Dạy học định lí toán học là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Trong bài báo này, trên cơ sở tìm hiểu về dạy học định lí toán học ở trường phổ thông cũng như cách thức phát hiện và giải quyết vấn đề, các tác giả xây dựng một quy trình dạy học định lí toán học theo hướng tiếp cận này.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol 59, No 2A, pp 174-181 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn XÂY DỰNG QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TỐN HỌC THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (VẬN DỤNG VÀO DẠY HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN) Nguyễn Chiến Thắng1 , Đậu Thị Phúc2 Khoa Trường Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh; Trung học phổ thơng Tun Hố, Quảng Bình Tóm tắt Dạy học định lí tốn học tình điển hình dạy học mơn Tốn trường phổ thông Trong báo này, sở tìm hiểu dạy học định lí tốn học trường phổ thông cách thức phát giải vấn đề, xây dựng quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng tiếp cận Từ khóa: Quy trình dạy học, phát giải vấn đề, Hình học khơng gian Mở đầu Các định lí tốn học đóng vai trị quan trọng mơn Tốn trường phổ thơng, “làm tảng cho việc rèn luyện kĩ môn, đặc biệt khả suy luận chứng minh, phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất đạo đức” [3] Hiện có nhiều cơng trình nghiên cứu dạy học định lí tốn học, chẳng hạn [3] đưa hai đường dạy học định lí Con đường có khâu suy đốn Con đường suy diễn hay [5] đưa ba tiến trình dạy học định lí Thực nghiệm / Suy luận, Bài tốn → Định lí Suy diễn Các cách dạy học theo Con đường có khâu suy đốn Thực nghiệm / Suy luận, Bài tốn → Định lí thể tư tưởng phát giải vấn đề Tuy nhiên, quy trình tương ứng tác giả chưa thực “mịn”, vai trị cơng nghệ thơng tin (CNTT), đặc biệt phần mềm toán học, chưa đề cập đến quy trình 2.1 Nội dung nghiên cứu Các khái niệm Theo [3], Vấn đề hệ thống câu hỏi, mệnh đề yêu cầu thỏa mãn hai điều kiện: - Học sinh chưa giải đáp câu hỏi chưa thực hoạt động - Học sinh chưa học quy tắc có tính thuật giải để giải đáp câu hỏi hay chưa thực hoạt động đặt Liên hệ: Nguyễn Chiến Thắng, e-mail: ncthang2009@gmail.com 174 Xây dựng quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng phát giải vấn đề Tình gợi vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lí luận hay thực tiễn mà họ cảm thấy cần thiết có khả vượt qua, tức khắc nhờ thuật giải mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động điều chỉnh kiến thức sẵn có [3] Việc rèn luyện kĩ phát giải vấn đề mục tiêu dạy học phát giải vấn đề, giáo viên cần nắm rõ đặc tính kiểu dạy học để áp dụng cách phù hợp vào trình dạy học định lí Các mục tiêu dạy học phát giải vấn đề [6]: - Vấn đề điểm khởi đầu trình dạy học - Vấn đề thường toán thực tiễn xuất khơng có cấu trúc Nếu tốn mơ tốn phải xác thực - Vấn đề địi hỏi nhiều khía cạnh Việc sử dụng kiến thức liên mơn đặc điểm nhiều chương trình dạy học phát giải vấn đề Trong trường hợp dạy học phát giải vấn đề khuyến khích việc giải vấn đề cách đưa vào kiến thức liên quan từ môn học chủ đề khác - Vấn đề tạo thách thức kiến thức, thái độ lực học sinh, địi hỏi nhận dạng nhu cầu học tập lĩnh vực học tập - Tự định hướng học tập chính, học sinh có trách nhiệm thu thập thơng tin kiến thức nhiều - Khai thác loạt nguồn tri thức việc sử dụng, đánh giá tài ngun thơng tin cần thiết q trình dạy học phát giải vấn đề - Học trình hợp tác, liên kết, giao tiếp Học sinh làm việc theo nhóm nhỏ với tương tác cao thành viên ngang học tập, dạy học thuyết trình theo nhóm - u cầu phát triển thông tin kĩ giải vấn đề quan trọng nội dung kiến thức cho giải pháp vấn đề 2.2 Quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng phát giải vấn đề Trên sở nghiên cứu đường dạy học định lí tốn học biết khái niệm nêu trên, chúng tơi xây dựng quy trình dạy học định lí theo hướng phát giải vấn đề (vận dụng vào dạy học hình học khơng gian) sau: Tạo tình gợi vấn đề Tình thực tiễn nội toán học ↓ Học sinh khảo sát, phát vấn đề - Xem xét tình huống, tìm thơng tin - Phân tích tình - Dự đoán, phát biểu mệnh đề ↓ 175 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc Giải vấn đề - Tìm hướng chứng minh mệnh đề dự đốn - Trình bày cách giải ↓ Hình thành định lí Phát biểu nội dung định lí ↓ Củng cố định lí - Hoạt động ngôn ngữ - Nhận dạng thể định lí ↓ Khai thác ứng dụng định lí Sau phân tích kĩ bước quy trình trên: Bước 1: Tạo tình gợi vấn đề Trong dạy học định lí, để khơi dậy nhu cầu nhận thức học sinh, giáo viên cần tạo tình hàm chứa đối tượng, quan hệ, quy luật chung ẩn chứa trường hợp riêng lấy nội toán học thực tiễn Đây hoạt động gợi động mở đầu dạy học định lí Tuy nhiên, khơng phải định lí cần thiết tạo tình gợi vấn đề, tùy theo loại định lí mà giáo viên tạo tình gợi vấn đề theo cách thông dụng sau: - Dự đoán nhờ nhận xét trực quan thực nghiệm (nghiên cứu thực nghiệm qua ví dụ, đối tượng cụ thể: số, hình, đồ thị, ) - Lật ngược vấn đề - Xem xét tương tự - Khái quát hóa Tuy nhiên, dù hoạt động tạo tình gợi vấn đề xuất phát từ thực tế hay từ nội tốn học có mục đích đưa học sinh vào vấn đề xảy thực khách quan cần câu trả lời, kích thích trí tị mị, tạo niềm tin cho học sinh giải đáp vấn đề Dạy học hình học khơng gian mà cụ thể dạy học định lí hình học khơng gian, khơng dạy cho học sinh nắm định lí mà cần làm cho học sinh hiểu cách vận dụng định lí giải tốn, ứng dụng thực tế Tuy nhiên, trình dạy học hình học không gian việc gợi động cho định lí làm cách dễ dàng hình hình học khơng gian nằm không gian ba chiều biểu diễn chúng khơng gian hai chiều Vì vậy, trình hình thành định lí cho học sinh sử dụng hỗ trợ CNTT để tạo hình ảnh minh họa Ví dụ 2.1 Mở rộng định lí Pi-ta-go tam giác vuông cho tứ diện vuông không gian 176 Xây dựng quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng phát giải vấn đề S∆ABC = 78, 30 cm4 S∆ACD = 100, 31 cm4 S∆ABD = 101, 76 cm4 Tổng: = 280, 37 cm4 S∆BCD = 280, 37 cm4 Hình Giáo viên: Yêu cầu học sinh phát biểu nội dung định lí Pi-ta-go tam giác vng Từ mở rộng kết cho tứ diện vuông không gian Việc mở rộng kết định lí mặt phẳng thành định lí khơng gian việc làm tương đối khó với học sinh Tuy nhiên, có hướng dẫn giáo viên, học sinh dần làm quen Ở đây, Ta sử dụng CNTT để tạo tình gợi vấn đề cho học sinh Với tứ diện ABCD vuông A, giáo viên sử dụng công cụ đo diện tích phần mềm Cabri 3D để xác định diện tích mặt bên diện tích mặt đáy, sau so sánh S∆BCD với 2 tổng S∆ABC , S∆ACD S∆ABD (Hình 1) Tình nhằm giúp học sinh phát định lí mở rộng lên khơng gian định lí Pi-ta-go vào không gian: Cho tứ diện ABCD vuông A Khi đó, tổng bình phương diện tích mặt tam giác vng bình phương diện tích mặt cịn lại Bước 2: Học sinh khảo sát, phát vấn đề Việc khảo sát, phát vấn đề tiến hành thơng qua mơ hình trực quan, ví dụ, tốn với hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, hoạt động biến đổi đối tượng làm bộc lộ mối liên hệ chung, quy luật chung từ tình mang hình thức khác Ở giai đoạn này, học sinh cần phân tích vấn đề tự đặt câu hỏi vấn đề Hoạt động khảo sát, phát vấn đề học sinh tùy thuộc vào trình độ học sinh vấn đề đưa mà ta để học sinh độc lập hợp tác làm việc với theo nhóm làm việc hướng dẫn giáo viên Tuy nhiên dù hình thức giai đoạn này, giáo viên cần hình thành cho học sinh khả phát mấu chốt vấn đề, khả tìm quy luật chung từ đối tượng biết, qua dự đốn mệnh đề Trong q trình này, giáo viên cần lưu ý tới việc sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ học sinh dự đoán tính chất, đặc điểm bật đối tượng Có nhiều hình thức để tập luyện cho học sinh dự đốn mệnh đề, hình thành định lí, như: - Dự đốn đặc biệt hóa - Dự đốn tương tự hóa 177 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc - Dự đốn dựa vào quan sát, phân tích, so sánh Ví dụ 2.2 Dạy học định lí cơng thức hình chiếu: S ′ = S cos α Trước hết, giáo viên đưa tốn: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), α góc tạo mặt phẳng (ABC) (SBC) Hãy nêu mối liên hệ S∆ABC S∆SBC ? Ở giáo viên sử dụng CNTT để giúp học sinh phát vấn đề giáo viên sử dụng phần mềm Cabri 3D để dựng hình, sử dụng cơng cụ đo diện tích để đo S∆ABC S∆SBC Dùng cơng cụ đo góc để đo góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC), cho kết (Hình 2): cos α = S∆ABC S∆SBC Từ đây, học sinh dự đốn mệnh đề có nghi vấn S A thay đổi cos α thay đổi Khi liệu đẳng thức có cịn khơng? Giáo viên dùng chức động thay đổi vị trí điểm A điểm S Cho học sinh quan sát thấy cos α thay đổi, S∆ABC S∆SBC thay đổi, thỏa mãn đẳng thức S∆ABC (Hình 3) Khi học sinh tin vào dự đốn là: cos α = tìm cách chứng S∆SBC minh dự đoán S∆ABC = 29, 16 cm2 S∆SBC = 60, 93 cm2 S∆ABC = 0, 48 S∆SBC cos α = 0, 48 Hình Sau học sinh chứng minh, giáo viên đưa nhận xét: Chúng ta thấy ∆ABC ∆SBC có mối liên hệ với nhau? Câu trả lời mong đợi: ∆ABC hình chiếu ∆SBC lên mặt phẳng đáy Giáo viên: Như khái quát toán cách thay ∆SBC đa giác nằm ta chứng minh kết tương tự, định lí cơng thức diện tích hình chiếu 178 Xây dựng quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng phát giải vấn đề Hoạt động có hỗ trợ phần mềm Cabri 3D giúp học sinh phát vấn đề tạo niềm tin để chứng minh vấn đề Cần lưu ý việc áp dụng phần mềm có ưu điểm nhược điểm riêng Nếu ta sử dụng phần mềm cách hợp lí, lúc làm tăng hiệu giảng, giúp học sinh tư duy, biết nhìn nhận tốn nhiều góc độ, góc độ vận động, ta lạm dụng phần mềm làm trí sáng tạo học sinh Bước 3: Giải vấn đề Sau trình biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng, phân tích, thiết lập mối liên hệ vấn đề với kiến thức biết, học sinh trình bày cách giải quyết, giải thích quy luật, mối liên hệ theo quy tắc lôgic Trong giai đoạn này, bỏ qua đánh giá phản hồi giáo viên Giáo viên khơng người xác hóa lại nội dung kiến thức mà cịn người kết luận cuối tính ngắn gọn ưu việt giải pháp Một vấn đề có nhiều hướng giải quyết, cần chọn hướng giải tốt cho học sinh Khi học sinh lúng túng việc giải vấn đề giáo viên cần hướng cho học sinh quay trở lại phân tích vấn đề để tìm cách giải Ví dụ 2.3 Sau dẫn dắt học sinh dự đoán đưa mệnh đề : “Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng đó” Hình Giáo viên hướng dẫn học sinh giải vấn đề sau: Theo giả thiết: (P )⊥(R) (Q)⊥(R) (P ) × (Q) = a Do đó, ta cần chứng minh a vng góc với (R) (Hình 4) Giáo viên: Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta có hướng nào? Học sinh: Ta có hai hướng - Hướng 1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (R) 179 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc - Hướng 2: Tìm đường thẳng d vng góc với (R) chứng minh a song song với d Giáo viên: Căn vào giả thiết ta nên chọn hướng nào? Học sinh: (có thể chưa phát hướng giải tối ưu) Giáo viên phân tích: (P )⊥(R) nên tồn đường thẳng d nằm (P ) d⊥(R) (Q)⊥(R) nên tồn đường thẳng b nằm (Q) b⊥(R) Học sinh: Ta nên chọn hướng Giáo viên: Dựa vào định lí học tìm mối tương quan d, b a ? Mong đợi học sinh trả lời : - Nếu d trùng với a b trùng với a suy a vng góc với (R) - Nếu d khác a b khác a d⊥(R), b⊥(R) nên d//b Do qua d b xác định mặt phẳng (d, b) Áp dụng định lí giao tuyến mặt phẳng (P ), (Q), (d, b) ta có: a//d a//b ⇒ a⊥(R) Bước 4: Hình thành định lí Tất hoạt động nhằm mục đích giải vấn đề vấn đề giải hoàn thành nhiệm vụ kiến tạo định lí cho học sinh hoạt động học sinh Ở bước này, cần làm cho học sinh nắm vững điều kiện giả thiết kết luận suy có giả thiết Nội dung giả thiết phải đầy đủ, xác kết luận Ở giai đoạn này, học sinh phát biểu nội dung định lí hồn chỉnh Bước 5: Củng cố định lí Việc củng cố tri thức, kĩ cách có định hướng có hệ thống có ý nghĩa to lớn dạy học toán Củng cố cần phát biểu thành mục tiêu chương trình, tức khơng tri thức mà kĩ năng, kĩ xảo, thói quen thái độ Tuy nhiên, việc củng cố ta xét việc củng cố tri thức kĩ Hình thành định lí xong khơng dừng lại mà giáo viên đưa câu hỏi, tình giúp học sinh liên hệ, so sánh định lí với định lí học, xem chúng có mối liên hệ khơng, có định lí khơng gian hai chiều lên khơng gian ba chiều khơng cịn Hoạt động giúp học sinh nắm vững định lí biết tình đắn định lí trường hợp riêng Khâu thường thực hoạt động sau: - Nhận dạng thể định lí - Hoạt động ngơn ngữ - Khái quát hóa, đặc biệt hóa hệ thống hóa định lí Hoạt động củng cố định lí cần thiết, qua giúp học sinh nắm nội dung định lí, biết áp dụng định lí vào giải tốn Có thể sử dụng hỗ trợ CNTT để thực hoạt động củng cố định lí Ví dụ 2.4 Sau dạy xong định lí “Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường 180 Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát giải vấn đề thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia” Giáo viên sử dụng CNTT đưa sơ đồ sau giúp học sinh khái quát nội dung vấn đề liên quan đến định lí Bước 6: Khai thác ứng dụng định lí Một hoạt động quan trọng biện pháp củng cố định lí tốn học khai thác, khám phá ứng dụng khác vào việc dạy học tốn Khai thác ứng dụng định lí góp phần nâng cao chất lượng học tập thơng qua hoạt động trí tuệ học sinh Việc luyện tập hoạt động khai thác hướng khác đính lí tốn học tiến hành theo trình tự sau: Phát thêm dạng tốn ứng dụng định lí xây dựng thuật giải tương ứng Lựa chọn toán gốc nhằm vận dụng, khắc sâu cách giải Lựa chọn phát triển toán nâng cao mức độ khó khăn nhằm rèn luyện lực, huy động kiến thức q trình giải tốn Kết luận Bên cạnh quy trình dạy học biết, quy trình xây dựng báo góp phần giúp giáo viên dạy học hiệu định lí theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh, với hỗ trợ CNTT Qua cách dạy học này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kĩ phát vấn đề từ thực tiễn hay từ nội mơn Tốn học cách thức giải vấn đề TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Văn Như Cương (Chủ biên), 2011 Hình học 11- nâng cao Nxb Giaó dục Việt Nam Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007 Hình học 11 Nxb Giáo dục Nguyễn Bá Kim, 2008 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại Học Sư Phạm Đào Tam, Nguyễn Chiến Thắng, Sử dụng phần mềm cabri dạy học hình học khơng gian nhằm phát huy tính tích cực học tập học sinh Tạp chí Giáo dục,số 175 (kì 2) Lê Văn Tiến, 2004 Phương pháp dạy học mơn tốn (Dạy học tình điển hình) Nxb Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Oon- Seng Tan, 2003 Problem - based Learing Innovation ABSTRACT Creating a way to teach mathematical theorems in order to detect and solve problems (applied in the teaching of solid geometry) Teaching mathematics at high school typically involves teaching mathematical theorems Teachers who have learned how to teach mathematical theorems in high school and how to detect and solve problems can construct a process of teaching mathematical theorems 181 ... cứu đường dạy học định lí tốn học biết khái niệm nêu trên, xây dựng quy trình dạy học định lí theo hướng phát giải vấn đề (vận dụng vào dạy học hình học khơng gian) sau: Tạo tình gợi vấn đề Tình... tập, dạy học thuyết trình theo nhóm - u cầu phát triển thơng tin kĩ giải vấn đề quan trọng nội dung kiến thức cho giải pháp vấn đề 2.2 Quy trình dạy học định lí tốn học theo hướng phát giải vấn đề. .. cần nắm rõ đặc tính kiểu dạy học để áp dụng cách phù hợp vào q trình dạy học định lí Các mục tiêu dạy học phát giải vấn đề [6]: - Vấn đề điểm khởi đầu trình dạy học - Vấn đề thường tốn thực tiễn