Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.
Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 20132014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai khơng”; “ Mỗi thầy, cơ giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học ". Do đó trong q trình dạy học địi hỏi các thầy cơ giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao năng lực chun mơn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em 1.2 Lý do chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích tốn học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu của Giải tích tốn học. Các dạng tốn liên quan tới nội dung này thường là khó với các em Qua thực tế giảng dạy chương trình chun tốn lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tơi nhận thấy một dạng tốn khá cơ bản về dãy số là bài tốn tìm số hạng tổng qt. Lý thuyết đại số và các bài tốn về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng qt của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài tốn được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài tốn này thực sự khơng phải là dễ với học sinh Xuất phát từ các lí do trên tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt của dãy số và xây dựng bài tốn về dãy số ”. Qua nội dung các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào đáp ứng được việc học chun đề lớp 11 chun tốn cũng như việc ơn thi học sinh giỏi các cấp 1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và mơn Đại số và Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, khơng áp đặt hoặc dập khn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài tốn lạ, các bài tốn khó 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp tốn học b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi là dãy số tăng nếu un < un+1 , ∀n ﾥ * * Dãy số ( un ) gọi là dãy số giảm nếu un > un+1 , ∀n ﾥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ﾥ * suy ra ( un ) là dãy số tăng Nếu un+1 − un < 0, ∀n ﾥ * suy ra ( un ) là dãy số giảm * Nếu tồn tại số M sao cho un M , ∀n ﾥ * thì ( un ) bị chặn trên * Nếu tồn tại số m sao cho un m , ∀n ﾥ * thì ( un ) bị chặn dưới * Nếu dãy số ( un ) bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) là cấp số cộng � un+1 = un + d với ∀n ﾥ * , trong đó d là số khơng đổi gọi là cơng sai của cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì tổng S n = u1 + u2 + + u n = d) Cấp số nhân n ( u1 + un ) * Dãy số ( un ) là cấp số nhân � un+1 = un q với ∀n khơng đổi gọi là cơng bội của cấp số nhân * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân thì un = u1.q n−1 * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân vơi q 1, q ﾥ * , trong đó q là số thì tổng − qn S n = u1 + u2 + + un = u1 1− q e) Một số đinh lí về giới hạn Nếu q < 1 thì lim q n = Nếu q > thì lim q n = + cn , ∀n ﾥ * và lim an = lim cn = L thì lim bn = L Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì ( un ) có giới hạn ưNucỏcdóys an bn 2.2Nidungnghiờncucati A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng : u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N * a,b, số ,a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1 = α , a.un +1 + b un = (1.1) * ®ã a, b, α cho trớc n N Phơng pháp giải TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 n Giải phơng trình đặc trng a. + b = để tìm Khi un = q (q số ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) n Phơng trình đặc trng có nghiÖm λ = VËy un = c.2 Tõ u1 = suy c = n −1 Do un = Dạng 2 Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , aun+1 + bun = f n , n N* (2 1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un + un * Trong un nghiệm phơng trình (1.1) un nghiệm n riêng tuỳ ý phơng trình không (2.1) Vậy un = q. q số đợc xác định sau * Ta xác định un nh sau : * 1) NÕu λ #1 th× un đa thức bậc với f n * 2) NÕu λ =1 th× un = n.g n víi g n đa thức bậc với f n * * Thay un vào phơng trình, đồng hệ số ta tính đợc hệ số un Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N* (2.2) * Bài giải Phơng trình đặc trng − = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un + un n * * ®ã un = c.1 = c, un = n ( an + b ) Thay un vào phơng trình (2.2) ta đợc TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 a ( n + 1) + b � ( n + 1) � � �= n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau 3a + b = � � 5a + b = � a =1 � � b = −1 � Do ®ã un = n ( n − 1) * Ta cã un = un + un = c + n ( n − 1) V× u1 = nªn = c + 1( − 1) � c = 2 VËy un = + n ( n − 1) , hay un = n n + Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = α , a.un +1 + bu n = v.àn , n N* (3.1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un + un n * Trong ®ã un = c. , c số cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : 1) Nếu λ # µ 2) NÕu λ = µ * n un = A.à * n un = A.n.à * Thay un vào phơng trình (3.1) đồng hệ số ta tính đợc hệ số * * cđa un BiÕt u1 , tõ hƯ thøc un = un + un , tính đợc c Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.un + n , n N* (3.2) * Bài giải Phơng trình đặc trng λ − = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un + un n * n ®ã un = c.3 , un = a.2 * n Thay un = a.2 vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc a.2n+1 = 3a.2n + 2n 2a = 3a + � a = −1 n n n n Suy un = −2 Do ®ã un = c.3 2n u1 = nên c=1 VËy un = − Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f n , n N* (4.1) n Trong ®ã f1n đa thức theo n f n = v.à Phơng pháp giải * * Ta có un = un + u1n + u2 n Trong ®ã un nghiệm tổng quát phơng * trình nhÊt aun+1 + bun = , un lµ mét nghiệm riêng phơng trình * không a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phơng trình không a.un+1 + b.un = f n Bài toán 4: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2n , n N* (4.2) Bµi giải Phơng trình đặc trng = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n ®ã un0 = c.2n , un* = a.n + b.n + c , u2*n = An.2n * Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng tr×nh 2a − c = a = −1 � � � � a −b−c = �� b = −2 � � 2a + 2b + c = −9 � c = −3 � � * * n VËy u1n = − n − 2n − thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2 Ta ®ỵc A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n � A ( n + 1) = An + � A = VËy u2*n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta cã u1 = nªn = 2c − + � c = n −1 VËy un = 3n.2 − n − 2n − Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 B Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n N * ®ã a,b,c, α , β số , a # f n biểu thức n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiƯm thùc ) Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.u n −1 = 0, n N* (5.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = tìm Khi n n 1) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm thực khác un = A.1 + B.2 , A B đợc xác định biết u1 , u2 n 2) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) λ , ®ã A B đợc xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 16.un (5.1) Bài giải Phơng trình đặc trng λ − 8λ + 16 = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã un = ( A + B.n ) n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình u0 = = A � u1 = ( + B ) = 16 A =1 � B=3 n VËy un = ( + 3n ) TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1 = α , u2 = β , a.u n+1 + b.un + c.u n−1 = f n , n 2, (6.1) ®ã a # 0, f n đa thức theo n cho trớc Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ta cã un = un0 + un* , ®ã un0 nghiệm tổng quát phơng trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = vµ un* lµ nghiệm tuỳ ý phơng trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n * Theo d¹ng ta tìm đợc un , hệ số A, B cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : * 1) Nếu #1 un đa thức bậc với f n * 2) Nếu = nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức bËc víi f n * 3) NÕu λ = nghiệm kép un = n g n , g n đa thức bậc với f n , * * Thay un vào phơng trình , đồng hệ số, tính đợc hệ số cña un * BiÕt u1 , u2 tõ hệ thức un = un + un tính đợc A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n (6.2) Bµi giải Phơng trình đặc trng + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã un = un0 + un* ®ã un0 = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un* = n ( a.n + b ) * Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc ( n + 1) 2 a ( n + 1) + b � a ( n − 1) + b � � � �− 2n ( a.n + b ) + ( n − 1) � � �= n + Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 ( 2a + b ) − ( a + b ) = � � ( 3a + b ) − ( 2a + b ) + ( a + b ) = a= � � b= �n � un* = n � + � �6 � VËy Do ®ã �n � un = un0 + un* = A + Bn + n � + � �6 � Mặt kh¸c 1 A + B + + =1 � � 1� �A + B + � � + �= �3 � A=4 � � −11 �B = VËy un = − 11 �n � n + n2 � + � Dạng Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d µ n , n (7.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = ®Ĩ t×m λ Khi ®ã ta cã un = un0 + un* , un0 đợc xác định nh dạng hệ số A B cha đợc xác * định, un đợc xác định nh sau * n 1) Nếu # un = k µ * n 2) NÕu λ = µ lµ nghiÖm đơn un = k nà * n 3) Nếu = nghiệm kép un = k n µ Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 * Thay un vµo phơng trình , dùng phơng pháp đồng thức hệ số * tính đợc hệ số k BiÕt u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = 3.2n , n Bài giải Phơng trình đặc trng λ − 2λ + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã un = un0 + u1*n ®ã un0 = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un* = k 2n * Thay un vào phơng trình , ta đợc k 2n+1 − 2k 2n + k 2n −1 = 3.2 n � k = * n n +1 * n +1 VËy un = 6.2 = 3.2 Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phơng trình (1) ta thu đợc = A + B + 12 � � = A + B + 24 � �A = � �B = −13 VËy un = − 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n (8.1) n ®ã a # , f n đa thức theo n g n = v.à Phơng pháp giải * * Ta cã un = un + u1n + u2 n un nghiệm tổng quát phơng * trình aun +1 + bun + c.un = , u1n nghiệm riêng tùy ý phơng * trình không aun+1 + bun + c.un = f n u2n nghiệm riêng tùy ý phơng trình không aun +1 + bun + c.u n1 = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n , n 10 (8.2) TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 Bài giải Phơng trình đặc trng − 2λ − = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n ®ã un0 = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k 2n n * Thay u1n vào phơng trình un+1 − 2un − 3un −1 = n , ta ®ỵc a ( n + 1) + b − ( an + b ) − � a ( n − 1) + b � � �= n � ( 4a + 1) n − ( a − b ) = VËy a=b=− Do ®ã un* = −1 ( n + 1) * n Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un = , ta đợc k 2n+1 2.k 2n = 3.k 2n −1 = 2n � k = − Do ®ã u2*n = − 2n = − 2n+1 3 VËy un = un0 + u1*n + u2*n = A ( −1) + B.3n − n 1 ( n + 1) − 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình � − A + B − − =1 � � � �A + B − − = � 61 � A = − � � 48 � �B = 25 � 48 VËy 11 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 un = − 61 25 1 n ( −1) + 3n − ( n + 1) − n+1 48 48 C Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n (a.1) ®ã a,b,c, d, α , β , γ số , a # f n biểu thức n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiƯm thùc ) Phơng pháp giải Nghiệm tổng quát phơng trình sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba cã * dạng un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng trình tuyến * tính nhất, un nghiệm riêng phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình đặc trng aλ + bλ + cλ + d = (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba nhÊt a) NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc λ1 , , phân biệt un0 = a1 1n + a2 λ2n + a3 λ3n b) NÕu (a.2) cã nghiệm thực bội nghiệm đơn (1 = λ2 # λ3 ) th× un0 = (a1 + a2 n)λ1n + a3 λ3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (λ1 = λ2 = λ3 ) th× 12 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 un0 = (a1 + a2 n + a3 n )1n * 2) Xác định nghiệm riêng un phơng trình (a.1) Xét f n ®a thøc cña n ta cã * a) NÕu λ #1 un đa thức bậc với f n * b) Nếu = (nghiệm đơn ) un = n.g n , g n đa thøc cïng bËc víi f n * c) NÕu λ = (béi ) th× un = n g n g n đa thức bậc với f n * d) NÕu λ = (béi 3) un = n g n g n ®a thøc cïng bËc víi f n n XÐt f n = v.µ ta cã * n a) NÕu λ # un = k n.à * n b) Nếu = (nghiệm đơn ) un = k µ * s n c) NÕu λ = µ (nghiệm bội s ) un = k n Bài toán 9: Tìm dÃy số (un ) biết u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− + 5.un −3 , n (9.1) Bài giải Xét phơng trình đặc trng − 7λ + 11λ − = cã nghiÖm thùc λ1 = λ2 = 1, λ3 = n VËy un = c1 + c2 n + c3 Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc c1 = , c2 = , c3 = 16 16 VËy un = − + ( n − 1) + 5n −1 16 16 D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dÃy số (an ) đợc xác định theo công thức sau 13 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n (10.1) Chøng minh sè A = 4.an an+ + số phơng Bài giải Ta có an+1 = 2an − an−1 + (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta đợc an = 2an an −2 + (10.3) Trõ c¸c vÕ cđa (10.1) cho (10.2) ta thu đợc an+1 3an + 3an1 an = (10.4) Phơng trình đặc trng cđa (10.4) lµ λ − 3λ + 3λ − = cã nghiƯm λ = lµ nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phơng trình (10.4) an = (c1 + c2 n + c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc = c1 = c2 + c2 + c3 � � = c1 + 2c2 + 4c3 Ta thu đợc an = c1 = c2 = c3 = � n ( n + 1) từ ta có A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) Điều chứng tỏ A số phơng Bài toán 11: Cho dÃy số ( xn ) đợc xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = xn + xn −1 − 1975 ( n 2) (11.1) Chứng minh x1996 M1997 Bài giải Xét dÃy số ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ yn +1 = yn + yn −1 + 22 ( n DÔ thÊy yn 2) (11.2) xn ( mod1997 ) Do cần chứng minh 14 TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 ( mod1997 ) y1996 Đặt zn = yn + 11 suy z1 = 39, z2 = 211 NhËn xÐt r»ng zn +1 = yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = zn + 20 yn−1 + 55 Ta l¹i cã zn −1 = yn −1 + 11 suy 20 yn−1 = zn−1 − 55 Thế (11.4) vào (11.3) ta đợc zn +1 = zn + zn−1 Suy zn +1 − zn zn1 = (11.5) Phơng trình đặc trng (11.5) = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = Nghiệm tổng quát (11.1) zn = ( −1) α + 5n β n Ta cã z1 = −α + 5β = 39 � z2 = α + 25β = 211 α= � 25 β= Do ta nhận đợc 25 n zn = ( −1) + 5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996 + 25.51996 = Ta cÇn chøng minh z1996 11( mod1997 ) Do 15 (11.4) (11.3) Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 51996 − M1997 51996 − M 1996 Nên 1M3.1997 Từ , ta cã 51996 = 3n.1997 + , vµ ®ã 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 VËy z1996 11( mod 1997 ) E Bài tập tơng tự Bài 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn+ − xn+1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bµi 2: Cho dÃy số (an ) thoả mÃn điều kiện an = an −1 + 2.an −2 a1 = a2 = nγ N (n 3) Chøng minh r»ng an lµ số lẻ Bài 3: Cho dÃy số (bn ) xác định bn = 2.bn1 + bn b1 = 1, b2 = nγ N (n 3) n Chøng minh r»ng bn Bµi 4: �5 � � �, ∀n N �2 � Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n ®iỊu kiƯn un + − 2.un+1 + un = u0 = 1, u1 = nγ N (n 2) 16 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 Chøng minh r»ng un lµ số phơng Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB gi¸o dơc ) Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n nh sau un �Z + , ∀ �N u0 = 1, u1 = un = 10.un−1 − un− ∀n γ N , n Chøng minh : ∀k γ N , k 2 1) uk + uk −1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M4 va 3.uk − 1M2 ( M kÝ hiƯu chia hÕt ) Bµi 6: Cho dÃy số (un ) thoả mÃn điều kiện un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n N* Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phơng Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dÃy số (ai ) ( i=1,2,3,4)đợc xác định a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an− , n = 3,4, Tính giá trị biểu thức 2 A = 2.a2006 + a2006 a2007 + a2007 Bài 8: Cho dÃy số nguyên dơng (un ) thoả m·n ®iỊu kiƯn u0 = 20, u1 = 100, un + = 4.un +1 + 5.u n + 20, n N* Tìm số nguyên dơng h bé có tÝnh chÊt an+ h − an M1998 , n N 17 TrngTHPTTrnHngoưSỏngKinKinhNghimNmhc:2013 2014 F Xây dựng toán dÃy sè truy håi NhËn xÐt : Néi dung cđa ®Ị tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng qu¸t cđa mét líp d·y sè cã tÝnh chÊt truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dÃy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dÃy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình ( 1) ( + ) = � λ + 8λ = (12.1) phơng trình (12.1) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cã thÓ cho u0 = 2, u1 = −8 Ta cã thĨ ph¸t biĨu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = n N x0 = 2, x1 = Xác định công thức xn Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = n N x0 = 2, x1 = Tính giá trị biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + VÝ dơ 2: Xt ph¸t tõ phơng trình ( 1) = λ − 2λ + = (12.2) ph¬ng trình (12.2) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau 18 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 un+ − 2.un +1 + un = cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy số xn = ( n − 1) Ta cã thĨ ph¸t biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau xn + xn+1 + xn = n N x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + xn+1 + xn = n N x0 = 1, x1 = Chøng minh r»ng xn lµ mét số phơng Bài toán 3: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + xn+1 + xn = n N x0 = 1, x1 = Xác định số tự nhiên n cho xn+1 + xn = 22685 2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề Để thực hiện đề tài này tơi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng tốn, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung để làm nổi bật được nội dung cần phân tích 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận tồn diện nên giữa học kì II năm học 2013 – 2014 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tơi đã cho các lớp 11A1, 11A2 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được. 19 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong q trình triển khai đề tài cịn lớp 11A2 là lớp đối chứng khơng tham gia trong việc triển khai đề tài. Sau khi chấm bài kiểm tra tơi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm 1 1 – 2,5 3 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,59 9– 10 Lớp Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2% Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực nghiệm và lớp cịn lại khơng được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao qt về cách giải các bài tốn về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài tốn về dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với mơn Tốn vì trong đó thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic 20 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 3. KẾT LUẬN 3.1. Những bài học kinh nghiệm: Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với mơn học này thì người giáo viên phải có một số kỹ năng sau: * Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề * Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ năng trình bày lời giải 3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung 3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai: Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với mơn học, bản thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số tài liệu tham khảo và thường xun tổ chức các buổi thảo luận chun đề tốn học nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người Viết Đào Hữu Trang 21 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 22 Trường THPT Trần Hưng Đạo Sáng Kiến Kinh Nghiệm Năm học: 2013 – 2014 Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dÃy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 23 ... thÓ cho u0 = 1, u1 = ®ã vËn dơng tht toán xác định đợc công thức tổng quát d·y sè xn = ( n − 1) Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau xn... trình đặc trng a. + b = để tìm Khi un = q (q số ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) n Phơng... thức tổng quát lớp dÃy số có tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dới số ví dụ xây dựng