Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành : Tốn học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) PGS TS Đặng Đình Châu (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội) Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai người hướng dẫn mình, người tận tình bảo hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vơ mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ thầy cô môn Tốn Cơ bản, thầy Viện Tốn ững dụng Tin học Đặc biệt nhứng đóng góp, chia sẻ, động viên thành viên nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành, xin chân thành cảm ơn đến thầy cô thành viên nhóm seminar Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống, giúp vững tâm học tập nghiên cứu Nghiên cứu sinh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Tỉnh chất định tính nghiệm số lớp phương trĩnh có trễ trung tính cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu Các kết luận án hồn toàn trung thực chưa tác giả khác cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Hà Nội, ngày tháng năm Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Vũ Thị Ngọc Hà PGS TS Đặng Đình Châu Trịnh Xuân Yến MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý dochọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án Chương KIẾN THỨC CHUAN BỊ 10 1.1 Không gian hàm 10 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 10 1.1.2 Bất đẳng thức nón 13 1.2 Nửa nhóm 14 1.2.1 Nửa nhóm, tốn tử sinh giải thức 14 1.2.2 On định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 15 1.3 Nhị phân mũ, tam phân mũ họ tiến hóa 17 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CHAP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH 20 2.1 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa trục 22 2.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 39 2.3 Đa tạp không ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 42 Chương ĐA TẠP BAT BIÊN CHAP NHẬN ĐƯỢC ĐốI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH TRÊN NỬA TRỤC 70 3.1 Sự tồn nghiệm đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 73 3.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính 91 Chương ĐA TẠP BAT BIÊN CHAP NHẬN ĐƯỢC ĐốI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN 95 4.1 Khơng gian giảm nhớ 96 4.2 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn 98 4.3 Đa tạp tâm ổn định bất biến phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn 115 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ 119 Những kết đạt 119 Đề xuất số hướng nghiên cứu 119 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG Bố CỦA LUẬN ÁN 121 TÀI LIÊU THAM KHẢO 122 CHỈ MỤC 128 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm L (R) := < u : R ! R : \\u\\ = ( \u(x)\ dx)1= < ■ >, < p < l 7R J := {u : R ! R : ||u||1 = ess sup \u(x)\ < ■ 1Ị p L1(R) p p p xeR L i (R) := {u : R ! R \ u L (!) với tập đo ! cc Rg 1; oc ! cc R nghĩa bao đóng ! tập compact R Ố M(R+) := < f L1,ioc(R+) : suU l t>õ Jt ỉ*t+1 b \f (T)\dr < >, ) {■ t+1 với chuẩn \\f ||M := sup / EI t>õ Jt \f(T)\dT : không gian hàm Banach chấp nhận I X : không gian Banach C := C([—r, 0];X) không gian hàm u(-) liên tục [—r, 0], r > 0, nhận giá trị X trang bị chuẩn ||u||c = sup ||u(t) || t2[—r,õ] C : không gian hàm ộ(-) liên tục (—1,0], nhận giá trị X lim |21 = 0, trang bị chuẩn 0!~1 e~^v II^H^=sup 00 C (R ,X) : không gian hàm u(-) liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, b + xác định R trang bị chuẩn ||u||1 = sup ||u(t)|| + teR+ MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm vấn đề cốt yếu việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính Việc nghiên tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt khác mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Mặt khác, nhờ tính hút đa tạp bất biến, ta sử dụng nguyên lý thu gọn để đưa việc nghiên cứu phương trình vi phân (đạo hàm riêng) ban đầu phương trình đơn giản đa tạp từ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian đủ lớn Các kết ban đầu thu Hadamard [1], Perron [2, 3], Bigoliubov Mitropolsky [4, 5] tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân R Sau đó, Daleckii Krein [6] chứng minh tồn đa tạp bất biến nghiệm phương trình nửa tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử tuyến tính bị chặn Tiếp theo, Henry [7] phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) tốn tử đạo hàm riêng khơng giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng qt bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính (xem [8, 9, 10, 11, 12]) Huy [13] tồn của đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơtơnơm nửa tuyến tính khơng gian Banach với số hạng phi tuyến '-Lipschitz, trình khó khăn phức tạp Hơn nữa, Huy [14] chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, cụ thể đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Những đa tạp bao gồm quỹ đạo nghiệm thuộc vào lớp không gian hàm Banach n chấp nhận được, khơng gian Lebesgue Lp, khơng gian Lorentz Lp;q nhiều không gian khác thường gặp lý thuyết nội suy Nhìn vào lịch sử trình nghiên cứu đa tạp tích phân nghiệm phương trình vi phân ta nhận thấy có số hướng xử lý điều kiện đây: • Thứ phương pháp nghiên cứu, có hai phương pháp phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard tổng quát hóa thành phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng số cơng trình [15, 16] để chứng minh tồn đa tạp tích phân Phương pháp liên quan đến việc lựa chọn phép biến đổi phức hợp đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trong đó, phương pháp Perron mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan đến phương pháp Lyapunov Phương pháp LyapunovPerron tập trung vào việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hóa, để từ tồn đa tạp tích phân (xem cơng trình [17, 18, 6, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 11] tài liệu tham khảo vấn đề này) • Thứ hai điều kiện số hạng phi tuyến Số hạng phi tuyến thời gian đầu hầu hết lựa chọn thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ (xem [8, 17, 23, 6, 16, 11, 24]) Tuy nhiên, với phương trình nảy sinh từ q trình phản ứng-khuếch tán, số hạng phi tuyến đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển [25, 26, 27] Do số hạng phi tuyến mở rộng để chúng mơ tả trình phản ứng-khuếch tán Gần đây, Huy [13] sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm chấp nhận để đưa điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến, hệ số Lipschitz phần phi tuyến phụ thuộc vào thời gian thuộc vào không gian hàm Banach chấp nhận Đồng thời sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận có số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần [28, 29, 30, 31] • Cuối phương trình có trễ hay trung tính nghiên cứu với trễ hữu hạn (xem [32, 33, 34, 35, 36, 37]) với trễ vô hạn (xem [38, 39, 40, 41]) Từ bối cảnh lịch sử tầm quan trọng việc nghiên cứu đa tạp tích phân nghiệm phương trình vi phân có trễ trung tính, luận án nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính, hệ số Lipschitz số hạng phi tuyến hàm số thời gian Sau trình bày ba lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trình bày luận án • Dạng Chúng tơi xét phương trình @tFut = B(t)Fu + T(t, u ) t > s, t, s I, t t (1) Us = ộ 2C := C([—r, 0],X), X không gian Banach (chuẩn II • II), B(t) tốn tử tuyến tính (có thể không bị chặn) không gian Banach X với t > cố định Với r > ta kí hiệu C := C([—r, 0], X) khơng gian Banach tất hàm liên tục từ [—r, 0] vào X, trang bị chuẩn ||ộ||c = sup ộ(ớ),ộ C ớe[-r,0] Xét tốn tử tuyến tính bị chặn F : C ! X toán tử sai phân, (l’ : I X C • X tốn tử phi tuyến liên tục gọi toán tử trễ thỏa mân điều kiện '-Lipschitz khác R R , ut hàm lịch sử xác định u (0) := u(t + ớ) với [—r, 0], cịn I R R • Dạng Chúng tơi xét phương trình + t + @tFut = B(t)u(t) + T(t, ut) t (0,1), uo = ộ 2C := C([—r, 0],X), (2) X không gian Banach, B(t) : D(B) c X —! X tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) với t > cố định với chuẩn II • ||D(B) ||B(t)x|| < K||X|D(B),X D(B) Xét toán tử tuyến tính bị chặn F : C ! D(B) toán tử sai phân, (l’ : R X C ■ X toán tử phi tuyến liên tục gọi toán tử trễ thỏa mân điều kiện '-Lipschitz R • Dạng Chúng tơi xét phương trình + + @tFut = B(t)Fut + T(t, ut) t (0,1), u = ộ C, (3) cho - + - = Thật vậy, điều kiện (1) Định nghĩa 4.2.2 hiển nhiên Để kiểm tra điều kiện (2) định nghĩa sử dụng bất đẳng thức Minkowski ln(1 + h) < h với h > 0, không tổng quát ta giả sử \ộ \ < |ộ | Khi k ^(t,ội)(x) - T(t, ^2)(x)|2 ■ InỊ+BOTd-ỡì dx! 1 + Kỷ (ỡ))(x)\ ) + '2'" (ỉ * ln K^!??^! dx1 dỡ u> + \(ô))(đ)l ; (ý 1 ■■■ (í * IC b + \ (^1( ))(x) \ -Ị 2( ?)(x) \ dx dỡ 1+ •1 u l + \ («ỡ))(x) \ = \b| e-“* 2 e dx d d 2?0 e2"'0li^i(ớ) - fc(«)i| dỡ é*n^i(ỡ) - ^2 >0 có tam phân mũ Định nghĩa 1.3.5 số hạng phi tuyến T '-Lipschitz với trễ vô hạn Sử dụng phép chiếu tam phân, giống Chueshov [23], xét họ phép chiếu {Pj(t)g, t > 0, j = 1, 2, 3, C sau: (Pj(ì)ộ)(d) = U(t — 0, ì)Pj(t)ộ(0) với (—1,0] ộ C (4.23) Định nghĩa 4.3.1 Giả sử họ tiến hóa (U(t, s))t> > có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj(t)g,t > 0, j = 1, 2, 3, số N, a, ộ cho Định nghĩa 1.3.5 Một tập C c R X C gọi đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Tt : Im(Pi(t) + p (t)) ! ImP2(t) với phép chiếu {Pj(t)g, t > 0, j = 1, 2, xác định (4.23) , số Lipschitz độc lập với t cho C = graph(T ) có tính chất: s 7 s + t t (1) C đồng phôi với Im(.p (t) + P (t)) với t > t (2) Với ộ C tồn nghiệm u(t) phương trình (4.7) R thỏa mân e“Ễ(s+ớ)p(s)Fus-ỹ = ộ(ớ) với (—1,0] X[s,+ )(t)e_^ ' u (-), t R thuộc vào E, £ = +./' Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (4.7) tương ứng với hai hàm giá trị đầu khác ộ, ^ C , ta có ước lượng llu,-v ,^, số dương (P(S)Ộ) không (0) - (-P(s)^ phụ thuộc (0) vào s, u(-) v(-) đồng l| s, (4.24) thời P(t) = Pi(t) + P (t) s (í+ ) t s T (3) C F-bất biến dương phương trình (4.7) tức là, u(t) nghiệm phương trình (4.7) thỏa mân điều kiện hàm e _^ ' ũ (-) C X[s,+ )(t)e_^ ' u (-), t R thuộc vào E, hàm e _^ ' u (-) C với t > s, u xác định u (0) = Fu _ỹ với < t > (s+ ) (í+ ) (í+ ) í t t s s í t t Định lí sau tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) Định lí 4.3.2 Giả sử họ tiến hóa (U(t, s))í>s>0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj(t)}t> , j = 1, 2, 3, số N, a, ộ cho Định nghĩa 1.3.5 Cho E E' không gian hàm Banach chấp nhận không gian liên kết Giả sử $ : R X C- ! X + '-Lipschitz với trễ vô hạn, ' hàm dương thuộc vào E' Đặt q := sup{||Pj(t)|| : t > 0, j = 1, 3}, N := max{N, 2Nq}, V = — k :=(1 + H)No|ft„(-)HE Nếu Ị N l'H IIEIMIE (4.25) } 1-ẽ-H^n 1-H^H Ị Ta có P(t) Q(t) phép chiếu bù X Khi ta xác định phép chiếu {Pj(t)}, t > 0, j = 1, 2, 3, C’- (4.23) Đặt (t) = u (t) + P (t) Q(t) = u i (t), t > 0, ta thu P(t) Q(t) u phép chiếu bù C7 với t > Ta xét họ tiến hóa dịch chuyển U(t, s) = e-^ U(t, s) với t > s > 0, £ := ^ + (t-s) Bây giờ, ta chứng minh họ tiến hóa (u(t, s)) a có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P(t), t > Thật P (t)U (t,s) = e-«'->(Pi(í) + P (Í))U (t,s) = e-f -’>U(t, s)(Pi(s) + P3(s)) = U(t, s)P(s) (t Do U(t, s)|Im 2( ) đồng phôi từ ImP (s) vào ImP (t) ImP (t)=KerP(t) P s 2 với t > 0, ta có U(t, s)|Ker ( ) đồng phơi từ KerP(s) vào KerP(t), P s ta ký hiệu U(s,t)j := (U(t, s) |Ker (s))~ với < s < t Theo định nghĩa P tam phân mũ ta có \\U(s, t)|Q(t)x|| < e_ ^ ^ ||Q(t)x|| ( + với t > s > )(t-s) Mặt khác, \\U(t, s)P(s)x|| = e-^ - \U(t, s)(Pi(s) + P3(s))x| (t s) < Ne~^ ~ (e-^ - ||Pi(s)x|| + e ~ ||P3(s)s||) = Ne~t ~ (e-^ - ||Pi(s)P(s)x|| + e ~ \\P3(s)P(s)s||) (t s) (t s) a(t s) (t s) (t s) a(t s) với t > s > x X Đặt q := sup{||Pj(t)||, t > 0, j = 1, 3g, cuối cùng, ta có ước lượng sau ||U(t,s)P(s)x|| < 2Nqe~ “ ||P(s)x|| (t s) Do \U(t, s)j có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P(t), t > 0, số No := max{N, 2Nqg, p := ^2r • Đặt u(t) = e~^ u(i), xác định ánh xạ T : R+ X C ! X sau t U (t, ộ) = e ^T(t, e^ ')^(-)) với (t, ộ) R X C (t+ + Rõ ràng U '-Lipschitz Do đó, ta viết lại phương trình (4.7) dạng Fu = u(t,s)Fu + (t u(t,q)U(n,Un)dq với t > s > 0, t s ơs ■ Us(-) = e-^ +- ộ(-) C7 (s ) (4.26) HH NON |E 1(1 Do đó, theo Định lí 4.2.8, + ' < tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp C nghiệm phương trình (4.26) Trở lại phương trình (4.7) cách sử dụng quan hệ u(t) := e&u(t) Định lí 4.2.6, 4.2.8, nến max ỉ NO2NI(1+H)||e,H |M| z )( i AiT+'ji 2||Ai' i) Ị th ó thể max< -ẽ-|^k ’ 1-IMI < thl ta có the nhận thấy C thỏa mân điều kiện Định nghĩa 4.3.1 Do đó, C đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.7) □ E N g +/ N k k |gz +N k Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính (4.1) với trễ vơ hạn đạt số kết sau: • Chỉ tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U(t’ s)) >s>Q có nhị phân mũ số hạng phi tuyến (l’ 'Lipschitz với trễ vơ hạn t • Chỉ tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U(t’ s)) >s>Q có tam phân mũ số hạng phi tuyến (l’ '-Lipschitz với trễ vô hạn t Các kết mà thu chương mở rộng phần kết Chương theo hướng nghiên cứu với trễ vô hạn khơng gian Banach xét phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính (2.2) Chương (trễ hữu hạn) Chương (trễ vô hạn) Nội dung chương dựa vào báo Danh mục cơng trình cơng bố luận án KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt đươc Luận án Tỉnh chất định tính nghiệm số lớp phương trĩnh có trễ trung tính sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Các lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ tam phân mũ, phần phi tuyến có hệ số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian thuộc vào không gian hàm chấp nhận Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp (Định lí 2.1.8), đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp (Định lí 2.2.2) đa tạp không ổn định bất biến E-lớp (Định lý 2.3.8) tính hút đa tạp (Định lí 2.3.9) nghiệm phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ hữu hạn có dạng (1) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp (Định lí 3.1.5), đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp (Định lí 3.2.1) nghiệm phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ hữu hạn có dạng (2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp (Định lí 4.2.8), đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp (Định lí 4.3.2) nghiệm phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn có dạng (3) Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận án, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tồn đa tạp không ổn định bất biến E-lớp số lớp phương trình trung tính với trễ vơ hạn số hạng phi tuyến '-Lipschitz • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân E-lớp số lớp phương trình trung tính chứa nhiều số hạng phi tuyến với điều kiện Lipschitz khác nhau, trường hợp trễ hữu hạn vô hạn (bảng sau mô tả kết làm hướng nghiên cứu luận án) TT Kết @ Fut = B(t)Fut + $(t, Ut) Ơn Tâm Khơng Tâm định ổn ổn không định định ổn định X X X X X X X ỡ [—r, 0] @ Fut = B (t)u(t) + $(t, Ut) ỡ [—r, 0] @ Fut = B(t)Fut + $(t, Ut) ỡ (—1, 0] DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG Bố CỦA LUẬN ÁN Thieu Huy Nguyen, Xuan Yen Trinh (2019) “Admissibly Stable Manifolds for a Class of Partial Neutral Functional Differential Equations on a HalfLine”, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 23, No 4, pp 897-923 (SCI) Vu Thi Ngoc Ha, Nguyen Thieu Huy, Trinh Xuan Yen (2019) “Invariant Stable Manifolds of E-Class for Partial Neutral Functional Differential Equations on a Half-Line”, International Journal of Evolution Equations, www.novapublishers.com/journals/evolutionequations.html, pp 57-71 Nguyen Thieu Huy, Vu Thi Ngoc Ha, Trinh Xuan Yen (2020) “Admissible Integral Manifolds for Partial Neutral Functional Differential Equations”,Ukrainian Mathematical Journal (Accepted) Nguyen Thieu Huy, Vu Thi Ngoc Ha, Trinh Xuan Yen (2020)“Invariant Integral Manifolds of Admissible-Class for Partial Neutral Functional Differential Equations with Infinite Delays”, (Submitted) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Hadamard (1901), “Sur Vintération et les Solutions asymptotiques des equations différentielles”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 29, pp 224-228 [2] O Perron (1929), “Uber stabilitUt und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen’’, Mathematische Zeitschrift, 29, pp 129160 [3] O Perron (1930), “Die stabilitUtsfrage bei differentialgleichungen”, Mathematische Zeitschrift, 32, pp 703-728 [4] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), “The method of integral manifolds in nonlinear mechanics”, Contributions to Differential Equations, 2, pp 123-196 [5] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1961), “Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations”, Translated from the second revised Russian edition, International Monographs on Advanced Mathematics and Physics, Gordon and Breach Science Publishers, New York [6] J.L Daleckii, M.G Krein (1974), “Stability of solutions of differential equations in Banach spaces”, Translations of Mathematical Monographs, Volume 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [7] D Henry (1981), “Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations”, Lecture Notes in Mathematics, No 840, Springer, New York [8] B Aulbach, N.V Minh (1996), “Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations”, Abstract and Applied Analysis, 1, pp 351-380 [9] C Chicone (1999), “Ordinary Differential Equations with Applications”, Springer, New York [10] N.T Huy (2006), “Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, Journal of Functional Analysis, 235, pp 330-354 [11] G.R Sell, Y You (2002), “Dynamics of Evolutionary Equations", Applied Mathematical Sciences 143, Springer, New York [12] J Wu (1996), “Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations”, Springer, Berlin [13] N.T Huy (2009), “Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 354, pp 372-386 [14] N.T Huy (2009), “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations”, Journal of Differential Equations, 246, pp 1820-1844 [15] N Hirsch, C Pugh, M Shub (1977), “Invariant Manifolds” Lecture Notes in Mathematics, vol 183, Springer, New York [16] N.V Minh, J Wu (2004), “Invariant manifolds of partial functional differential equations”, Journal of Differential Equations, 198, pp 381-421 [17] P Bates, C Jones (1989), “Invariant manifolds for semilinear partial differential equations”, Dynamics Reported 2, pp 1-38 [18] J Carr (1981), “Applications of Centre Manifold Theory”, Appied Mathematical Sciences, 35, Springer, Berlin [19] N.T Huy (2012), “Intertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, pp 894-909 [20] N.T Huy (2013), “Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations”, Journal of Differential Equations, 254, pp 2638-2660 [21] N.T Huy, T.V Duoc (2012), “Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces”, Taiwanese Journal of Mathematics, 16, pp 963-985 [22] N.T Huy, T.V Duoc (2015), “Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line”, Vietnam Journal of Mathematics, 43, pp 37-55 [23] I Chueshov (2002), “Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems”, ACTA Scientific Publishing House Kharkiv, Ukraine [24] J Wu, H Xia (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines”, Journal of Differential Equations, 124, pp 247-278 [25] J.D Murray (2002), “Mathematical Biology I: An Introduction”, Springer, Berlin [26] J.D Murray (2003), “Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications’’, Springer, Berlin [27] A Yagi (2009), “Abstract Parabolic Evolution Equations and Their Applications’ ’, Springer, Berlin [28] N.T Huy (2004), “Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line”, Integral Equations and Operator Theory, 48, pp 497-510 [29] N.T Huy (2004), “Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, pp 301-316 [30] N.T Huy, P.V Bang (2012), “Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations”, Semigroup Forum, 84, pp 216-228 [31] N.T Huy, R Nagel (2012), “Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces”, Houston Journal of Mathematics, 2, pp 549-569 [32] Phạm Văn Bằng (2016), “Một số tính chất nghiệm phương trĩnh vi phân khơng gian Banach”, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [33] Trịnh Viết Dược (2014), “Đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trĩnh tiến hóa”, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [34] Đinh Xuân Khánh (2018), “Đa tạp bất biến chấp nhận số lớp phương trĩnh vi phân”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [35] N.T Huy, T.V Duoc (2014), “Integral manifolds for partial functional differential equations in admissibility spaces on a half-line”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 411, pp 816-828 [36] N.T Huy, D.X Khanh (2017), “Local stable manifolds of admissible classes for parabolic functional equations and applications to Hutchinson models”, International Journal of Evolution Equations, 10, pp 391-406 [37] N.T Huy, B.X Quang (2017), “Inertial manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 45, pp 585-608 [38] C.T Anh, L.V Hieu (2012), “Existence and unniform asymptotic stability for an abstract differential equation with infinite delay”, Electronic Journal of Differential Equations, 51, pp 1-14 [39] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991), “Functional Differential Equations with Infinite Delay”, Lecture Notes in Mathematics, vol 1473, Springer, Berlin [40] N.T Huy, N.Q Dang (2018), “Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and admissibility”, Acta Mathematica Vietnamica, 42, pp 187-207 [41] J.H Liu, G.M N’Guerekata, N.V Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [42] H Petzeltová, O.J Staffans (1997), “Spectral decomposition and invariant manifolds for some functional partial differential equations”, Journal of Differential Equations, 138, pp 301-327 [43] R Benkhalti, K Ezzinbi, S Fatajou (2010) “Stable and unstable manifolds for nonlinear partial neutral functional differential equations”, Differential and Integral Equations, 23, pp 773-794 [44] N.T Huy, P.V Bang (2015), “Invariant stable manifolds in admissible spaces on a half-line” , Discrete and Continnous Dynamical Systems - Series B, 20(9), pp 2993-3011 [45] N.T Huy, P.V Bang (2017), “Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces , Acta Mathematica Vietnamica, 42, pp 187-207 [46] N.T Huy, T.V Duoc, D.X Khanh (2016), “Attraction property of admissible integral manifolds and applications to Fisher-Kolmogorov model”, Taiwanese Journal of Mathematics, 20, 365-385 [47] N.T Huy, V.T.N Ha (2014), “Admissibly integral manifolds for semilinear evolution equations”, Annales Polonici Mathematici, 112, pp 127-163 [48] J.L Massera, J.J Schãffer (1966), “Linear Differential Equations and Function Spaces”, Academic Press, New York [49] K.J Engel, R Nagel (2000), “One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations", Graduate Text Math, 194, Springer, Berlin [50] K.J Engel (1999), “Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices”, Semigroup Forum, 58, pp 267-295 [51] A Pazy (1983), ‘Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations”, Springer, Berlin [52] R Nagel, G Nickel (2002), “Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems”, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, pp 279-293 [53] N.V Minh, F Rabiger, R Schnaubelt (1998), “Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line”, Integral Equations and Operator Theory, 32, pp 332-353 [54] N.T Huy (2002), “Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups”, PhD Dissertation, University of Tubingen, Germany [55] J Awerjcewicz (1991), “Determination of periodic oscillations in non-linear autonomous discrete-continuous system with delay”, International Journal of Solids and Structures, 27, pp 825-832 [56] J Awerjcewicz, J Someya (1993), “Periodic oscillationsc and two-parameter unfolding in non-linear autonomous discrete-continuous system with delay”, Journal of Sound and Vibration, 78, pp 566-573 [57] A.V Harten, J.M Schumacher (1978), “On a class of partial functional differential equations arising in feed-back control theory”, North-Holland Mathematics Studies, 31, pp 161-179 [58] J.A.J Metz, O Dieckmann (1986), “The Dynamics of Physiologically Structured Populations”, Lecture Notes in Biomathematics, 68, Springer, Berlin [59] P.K.C Wang (1963), “Asymptotic stability of a diffusion system with timedelays”, Journal of Applied Mechanics, 30E, pp 500-504 [60] G.F Webb (1985), “Theory of Non-Linear Age-Dependent Population Dynamics”, Marcel Dekker [61] J Hale, J Kato (1978), “Phase space for retarded equations with infinite delay”, Funkcialaj Ekvacioj, 21, pp 11-41 CHI MỤC E-bất biến mũ, 13 F-bất biến dương, 24, 40, 54, 109, 116 F-hút cấp mũ, 60 E-lớp, 22, 42, 98 '-Lipschitz R, 43 '-Lipschitz R , 23 + '-Lipschitz với trễ vô hạn, 98 bất đẳng thức Holder, 13 nón, 13 chuỗi Neumann, 31 cận phổ, 16 cận tăng trưởng, 16 hàm Green, 19 hàm lịch sử, 20, 95 hút cấp mũ, 34, 85, 109 họ tiến hóa, 18 có nhị phân mũ, 18 có tam phân mũ, 19 khơng gian giảm nhớ, 96 hàm Banach, 10 hàm Banach chấp nhận được, 10 liên kết, 12 nghiệm đủ tốt, 23 nửa nhóm liên tục mạnh, 14 phương trình Lyapunov-Perron, 26, 46, 76, 101 tốn tử sai phân, 20, 71, 95 sinh, 14 trễ, 20, 71, 95 Định lí Ánh xạ phổ, 16 đa tạp không ổn định bất biến E-lớp, 54 tâm ổn định bất biến E-lớp, 40, 115 ổn định bất biến E-lớp, 23 ổn định bất biến E-lớp, 108 ổn định mũ đều, 15 ...TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ... phân nghiệm phương trình vi phân có trễ trung tính, luận án chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính, hệ số Lipschitz số hạng phi tuyến hàm số thời gian Sau chúng tơi trình. .. cứu tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính Việc nghiên tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà toán học mặt khác mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm