Hỡn na, v l mt lồc G; tỗn t⁄i W cho W U \ V: i•u n y k†o theo r‹ng: q(W; W ) q(U \ V; U \ V ) q(U; U) \ q(V; V ) = A \ B: N‚u ta °t C = q(W; W ) th… C l mºt låc G: (b) Vỵi måi A; B B A \ B v C : Bði v“y, ; ta chøng minh ÷æc A B ho°c A: (c) A ; A mð (2) l cì sð G t⁄i e: Th“t vy, giÊ sò W l lƠn cn m bĐt k cıa e: Khi â, v… q(e; e) = e v q liản tửc nản tỗn ti hai lƠn cn m U1; U2 cıa e cho e q(U1; U2) W: °t U = U1 \ U2: Suy e q(U; U) Wv Ul cıa e: Hìn nœa, v… ! e; tỗn ti V V q(V; V ) U: Bði v“y ta câ l¥n c“n mð cho q(U; U): M°t kh¡c, vỵi måi x V; ta câ: e = q(x; x) q(V; V ) q(U; U) W: °t A = q(V; V ) th… A v e A W: V“y l cì sð G t⁄i e: Tł (1) v (2) suy X l nested Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 31 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn KTLUN Qua quĂ trnh thỹc hi»n khâa lu“n, tł nhœng k‚t qu£ thu ÷ỉc, em câ th” k‚t lu“n: • t i gâp phƒn cung c§p kh¡i ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t cì bÊn ca khổng gian cu trữớng ữổc t i  trnh b y mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ữổc iu n y ữổc th hiằn nh lỵ 2.2.1, nh lỵ 2.2.2, nh lỵ 2.2.4 v nh lỵ 2.2.5 Nhng tnh chĐt n y  gõp phn l m sĂng tọ mi liản h» giœa t“p âng v t“p compact khæng gian n y, ỗng thới l m rê tnh chĐt m ÷ỉc thø nh§t cıa khỉng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc C¡c k‚t qu£ n y l cì sð quan trång ” nh“n ÷ỉc hai b i b¡o [1], [2] [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s t nh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Tuy nhi¶n thíi gian thüc hi»n khâa lun khổng nhiu v kin thức chữa sƠu rng n¶n nºi dung thüc hi»n khỉng tr¡nh khäi h⁄n ch‚, sai sõt RĐt mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ v xƠy dỹng ca quỵ thy cổ t i ÷ỉc ho n thi»n hìn Em xin ch¥n th nh cÊm ỡn! Sinh viản thỹc hiằn: Nguyn Vôn Trung Tn Trang 32 Khõa lun tt nghiằp GiÊng viản hữợng dÔn: TS L÷ìng QuŁc Tuy”n T ILI UTHAMKH O Ti‚ng Vi»t [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), T nh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing Ti‚ng Anh [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), A note on topological groups , Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), Rectifiable spaces , Topology Appl., 68, 107-112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), A note on rectifiable spaces , Topology Appl., 159, 2090-2101 [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), Locally -compact rectifiable spaces , Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), Topological groups and Dugundji com-pacta , Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 33 T i li»u tham kh£o [1] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Mt s tnh chĐt mợi ca khổng gian cu trữớng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [2] ng Vôn Tuyản v Nguyn Vôn Trung Tn (2017), Tnh chĐt m ữổc thứ nhĐt ca khổng gian cƒu tr÷íng ÷ỉc , T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc - Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄i håc Nfing, to accept [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), A note on topological groups , Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), Rectifiable spaces , Topology Appl., 68, 107112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), A note on rectifiable spaces , Topology Appl., 159, 2090-2101 Khâa lu“n tŁt nghi»p Gi£ng viản hữợng dÔn: TS Lữỡng Quc Tuyn [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), Locally -compact rectifiable spaces , Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), Topological groups and Dugundji compacta , Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy„n V«n Trung T‰n Trang 35 ... nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x⁄ âng v 1.4 Khæng gian 1.5 Khæng gian compact 1.6 Khæng gian ch‰nh q T‰nh ch§t cıa khỉng gian cƒu trữớng ữổc 2.1 nh nghắa v mt s 2.2 Kt qu£ ch‰nh ... 1.1 Khỉng gian tỉpỉ 1.1.1 L¥n c“n, cì sð l¥n c“n v cì sð cıa khæng gian tæpæ 1.1.2 Bao âng cıa t“p hæp 1.2 nh x⁄ li¶n tưc 1.3 nh x⁄ mð, ¡nh x õng Php ỗng phổi 1.4 Khổng gian 1.5 Khỉng gian compact... Khổng gian nh nghắa 1.4.1 Cho (X; ) l khæng gian tæpæ v A l mºt t“p cıa X: Khi â, hå A = fU AjU g l mºt tỉpỉ tr¶n A; gåi l tỉpỉ c£m sinh bði tỉpỉ tr¶n X: Khỉng gian (A; A) gåi l khæng gian cıa